EMIL PANEK SŁABY I BARDZO SILNY EFEKT MAGISTRALI W NIESTACJONARNEJ GOSPODARCE GALE A Z GRANICZNĄ TECHNOLOGIĄ

Transkrypt

1 PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LX ZESZYT EIL PANEK SŁABY I BARDZO SILNY EFEKT AGISTRALI W NIESTACJONARNEJ GOSPODARCE GALE A Z GRANICZNĄ TECHNOLOGIĄ J. von Neumann zaproponował liniow model gospodarki (model von Neumanna, ), w kórm zdefiniował pojęcie sanu równowagi ekonomicznej opare na idei równości echnologicznch i ekonomicznch efeków produkcji. Dalsze badania nad modelem von Neumanna doprowadził do powsania całej eorii neumannowskiej równowagi ekonomicznej. Badania w m kierunku rozpoczęła międz innmi grupa ekonomisów i maemaków pod kierunkiem Samuelsona (196), kór sformułował hipoezę, że w długich okresach czasu (horzonach gospodarki) opmalne proces wzrosu powinn przebiegać po ścieżkach wznaczonch przez neumannowską równowagę ekonomiczną. Rozwój gospodarki wzdłuż akich ścieżek powinien bć m dłuższ, im dłuższ jes posulowan horzon gospodarki. Obszar obję neumannowską równowagą ekonomiczną przjęło się nazwać magisralą (na wzór magisrali auosrad w ruchu drogowm). Pionierska praca J. von Neumanna zapocząkowała cał nur badań, kór w II połowie XX w. doprowadził do powsania w ekonomii maemacznej subdscplin dzisiaj znanej jako eoria magisral. W bogaej lieraurze przedmiou punk ciężkości kładzie się na badanie zw. efeku magisrali w różnch warianach sacjonarnch gospodarek pu Neumanna Gale a Leoniefa (ze sałą w czasie echnologią; zob. np. bibliografię w prac Panek, 211). Naomias nieliczne są prace poświęcone efekowi magisrali w niesacjonarnch gospodarkach ze zmienną echnologią, zob. Ganz (198), Joshi (1997), Keeler (1972). Wzwanie akie podejmujem w arkule. Inspiracją do jego napisania bła publikacja auora (213). Obowiązują oznaczenia sosowane w pracach Panek (211, 213). 1. ODEL NIESTACJONARNEJ GOSPODARKI GALE A Z GRANICZNĄ TECHNOLOGIĄ. PODSTAWOWE ZAŁOŻENIA Zakładam, że czas zmienia się skokowo, =,1,. Zbiór T = {,1,, 1 } nazwam horzonem gospodarki, okres końcow 1 definiuje długość horzonu T. W gospodarce Gale a zużwa się i wwarza n owarów, kórch liczba nie zmienia się w czasie. Przez x( = (x 1 (,, x n () oznaczam wekor owarów zużwanch (nazwam go wekorem nakładów lub zużcia produkcjnego), a przez

2 292 Emil Panek = ( 1 (,, n () wekor owarów wwarzanch w gospodarce w okresie (nazwam go wekorem wników lub produkcji). Jeżeli z wekora nakładów x( możliwe jes wworzenie wekora produkcji, wed o parze (x(, ) mówim, że opisuje echnologicznie dopuszczaln proces produkcji (w okresie. Zbiór 2n ( R Z wszskich echnologicznie dopuszczalnch procesów produkcji worz zw. przesrzeń produkcjną w okresie. Inkluzja (x, Z( oznacza, że w świele echnologii jaką dsponuje gospodarka w okresie, z wekora nakładów x możliwe jes wworzenie wekora produkcji. W razie porzeb będziem zamiennie sosować akże zapis (x(, ) Z(. O przesrzeniach produkcjnch Z( zakładam, że dla =,1, spełniają nasępujące warunki (zob. np. Panek, 23, rozdz. 5): (G1) ( x, Z ( (warunek proporcjonalności nakładów i wników), (G2) ( x i i, ) Z(, i 1, x x, Z( (warunek addwności procesów produkcjnch), (G3) ( x ) (warunek braku rogu obfiości), (G4) (możliwość marnorawswa nakładów), (G5) Z ( (możliwość marnorawswa moc produkcjnch), (G6) przesrzenie produkcjne Z( są zbiorami domknięmi w R 2n, (G7) Z ( Z ( 1) Z i Z jes najmniejszm zbiorem domknięm w R 2n zawierającm wszskie przesrzenie produkcjne Z(, spełniającm warunki (G1) (G6) (rozwój echnologii w gospodarce zwiększa z czasem jej możliwości wwórcze). Przesrzenie produkcjne Z(, =,1,, spełniające warunki (G1) (G6) nazwam gale owskimi. Zbiór Z nazwam graniczną przesrzenią produkcjną (będziem eż zamiennie pisać, że przesrzeń Z opisuje graniczną echnologię w niesacjonarnej gospodarce Gale a). Zapis (x, Z oznacza, że w świele granicznej echnologii, w niesacjonarnej gospodarce Gale a, z nakładów x możliwe jes wworzenie produkcji. Gospodarkę, kórej przesrzeń produkcjna Z(, Z spełniają warunki (G1) (G7) nazwam niesacjonarną gospodarką Gale a z graniczną echnologią. Twierdzenie 1 Jeżeli przesrzenie produkcjne Z(, Z spełniają warunki (G1) (G7), o ( x, Z ( x(, ) Z (, =,1, lim( x(, ) )

3 Słab i bardzo siln efek magisrali w niesacjonarnej gospodarce Gale a z graniczną echnologią 293 (uaj i wszędzie dalej dla jednoznaczności przjmujem, że lim a( a lim a( a, a a i ). i Dowód. ( ) Niech (x, Z). Uwórzm ciąg x (,, w kórm ( x( x) oraz argmin ') Z ( '. (1) Ciąg aki isnieje, gdż dla każdego zadanie (1) ma rozwiązanie (norma jes bowiem funkcją ciągłą, a zbior ( x) ' ') Z( są zware). Pokażem, że ak zbudowan ciąg jes zbieżn do granic (x,. Fakcznie, ponieważ ( x( x), wsarcz wkazać, że lim. Z inkluzji Z ( Z ( 1)... Z wnioskujem, że 1), (2) j. ciąg ( jes ograniczon, więc zawiera podciąg ( ) k k1 zbieżn do pewnej granic. Załóżm, że. Z definicji przesrzeni Z(, Z wnika, że (3) (przpominam, że zapis a b oznacza a b oraz a b). Niech ~ 1 ( 2 Wówczas ~ i ~ ) Z (zgodnie z (G5)). Jednocześnie ~ ) dom Z( (smbolem dom A oznaczam najmniejsz zbiór domknię zawierając A). Isonie, gdb ~ ) dom Z(, o isniałb ciąg procesów ~ ( ) Z (, =,1,, zbieżn do ( x, ~ ), gdzie ~. Zgodnie z (3) co przecz definicji (1) ciągu. ~, ( Zaem lim ( ). Wówczas na podsawie (2) wnioskujem, że lim. k k ( ) Ponieważ (x(, ) Z( Z, =,1, oraz lim( x(, ) i graniczna przesrzeń produkcjna Z jes domknięa w R 2n, zaem (x, Z.

4 294 Emil Panek n Przesrzenie produkcjne Z(, Z są sożkami domknięmi w R 2 z wierzchołkami w. Ineresują nas nierwialnie proces (x,, j. elemen zbiorów Z(\{}, Z \{}. 2. TECHNOLOGICZNA I EKONOICZNA EFEKTYWNOŚĆ PRODUKCJI. RÓWNOWAGA VON NEUANNA W GOSPODARCE Z GRANICZNĄ TECHNOLOGIĄ Weźm proces (x,. Wówczas, zgodnie z (G3), mam x. Liczbę nazwam wskaźnikiem echnologicznej efekwności procesu (x,. Funkcja α jes ciągła na Z(\{} oraz Z \{} i dodanio jednorodna sopnia (Panek, 23, rozdz. 5, w. 5.2.). Liczb max, (4) Z ( \{} max (5) Z \{} nazwam odpowiednio: opmalnm wskaźnikiem echnologicznej efekwności produkcji w niesacjonarnej gospodarce Gale a w okresie (z przesrzenią produkcjną Z(), opmalnm wskaźnikiem echnologicznej efekwności produkcji w niesacjonarnej gospodarce Gale a z graniczną echnologią (z graniczną przesrzenią produkcjną Z). Twierdzenie 2 Prz założeniach wierdzenia 1: (i) zadania (4), (5) mają rozwiązania, j. (2i) (α, α, + 1 α ). ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) max (, ), x Z x x, Z ( \{} ( x, Z max Z \{},

5 Słab i bardzo siln efek magisrali w niesacjonarnej gospodarce Gale a z graniczną echnologią 295 Dowód. (i) Ponieważ funkcja α jes dodanio jednorodna sopnia (i ciągła) na Z(\{}, Z \{}, więc zadania (4), (5) są równoważne z zadaniami (odpowiednio) max (4 ) ( max (5 ) maksmalizacji ciągłej funkcji α na zwarch zbiorach Γ ( ) { Z ( x, 1}, {( x, Z x, 1}, kóre mają rozwiązania (w. Weiersrassa). (2i) Zgodnie z (G7) sąd Z ( Z ( 1)... Z,, max ( x(, max ( x( 1), 1)... Z ( \{} Z ( 1)\{} max. Z \{} O parze wekorów ( x (, ) mówim, że worz opmaln proces produkcji w niesacjonarnej gospodarce Gale a w okresie ; podobnie o parze wekorów ( x, mówim, że worzą opmaln proces produkcji w niesacjonarnej gospodarce Gale a z graniczną echnologią (graniczn opmaln proces produkcji w niesacjonarnej gospodarce Gale a). Ponieważ λ > oraz ( x (, ) ( x(, ),, zaem w niesacjonarnej gospodarce Gale a opmalne proces produkcji są określone z dokładnością do srukur.

6 296 Emil Panek O granicznej przesrzeni produkcjnej Z zakładam dodakowo, że spełnia nasępując warunek (zw. warunek regularności): (G8) Z & (isnieje graniczn opmaln proces produkcji, w kórm wwarzane są wszskie owar. Gospodarkę niesacjonarną Gale a mającą ę własność nazwam granicznie regularną. Z warunku (G5) wnika nachmias, że w granicznie regularnej gospodarce Gale a Z ( x oraz. (6) ówiąc o granicznm opmalnm procesie produkcji mam dalej na uwadze proces ( x, spełniając warunek (6). O wekorze s mówim, że charakerzuje srukurę produkcji w granicznm opmalnm procesie. Z (6) wnika, że wekor en charakerzuje akże srukurę nakładów w akim procesie: x x s. Półprosą N { s } (7) nazwam magisralą produkcjną (promieniem von Neumanna) w niesacjonarnej gospodarce Gale a z graniczną echnologią. Niech p = (p 1,, p n ) będzie wekorem cen owarów oraz (x, dowolnm procesem produkcji. Liczbę p,, p) p, x (am gdzie jes określana) nazwam wskaźnikiem ekonomicznej efekwności procesu (x, prz cenach p (uaj i wszędzie dalej a, b oznacza iloczn skalarn a ib i ). wekorów a, b : a, b = i Jeżeli gospodarka Gale a jes granicznie regularna, o p ( x, Z p, p, x (8)

7 Słab i bardzo siln efek magisrali w niesacjonarnej gospodarce Gale a z graniczną echnologią 297 oraz, p) max( x,, p) (9) Z \{} (zob. Panek, 23, w. 5.3). Wekor p nazwam wekorem cen von Neumanna w niesacjonarnej gospodarce Gale a z graniczną echnologią. O rójce {,, p} mówim, że charakerzuje niesacjonarną gospodarkę Gale a z graniczną echnologią w równowadze von Neumanna. Dochodzi w niej do zrównania ekonomicznej efekwności produkcji z efekwnością echnologiczną na najwższm poziomie jaki może osiągnąć niesacjonarna gospodarka Gale a z graniczną echnologią. W celu zapewnienia jednoznaczności magisrali produkcjnej (7) zakładam, że p, (G9) Z \{} x N, p) p, x (efekwność ekonomiczna jakiegokolwiek procesu poza magisralą jes niższa od opmalnej). Warunek x N jes równoważn z x s. x Twierdzenie 3. (Radner, 1961) Jeżeli zachodzą warunki (G1) (G9), o ( x, Z x x s p,, p) p, x Twierdzenie o gra isoną rolę prz dowodzi magisralnch własności opmalnch procesów wzrosu, o kórch mowa w kolejnch wierdzeniach 4, WZROST Odwzorowanie (mulifunkcję) n n R 2 a : R posaci a ( x) { Z( } nazwam przekszałceniem echnologicznm w niesacjonarnej gospodarce Gale a w okresie (generowanm przez przesrzeń produkcjną Z(). Podobnie definiujem n R n przekszałcenie echnologiczne a : R 2, a( x) { Z} (generowane przez graniczną przesrzeń produkcjną Z).

8 298 Emil Panek Jeżeli Z( jes gale owską przesrzenią produkcjną (spełniającą warunki (G1) (G6)), o przekszałcenie echnologiczne a ma nasępujące własności (Panek, 23, w.5.1): x a ( x) a( x) (jes dodanio jednorodne sopnia 1), x 1, x a ( x x ) a ( x ) a( x ) (jes póładdwne), a () = {}, Z( ( a ( x) & ' ' a ( x)) (możliwość marnorawswa moc produkcjnch), Z( ( a ( x) & x' x a (x')) (możliwość marnorawswa nakładów), x zbior (obraz a (x) są wpukłe i zware, przekszałcenie a jes półciągłe (z gór, zn. spełnia warunek i i (, ) 1 i i i i x ( ) & (, ) (, ) ( ) i a x x x a x. i Podobne własności ma przekszałcenie echnologiczne a generowane przez graniczną przesrzeń produkcjną Z spełniającą warunki (G1)-(G7). Ponado ławo pokazać, że x ( a ( x) a 1( x) a( x)). Weźm dowoln ciąg procesów (x(, ) Z(, T = {, 1,... 1 }. Sandardowo zakładam, że w horzoncie T nakład w okresie nasępnm mogą pochodzić lko z produkcji wworzonej w okresie poprzednim 1 : 1,, co prz warunkach (G5), (G6) prowadzi do inkluzji ( (, 1)) Z ( 1),,1, , lub równoważnie: 1) a 1( ),,1, (1) Usalm wekor produkcji wworzonej w gospodarce Gale a w okresie począkowm = : ) =. (11) O ciągu wekorów produkcji 1 spełniającm warunki (1) (11) mówim, że opisuje (, 1 ) dopuszczaln proces wzrosu w niesacjonarnej gospodarce Gale a. Przjmijm oznaczenia: 1 Jes o warian modelu Gale a gospodarki zamknięej. W rozbudowanch wersjach modelu warunek en można osłabić.

9 Słab i bardzo siln efek magisrali w niesacjonarnej gospodarce Gale a z graniczną echnologią 299 R, R { }, R a ( x), 1,2,... 1,, xr, 1 ( jes zbiorem wszskich wekorów produkcji możliwch do wworzenia w okresie przez niesacjonarną gospodarkę Gale a z począkową produkcją ) = ). Jeżeli spełnione są warunki (G1) (G6), o 1 < + zbior R, są niepuse, zware i wpukłe. Innmi słow, isnieją (, 1 ) dopuszczalne proces wzrosu (Panek, 23, lema 5.1). 4. EFEKT AGISTRALI Rozparzm nasępujące zadanie maksmalizacji warości produkcji, mierzonej w cenach von Neumanna, wworzonej w niesacjonarnej gospodarce Gale a w osanim okresie horzonu T = {,1, 1 }: max p, 1) p.w.(1) (11) (12) (wekor usalon., kóre będziem nazwać (, 1, p) Zadanie o ma rozwiązanie ( 1 opmalnm procesem wzrosu w niesacjonarnej gospodarce Gale a 2 (. Przez s ( ( oznaczam srukurę produkcji w,, p) opmalnm procesie wzrosu w okresie. ( 1 W poniższm wierdzeniu, mówiącm o magisralnej sabilności procesów opmalnch, isoną rolę gra możliwość dojścia gospodarki do magisrali: (G1) Isnieje aki (, ) dopuszczaln proces wzrosu ~ (, gdzie 1, że ~ ~ ( ( 1), ( )). (13) 2 Zadanie (12) ma rozwiązanie wed i lko wed, gd isnieje rozwiązanie zadania max p, R,1 (maksmalizacji funkcji liniowej, a więc ciągłej, na zwarm zbiorze rozwiązanie, zaem isnieje również rozwiązanie zadania (12). R ). Zadanie o ma oczwiście,1

10 3 Emil Panek Twierdzenie 4 3 ( Słabe wierdzenie o magisrali) Jeżeli niesacjonarna gospodarka Gale a spełnia warunki (G1)-(G1), o dla dowolnej liczb ε > isnieje aka liczba nauralna k ε, że liczba okresów, w kórch srukura produkcji w,, p) opmalnm procesie spełnia warunek ( 1 s ( s (14) nie przekracza k ε. Liczba k ε nie zależ od długości horzonu T. Dowód. Weźm (, 1, p) opmaln proces ~ ( (rozwiązanie zadania (12)). Ponieważ dla każdego warunek ( + 1) ( () jes równoważn z więc zgodnie z (8) p, ( (, ( 1)) Z( 1) Z, ( 1) p, (,,1, (15) Oznaczm przez L ε zbiór ch okresów T, w kórch zachodzi nierówność (14). Niech l ε będzie liczbą elemenów zbioru L ε. Wówczas, zgodnie z wierdzeniem 3, Z (15), (16) orzmujem: p, ( 1) ( ) p, (, dla L. (16) l, 1 ( ) p,. (17) 1 l p ) Zgodnie z warunkiem (G1) isnieje aki (, ) dopuszczaln proces wzrosu ~ (, 1, że ~ 1), ~ ( ( ( )). Ponieważ ~ ( ) ~ a ( ( 1)), więc ~ 1), ~ ( ( ( )) Z ( ). Z (13) oraz z warunku (G5) wnika wówczas, że ( ~ ( 1), ~ ( 1)) Z ( ), czli ( ~ ( 1) N, zn. ~ ( 1) s dla pewnej liczb σ >. Sąd, zważwsz na (G7), orzmujem (, 1 ) dopuszczaln proces ~ (, s 1 dla,1,..., 1, dla, 1,..., 1 3 Jes o dososowana do specfiki niesacjonarnej gospodarki Gale a z graniczną echnologią wersja wierdzenia 5.8 udowodnionego w prac Panek (23).

11 Słab i bardzo siln efek magisrali w niesacjonarnej gospodarce Gale a z graniczną echnologią 31 oraz nierówność: p, ( ) p, ) p, s. (18) Łącząc warunki (17), (18) dochodzim do nierówności l 1 l ( ) p, 1 1 p, s, z kórej orzmujem oszacowanie górnego ograniczenia liczb l ε : l ln ln A ln( B, ) 1 p, gdzie A. W charakerze liczb k ε wsarcz wziąć najmniejszą liczbę p, s nauralną większą od min{,b}. Liczba a nie zależ od 1 (j. od długości horzonu T). W mśl wierdzenia, opmalne proces wzrosu w niesacjonarnej gospodarce Gale a z graniczną echnologią prawie zawsze (poza pewną skończoną liczbą okresów, niezależną od długości horzonu, w kórm badam funkcjonowanie gospodarki) przebiegają dowolnie blisko magisrali wznaczanej przez graniczną echnologię. Na magisrali gospodarka osiąga najwższe empo wzrosu. Prosą (aczkolwiek nierwialną) konsekwencją wierdzenia 4 jes poniższa wersja bardzo silnego wierdzenia o magisrali z graniczną echnologią. Twierdzenie 5 ( Bardzo silne wierdzenie o magisrali) Jeżeli w niesacjonarnej gospodarce Gale a spełniającej warunki (G1)-(G9) (, 1, p) opmaln proces wzrosu w pewnm okresie 1 spełnia warunek ( ( ), ( 1)) (prowadzi do magisrali N), o N). Dowód. Opmaln proces ( ) 1 z założenia w okresie 1 prowadzi do magisrali. Isnieje więc aka liczba σ >, że ( ( ) = 65 oraz (, 1 ) dopuszczaln proces wzrosu ~ 1 posaci:,1,..., 1 ~ (, dla ( s, dla, 1,..., (dowód przebiega analogicznie jak w wierdzeniu 4). 1

12 32 Emil Panek Wówczas p 1, 1 1 ~ ( ( ) p, ) p, s. (19) Z drugiej sron, posępując jak prz dowodzie wierdzenia 4, z warunku (15) orzmujem: p ( ), ( 1)... 1 p p, ( 1 ) p, s. (2), 1 Załóżm, że w pewnm okresie τ 1,, 1 1}: 1 ( ) N, zn. ( ) ( ) s. Wówczas, zgodnie z wierdzeniem 3 ( p, ( 1) ( ) p, ( ) ), co łącznie z (2) prowadzi do nierówności: p ( ) ( ) p, s. (21), 1 Z (19), (21) orzmujem warunek ( ) p, 1 s p, s, z kórego wnika, że δ ε. Orzmana sprzeczność zamka dowód. Twierdzenie 5 głosi, że wejście opmalnego procesu wzrosu w pewnm okresie na magisralę w niesacjonarnej gospodarce Gale a z graniczną echnologią skukuje jej pobem na magisrali wszędzie dalej, za wjąkiem ewenualnie osaniego okresu horzonu T. Uniwerse Ekonomiczn w Poznaniu

13 Słab i bardzo siln efek magisrali w niesacjonarnej gospodarce Gale a z graniczną echnologią 33 LITERATURA [1] Ganz D. T., (198), A Srong Turnpike Theorem for a Nonsaionar von Neumann-Gale Producion odel, Economerica, 48 (7), [2] Joshi S., (1997), Turnpike Theorems in Nonconvex Nonsaionar Envirenmens, In. Econ. Rev., 38 (1), [3] Keeler E. B., (1972), A Twised Turnpike, In. Econ. Rev., 13 (1), [4] Panek E., (23), Ekonomia maemaczna, Wdawnicwo AE w Poznaniu. [5] Panek E., (211), O pewnej prosej wersji słabego wierdzenia o magisrali w modelu von Neumanna, Przegląd Sasczn, 58 (1-2), [6] Panek E., (213), Niesacjonarn model von Neumanna z graniczną echnologią, Sudia Oeconomica Posnaniensia, 1 (1), [7] Radner R., (1961), Pahs of Economic Growh ha are Opimal wih Regard onl o Final Saes: A Turnpike Theorem, Rev. Econ. Sudies, 28 (2), [8] Samuelson P. A., (1959), Efficien Pah of Capial Accumulaion in Terms of he Calculus of Variaions, w: Arrow K. J., Karlin S., Suppes P., (red.), ahemaical ehods in he Social Sciences, Sanford, California, [9] Von Neumann J., ( ), A odel of General Economic Equilibrium, Rev. Econ. Sudies, 13 (1), 1-9. SŁABY I BARDZO SILNY EFEKT AGISTRALI W NIESTACJONARNEJ GOSPODARCE GALE A Z GRANICZNĄ TECHNOLOGIĄ Sreszczenie W bogaej lieraurze z eorii magisral zdecdowana większość prac poświęcona jes magisralnm własnościom opmalnch procesów wzrosu w sacjonarnch gospodarkach pu Neumanna Gale a Leoniefa. Do bardzo nielicznch należą publikacje, kórch auorz podejmują próbę zbadania własności opmalnch procesów wzrosu w gospodarkach niesacjonarnch (ze zmienną echnologią). Zadanie o podjęo w arkule na gruncie niesacjonarnej gospodarki Gale a z echnologią graniczną. Słowa kluczowe: niesacjonarn model Gale a, echnologia graniczna, równowaga von Neumanna, magisrala produkcjna

14 34 Emil Panek WEAK AND VERY STRONG TURNPIKE EFFECT IN THE NON-STATIONARY GALE ECONOY WITH LIIT TECHNOLOGY Absrac In he rich lieraure on he urnpike heor he vas majori of papers consider urnpike properies of opimal growh processes in he saionar Neumann-Gale-Leonief economies. There are onl few papers, in which heir auhors aemp o explore characerisics of he opimal growh processes in he non-saionar economies (wih changeable echnolog. This objecive has been underook in his paper wih he non-saionar Gale econom wih he limi echnolog. Kewords: non-saionar Gale model, limi echnolog, von Neumann equilibrium, producion urnpike