Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
|
|
- Zbigniew Niemiec
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik
2 .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania całkowitoliczbowego Mieszane zadanie programowania całkowitoliczbowego Relaksacja zadania Metoda zaokrągleń Metoda podziału i ograniczeń Metoda cięć Zmienne binarne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2
3 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie czyste (/7) Przykład 2. Zadanie wyjściowe f(x, x 2 ) = x + x 2 max x + 2x x + 3x x, x 2 x, x 2 - całkowite Zadanie zrelaksowane f(x, x 2 ) = x + x 2 max x + 2x x + 3x x, x 2 O x 2 A ( 2 / 3, 2 / 3 ) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
4 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie czyste (2/7) Podział względem x Zadanie 2 x + x 2 max x +2x x +3x x x, x 2 Zadanie f(x, x 2 ) = x + x 2 max x + 2x x + 3x x, x 2 2 / x 3 Zadanie 3 x + x 2 max x +2x x +3x x x, x 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
5 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie czyste (3/7) Zbiory rozwiązań dopuszczalnych zadań 2 i 3 Zadanie 2 O x 2 B C Zadanie 3 x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
6 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie czyste (4/7) Rozwiązania optymalne zadań 2 i 3 O x 2 x 2 Zadanie 2 B (, ) x O Zadanie 3 C (, 8 2 / 3 ) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
7 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie czyste (5/7) Podział względem x 2 Zadanie f(x, x 2 ) = x + x 2 max x + 2x x + 3x x, x 2 x 2 2 / 3 Zadanie 3 x + x 2 max x + 2x x + 3x x 2 x, x 2 Zadanie 2 x + x 2 max x + 2x x + 3x x 2 x, x 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
8 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie czyste (6/7) Zbiory rozwiązano dopuszczalnych zadań 2 i 3 O x 2 Zadanie 3 E D C Zadanie 2 x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8
9 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie czyste (7/7) Rozwiązania optymalne zadań 2 i 3 O x 2 Zadanie 2 D ( 7 / 9, ) x O x 2 Zadanie 3 E (, ) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9
10 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (/3) Geometryczna interpretacja zbioru rozwiązań dopuszczalnych f(x, x 2 ) = x + x 2 max x + 2x x + 3x x, x 2 x - całkowite O x 2 x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
11 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (2/3) Geometryczna interpretacja zbioru rozwiązań dopuszczalnych (c.d.) f(x, x 2 ) = x + x 2 max x + 2x x + 3x x, x 2 x 2 - całkowite O x 2 x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
12 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (3/3) Przykład 2.2 Zadanie wyjściowe 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 5 x 3 5 x 2, x 3 - całkowite Zadanie zrelaksowane 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 5 x 3 5 Rozwiązanie x = 2,667, x 2 = 2,667, x 3 = f opt = 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2
13 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (4/3) Iteracja Lista rozpatrywanych zadań: Zadania usuwane z listy: Lista zadań po modyfikacji: Zadania wybrane do podziału: Rozwiązanie zadania : Podział względem zmiennej: - x = 2,667, x 2 = 2,667, x 3 = x 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
14 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (5/3) Iteracja (c.d.) Zadanie 2 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 2 x 3 5 Rozwiązanie x = 2, x 2 = 2, x 3 =,286 f opt = 5,74 Zadanie 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 5 x , Zadanie 3 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x 3 x 2 5 x 3 5 Zadanie sprzeczne x 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
15 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (6/3) Iteracja 2 Lista rozpatrywanych zadań: Zadania usuwane z listy: Lista zadań po modyfikacji: Zadania wybrane do podziału: Rozwiązanie zadania 2: Podział względem zmiennej:, 2, 3 (podzielone), 3 (sprzeczne) 2 2 x = 2, x 2 = 2, x 3 =,286 x 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5
16 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (7/3) Iteracja 2 (c.d.) Zadanie 2 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 2 x 3 5 Zadanie 4 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 2 x 3 Rozwiązanie x = 2,33, x 2 = 2, x 3 = f opt = 3,286 Zadanie 5 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 2 x 3 5 Rozwiązanie x =,33, x 2 =,33, x 3 = f opt = 5 5 x 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6
17 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (8/3) Iteracja 3 Lista rozpatrywanych zadań: Zadania usuwane z listy: Lista zadań po modyfikacji: Zadania wybrane do podziału: Rozwiązanie zadania 5: Podział względem zmiennej: 2, 4, 5 2 (podzielone) 4, 5 5 x =,33, x 2 =,33, x 3 = x 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7
18 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (9/3) Iteracja 3 (c.d.) Zadanie 5 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 2 x 3 5 Zadanie 6 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 x 3 5 Rozwiązanie x =, x 2 =, x 3 =,43 f opt = 4,857,333 2 Zadanie 7 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 2 x 3 5 Zadanie sprzeczne x 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8
19 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (/3) Iteracja 4 Lista rozpatrywanych zadań: Zadania usuwane z listy: Lista zadań po modyfikacji: Zadania wybrane do podziału: Rozwiązanie zadania 6: Podział względem zmiennej: 4, 5, 6, 7 5 (podzielone), 7 (sprzeczne) 4, 6 6 x =, x 2 =, x 3 =,43 x 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9
20 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (/3) Iteracja 4 (c.d.) Zadanie 6 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 x 3 5 Zadanie 8 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x 2 x 3 Rozwiązanie x =,67, x 2 =, x 3 = f opt = 3,5,43 2 Zadanie 9 3x + 3x 2 + 3x 3 max 3x + 6x 2 + 7x 3 8 6x 3x 2 + 7x 3 8 x x x 3 5 Zadanie sprzeczne 5 x 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2
21 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (2/3) Iteracja 5 Lista rozpatrywanych zadań: Zadania usuwane z listy: Lista zadań po modyfikacji: 8 Rozwiązanie zadania 8: 4, 6, 8, 9 6 (podzielone), 9 (sprzeczne) 4 (f opt (4) = 3 < f opt (8) = 3,5) x =,67, x 2 =, x 3 = Spełnione warunki całkowitoliczbowości. Rozwiązanie zadania 8 jest rozwiązaniem optymalnym zadania wyjściowego. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2
22 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zadanie mieszane (3/3) Zestawienie rozwiązywanych zadań Numer zadania Optymalna wartość funkcji celu Nowogenerowane zadania Rozwiązanie optymalne Zakresy zmienności x 2 x 3 x x 2 x 3 [, 5] [, 5] 2,667 2, , 3 2 [, 2] [, 5] 2 2,286 5,74 4, 5 3 [3, 5] [, 5] Zadanie sprzeczne 4 [, 2] [, ] 2, [, 2] [, 5],333, ,7 6 [, ] [, 5],43 4,857 8,9 7 [, 2] [, 5] Zadanie sprzeczne 8 [, ] [, ],67 3,5 9 [, 2] [2, 5] Zadanie sprzeczne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 22
23 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Reguły postępowania w metodzie podziału i ograniczeń (/) Algorytm W każdej iteracji wykonujemy następujące operacja: Porządkowanie listy zadań zrelaksowanych. Sprawdzenie kryterium optymalności i w przypadku jego spełnienia zakończenie obliczeń. Wybór zadania do podziału. Wybór zmiennej, względem której dokonamy podziału. Podział zadania, rozwiązanie nowo utworzonych zadań i umieszczenie ich na liście zadań zrelaksowanych. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 23
24 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zaokrąglanie rozwiązań(/2) Przykład 2.3 Zadanie wyjściowe f(x, x 2 ) = 2x + x 2 max 7x + 4x 2 3 x, x 2 x, x 2 - całkowite Zadanie zrelaksowane f(x, x 2 ) = 2x + x 2 max 7x + 4x 2 3 x, x 2 B x 2 O A ( 3 / 7, ) x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 24
25 2.2. Metoda podziału i ograniczeń Zaokrąglanie rozwiązań(2/2) Porównanie wartości funkcji kryterium x 2 (, 3) (, 2) (, ) (, ) (, ) (, ) f(, ) =, f(, ) =, f(, 2) = 22, f(, 3) = 33, f(, ) = 2, f(, ) = 32, x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 25
26 2.3. Metoda cięć Konstrukcja równania cięcia (/6) Przykład 2.4 x + x 2 max x + 2x x + 3x x, x 2 x, x 2 - całkowite x + x 2 max x + 2x 2 + x 3 = 32 8x + 3x 2 + x 4 = 224 x, x 2, x 3, x 4 cx max Baza x x 2 x 3 x 4 b x 2,5455,33,6667 x,99,66,6667 c j z j,4545,33 2,3333 x,99x 3 +,66x 4 =,6667 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 26
27 2.3. Metoda cięć Konstrukcja równania cięcia (2/6) Wyprowadzenie wzoru Równanie cięcia odpowiadające zmiennej bazowej x : x,99x 3 +,66x 4 =,6667 Ponieważ dla współczynników przy zmiennych niebazowych zachodzą związki: tak więc: [,99],99 [,66],66 [,99]x 3,99x 3 [,66]x 4,66x 4 Dodając stronami te nierówności, otrzymujemy: [,99]x 3 + [,66]x 4,99x 3 +,66x 4 Do obu stron dodajemy zmienną x : (2.) x + [,99]x 3 + [,66]x 4 x,99x 3 +,66x 4 =,6667 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 27
28 2.3. Metoda cięć Konstrukcja równania cięcia (3/6) Wyprowadzenie wzoru (cd.) stąd x + [,99]x 3 + [,66]x 4,6667 Lewa strona może przyjąć jedynie wartość całkowitą, stąd: x + [,99]x 3 + [,66]x 4 [,6667] Wprowadzamy zmienna bilansującą x 5: x + [,99]x 3 + [,66]x 4 + x 5 = [,6667] (2.2) Odejmujemy stronami (2.) od (2.2): ([,99] +,99)x 3 + ([,66],66)x 4 + x 5 = [,6667],6667 po uporządkowaniu:,99x 3,66x 4 + x 5 =,6667 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 28
29 2.3. Metoda cięć Konstrukcja równania cięcia (4/6) Rozszerzenie tablicy simpleksowej cx max Baza x x 2 x 3 x 4 x 5 b x 2 x,5455,99,33,66,6667,6667 x 5,99,66,6667 c j z j,4545,33 2,3333 Dualna metoda simpleks x 2 x x 4 cx max Baza x x 2 x 3 x 4 5 c j z j x 5,5 6,5 b 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 29
30 2.3. Metoda cięć Konstrukcja równania cięcia (5/6) Interpretacja geometryczna,99x 3,66x 4 + x 5 =, x 33 2 x x 33 3 x4 + x5 = x 3 = 32 x 2x 2 x 4 = 224 8x 3x 2 2 (32 x 2x2) (224 8x 3x2) 33 x + x T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
31 2.3. Metoda cięć Konstrukcja równania cięcia (6/6) Interpretacja geometryczna (c.d.),67 O x 2 C 2 (,) B C (,) C 3 (,),67 x C 2 C C 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3
32 2.3. Metoda cięć Reguły postępowania w metodzie cięć (/) Algorytm Rozwiązanie zadania zrelaksowanego. Wybór równania wykorzystywanego do konstrukcji równania cięcia (wiersz i). Konstrukcja równania cięcia: ( ij ] aij ) [ j n+ zmienne niebazowe a x + x = [ b ] b Przejście do nowej bazy dopuszczalnej. Zakończenie postępowania. i i T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 32
33 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie produkcyjno-modernizacyjne (/5) Przykład 2.5 Czas pracy Maszyna Maszyna 2 Zysk jednostkowy Maszyna 2 2 Wariant 2 2 Produkty Zwiększenie czasu pracy Łączny koszt modernizacji nie może przekroczyć 25. Maksymalny czas pracy 3 2 Koszt Należy dokonać takiej modernizacji maszyn, by zmaksymalizować zysk przy zwiększonych możliwościach produkcyjnych. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem
34 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie produkcyjno-modernizacyjne (2/5) Model matematyczny Cel Celem jest dokonanie takiej modernizacji maszyn, by zmaksymalizować zysk otrzymany z wytworzenia produktów P, P 2, P 3. Zmienne decyzyjne x planowany rozmiar produkcji wyrobu P, x 2 planowany rozmiar produkcji wyrobu P 2, x 3 planowany rozmiar produkcji wyrobu P 3, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 34
35 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie produkcyjno-modernizacyjne (3/5) Model matematyczny (c.d.) x 4 x 5 x 6 x 7 = = = =, jeżeli czas pracy maszyny zostanie zwiększony o 7 jednostek, w przeciwnym wypadku, jeżeli eli czas pracy maszyny zostanie zwiększony o6 jednostek, w przeciwnym wypadku, jeżeli czas pracy maszyny 2 zostanie zwiększony o jednostek, w przeciwnym wypadku, jeżeli czas pracy maszyny 2 zostanie zwiększony o 3 jednostek, w przeciwnym wypadku T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 35
36 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie produkcyjno-modernizacyjne (4/5) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu Warunki ograniczające f(x, x 2, x 3 ) = x + 2x 2 + 3x 3 max ograniczenie związane z czasem pracy maszyny : x + 3x 2 + 2x x 4 + 6x 5 ograniczenie związane z czasem pracy maszyny 2: warunek budżetowy: 2x + 2x 2 + 6x x 6 + 3x 7 45x 4 + 7x x 6 + 8x 7 25 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 36
37 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie produkcyjno-modernizacyjne (5/5) Model matematyczny i rozwiązanie optymalne Warunki określające możliwość jednoczesnej realizacji wariantów: dla maszyny : dla maszyny 2: warunki nieujemności: warunki dodatkowe: Rozwiązanie optymalne x 4 + x 5 x 6 + x 7 x, x 2, x 3 x 4, x 5, x 6, x 7 {, } x =, x 2 = 8,7, x 3 = 5,43, x 4 =, x 5 =, x 6 =, x 7 = Wartość funkcji celu jest równa 33,7 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 37
38 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Optymalizacja planu wydawniczego (/5) Przykład 2.6 Przedmiot Rodzaj skryptu Prognoza sprzedaży Zarządzanie nowe wydanie 25 Matematyka wznowienie 3 Statystyka nowe wydanie 2 Statystyka matematyczna nowe wydanie 5 Statystyka opisowa wznowienie 5 Finanse nowe wydanie 8 Rachunkowość nowe wydanie 3 Rachunkowość II wznowienie 35 Angielski nowe wydanie 5 Francuski nowe wydanie 35 Nad skryptami mogą pracować redaktorzy: Jerzy 48 godzin, Krystyna 32 godzin, Maria 35 godzin. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 38
39 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Optymalizacja planu wydawniczego (2/5) Przykład 2.6 (c.d.) Skrypt Zarządzanie Matematyka Statystyka Statystyka matematyczna Statystyka opisowa Finanse Rachunkowość Rachunkowość II Angielski Francuski Jerzy Krystyna Wydane zostaną: - co najwyżej dwa skrypty ze statystyki, - co najwyżej jeden skrypt z rachunkowości, - matematyka albo zarządzanie. Należy określić najlepszy plan wydawniczy. Maria T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 39
40 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Optymalizacja planu wydawniczego (3/5) Model matematyczny Cel Ustalenie planu wydawniczego, który maksymalizuje łączną, planowaną wielkość sprzedaży Zmienne decyzyjne Zmienna x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x wydanie skryptu: Opis zmiennej Zarządzanie Matematyka Statystyka Statystyka matematyczna Statystyka opisowa Finanse Rachunkowość Rachunkowość II Angielski Francuski Wartość {, } {, } {, } {, } {, } {, } {, } {, } {, } {, } T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
41 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Optymalizacja planu wydawniczego (4/5) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu 25x + 3x 2 + 2x 3 + 5x 4 + 5x 5 + 8x 6 + 3x x 8 + 5x x max Warunki ograniczające Jerzy - co najwyżej 48 godzin: 22x + 3x 2 + 9x 3 + 6x 4 + 9x 5 + 3x 9 48 Krystyna - co najwyżej 32 godzin: 3x + 9x 2 + 5x x 6 + 4x 32 Maria - co najwyżej 35 godzin: 2x 3 + 9x 4 + 2x 5 + x 6 + 2x 7 + 8x x 9 + 3x 35 Nie więcej niż dwa skrypty ze statystyki: x 3 + x 4 + x 5 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4
42 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Optymalizacja planu wydawniczego (5/5) Model matematyczny i rozwiązanie optymalne Warunki ograniczające (c.d.) W planie nie może się znaleźć więcej niż jeden skrypt z rachunkowości: x 7 + x 8 W planie musi się znaleźć albo skrypt z zarządzania albo matematyki: x + x 2 = Dodatkowe warunki na zmienne decyzyjne: Rozwiązanie optymalne Rozwiązanie Rozwiązanie 2 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x {, } x x x 2 x 2 x 3 x 3 Optymalna wartość funkcji celu wynosi 8. x 4 x 4 x 5 x 5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 42 x 6 x 6 x 7 x 7 x 8 x 8 x 9 x 9 x x
43 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie lokalizacji (/4) Przykład 2.7 Proponowana lokalizacja Rejony A, 5, 7 B, 2, 5, 7 C, 3, 5 D 2, 4, 5 E 3, 4, 6 F 4, 5, 6 G, 5, 6, 7 Należy znaleźć najmniejszą liczbę zrelokalizowanych komisariatów pokrywających swym zasięgiem wszystkie siedem rejonów. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 43
44 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie lokalizacji (2/4) Model matematyczny Cel Określenie najmniejszej liczby relokalizowanych komisariatów, aby każdy rejon był pod opieką przynajmniej jednego komisariatu. Zmienne decyzyjne Zmienna x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 Proponowana lokalizacja komisariatu: Opis zmiennej A B C D E F G Wartość {, } {, } {, } {, } {, } {, } {, } T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 44
45 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie lokalizacji (3/4) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu Warunki ograniczające Rejon : Rejon 2: Rejon 3: Rejon 4: x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 min x + x 2 + x 3 + x 7 x 2 + x 4 x 3 + x 5 x 4 + x 5 + x 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 45
46 2.4. Przykłady wykorzystania programowania liniowego całkowitoliczbowego Zagadnienie lokalizacji (4/4) Model matematyczny i rozwiązanie optymalne Rejon 5: Rejon 6: Rejon 7 x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 7 x 5 + x 6 + x 7 x + x 2 + x 7 Dodatkowe warunki na zmienne decyzyjne: x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 {, } Rozwiązanie optymalne x x 2 x 3 x 4 Optymalna wartość funkcji celu wynosi 2. x 5 x 6 x 7 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 46
47 Pora na relaks T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 47
Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoRozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoMetoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie dynamiczne Tadeusz Trzaskalik 9.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Wieloetapowe procesy decyzyjne Zmienne stanu Zmienne decyzyjne Funkcje przejścia Korzyści (straty etapowe) Funkcja kryterium
Bardziej szczegółowoMetody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik
Metody wielokryterialne Tadeusz Trzaskalik 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zadanie wielokryterialne Zadanie wielokryterialne programowania liniowego Przestrzeń decyzyjna Zbiór rozwiązań za dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE
PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE METODA PODZIAŁU I OGRANICZEŃ Przykład 6. Metoda podziału i ograniczeń Rozwiązać zadanie z Przykładu 1. metodą podziału i ograniczeń, przy czym wielkość produkcji wyrobu
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowoStandardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1
Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowo( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa
Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w zagadnieniach finansowych i logistycznych Linear programming in financial and logistics problems Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne
DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoZadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby
Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.
BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoMetody Ilościowe w Socjologii
Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA DYSKRETNA
Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi
Bardziej szczegółowozadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w
Sformułowanie problemu Zastosowania Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoOptymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC)
* ) && &&& % ( - &&(() n && - n% ( ' n!"#$ Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) (( & ' nn nn Zadanie (-) nazywamy zadaniem regularnym Zadanie (-) nazywamy zadaniem PLC Stosownie do tego podziału
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) Zadanie zbilansowane Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowoALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007
ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki
Bardziej szczegółowoZarządzanie projektami. Tadeusz Trzaskalik
Zarządzanie projektami Tadeusz Trzaskalik 7.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Projekt Sieć czynności zynność bezpośrednio poprzedzająca Zdarzenie, zdarzenie początkowe, zdarzenie końcowe Właściwa numeracja
Bardziej szczegółowoRozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.2. Ćwiczenia komputerowe
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)
A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:
Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoPrzykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu
Analiza wrażliwości: współczynników funkcji celu analiza wrażliwości pozwala odpowiedzieć na pytanie, w jakich granicach mogą się zmieniać te parametry, aby dotychczasowe rozwiązanie było optymalne, wyrazów
Bardziej szczegółowoRównania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja
4 maj 2009 Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 1 Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja 4 maj 2009 Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 2 Plan zajęć Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 10
Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na
Bardziej szczegółowoProgramowanie matematyczne
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE)
PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE) Przykład 14. Zakład zamierza rozpocząć produkcję wyrobów W 1 i W 2. Wśród środków produkcyjnych, które zostaną użyte w produkcji dwa są limitowane. Limity te wynoszą:
Bardziej szczegółowo) a j x j b; x j binarne (j N) całkowitoliczbowe; przyjmujemy (bez straty ogólności): c j > 0, 0 <a j b (j N), P n
PDczęść4 8. Zagadnienia załadunku 8.1 Klasyczne zagadnienia załadunku (ozn. N = {1, 2,..., n} Binarny problem ( (Z v(z =max c j x j : a j x j b; x j binarne (j N zakładamy, że wszystkie dane sa całkowitoliczbowe;
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoRównania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja
Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 1 Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 2 Plan zajęć Rozwiązywanie równań nieliniowych -metoda bisekcji
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Piotr Kaczyński Badania Operacyjne Notatki do ćwiczeń wersja 0. Warszawa, 7 stycznia 007 Spis treści Programowanie
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy
Bardziej szczegółowoWykład 6. Programowanie liniowe
Wykład 6. Programowanie liniowe Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2, S 3. Zasoby tych środków wynoszą odpowiednio,
Bardziej szczegółowoAlgorytm simplex i dualność
Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy
Bardziej szczegółowoProgramowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie Tadeusz Trzaskalik 8.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Drzewo rozpinające Minimalne drzewo rozpinające Najkrótsza droga w sieci Wierzchołek początkowy Maksymalny przepływ w sieci Źródło Ujście
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoModelowanie całkowitoliczbowe
1 Modelowanie całkowitoliczbowe Zmienne binarne P 1 Firma CMC rozważa budowę nowej fabryki w miejscowości A lub B lub w obu tych miejscowościach. Bierze również pod uwagę budowę co najwyżej jednej hurtowni
Bardziej szczegółowoc j x x
ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1
A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b
Bardziej szczegółowo- modele liniowe. - modele nieliniowe.
Model decyzyjny sformalizowane ujęcie działania związanego z podejmowaniem decyzji. Decyzje dopuszczalne decyzje uwzględniające warunki ograniczające, jest ich wiele. Decyzja optymalna decyzja dopuszczalna
Bardziej szczegółowo4. PROGRAMOWANIE LINIOWE
4. PROGRAMOWANIE LINIOWE Programowanie liniowe jest jednym z działów badań operacyjnych. Celem badań operacyjnych jest pomoc w podejmowaniu optymalnych z pewnego punktu widzenia decyzji. Etapy rozwiązywania
Bardziej szczegółowoSpis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7
Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe Ćw. L. 7 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym zapisem
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowo1 Programowanie całkowitoliczbowe PLC
Metody optymalizacji, wykład nr 9 Paweł Zieliński Programowanie całkowitoliczbowe PLC Literatura [] S.P. Bradley, A.C. Hax, T. L. Magnanti Applied Mathematical Programming Addison-Wesley Pub. Co. (Reading,
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:
A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.
Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej
Bardziej szczegółowoAgenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu.
Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WMRiT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/piotr.sawicki.put
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowo1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną
binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI
Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji
Bardziej szczegółowoDualność w programowaniu liniowym
2016-06-12 1 Dualność w programowaniu liniowym Badania operacyjne Wykład 2 2016-06-12 2 Plan wykładu Przykład zadania dualnego Sformułowanie zagadnienia dualnego Symetryczne zagadnienie dualne Niesymetryczne
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoetody programowania całkowitoliczboweg
etody programowania całkowitoliczboweg Wyróżnia się trzy podejścia do rozwiazywania zagadnień programowania całkowitoliczbowego metody przegladu pośredniego (niebezpośredniego), m.in. metody podziału i
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.
Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału
WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału Problem przydziału Przykład Firma KARMA zamierza w okresie letnim przeprowadzić konserwację swoich urządzeń; mieszalników,
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny.
Badania operacyjne Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 michal.kulej@pwr.wroc.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia wykładu: egzamin
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe
BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI Zagadnienie transportowe Klasyczne zagadnienie transportowe Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania
Bardziej szczegółowoKLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT).
KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). Przez klasyczne zagadnienie transportowe rozumiemy problem znajdowania najtańszego programu przewozowego jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania (m liczba
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowołączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.)
14. Zadanie przydziału z ustalonym poziomem produkcji i limitowanym czasem pracy planowanie wielkości produkcji (wersja uproszczona) Producent może wytwarzać n rodzajów wyrobów. Każdy z wyrobów można być
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe
Rozdział 5 Programowanie nieliniowe Programowanie liniowe ma zastosowanie w wielu sytuacjach decyzyjnych, jednak często zdarza się, że zależności zachodzących między zmiennymi nie można wyrazić za pomocą
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia
Bardziej szczegółowoIwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie. Katedra Badań Operacyjnych UŁ
1 Iwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie Katedra Badań Operacyjnych UŁ 2 Programowanie celowe W praktycznych sytuacjach podejmowania decyzji często występuje kilka celów. Problem pojawia
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH
POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH Prowadzący: dr Tomasz Pisula e-mail: tpisula@prz.edu.pl Treści kształcenia:
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:
Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te
Bardziej szczegółowoAgenda. Optymalizacja w transporcie. Piotr Sawicki WIT PP, ZST 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu.
Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI, dr hab. inż. Zakład Systemów Transportowych WIT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl piotr.sawicki.pracownik.put.poznan.pl
Bardziej szczegółowo