Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik"

Transkrypt

1 Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik

2 .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania całkowitoliczbowego Mieszane zadanie programowania całkowitoliczbowego Relaksacja zadania Metoda zaokrągleń Metoda podziału i ograniczeń Metoda cięć Zmienne binarne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2

3 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie czyste (/7) Przykład 2. Zadanie wyjściowe f(x, x 2 ) = x + x 2 max x + 2x x + 3x x, x 2 x, x 2 - całkowite Zadanie zrelaksowane f(x, x 2 ) = x + x 2 max x + 2x x + 3x x, x 2 O x 2 A ( 2 / 3, 2 / 3 ) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

4 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie czyste (2/7) Podział względem x Zadanie 2 x + x 2 max x +2x x +3x x x, x 2 Zadanie f(x, x 2 ) = x + x 2 max x + 2x x + 3x x, x 2 2 / x 3 Zadanie 3 x + x 2 max x +2x x +3x x x, x 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

5 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie czyste (3/7) Zbiory rozwiązań dopuszczalnych zadań 2 i 3 Zadanie 2 O x 2 B C Zadanie 3 x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

6 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie czyste (4/7) Rozwiązania optymalne zadań 2 i 3 O x 2 x 2 Zadanie 2 B (, ) x O Zadanie 3 C (, 8 2 / 3 ) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

7 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie czyste (5/7) Podział względem x 2 Zadanie f(x, x 2 ) = x + x 2 max x + 2x x + 3x x, x 2 x 2 2 / 3 Zadanie 3 x + x 2 max x + 2x x + 3x x 2 x, x 2 Zadanie 2 x + x 2 max x + 2x x + 3x x 2 x, x 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

8 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie czyste (6/7) Zbiory rozwiązano dopuszczalnych zadań 2 i 3 O x 2 Zadanie 3 E D C Zadanie 2 x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8

9 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie czyste (7/7) Rozwiązania optymalne zadań 2 i 3 O x 2 Zadanie 2 D ( 7 / 9, ) x O x 2 Zadanie 3 E (, ) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9

10 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (/3) Geometryczna interpretacja zbioru rozwiązań dopuszczalnych f(x, x 2 ) = x + x 2 max x + 2x x + 3x x, x 2 x - całkowite O x 2 x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

11 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (2/3) Geometryczna interpretacja zbioru rozwiązań dopuszczalnych (c.d.) f(x, x 2 ) = x + x 2 max x + 2x x + 3x x, x 2 x 2 - całkowite O x 2 x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

12 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (3/3) Przykład 2.2 Zadanie wyjściowe 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 5 x 3 5 x 2, x 3 - całkowite Zadanie zrelaksowane 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 5 x 3 5 Rozwiązanie x = 2,667, x 2 = 2,667, x 3 = f opt = 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2

13 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (4/3) Iteracja Lista rozpatrywanych zadań: Zadania usuwane z listy: Lista zadań po modyfikacji: Zadania wybrane do podziału: Rozwiązanie zadania : Podział względem zmiennej: - x = 2,667, x 2 = 2,667, x 3 = x 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

14 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (5/3) Iteracja (c.d.) Zadanie 2 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 2 x 3 5 Rozwiązanie x = 2, x 2 = 2, x 3 =,286 f opt = 5,74 Zadanie 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 5 x , Zadanie 3 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x 3 x 2 5 x 3 5 Zadanie sprzeczne x 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

15 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (6/3) Iteracja 2 Lista rozpatrywanych zadań: Zadania usuwane z listy: Lista zadań po modyfikacji: Zadania wybrane do podziału: Rozwiązanie zadania 2: Podział względem zmiennej:, 2, 3 (podzielone), 3 (sprzeczne) 2 2 x = 2, x 2 = 2, x 3 =,286 x 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

16 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (7/3) Iteracja 2 (c.d.) Zadanie 2 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 2 x 3 5 Zadanie 4 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 2 x 3 Rozwiązanie x = 2,33, x 2 = 2, x 3 = f opt = 3,286 Zadanie 5 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 2 x 3 5 Rozwiązanie x =,33, x 2 =,33, x 3 = f opt = 5 5 x 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

17 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (8/3) Iteracja 3 Lista rozpatrywanych zadań: Zadania usuwane z listy: Lista zadań po modyfikacji: Zadania wybrane do podziału: Rozwiązanie zadania 5: Podział względem zmiennej: 2, 4, 5 2 (podzielone) 4, 5 5 x =,33, x 2 =,33, x 3 = x 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

18 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (9/3) Iteracja 3 (c.d.) Zadanie 5 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 2 x 3 5 Zadanie 6 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 x 3 5 Rozwiązanie x =, x 2 =, x 3 =,43 f opt = 4,857,333 2 Zadanie 7 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 2 x 3 5 Zadanie sprzeczne x 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8

19 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (/3) Iteracja 4 Lista rozpatrywanych zadań: Zadania usuwane z listy: Lista zadań po modyfikacji: Zadania wybrane do podziału: Rozwiązanie zadania 6: Podział względem zmiennej: 4, 5, 6, 7 5 (podzielone), 7 (sprzeczne) 4, 6 6 x =, x 2 =, x 3 =,43 x 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9

20 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (/3) Iteracja 4 (c.d.) Zadanie 6 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 x 3 5 Zadanie 8 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 x 3 Rozwiązanie x =,67, x 2 =, x 3 = f opt = 3,5,43 2 Zadanie 9 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x x 3 5 Zadanie sprzeczne 5 x 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2

21 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (2/3) Iteracja 5 Lista rozpatrywanych zadań: Zadania usuwane z listy: Lista zadań po modyfikacji: 8 Rozwiązanie zadania 8: 4, 6, 8, 9 6 (podzielone), 9 (sprzeczne) 4 (f opt (4) = 3 < f opt (8) = 3,5) x =,67, x 2 =, x 3 = Spełnione warunki całkowitoliczbowości. Rozwiązanie zadania 8 jest rozwiązaniem optymalnym zadania wyjściowego. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2

22 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (3/3) Zestawienie rozwiązywanych zadań Numer zadania Optymalna wartość funkcji celu Nowogenerowane zadania Rozwiązanie optymalne Zakresy zmienności x 2 x 3 x x 2 x 3 [, 5] [, 5] 2,667 2, , 3 2 [, 2] [, 5] 2 2,286 5,74 4, 5 3 [3, 5] [, 5] Zadanie sprzeczne 4 [, 2] [, ] 2, [, 2] [, 5],333, ,7 6 [, ] [, 5],43 4,857 8,9 7 [, 2] [, 5] Zadanie sprzeczne 8 [, ] [, ],67 3,5 9 [, 2] [2, 5] Zadanie sprzeczne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 22

23 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Reguły postępowania w metodzie podziału i ograniczeń (/) Algorytm W każdej iteracji wykonujemy następujące operacja: Porządkowanie listy zadań zrelaksowanych. Sprawdzenie kryterium optymalności i w przypadku jego spełnienia zakończenie obliczeń. Wybór zadania do podziału. Wybór zmiennej, względem której dokonamy podziału. Podział zadania, rozwiązanie nowo utworzonych zadań i umieszczenie ich na liście zadań zrelaksowanych. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 23

24 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zaokrąglanie rozwiązań(/2) Przykład 2.3 Zadanie wyjściowe f(x, x 2 ) = 2x + x 2 max 7x + 4x 2 3 x, x 2 x, x 2 - całkowite Zadanie zrelaksowane f(x, x 2 ) = 2x + x 2 max 7x + 4x 2 3 x, x 2 B x 2 O A ( 3 / 7, ) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 24

25 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zaokrąglanie rozwiązań(2/2) Porównanie wartości funkcji kryterium x 2 (, 3) (, 2) (, ) (, ) (, ) (, ) f(, ) =, f(, ) =, f(, 2) = 22, f(, 3) = 33, f(, ) = 2, f(, ) = 32, x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 25

26 2.3. Metoda cięć Konstrukcja równania cięcia (/6) Przykład 2.4 x + x 2 max x + 2x x + 3x x, x 2 x, x 2 - całkowite x + x 2 max x + 2x 2 + x 3 = 32 8x + 3x 2 + x 4 = 224 x, x 2, x 3, x 4 cx max Baza x x 2 x 3 x 4 b x 2,5455,33,6667 x,99,66,6667 c j z j,4545,33 2,3333 x,99x 3 +,66x 4 =,6667 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 26

27 2.3. Metoda cięć Konstrukcja równania cięcia (2/6) Wyprowadzenie wzoru Równanie cięcia odpowiadające zmiennej bazowej x : x,99x 3 +,66x 4 =,6667 Ponieważ dla współczynników przy zmiennych niebazowych zachodzą związki: tak więc: [,99],99 [,66],66 [,99]x 3,99x 3 [,66]x 4,66x 4 Dodając stronami te nierówności, otrzymujemy: [,99]x 3 + [,66]x 4,99x 3 +,66x 4 Do obu stron dodajemy zmienną x : (2.) x + [,99]x 3 + [,66]x 4 x,99x 3 +,66x 4 =,6667 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 27

28 2.3. Metoda cięć Konstrukcja równania cięcia (3/6) Wyprowadzenie wzoru (cd.) stąd x + [,99]x 3 + [,66]x 4,6667 Lewa strona może przyjąć jedynie wartość całkowitą, stąd: x + [,99]x 3 + [,66]x 4 [,6667] Wprowadzamy zmienna bilansującą x 5: x + [,99]x 3 + [,66]x 4 + x 5 = [,6667] (2.2) Odejmujemy stronami (2.) od (2.2): ([,99] +,99)x 3 + ([,66],66)x 4 + x 5 = [,6667],6667 po uporządkowaniu:,99x 3,66x 4 + x 5 =,6667 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 28

29 2.3. Metoda cięć Konstrukcja równania cięcia (4/6) Rozszerzenie tablicy simpleksowej cx max Baza x x 2 x 3 x 4 x 5 b x 2 x,5455,99,33,66,6667,6667 x 5,99,66,6667 c j z j,4545,33 2,3333 Dualna metoda simpleks x 2 x x 4 cx max Baza x x 2 x 3 x 4 5 c j z j x 5,5 6,5 b 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 29

30 2.3. Metoda cięć Konstrukcja równania cięcia (5/6) Interpretacja geometryczna,99x 3,66x 4 + x 5 =, x 33 2 x x 33 3 x4 + x5 = x 3 = 32 x 2x 2 x 4 = 224 8x 3x 2 2 (32 x 2x2) (224 8x 3x2) 33 x + x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

31 2.3. Metoda cięć Konstrukcja równania cięcia (6/6) Interpretacja geometryczna (c.d.),67 O x 2 C 2 (,) B C (,) C 3 (,),67 x C 2 C C 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

32 2.3. Metoda cięć Reguły postępowania w metodzie cięć (/) Algorytm Rozwiązanie zadania zrelaksowanego. Wybór równania wykorzystywanego do konstrukcji równania cięcia (wiersz i). Konstrukcja równania cięcia: ( ij ] aij ) [ j n+ zmienne niebazowe a x + x = [ b ] b Przejście do nowej bazy dopuszczalnej. Zakończenie postępowania. i i T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 32

33 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie produkcyjno-modernizacyjne (/5) Przykład 2.5 Czas pracy Maszyna Maszyna 2 Zysk jednostkowy Maszyna 2 2 Wariant 2 2 Produkty Zwiększenie czasu pracy Łączny koszt modernizacji nie może przekroczyć 25. Maksymalny czas pracy 3 2 Koszt Należy dokonać takiej modernizacji maszyn, by zmaksymalizować zysk przy zwiększonych możliwościach produkcyjnych. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

34 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie produkcyjno-modernizacyjne (2/5) Model matematyczny Cel Celem jest dokonanie takiej modernizacji maszyn, by zmaksymalizować zysk otrzymany z wytworzenia produktów P, P 2, P 3. Zmienne decyzyjne x planowany rozmiar produkcji wyrobu P, x 2 planowany rozmiar produkcji wyrobu P 2, x 3 planowany rozmiar produkcji wyrobu P 3, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 34

35 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie produkcyjno-modernizacyjne (3/5) Model matematyczny (c.d.) x 4 x 5 x 6 x 7 = = = =, jeżeli czas pracy maszyny zostanie zwiększony o 7 jednostek, w przeciwnym wypadku, jeżeli eli czas pracy maszyny zostanie zwiększony o6 jednostek, w przeciwnym wypadku, jeżeli czas pracy maszyny 2 zostanie zwiększony o jednostek, w przeciwnym wypadku, jeżeli czas pracy maszyny 2 zostanie zwiększony o 3 jednostek, w przeciwnym wypadku T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 35

36 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie produkcyjno-modernizacyjne (4/5) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu Warunki ograniczające f(x, x 2, x 3 ) = x + 2x 2 + 3x 3 max ograniczenie związane z czasem pracy maszyny : x + 3x 2 + 2x x 4 + 6x 5 ograniczenie związane z czasem pracy maszyny 2: warunek budżetowy: 2x + 2x 2 + 6x x 6 + 3x 7 45x 4 + 7x x 6 + 8x 7 25 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 36

37 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie produkcyjno-modernizacyjne (5/5) Model matematyczny i rozwiązanie optymalne Warunki określające możliwość jednoczesnej realizacji wariantów: dla maszyny : dla maszyny 2: warunki nieujemności: warunki dodatkowe: Rozwiązanie optymalne x 4 + x 5 x 6 + x 7 x, x 2, x 3 x 4, x 5, x 6, x 7 {, } x =, x 2 = 8,7, x 3 = 5,43, x 4 =, x 5 =, x 6 =, x 7 = Wartość funkcji celu jest równa 33,7 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 37

38 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Optymalizacja planu wydawniczego (/5) Przykład 2.6 Przedmiot Rodzaj skryptu Prognoza sprzedaży Zarządzanie nowe wydanie 25 Matematyka wznowienie 3 Statystyka nowe wydanie 2 Statystyka matematyczna nowe wydanie 5 Statystyka opisowa wznowienie 5 Finanse nowe wydanie 8 Rachunkowość nowe wydanie 3 Rachunkowość II wznowienie 35 Angielski nowe wydanie 5 Francuski nowe wydanie 35 Nad skryptami mogą pracować redaktorzy: Jerzy 48 godzin, Krystyna 32 godzin, Maria 35 godzin. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 38

39 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Optymalizacja planu wydawniczego (2/5) Przykład 2.6 (c.d.) Skrypt Zarządzanie Matematyka Statystyka Statystyka matematyczna Statystyka opisowa Finanse Rachunkowość Rachunkowość II Angielski Francuski Jerzy Krystyna Wydane zostaną: - co najwyżej dwa skrypty ze statystyki, - co najwyżej jeden skrypt z rachunkowości, - matematyka albo zarządzanie. Należy określić najlepszy plan wydawniczy. Maria T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 39

40 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Optymalizacja planu wydawniczego (3/5) Model matematyczny Cel Ustalenie planu wydawniczego, który maksymalizuje łączną, planowaną wielkość sprzedaży Zmienne decyzyjne Zmienna x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x wydanie skryptu: Opis zmiennej Zarządzanie Matematyka Statystyka Statystyka matematyczna Statystyka opisowa Finanse Rachunkowość Rachunkowość II Angielski Francuski Wartość {, } {, } {, } {, } {, } {, } {, } {, } {, } {, } T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

41 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Optymalizacja planu wydawniczego (4/5) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu 25x + 3x 2 + 2x 3 + 5x 4 + 5x 5 + 8x 6 + 3x x 8 + 5x x max Warunki ograniczające Jerzy - co najwyżej 48 godzin: 22x + 3x 2 + 9x 3 + 6x 4 + 9x 5 + 3x 9 48 Krystyna - co najwyżej 32 godzin: 3x + 9x 2 + 5x x 6 + 4x 32 Maria - co najwyżej 35 godzin: 2x 3 + 9x 4 + 2x 5 + x 6 + 2x 7 + 8x x 9 + 3x 35 Nie więcej niż dwa skrypty ze statystyki: x 3 + x 4 + x 5 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

42 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Optymalizacja planu wydawniczego (5/5) Model matematyczny i rozwiązanie optymalne Warunki ograniczające (c.d.) W planie nie może się znaleźć więcej niż jeden skrypt z rachunkowości: x 7 + x 8 W planie musi się znaleźć albo skrypt z zarządzania albo matematyki: x + x 2 = Dodatkowe warunki na zmienne decyzyjne: Rozwiązanie optymalne Rozwiązanie Rozwiązanie 2 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x {, } x x x 2 x 2 x 3 x 3 Optymalna wartość funkcji celu wynosi 8. x 4 x 4 x 5 x 5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 42 x 6 x 6 x 7 x 7 x 8 x 8 x 9 x 9 x x

43 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie lokalizacji (/4) Przykład 2.7 Proponowana lokalizacja Rejony A, 5, 7 B, 2, 5, 7 C, 3, 5 D 2, 4, 5 E 3, 4, 6 F 4, 5, 6 G, 5, 6, 7 Należy znaleźć najmniejszą liczbę zrelokalizowanych komisariatów pokrywających swym zasięgiem wszystkie siedem rejonów. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 43

44 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie lokalizacji (2/4) Model matematyczny Cel Określenie najmniejszej liczby relokalizowanych komisariatów, aby każdy rejon był pod opieką przynajmniej jednego komisariatu. Zmienne decyzyjne Zmienna x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 Proponowana lokalizacja komisariatu: Opis zmiennej A B C D E F G Wartość {, } {, } {, } {, } {, } {, } {, } T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 44

45 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie lokalizacji (3/4) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu Warunki ograniczające Rejon : Rejon 2: Rejon 3: Rejon 4: x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 min x + x 2 + x 3 + x 7 x 2 + x 4 x 3 + x 5 x 4 + x 5 + x 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 45

46 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie lokalizacji (4/4) Model matematyczny i rozwiązanie optymalne Rejon 5: Rejon 6: Rejon 7 x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 7 x 5 + x 6 + x 7 x + x 2 + x 7 Dodatkowe warunki na zmienne decyzyjne: x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 {, } Rozwiązanie optymalne x x 2 x 3 x 4 Optymalna wartość funkcji celu wynosi 2. x 5 x 6 x 7 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 46

47 Pora na relaks T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 47

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

Metody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik

Metody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik Metody wielokryterialne Tadeusz Trzaskalik 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zadanie wielokryterialne Zadanie wielokryterialne programowania liniowego Przestrzeń decyzyjna Zbiór rozwiązań za dopuszczalnych

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE

PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE METODA PODZIAŁU I OGRANICZEŃ Przykład 6. Metoda podziału i ograniczeń Rozwiązać zadanie z Przykładu 1. metodą podziału i ograniczeń, przy czym wielkość produkcji wyrobu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w zagadnieniach finansowych i logistycznych Linear programming in financial and logistics problems Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne

BADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko

Bardziej szczegółowo

zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w

zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w Sformułowanie problemu Zastosowania Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC)

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) * ) && &&& % ( - &&(() n && - n% ( ' n!"#$ Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) (( & ' nn nn Zadanie (-) nazywamy zadaniem regularnym Zadanie (-) nazywamy zadaniem PLC Stosownie do tego podziału

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007

ALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007 ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie projektami. Tadeusz Trzaskalik

Zarządzanie projektami. Tadeusz Trzaskalik Zarządzanie projektami Tadeusz Trzaskalik 7.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Projekt Sieć czynności zynność bezpośrednio poprzedzająca Zdarzenie, zdarzenie początkowe, zdarzenie końcowe Właściwa numeracja

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Przykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu

Przykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu Analiza wrażliwości: współczynników funkcji celu analiza wrażliwości pozwala odpowiedzieć na pytanie, w jakich granicach mogą się zmieniać te parametry, aby dotychczasowe rozwiązanie było optymalne, wyrazów

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja

Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja 4 maj 2009 Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 1 Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja 4 maj 2009 Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 2 Plan zajęć Rozwiązywanie równań

Bardziej szczegółowo

Programowanie matematyczne

Programowanie matematyczne dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE)

PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE) PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE) Przykład 14. Zakład zamierza rozpocząć produkcję wyrobów W 1 i W 2. Wśród środków produkcyjnych, które zostaną użyte w produkcji dwa są limitowane. Limity te wynoszą:

Bardziej szczegółowo

) a j x j b; x j binarne (j N) całkowitoliczbowe; przyjmujemy (bez straty ogólności): c j > 0, 0 <a j b (j N), P n

) a j x j b; x j binarne (j N) całkowitoliczbowe; przyjmujemy (bez straty ogólności): c j > 0, 0 <a j b (j N), P n PDczęść4 8. Zagadnienia załadunku 8.1 Klasyczne zagadnienia załadunku (ozn. N = {1, 2,..., n} Binarny problem ( (Z v(z =max c j x j : a j x j b; x j binarne (j N zakładamy, że wszystkie dane sa całkowitoliczbowe;

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne

Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Piotr Kaczyński Badania Operacyjne Notatki do ćwiczeń wersja 0. Warszawa, 7 stycznia 007 Spis treści Programowanie

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja

Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 1 Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 2 Plan zajęć Rozwiązywanie równań nieliniowych -metoda bisekcji

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały) Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Programowanie liniowe

Wykład 6. Programowanie liniowe Wykład 6. Programowanie liniowe Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2, S 3. Zasoby tych środków wynoszą odpowiednio,

Bardziej szczegółowo

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie Tadeusz Trzaskalik 8.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Drzewo rozpinające Minimalne drzewo rozpinające Najkrótsza droga w sieci Wierzchołek początkowy Maksymalny przepływ w sieci Źródło Ujście

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Modelowanie całkowitoliczbowe

Modelowanie całkowitoliczbowe 1 Modelowanie całkowitoliczbowe Zmienne binarne P 1 Firma CMC rozważa budowę nowej fabryki w miejscowości A lub B lub w obu tych miejscowościach. Bierze również pod uwagę budowę co najwyżej jednej hurtowni

Bardziej szczegółowo

c j x x

c j x x ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1 A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b

Bardziej szczegółowo

- modele liniowe. - modele nieliniowe.

- modele liniowe. - modele nieliniowe. Model decyzyjny sformalizowane ujęcie działania związanego z podejmowaniem decyzji. Decyzje dopuszczalne decyzje uwzględniające warunki ograniczające, jest ich wiele. Decyzja optymalna decyzja dopuszczalna

Bardziej szczegółowo

4. PROGRAMOWANIE LINIOWE

4. PROGRAMOWANIE LINIOWE 4. PROGRAMOWANIE LINIOWE Programowanie liniowe jest jednym z działów badań operacyjnych. Celem badań operacyjnych jest pomoc w podejmowaniu optymalnych z pewnego punktu widzenia decyzji. Etapy rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7 Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe Ćw. L. 7 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym zapisem

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

1 Programowanie całkowitoliczbowe PLC

1 Programowanie całkowitoliczbowe PLC Metody optymalizacji, wykład nr 9 Paweł Zieliński Programowanie całkowitoliczbowe PLC Literatura [] S.P. Bradley, A.C. Hax, T. L. Magnanti Applied Mathematical Programming Addison-Wesley Pub. Co. (Reading,

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny.

Badania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny. Badania operacyjne Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 michal.kulej@pwr.wroc.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia wykładu: egzamin

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:

ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +

Bardziej szczegółowo

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu.

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WMRiT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/piotr.sawicki.put

Bardziej szczegółowo

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

Dualność w programowaniu liniowym

Dualność w programowaniu liniowym 2016-06-12 1 Dualność w programowaniu liniowym Badania operacyjne Wykład 2 2016-06-12 2 Plan wykładu Przykład zadania dualnego Sformułowanie zagadnienia dualnego Symetryczne zagadnienie dualne Niesymetryczne

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

etody programowania całkowitoliczboweg

etody programowania całkowitoliczboweg etody programowania całkowitoliczboweg Wyróżnia się trzy podejścia do rozwiazywania zagadnień programowania całkowitoliczbowego metody przegladu pośredniego (niebezpośredniego), m.in. metody podziału i

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału Problem przydziału Przykład Firma KARMA zamierza w okresie letnim przeprowadzić konserwację swoich urządzeń; mieszalników,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI Zagadnienie transportowe Klasyczne zagadnienie transportowe Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT).

KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). Przez klasyczne zagadnienie transportowe rozumiemy problem znajdowania najtańszego programu przewozowego jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania (m liczba

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

łączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.)

łączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.) 14. Zadanie przydziału z ustalonym poziomem produkcji i limitowanym czasem pracy planowanie wielkości produkcji (wersja uproszczona) Producent może wytwarzać n rodzajów wyrobów. Każdy z wyrobów można być

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe

Programowanie nieliniowe Rozdział 5 Programowanie nieliniowe Programowanie liniowe ma zastosowanie w wielu sytuacjach decyzyjnych, jednak często zdarza się, że zależności zachodzących między zmiennymi nie można wyrazić za pomocą

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH

OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH Prowadzący: dr Tomasz Pisula e-mail: tpisula@prz.edu.pl Treści kształcenia:

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego: Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te

Bardziej szczegółowo

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych & " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia

Bardziej szczegółowo

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy

Bardziej szczegółowo

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11)

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11) Microsoft EXCEL - SOLVER 2. Elementy optymalizacji z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

STUDIA I STOPNIA EGZAMIN Z EKONOMETRII

STUDIA I STOPNIA EGZAMIN Z EKONOMETRII NAZWISKO IMIĘ Nr albumu Nr zestawu Zadanie 1. Dana jest macierz Leontiefa pewnego zamkniętego trzygałęziowego układu gospodarczego: 0,64 0,3 0,3 0,6 0,88 0,. 0,4 0,8 0,85 W okresie t stosunek zuŝycia środków

Bardziej szczegółowo