1. Podstawowe pojęcia ekonometrii

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. Podstawowe pojęcia ekonometrii"

Transkrypt

1 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii. Podsawowe ojęcia ekonomerii.. Ekonomeria jako nauka Ekonomeria jes dscliną ekonomiczną, kóra zajmuje się nadawaniem emircznej reści ariorcznm rawom ekonomii. Zajmuje się zaem emirczną werfikacją raw ekonomicznch. Zaineresowanie ekonomerii ograniczone jes do zależności, kóre mają charaker ilościow i owarzaln. Zależności ego u dają się bezośrednio lub ośrednio zmierzć, n. zależność konsumcji od dochodu, zależność inflacji od odaż ieniądza i. Ekonomeria nie zajmuje się zależnościami jakościowmi i nieowarzalnmi, kórch nie można zmierzć. Ujmując rzedmio zaineresowań ekonomerii nieco bardziej szczegółowo, można owiedzieć, że wełnia ona dwie funkcje: - oznawczą, jako narzędzie esowania (werfikacji) eorii ekonomicznch, - uliarną, jako narzędzie oznania konkrench rocesów ekonomicznch, kórego wniki są wkorzswane w analizach hisorcznch, smulacjach, rognozowaniu i w odejmowaniu deczji. Poznawcza funkcja ekonomerii umiejscawia ją jako isoną część ekonomii. Powiązania z eorią ekonomii nie są jednosronne. Z jednej bowiem sron ekonomeria korzsa z raw i wierdzeń sformułowanch na gruncie ekonomii w rocesie sformalizowanego oisu rzeczwisch rocesów gosodarczch. W m sensie ekonomeria sełnia funkcje omocnicze dla ekonomii. Z drugiej sron orzez wielokroną werfikację emirczną wierdzeń ekonomii rzcznia się do owsawania nowch wierdzeń ekonomicznch, bądź modfikacji,,sarch eorii''. Zadania uliarne mają związek z rocesami odejmowania deczji ekonomicznch. Proces e, jak wiadomo, odbwają się w warunkach nieewności. Jak okazwać będziem w rakcie wkładów, emirczne modele ekonomerczne wkorzswane bć mogą do wnioskowania o wsęowaniu owiązań międz zmiennmi ekonomicznmi, do ocen efeków olik gosodarczch (działań odejmowanch rzez decdenów) oraz w szczególności do rognozowania. Słowo ekonomeria rozumiane jes w dwojaki sosób: - w szerokim sensie, - w wąskim rozumieniu. Ekonomeria w szerokim sensie obejmuje: - ekonomię maemaczną, - ekonomerię w wąskim rozumieniu (klasczną), - badania oeracjne. Ekonomia maemaczna zajmuje się maemaczną formalizacją eorii ekonomicznch oraz worzeniem absrakcjnch ssemów ekonomicznch, za omocą kórch, drogą dedukcjną, wrowadzane są wierdzenia ekonomiczne. Ekonomia maemaczna nie zajmuje się emirczną werfikacją swoich wierdzeń formułuje lko ewne hioez doczące funkcji oisującej owiązania międz badanmi zmiennmi ekonomicznmi. Przkładami są: funkcja konsumcji Kenesa: C X, gdzie C - konsumcja, Q K L X - dochód, - krańcowa skłonność do konsumcji; funkcja rodukcji Cobb-Douglasa: - gdzie Q - rodukcja, K - nakład kaiału, L - nakład rac. Ekonomeria,,klasczna'' zajmuje się meodami werfikacji oraz rakczną werfikacją wierdzeń ekonomii. W jej ramach wdziela się: - eorię ekonomerii - j. meodologię wnioskowania sascznego na odsawie danch ekonomicznch, - ekonomerię sosowaną n. ekonomerczna analiza ou, ekonomerczna analiza rodukcji, ekonomerczna analiza koszów, modelowanie gosodarki narodowej i. Zob. A.S.Goldberger, Teoria ekonomerii, sr. 4-6.

2 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii Badania oeracjne zajmują się meodami odejmowania omalnch deczji ekonomicznch, rz uwzględnieniu ograniczeń echnicznch, ekonomicznch (budżeowch) oraz zakładając, że decden kieruje się daną funkcją celu; n. meod wboru omalnego orfela inwescjnego rzez inwesora na giełdzie, meod rozwiązwania deczjnch roblemów echniczno-ekonomicznch (roblem omalnej srukur rodukcji, roblem die, roblem ransorow). Ekonomeria, ze względu na funkcje, kóre sełnia wkorzsuje meod nauk, z kórmi jes ściśle owiązana, zn.: meod ekonomii, saski ekonomicznej i maemaki, w szczególności meod wnioskowania sascznego. Ekonomeria jes nauką inerdsclinarną. Wsęują ścisłe owiązania międz maemaką a ekonomerią. Ekonomeria wkorzsuje w sosób insrumenaln nasęujące dział maemaki: analizę maemaczną (w szczególności analizę funkcji wielu zmiennch), algebrę macierz, eorię równań różnicowch i różniczkowch. Najisoniejsze, z unku widzenia meod ekonomerii, jes owiązanie ze saską maemaczną. Ekonomeria bezośrednio wkorzsuje i rozwija meod wnioskowania sascznego na odsawie danch ekonomicznch. Ponieważ dane ekonomiczne wsęują w większości, w osaci zarejesrowanch szeregów czasowch, sąd eoria ekonomerii oświęcona jes rzede wszskim analizie szeregów czasowch. Związki ze saską ekonomiczną są oczwise. Ekonomeria zajmuje się ilościowm asekem owiązań międz mierzalnmi zmiennmi ekonomicznmi. Sąd wkorzsuje meod mierzenia i agregowania zmiennch wracowane rzez saskę ekonomiczną. Schema.. Srukura ekonomerii jako nauki Ekonomeria w szerokim sensie Ekonomia maemaczna Badania oeracjne Ekonomeria w wąskim sensie Ekonomeria sosowana Teoria ekonomerii Źródło: oracowanie własne

3 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii.. Model ekonomerczn i jego srukura... Pojęcie modelu Model jes uroszczoną rerezenacją realnego obieku, realnej suacji lub realnego rocesu. Ta rerezenacja uwzględnia lko isone, najważniejsze z unku widzenia celu cech. Na rzkład model kolei sznowej jes fizczną koią rzeczwiście isniejącego obieku. Ale en model nie uwzględnia na rzkład ak ważnch w rzeczwisości elemenów jak ersonel. Budowanie i sudiowanie modelu uławia zrozumienie realnch suacji lub obieków. Przkładow model kolei może bć wkorzsan do badania wielu realnch roblemów oeracjnch na kolei. Analiza za omocą modelu może dosarczć cennch informacji o zachowaniu się obieków rzeczwisch. Eksermenowanie na modelach jes w większości rzadków mniej koszowne i szbsze niż eksermen na realnch obiekach. Zreszą eksermen na realnch obiekach nie są niekied możliwe. Zaem model o - koia obieku rzeczwisego, zachowująca ewne jego cech, a omijająca inne, mniej ważne z unku widzenia konsrukora modelu. Model konsruowan jes w określonm celu. Celem m może bć rzerowadzenie analiz, eksermenów, kóre na obiekcie rzeczwism nie są możliwe do rzerowadzenia (z uwagi na kosz, bezieczeńswo i.). Model jes więc narzędziem oznania rzeczwisości. Musim amięać, że model nie jes dokładną rerezenacją rzeczwisości. Niekóre założenia są bardzo uraszczające. Jednak orawność konkluzji i deczji zależeć będzie od ego, jak dokładnie model rerezenuje realną suację z ewnego unku widzenia. Ten unk widzenia wnika bezośrednio z celu, dla kórego model jes konsruowan. Modele mogą rzbierać różną formę. Koie fizczne, zabawki, foografie, manekin, smulaor loów/jazd nazwa się modelami ikonograficznmi. Inn modelu docz bardziej absrakcjnch ojęć akich jak rędkość, emeraura, czas, rzesrzeń cz inne ojęcia (idee). Te ojęcia są zwkle rerezenowane rzez modele analogowe. Schema, diagram, rsunki, ma są owmi modelami analogowmi. Schema rocesu odejmowania deczji jes analogowm modelem ego rocesu. Schema organizacjn firm jes modelem analogowm ej firm. Szbkościomierz w samochodzie jes modelem analogowm rędkości. W suacjach najbardziej skomlikowanch wkorzsanie koii fizcznch, cz znaków graficznch nie jes wsarczające. W akich suacjach wkorzswane są modele maemaczne. Rerezenują one realne suacje za omocą smboli maemacznch i wrażeń maemacznch (równań, nierówności). Modele maemaczne umożliwiają rzerowadzanie naukowch eksermenów i analiz.... Modele ekonomerczne szeregów czasowch Analizując szeregi czasowe różnch zmiennch ekonomicznch, n. szeregi czasowe inflacji, odaż ieniądza obserwujem ewne charakersczne składowe ch szeregów. Możem wróżnić rz rodzaje komonenów szeregów czasowch: - składnik ssemaczn, - składniki owarzalne (ckliczne i sezonowe), - składnik zakłócając (rzadkow). Składnik ssemaczn (endencja rozwojowa) szeregu czasowego badanej zmiennej ekonomicznej jes wnikiem oddziałwania cznników głównch, zwkle definiowanch rzez eorie ekonomiczne. Cznniki e oddziałują w jednm kierunku, owodując ssemaczn wzros (sadek) badanej zmiennej. Do wsąienia zmian kierunku realizacji ego składnika zwkle orzeba długiego okresu czasu. Szereg czasow zawierając składnik ssemaczn charakerzuje się inercją. Składnik ckliczn (wahania ckliczne) jes wnikiem wsęowania długookresowch zmian sił oddziałwania cznników głównch. Okres owarzalności wahań cklicznch rzekracza rok. Składnik sezonow jes wnikiem wsęowania cznników sezonowch w każdm roku. Cznniki sezonowe mogą mieć różnorodn charaker. Większość z nich ma charaker kalendarzow. Wsęowanie ór roku z charakerscznm dla każdej z nich układem warunków amosfercznch owoduje sezonowe

4 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii zmian rodukcji (szczególnie rolniczej, budowlano-monażowej, ransorowej), cen (roduków rolnch, usług budowlanch), zarudnienia i bezrobocia (sezonowa obniżka bezrobocia w miesiącach lenich). Wmienione wżej cznniki mogą w konsekwencji owodować sezonowe zmian łac, dochodów osobisch i dochodów budżeowch. Obligaorjne ermin ogłaszania srawozdań rzez sółki ubliczne, bądź fundusze inwescjne mogą bć rzczną wsęowania sezonowch zmian rzchodów, koszów i zsków, na skuek realizowania rzez e odmio odowiednich krókookresowch sraegii działania. Wszsko o owoduje, że możem obserwować charakersczne dla danego odokresu (sezonu) w każdm roku odchlenia warości szeregu czasowego od składowej ssemacznej. Odchlenia e mogą mieć sałą, bądź zmienną amliudę. Składnik zakłócając jes wnikiem wsęowania cznników niessemacznch, odziałwującch na badaną zmienną ekonomiczną z różną siłą i w różnch kierunkach. Cznniki e nie są idenfikowane rzez eorie ekonomiczne lub eż są o cznniki, kóre w rocesie esowania isoności są odrzucane jako sascznie nieisone. Szeregiem czasowm zmiennej ekonomicznej nazwać będziem uorządkowan chronologicznie zbiór warości jakie zaobserwowano i jakie, jak zakładam, są wnikiem isnienia ewnego mechanizmu (w szczególności losowego) generującego e obserwacje. Pojedncz szereg czasow zmiennej zaiswać będziem: ; (,,..., T ). Od ej or,,t'' oznaczać będzie liczebność rób sascznej. W omawianm rzadku szeregu czasowego,,t'' będzie długością ego szeregu. W bardziej skomlikowanch analizach możem bć zaineresowani szeregami czasowmi większej liczb zmiennch ekonomicznch, wzajemnie ze sobą owiązanch, koniecznch do oisu ewnch ssemów n. rnków. Wed możem rozarwać jednocześnie wekor szeregów czasowch n. G zmiennch i zaiswać: [... ] ; (,..., ). G T Jednorównaniow model ekonomerczn szeregu czasowego zmiennej jes o równanie rzedsawiające w uroszczon i sformalizowan sosób dające się zidenfikować składowe ego szeregu, akie jak składnik ssemaczn, ckliczn, sezonow i rzadkow (zakłócając). Inaczej mówiąc modelem ekonomercznm nazwać będziem równanie rz omoc kórego rzedsawion jes mechanizm generowania obserwacji zmiennej. Model ekonomerczn należ więc do kaegorii modeli maemacznch. Wielorównaniow model ekonomerczn wekora szeregów czasowch zmiennej jes o układ równań rzedsawiając w uroszczon i sformalizowan sosób dające się zidenfikować składowe ch szeregów, akie jak składniki ssemaczne, ckliczne, sezonowe i rzadkowe (zakłócające) oraz owiązania międz nimi. Model ekonomerczn wielorównaniow o inaczej układ równań rz omoc kórego rzedsawion jes łączn mechanizm generowania wekora obserwacji zmiennch endogenicznch. Zmienną, kórej zmian w czasie chcem wjaśnić za omocą równania modelu nazwać będziem zmienną endogeniczną (wjaśnianą). W ełni uzasadnione jes oczwiście nazwanie zmiennej wjaśnianej zmienną zależną. W modelu wielorównaniowm zawierającm G równań wsęuje G zmiennch endogenicznch, zn. każda zmienna endogeniczna jes wjaśniana rzez jedno równanie. Mierzalne cznniki, kóre wkorzsujem do objaśnienia zmian zmiennej endogenicznej nazwam zmiennmi objaśniającmi. 4

5 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii Zmienne objaśniające, kóre nie są wjaśniane w innch równaniach modelu nazwam zmiennmi egzogenicznmi. W modelu jednorównaniowm w zbiorze zmiennch objaśniającch mogą znajdować się zmienne egzogeniczne oraz zmienne endogeniczne oóźnione w czasie. W modelu wielorównaniowm, zależnie od jego konsrukcji, zmiennmi objaśniającmi mogą bć wszskie zmienne endogeniczne oraz, co jes oczwise, egzogeniczne. Szeroko na en ema mówić będziem w dalszej części wkładu. Obecnie rozarwać będziem skalarne zmienne, odkładając rozważania doczące wekorów zmiennch na odrębne wkład. Wrowadźm oznaczenia: f ( S, C, P, ); (,..., T ) (.) gdzie: f - funkcja o zadanej osaci analicznej, S - składnik ssemaczn zmiennej endogenicznej, C - składnik ckliczn, P - składnik eriodczn (sezonow), - składnik zakłócając (losow). W m miejscu waro zauważć, że nie wszskie składowe wsęują w każdm szeregu czasowm. Zacznijm od ego, że zmienne ekonomiczne wsęujące w modelu ekonomercznm można odzielić na zasob i srumienie. Zasób jes ojęciem bezczasowm. Oznacza osiadanie czegoś w określonej wielkości. N. zasób kaiału, zasób rac. Zasob mierzm określając san na ewien momen n. warość kaiału na koniec roku, rzecięne zarudnienie w roku. Srumienie mają wmiar czasow. Oznaczają osiadanie (wrodukowanie) czegoś w jednosce czasu (okresie). N. dochód, rodukcja, konsumcja, obro, inwescje. Srumienie mierzm odając jednoskę miar danej zmiennej oraz jednoskę czasu; n. dochód miesięczn, rodukcja dzienna, inwescje w roku. W ekonomii ważne są akże zmienne (aramer) będące relacjami dwóch srumieni, zasobów, bądź srumieni do zasobów. Wmiar czasowe są konsekwencją ich definicji. Zarówno srumienie jak i zasob mogą bć rejesrowane (mierzone) z różną częsoliwością w czasie. Przjęło się wróżniać dane w osaci:. szeregów czasowch rocznch (zagregowanch w czasie),. szeregów zdezagregowanch w czasie (kwaralnch, miesięcznch, dziennch, i.),. rób rzekrojowch obranch z oulacji obieków w danm momencie (dane rzekrojowe), 4. rób czasowo-rzekrojowch. Z ego co owiedzieliśm do ej or wnika, że składnik sezonow może bć zidenfikowan lko dla szeregów czasowch zdezagregowanch w czasie. Składnik ckliczn może bć idenfikowan dla bardzo długich szeregów czasowch (w szczególności danch rocznch). Emirczna analiza ckliczności w warunkach olskiej gosodarki nie jes zaem jeszcze możliwa, z uwagi na bardzo króki okres czasu, jaki ułnął od momenu rozoczęcia rocesów rnkowej ransformacji. Zwkle zaem dla szeregów czasowch danch rocznch ograniczam się do modelu: f ( S, ); (,..., T ), naomias w rzadku danch zdezagregowanch w czasie do modelu: f ( S, P, ); (,..., T ). Posać analiczna modelu w ogólnm rzadku nie jes ariori dana. Zwkle wbór ej osaci jes wnikiem esowania. Jeśli eoria ekonomiczna nie określa osaci analicznej, zwkle analiza emirczna rozoczna się od osaci liniowej. Ogólne zasad doboru osaci analicznej odajem na wkładzie doczącm zasad inerreacji aramerów srukuralnch modelu w różnch osaciach analicznch. 5

6 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii... Sosob wjaśniania rodzaje modeli Są różne sosob wjaśniania ssemacznch zmian w czasie zmiennej endogenicznej. Zależnie od ego jaki sosób wjaśnienia zosanie zasosowan, co zwkle zależ od celu, dla kórego model jes konsruowan, wróżniać będziem różne rodzaje modeli. W m miejscu wkładu zajmiem się lko modelami, w kórch wsęuje składnik ssemaczn i składnik zakłócając. Problem modelowania wahań sezonowch omówion będzie w dalszej części wkładu. Rozocznijm od ogólnej klasfikacji ze względu na krerium sosobu wjaśnienia w czasie. Biorąc o krerium wróżniam: - modele saczne, - modele dnamiczne. Modele dnamiczne dzielim naomias na rz kaegorie: - modele z rozłożonm w czasie oddziałwaniem cznników egzogenicznch, - modele auoregresjne (z dnamiką własną), - modele ujmujące oba rodzaje dnamiki. W modelu sacznm nie wsęują oóźnione reakcje omiędz zmiennmi modelu. Bieżące zmian zmiennch egzogenicznch wwołują nachmiasowe (bieżące) zmian zmiennej endogenicznej. Formalnie rzecz biorąc w zbiorze zmiennch objaśniającch nie wsęują zmienne oóźnione w czasie. Zakładając osać liniową, zaiszem, że w modelu sacznm składnik ssemaczn zmiennej endogenicznej w okresie jes rzedsawion jako kombinacja liniowa bieżącch zmiennch egzogenicznch: S... K K, (.) gdzie ; ( i,,..., K) są sałmi w czasie, jak zakładam, nieznanmi aramerami srukuralnmi i modelu. Zaem model saczn zaiszem w nasęującej osaci:... K K. (.) Tak zaisaną osać modelu, w kórej wsęują nieznane aramer srukuralne oraz bezośrednio nieobserwowalne składniki zakłócające, nazwać będziem modelem eorecznm. Zauważm, że model (.) jes liniow względem aramerów oraz względem zmiennch objaśniającch. W akim modelu efek oszczególnch zmiennch objaśniającch sumują się. Jeśli osać analiczna modelu jes określona, o w modelu akim, jak widzim, wsęują aramer srukuralne. Paramer srukuraln jes o nieznana liczba, zwkle sała w czasie, kóra bezośrednio lub ośrednio informuje nas, jaki jes ilościow związek międz wróżnioną zmienną objaśniającą a zmienną objaśnianą (endogeniczną), w warunkach sałości ozosałch cznników objaśniającch. Inerreacja aramerów srukuralnch zależ od osaci analicznej modelu. Zasad akich inerreacji zosaną odane w rakcie nasęnego wkładu. Podsawowm zadaniem ekonomerii jes oszacować nieznane aramer srukuralne na odsawie obserwacji zmiennch ekonomicznch modelu. Dobór cznników egzogenicznch odbwa się na odsawie eorii ekonomicznej. Jednakże eorie ekonomiczne nie muszą bć eoriami silnmi. Zbiór cznników definiowanch rzez e eorie obejmuje lko mierzalne cznniki główne, owodujące ssemaczne zmian zmiennej endogenicznej. Cznniki niemierzalne oraz mniej ważne, e kórch oddziałwanie można uznać za rzadkowe są ujmowane w składniku zakłócającm. W akim ujęciu rakować można zmienne egzogeniczne jako rzczn, naomias zmienną endogeniczną jako skuek ch rzczn, zakłócan oddziałwaniem cznników rzadkowch. Częso zaem model ekonomerczn jes rakowan jako zależność rzcznowo-skukowa. Z innej nieco Zasadom inerreacji aramerów w modelach o różnej osaci analicznej oświęcon jes odrębn wkład. 6

7 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii sron można idenfikować zmienne egzogeniczne jako argumen funkcji, zaś zmienną objaśnianą jako zmienną zależną, rz czm jes o zależność,,z dokładnością do zakłócenia losowego. Schema. Klasfikacja modeli ekonomercznch ze względu na krerium sosobu wjaśnienia w czasie Modele ekonomerczne Saczne Dnamiczne Z rozłożonm w czasie działaniem cznnika egzogenicznego (a) Auoregresjne (b) Ujmujące (a) oraz (b) Źródło: oracowanie własne Przkład. Jedną z hioez objaśniającch zmian konsumcji jes kenesowska funkcja konsumcji. Wrowadźm nasęujące oznaczenia: - C - konsumcja realna w okresie (n. w zł. na osobę), - X - dochód realn (w zł. na osobę). Funkcja konsumcji może bć zdefiniowana w nasęując sosób:. C f X ) - isnieje funkcja oisująca owiązania międz konsumcją a dochodem, (. krańcowa skłonność do konsumcji, obliczona na odsawie funkcji konsumcji, sełnia warunek C < <, X. krańcowa skłonność do konsumcji jes mniejsza od średniej skłonności do konsumcji 4. wraz ze wzrosem dochodu realnego X krańcowa skłonność do konsumcji maleje. Relacje (-4) definiują kenesowską funkcję konsumcji. C < X C X, 7

8 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii Funkcja C f X ( ) nie jes modelem ekonomercznm. Jes o funkcja, kóra wnika z ewnej eorii ekonomicznej i nie oisuje ona żadnego konkrenego rocesu konsumcji. W rzeczwisości bowiem, dla określonego kraju, w określonm rzedziale czasu, równanie owższe nie jes rawdziwe: C f X ), ( gdzie (,...,T) - oznaczają kolejne okres czasu z rzeszłości, z kórch ochodzą nasze obserwacje sasczne o dochodach i konsumcji. Tm co odróżnia funkcje definiowane w ekonomii od eorecznego modelu ekonomercznego jes uwzględnienie innch cznników. W rzadku modelu konsumcji możem zaisać: C f ( X ; cznniki ozosale) { Cznniki odsawowe Cznniki rzadkowe W naszm rzadku zaem jedną zmienną objaśnianą (endogeniczną) jes konsumcja zmienną objaśniającą (egzogeniczną) dochód. X C, naomias Cznniki ozosałe, mniej ważne (rzadkowe) nie są wodrębniane. Uwzględnia się je łącznie w osaci zw. zakłócenia losowego modelu (składnika losowego ). Tak więc eoreczn model konsumcji, zgodn z kenesowską funkcją konsumcji, możem zaisać w osaci: C f ( X, ); (,..., T ). Model en możem inerreować jako zależność rzcznowo-skukową, gdzie zmienne objaśniające i składniki zakłócające ełnią rolę rzczn, naomias zmienna endogeniczna jes skukiem ich oddziałwania, j. C { Skuek f ( X, ). Pr zczn Teoria ekonomiczna nie sugeruje bezośrednio, jaka ma bć osać analiczna funkcji (f) oisującej zależność konsumcji od dochodu oraz innch cznników. Funkcji, kóre mogą sełniać osula (-4), wmienione wżej, jes kilka. Podam dwa rzkład: - liniow model konsumcji: C X ; (,..., T ) C - aramer, rz czm X gdzie:, sełniać: < <, - oęgow model konsumcji: C X v ; (,..., T ) ; zgodnie z osulaami eorii, aramer owinien C gdzie:, - aramer, rz czm, zgodnie z osulaami eorii, < <. X Widać zaem, że różne osacie analiczne mogą bć niesrzeczne z osulaami eorii. O roblemach wboru osaci analicznej owiem więcej w rakcie nasęnch wkładów. 8

9 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii Jeśli zadanie badawcze, kóre sawia sobie badacz olega na esowaniu hioez Kenesa dla konkrenego szeregu czasowego, o w m momencie roces konsrukcji modelu jes zakończon. Jednakże ros jednocznnikow model konsumcji, oar na eorii Kenesa, może okazać się niewsarczając do oisu jej zmian w rozarwanm rzedziale czasu. Zaem badacz szukać będzie innch cznników mierzalnch, kóre jego zdaniem mogą rzcznić się do wjaśnienia naur zmian konsumcji. Taką zmienną może bć n. soa rocenowa ( ). Badacz rozarwać zaem może saczn dwucznnikow model konsumcji o osaci: C X r ; (,..., ). T r Składnik zakłócając ego modelu, mimo że nie wrowadzam uaj rozróżnienia noacjnego, nie jes aki sam jak w modelu jednocznnikowm. W modelu jednocznnikowm włw so rocenowej zwierał się w składniku zakłócającm ( r )). Badacz może akże rozarwać różne hioez, biorące od uwagę ( możliwość oóźnionch reakcji omiędz zmiennmi. Przechodzim zaem do modeli dnamicznch. Rozważm najierw model rozłożonego w czasie oddziałwania cznników egzogenicznch. Składnik ssemaczn w akim modelu jes rzedsawion jako kombinacja liniowa bieżącch i oóźnionch warości zmiennch egzogenicznch, co zaiszem w nasęując sosób: S,... q q,,... K K K, K... (.4) Model zmiennej endogenicznej rzedsawia się nasęująco:,... qq,,... K K K, K... (.5) Widzim zaem, że w zbiorze zmiennch objaśniającch znajdujem nieoóźnione i oóźnione zmienne egzogeniczne. Przkład. Rozważm hioezę, w kórej bieżąca konsumcja jes funkcją nie lko bieżącch, ale również oóźnionch dochodów. Możem zaisać, zakładając liniową osać zależności, że: C... X X X X gdzie,,,... są aramerami srukuralnmi. O aramerach,,... nazwanch,, mnożnikami indwidualnmi zakłada się częso, że maleją w miarę wzrosu oóźnienia. Niekied jednak rozarujem bardziej skomlikowane rozkład mnożników. Będziem o m mówić szczegółowo w rakcie wkładów oświęconch modelom dnamicznm. Rozważm obecnie model dnamiczn, w kórm składnik ssemaczn jes rzedsawion jako kombinacja liniowa oóźnionch warości zmiennej endogenicznej: S γ γ... γ, (.6) gdzie: γ γ,..., γ, są aramerami srukuralnmi. W akim rzadku modelem dla zmiennej endogenicznej jes: 9

10 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii γ γ... γ. (.7) Model ego u nazwam modelem auoregresjnm, z uwagi na o, że bieżące realizacje zmiennej endogenicznej są funkcjami warości ej zmiennej zrealizowanch w rzeszłości. Niekied model aki nazwam modelem ssemacznej dnamiki własnej. W zbiorze zmiennch objaśniającch wsęują uaj oóźnione w czasie zmienne endogeniczne. Przkład. Auoregresjn model konsumcji, kór zaiszem jako: C γ γ γ C... C imlikuje, że zmian bieżącej konsumcji wwołane są rzede wszskim rzzwczajeniami do konsumcji. Zaem uzskane w rzeszłości oziom konsumcji włwają na jej kszałowanie się w okresie bieżącm. Na koniec rozważm model eklekczn, zawierając oba omawiane wżej rodzaje dnamiki. Składnik ssemaczn w akim modelu rzedsawian jes jako: S γ γ... γ,.... q q,,... K K K, K... (.8) Modelem zmiennej endogenicznej jes w akim rzadku; γ γ... γ,.... q q,,... K K K, K... (.9) Widzim zaem, że w zbiorze zmiennch objaśniającch znajdują się zmienne egzogeniczne (nieoóźnione i oóźnione w czasie) oraz zmienne endogeniczne oóźnione w czasie. Przkład.4 C Zaiszm model konsumcji: X C ; (,..., ). T Model en możem orzmać zakładając mechanizm częściowego dososowania lub adaacjnch oczekiwań. W zbiorze zmiennch objaśniającch ego modelu wsęuje zarówno cznnik egzogeniczn jak również zmienna endogeniczna oóźniona w czasie. Reasumując rozważania doczące jednorównaniowch modeli ekonomercznch, możem swierdzić, że zależnie od sosobu wjaśniania (saczn cz dnamiczn) zbiór zmiennch objaśniającch zawiera bądź lko nieoóźnione zmienne egzogeniczne (model saczn), bądź zmienne egzogeniczne nieoóźnione i oóźnione w czasie (model dnamiczn z dnamiką indukowaną egzogenicznie), bądź endogeniczne oóźnione w czasie (model auoregresjn), bądź wszskie wmienione kaegorie zmiennch. Podział zmiennch w modelu jednorównaniowm jes zarezenowan na schemacie.. Zobacz wkład oświęcon modelom dnamicznm.

11 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii Schema. Klasfikacja zmiennch w jednorównaniowm modelu ekonomercznm Zmienne modelu Endogeniczna Egzogeniczne Endogeniczna nieoóźniona w czasie - wjaśniana Egzogeniczne nieoóźnione w czasie Endogeniczna oóźniona w czasie Egzogeniczne oóźnione w czasie Zmienne objaśniające Źródło: oracowanie własne Secficznm rodzajem modelu ekonomercznego jes model, w kórm składnik ssemaczn rzedsawion jes jako deerminisczna funkcja zmiennej czasowej. Dość ogólną osacią akiej funkcji jes wielomian sonia K zmiennej czasowej. Zaiszem zaem: S K..., (.) K w konsekwencji modelem ekonomercznm będzie równanie:... K K. (.) Model zaisan wżej nazwać możem modelem endencji rozwojowej. W odróżnieniu od modeli omawianch do ej or wjaśnienie ego rodzaju rezgnuje z badania owiązań omiędz zmienną endogeniczną a cznnikami wnikającmi z eorii lecz ogranicza się do badania zmian względem czasu. Isonm założeniem jes uaj wsęowanie ewnego sabilnego układu cznników głównch, włwającch na zmienną endogeniczną, kórch nie definiujem. Wnikiem ich oddziałwania jes inercja szeregu czasowego zmiennej, j. owolne, regularne zmian ego szeregu. W akim szeregu wsęuje niewielka liczba unków zwronch, a zaem szereg daje się dobrze oisać funkcją zmiennej czasowej o małej liczbie aramerów. Wnika sąd, że soień wielomianu w omawianch modelach owinien bć niewsoki. Gdbśm róbowali klasfikować en model względem krerium sosobu wjaśnienia, niewąliwie mielibśm ewien kłoo. W zbiorze zmiennch objaśniającch nie wsęują zmienne oóźnione lecz lko zmienna czasowa oraz jej ransformacje. Z drugiej sron model aki oisuje dnamikę zmiennej endogenicznej, wnikającą z inercji. W m sensie jes o zaem model dnamiczn. Zauważm onado, że model (.) jes liniow względem aramerów srukuralnch, ale nieliniow względem i zmiennch, wsęują w nim bowiem oęgi zmiennej czasowej. i

12 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii Modelem dnamicznm w węższm sensie nazwać będziem modele z rozłożonm w czasie oddziałwaniem cznników egzogenicznch, modele auoregresjne oraz uwzględniające oba rodzaje dnamiki. W szerszm ujęciu do modeli dnamicznch zaliczać będziem modele niesochascznch endencji rozwojowch. Ważne jes, iż model en w odróżnieniu od omówionch orzednio modeli, w kórch kierując się eoriami ekonomicznmi, dobierano cznniki objaśniające, absrahuje od wjaśnienia rzcznowego, zasęując rzczn ich smomami (n. zmienną czasową, szucznmi zmiennmi eriodcznmi i.). Modele ego rodzaju nazwać będziem smomacznmi. Biorąc od uwagę charaker owiązań omiędz zmienną endogeniczną a zmiennmi objaśniającmi wróżniać będziem modele rzcznowo-skukowe, konsruowane na bazie eorii ekonomicznej oraz modele, w kórch zmienne objaśniające nie mają inerreacji rzcznowej. Mogą o bć modele konsruowane lko w oarciu o krerium korelacjne (wsokiej korelacji zmiennej objaśniającej ze zmienną endogeniczną), bądź modele smomaczne, w kórch zmienne rzcznowe zosał zasąione rzez zmienną czasową oraz zmienne eriodczne (- lub rgonomerczne) 4. Schema.4 Klasfikacja modeli ekonomercznch ze względu na krerium charakeru owiązań omiędz zmienną endogeniczną a zmiennmi objaśniającmi Modele ekonomerczne Przcznowoskukowe Korelacjne i smomaczne Źródło: oracowanie własne..4. Modele wielorównaniowe Ważnm krerium klasfikacjnm modeli ekonomercznch jes liczba równań. Biorąc owższe krerium od uwagę wróżniam modele jednorównaniowe oraz wielorównaniowe. W rakcie wsęnego wkładu odam lko najważniejsze informacje, ozwalające zrozumieć funkcje zmiennch w różnch modelach. Definicję modelu jedno i wielorównaniowego odaliśm na ocząku wkładu, odkreślając, że isona różnica omiędz obu ami modeli kwi w sosobie wjaśniania zmiennch endogenicznch. W modelu wielorównaniowm isone jes łączne wjaśnienie wekora zmiennch endogenicznch, z uwzględnieniem owiązań międz zmiennmi endogenicznmi, jeśli akie isnieją. Isoną różnicą w sosunku do modeli jednorównaniowch jes akże możliwość wsęowania równań deerminiscznch obok równań sochascznch. Równania deerminisczne mogą mieć charaker bilansow bądź definicjn (n. równania równowagi). Model wielorównaniow rzedsawia sobą zaem ujęcie bardziej komleksowe, niż o, kóre jes możliwe do uzskania rz omoc modelu jednorównaniowego. Schema (.5) ukazuje odsawową klasfikację modeli wielorównaniowch ze względu na charaker owiązań omiędz zmiennmi endogenicznmi, wjaśnianmi rzez oszczególne równania modelu. 4 O wkorzsaniu zmiennch szucznch - lub rgonomercznch w badaniach sezonowości mówić będziem na secjalnm wkładzie oświęconm badaniu sezonowości.

13 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii Schema.5 Klasfikacja modeli ekonomercznch ze względu na krerium liczb równań oraz charakeru owiązań omiędz zmiennmi łącznie wsółzależnmi Modele ekonomerczne Jednorównaniowe Wielorównaniowe Prose Rekurencjne O równaniach wsółzależnch Źródło: oracowanie własne Rozważm dwurównaniow saczn model rnku w równowadze składając się z rzech równań: równania ou, odaż i ożsamości definiującej równowagę. Zaiszem en model w nasęując sosób: D S ' ' D S s ' Q X c ' (.) gdzie D - o na ewne dobro, S - odaż ego dobra, - wielkość zrealizowana (będąca w warunkach równowagi jednocześnie realizacją ou i odaż), - cena dobra, cena bliskiego subsuu dla rozarwanego dobra, - dochód, - cena odsawowego cznnika rodukcji (indeks cen cznników rodukcji),, X c - składniki zakłócające równań. Q Wsawiając ożsamość definiującą równowagę do dwóch ierwszch równań orzmujem, o rzekszałceniach: s Q Q s X c (.) j. dwurównaniow model dla dwóch zmiennch endogenicznch nieoóźnionch w czasie (Q i ), ' ' ' ' ' ' ' gdzie /,, /, /. Isoną cechą, kóra odróżnia model jednorównaniow od wielorównaniowego, jes możliwość wełniania różnch funkcji, w różnch równaniach, rzez zmienne endogeniczne nieoóźnione w czasie. Ab o zrozumieć rzjrzjm się modelowi zaisanemu wżej. Wsęują w nim dwie zmienne /

14 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii ndogeniczne nieoóźnione w czasie ( Q, ). W ierwszm równaniu cena objaśnia wielkość zrealizowaną Q, w drugim naomias wielkość zrealizowana Q objaśnia cenę. Zaem obie zmienne w różnch równaniach wełniają odmienne funkcje. Zwrone owiązania omiędz mi zmiennmi rezenuje graf zamieszczon oniżej. Q W ekonomerii rzjęo nazwać zmienne endogeniczne nieoóźnione w czasie jako zmienne łącznie wsółzależne. Nazwa odkreśla zaem cechę łącznego wjaśniania rzez model ewnego zbioru zmiennch. Zmienne łącznie wsółzależne są więc wjaśniane rzez oszczególne równania modelu, w innch jego równaniach mogą służć jako zmienne objaśniające. Zmienne modelu wielorównaniowego, kóre sełniają w nim lko funkcje zmiennch objaśniającch, a zaem wszskie zmienne egzogeniczne oraz endogeniczne oóźnione w czasie rzjęo określać jako zmienne z gór usalone. W rezenowanm modelu rnku, do zbioru zmiennch łącznie wsółzależnch należą: Q i, s c naomias do zbioru zmiennch z gór usalonch:, X oraz. Klasfikacja zmiennch w modelu wielorównaniowm odana jes na schemacie.6. Schema.6 Klasfikacja zmiennch w wielorównaniowm modelu ekonomercznm Zmienne modelu Endogeniczne Egzogeniczne Endogeniczne nieoóźnione w czasie łącznie wsółzależne Egzogeniczne nieoóźnione w czasie Endogeniczne oóźnione w czasie Egzogeniczne oóźnione w czasie Zmienne z gór usalone Źródło: oracowanie własne 4

15 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii Model rnku w równowadze nazwam modelem o równaniach wsółzależnch, gdż wróżnia się wsęowaniem jednoczesnch owiązań zwronch międz zmiennmi łącznie wsółzależnmi. Powiązania zwrone mogą mieć charaker bezośredni, ak jak w rzadku modelu (.) lub ośredni. 5 Ab oznać isoę modelu rekurencjnego rzomnijm znan model rnku w równowadze, nazwan modelem ajęczn. Ma on osać: D c S ' ' ' s ' ' X D S Q (.4) Oznaczenia zmiennch są analogiczne jak w ierwszm sacznm modelu rnku. Różnica międz mi modelami olega,,lko'' na oóźnionej reakcji odaż na zmianę cen. Obecnie omawiam zaem dnamiczn model rnku. Podobnie jak orzednio rzekszałćm model ak, b zawierał lko dwa równania. W konsekwencji rzekszałceń orzmam: c Q s Q X (.5) ' ' ' ' ' ' ' ' ' gdzie: /,, /, /, /. / Zbiór zmiennch łącznie wsółzależnch ego modelu zawiera nadal zmienne: Q i, naomias do s c zbioru zmiennch z gór usalonch zaliczam:,,, X. W modelu ajęczn jednak wielkość zrealizowanego ou włwa na cenę, naomias bezośrednia zależność zwrona nie wsęuje. Cena nie włwa na wielkość zrealizowaną bezośrednio, lecz z jednookresowm oóźnieniem. Zależność ego u rzedsawia graf zamieszczon oniżej. Q Model, w kórm zależności międz zmiennmi wsęują w osaci jednokierunkowego (niezwronego) łańcucha owiązań, nazwam modelem rekurencjnm. Model ajęczn należ do klas modeli rekurencjnch. Osanim z rozarwanch rodzajów modeli wielorównaniowch są modele rose. Model ros o aki, w kórm nie wsęują bezośrednie owiązania międz zmiennmi łącznie wsółzależnmi. W akim modelu, w zbiorze zmiennch objaśniającch wsęują lko zmienne z gór usalone. Najczęsszm rzkładem modeli rosch są układ mikrorelacji, oisujące zachowanie ewnego zbioru jednosek ekonomicznch (n. rzedsiębiorsw, gosodarsw domowch, gru owarów i.). N. Y.Grunfeld i Z.Griliches 6 rozarwali model inwescji rzedsiębiorsw, w kórm inwescje j-ej sółki 5 Przkład akiego modelu zmieszczon jes w nasęnm unkcie części ego wkładu. 6 Zob. Y. Grunfeld, Z. Griliches, Is Aggregaion Necessaril Bad, Review of Economics and Saisics, 96, vol. 4, sr. -. 5

16 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii ( I ) zależał od warości rnkowej firm z okresu orzedniego ( ) oraz zasobów kaiałowch sółki j z okresu orzedniego (C I I F F,,, j C C ). Dla dwóch sółek, możem zaisać:,, F, j. (.6) W modelu m nie wsęuje bezośrednia zależność międz inwescjami różnch sółek. Inwescje danej sółki zależą lko od cznników z nią związanch. Model en można rakować jako zbiór dwóch modeli jednorównaniowch. Podobne rzkład doczć mogą mikrofunkcji ou konsumcjnego. Na koniec odam zwięzłe charakerski rzech wmienionch rodzajów modeli: - model ros charakerzuje się brakiem bezośrednich owiązań międz zmiennmi łącznie wsółzależnmi, - model rekurencjn charakerzuje się wsęowaniem owiązań bezośrednich międz mi zmiennmi, ale o charakerze jednokierunkowm (niezwronm), - model wsółzależn charakerzuje się wsęowaniem bezośrednich, zwronch zależności międz zmiennmi łącznie wsółzależnmi...5 Zais macierzow form srukuralnej Znajomość odziału zmiennch wsęującch w modelu wielorównaniowm na zmienne łącznie wsółzależne oraz zmienne z gór usalone jes kluczowa dla orawnego zaisu macierzowego ego modelu. Jeśli wjściową osacią modelu jes skalarnie zaisan układ równań srukuralnch, o rocedura zaisu macierzowego wgląda nasęująco: - odział zmiennch modelu na łącznie wsółzależne oraz z gór usalone 7, - rzeniesienie wszskich wrazów modelu, z wjąkiem składników zakłócającch, na lewe sron równań, - uworzenie odowiednio zdefiniowanch wekorów zmiennch i macierz aramerów srukuralnch 8, - zais macierzow modelu. Zaiszem obecnie macierzowo rzkładowe modele odane w odunkcie orzednim. Obecnie, zgodnie z odana rocedurą, rzeniesiem w uorządkowan sosób wszskie wraz równań sacznego modelu rnku w równowadze (.), z wjąkiem składników zakłócającch, na sron lewe, zmieniając znaki: Q X s c s c Q X. Zdefiniujem wierszowe wekor zmiennch wsęującch w modelu 9 : 7 Podział aki jes wsarczając dla celów esmacji modelu. W rzadku, gd model jes dnamiczn i rzerowadzana jes analiza mnożnikowa, sośród zmiennch z gór usalonch wodrębnia się zmienne oóźnione i nieoóźnione. Będziem o m mówić na wkładzie oświęconemu ego u analizie. 8 Jeżeli wekor zmiennch zdefiniowane są jako wekor wierszowe, jak w rakcie wkładów, wed aramer oszczególnch równań są usawiane w kolumnach. Jeśli definiujem kolumnowe wekor zmiennch wed aramer oszczególnch równań są usawione w wierszach. 9 Zakładam, że w każdm równaniu srukuralnm wsęuje wraz woln, sąd jednm z elemenów wekora jes jednka. 6

17 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii [ ] Q ; [ ] c s X ; [ ]. o wmiarach odowiednio:,, oraz macierze aramerów: 4 Γ ; Β o wmiarach i. W akim rzadku odowiednim zaisem modelu rnku w równowadze będzie 4 : [ ] [ ] [ c s X Q ]. (.7) Widzim, że w ierwszch kolumnach macierz Γ i Β wsęują aramer ierwszego równania, naomias w kolumnach drugich aramer równania drugiego. Obecnie zaiszem macierzowo dnamiczn model rnku w równowadze (.5), kór określiliśm jako model rekurencjn. Przeiszem go w nasęując sosób: s c X Q s c X Q. Wekor zmiennch oraz macierze aramerów rozarwanego modelu mają więc osacie: [ ] Q ; [ ] s c X ; [ ]. Γ ; Β Odowiednim zaisem dnamicznego modelu rnku w równowadze będzie: Wnika o z definicji mnożenia macierz. 7

18 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii c s [ Q ] [ X ] - [ ]. (.8) - Osanim z rozarwanch rzkładów modeli wielorównaniowch, ros model inwescji rzedsiębiorsw (.6), zaiszem w nasęując sosób: I I F, C, F, C, F, C, F, C,. Wierszowmi wekorami zmiennch modelu będą: [ I I ]; [ F C F C ]; [ ],,,,. o wmiarach odowiednio:, 5, naomias macierzami aramerów: Γ ; Β o wmiarach i 5. Zaisem macierzowm modelu inwescji rzedsiębiorsw będzie zaem: ]. (.9) [ I I ] [ F, C, F, C, ] [ Widzim, że wszskie rzedsawione zais macierzowe mają ogólną osać: Γ Β (.) gdzie: [... ] jes wekorem G zmiennch łącznie wsółzależnch; liczba G jes jednocześnie liczbą równań srukuralnch modelu G, [... ] jes wekorem ( K ) ; K Zakładam, że w modelu każda zmienna łącznie wsółzależna jes wjaśniana rzez jedno równanie srukuralne. 8

19 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii liczba K oznacza zaem liczbę zmiennch z gór usalonch, [... ] G składników zakłócającch kolejnch równań srukuralnch, naomias jes wekorem G γ Γ... γ G γ... γ G γ γ G... G ; Β K K G G KG są macierzami aramerów form srukuralnej o wmiarach odowiednio: GG oraz ( K )G. Ab ogóln zais bł czeln rzjmujem zasadę, że aramer form srukuralne są oznaczone dwoma indeksami odowiednio γ ij oraz ij, rz czm indeks ierwsz oznacza numer zmiennej, zaś indeks drugi numer równania. Zauważm eż, że jeżeli w ewnm równaniu nie wsęuje zmienna, o odowiedni elemen macierz Γ lub Β jes równ zeru. Zaem liczba zer w j ej kolumnie macierz Γ i Β oznacza liczbę zmiennch nie wsęującch w m równaniu. Na głównej rzekąnej macierz Γ znajdują się jednki, co oznacza akie usawienie równań, że zmienna o numerze,, i jes wjaśniana w równaniu o numerze,,i. Macierz Γ orzmuje osać zależną od charakeru owiązań międz zmiennmi łącznie wsółzależnmi. Prawdziwe są nasęujące zdania: - jeżeli model wielorównaniow jes ros, o macierz Γ I jes macierzą jednoskową, - jeżeli model wielorównaniow jes rekurencjn, o macierz Γ jes macierzą rójkąną lub da się do niej srowadzić, orzez zmianę numeracji równań i zmiennch łącznie wsółzależnch, - jeżeli model wielorównaniow jes modelem o równaniach wsółzależnch, o macierz Γ nie jes macierzą rójkąną i nie da się do niej srowadzić, orzez zmianę numeracji równań i zmiennch łącznie wsółzależnch. Ab leiej zrozumieć en roblem rzeanalizujm kilka rzkładów. Pierwszm z nich niech będzie rzrównaniow model zaisan w osaci: γ, γ γ., G Zaisem macierzow ego modelu jes: [ ] [ ]. [ ],, γ γ γ Macierz Γ dla ak zaisanego modelu nie jes rójkąna. Wsarcz jednak zmienić kolejność równań i zmiennch, b dorowadzić ę macierz do akiej osaci. Zamieniając miejscami równanie ierwsze z drugim i odowiednio zmienną ierwszą z drugą orzmujem: 9

20 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii,, γ γ [ ] [ ] [ ].,, γ γ γ Drugim rzkładem niech będzie rzrównaniow model zawierając zw. ośrednią zależność zwroną. Zaiszm nasęującą osać srukuralną:,, γ γ γ γ. Zaisem macierzow ego modelu jes: [ ] [ ] [ ].,, γ γ γ γ Widzim, że macierz nie może bć srowadzona do macierz rójkąnej, orzez zmianę kolejności równań i zmiennch, mimo że liczba zer w ej macierz jes wsarczająca. Nie ma bowiem równania w kórm jako zmienne objaśniające wsęowałb lko zmienne z gór usalone. Wsęuje naomias zw. ośrednia zależność międz zmiennmi łącznie wsółzależnmi, co okazuje graf zmieszczon oniżej. Γ

21 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii Na koniec rzedsawim zais macierzow dwurównaniowego, sacznego modelu Kenesa. Jego skalarnie zaisane równania, jak amięam, mają osać: C X, X C I. Wkorzsując odane wżej definicje zaiszem: [ C X ] [ I ] [ ]... Przczn wsęowania składnika zakłócającego Składnik zakłócając modelu nie jes bezośrednio obserwowaln. Ujmuje on włw wszskich cznników nieuwzględnionch oraz błędów oełnionch w rocesie konsrukcji modelu ekonomercznego. Przczn jego wsęowania w modelu ekonomercznm są nasęujące: - nieuwzględnienie wszskich cznników objaśniającch (niekóre z nich są nierozoznane rzez eorię, inne są niemierzalne), - wbór niewłaściwej osaci analicznej funkcji f ; osać analiczna modelu zwkle nie jes dokładnie określona rzez eorię ekonomii, - błęd w omiarze zmiennch ekonomicznch (n. w rzadku zmiennch agregaowch - błęd agregacji), - losow charaker zmiennch ekonomicznch. Z uwagi na o, że składnik zakłócając jes zmienną losową nazwa się go niekied składnikiem losowm..4 Ea rocedur ekonomercznej Tworzenie modelu ekonomercznego jes mniej lub bardziej związane z,,mieleniem danch. Przez echnologię mielenia danch rozumieć będziem aki sosób modelowania regresjnego, w kórm ariorczna wiedza badacza ograniczona jes do określenia szerokiego zbioru cznników (zmiennch), kóre mogą wsąić w dowolnej konfiguracji. Znaki i warości ocen aramerów nie mają dla badacza rakcznie żadnego znaczenia. Jes on zaineresowan orzmaniem emircznej relacji regresjnej, kóra jes,,najleiej doasowana. Technologii ej nie da się do końca uniknąć choćb dlaego, że eorie ekonomiczne są zawsze słabmi eoriami. Prawie nigd nie jes ak, ab model emirczn bł dan w goowej osaci rzez eorię ekonomiczną. Mówim o m dlaego i w ak wraźn sosób, ab rzesrzec rzed rakowaniem modelowania ekonomercznego jako lko mielenia danch. Punkem wjścia rocedur konsrukcji modelu jes określenie celu badania (nr na schemacie.7). Najogólniej można rzjąć, że akimi dwoma celami mogą bć: - esowanie eorii ekonomicznej, - skonsruowanie modelu oisującego zadane szeregi obserwacji i wkorzsanie ego modelu w analizach hisorcznch oraz/lub rognozowaniu. Schema (.7) zamieszczon w m unkcie wkładu nawiązuje do schemau zamieszczonego w książce G.S.Maddali, Inroducion o Economerics, sr. 6-7.

22 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii W rzadku ierwszm roblem konsrukcji modelu jes równoznaczn z rzedsawieniem eorii w esowalnej osaci. W m rozumieniu srukura modelu ekonomercznego jes w isocie dana. Teoria określa bowiem zmienne objaśniające, owiązania międz nimi oraz niekied osać analiczną. Jeśli nie wszskie zmienne wsęujące w esowanej eorii są bezośrednio obserwowalne do rozwiązania ozosaje roblemem wrażenia zależności w kaegoriach obserwowalnch. Mniejsze znaczenie ma dla jakich szeregów obserwacji zmiennch rzerowadzan jes roces werfikacji. W m rozumieniu model ekonomerczn jes sascznm narzędziem werfikacji eorii ekonomicznej. Przkładami ego u zadań mogą bć n.: - esowanie układu funkcji ou konsumcjnego orzmanch drogą maksmalizacji funkcji użeczności, - esowanie krzwej Phillisa, - esowanie efekwności rnku. W drugim rzadku model jes konsruowan dla konkrench celów analicznch bądź rognoscznch, zwkle na zamówienie decdenów. Konsrukor może osługiwać się wbraną eorią ekonomiczną, może eż konsruować model regresjną sraegią mielenia danch, szczególnie wed gd model ma bć narzędziem rognozowania. W akim rzadku zwkle zbiór zmiennch objaśniającch i srukura dnamiczna modelu nie są z gór dane, lecz są rzedmioem oszukiwań w oarciu o jedno, bądź kilka kreriów,,jakości modelu wbranch rzez badacza. Ea en kończ się określeniem zmiennej/zmiennch ekonomicznch, kóre będą rzedmioem modelowania j. zmiennch endogenicznch, dla kórch konsruowane będą równania modelu. Ea drugi (na schemacie oznaczon ()) nazwan secfikacją modelu, olega na wkorzsaniu eorii ekonomicznch ab określić, kóre zmienne i z jakim oóźnieniem mogą objaśniać zmienną/zmienne endogeniczną/endogeniczne. Na m eaie owsaje zw. model eoreczn, w kórm aramer srukuralne są nieznane, naomias składniki zakłócające są bezośrednio nieobserwowalne. Możliwe są dwie sraegie konsruowania modelu eorecznego: - od szczegółu do ogółu, - od ogółu do szczegółu. Sraegia ierwsza olega na m, ab wsęną wersją rozarwaną rzez badacza bł model możliwie ros, zawierając lko cznniki objaśniające, wnikające z eorii onad wszelką wąliwość. Jeśli model ros nie sełni wmagań badacza będzie on soniowo wzbogacan modfikowan. Sraegia a wnika z zasosowania zasad brzw Ockhama, czli nie komlikowania wjaśnienia, jeśli wjaśnienie rossze jes wsarczające dla badacza. Posęowanie o jes również bardziej bezieczne dla badacza z uwagi na możliwość obserwowania i konrolowania efeków soniowch modfikacji modelu. Z naur modelu regresjnego, o czm mówić będziem na kolejnch wkładach, wnika bowiem, że oszacowanie każdego arameru srukuralnego zależ od korelacji cząskowej, uwarunkowanej wszskimi zmiennmi objaśniającmi wrowadzonmi do modelu. Sraegia druga olega na m, ab wersją wsęną modelu eorecznego bł model rozbudowan, zawierając możliwie wszskie zmienne objaśniające odowiadane rzez eorię o bardzo rozbudowanej srukurze oóźnień. Model emirczn owsaje z modelu rozbudowanego orzez esowanie hioez odnośnie do jego aramerów i ą drogą nasęuje soniowe uroszczenie jego konsrukcji. Procedura a ma uzasadnienie, gd wszskie oencjalne zmienne objaśniające badacz rakuje jako równie ważne, sąd eż mogą one wsąić,,w dowolnej konfiguracji. Musim amięać jednak o isonch ograniczeniach sosowania ej meod. Wnikają one z ego, że zmienne objaśniające są skorelowane omiędz sobą. Dołączenie, bądź odrzucenie dowolnej zmiennej zmienia wsółcznniki korelacji cząskowej wszskich ozosałch zmiennch objaśniającch ze zmienną endogeniczną. Jeśli zaem wjściową wersją modelu jes rozbudowana jego osać uwzględniająca nado wiele oóźnień, wed warości i znaki ocen wsółcznników regresji mogą bć rzadkowe. Ponado ograniczeniem jes liczba soni swobod. Dla szeregów czasowch danch rocznch rzędu - obserwacji, w rozbudowanm modelu, możem rz danm rzku nie odrzucić hioez, kóre odrzucilibśm mając większą liczbę soni swobod. Kolejnm ograniczeniem dla sosowania ej sraegii osęowania jes możliwość ojawienia się

23 Tadeusz W.Boł, Wkład z ekonomerii wsółliniowości/rawie wsółliniowości kolumn obserwacji zmiennch objaśniającch, o czm będziem mówić w rakcie dalszch wkładów. Eaem kolejnm (na schemacie oznaczonm numerem ()) jes zebranie danch sascznch (w formie szeregów czasowch lub danch rzekrojowch) charakerzującch zmienne endogeniczne i egzogeniczne lub skorzsanie ze zbiorów już isniejącch. W rzadku ozskiwania danch ierwonch isone znaczenie ma skonsruowanie orawnego narzędzia omiarowego. Na rzkład w wielu badaniach markeingowch chodzi o rzgoowanie ankie zawierającej odowiednią liczbę ań ozwalającch na oznanie oinii konsumenów oraz zmierzenie cech, kóre charakerzują suację ekonomiczną (dochod) oraz sołeczną (wkszałcenie, raca, san cwiln, miejsce zamieszkania) resondenów. W rzadku danch wórnch chodzi o znalezienie wiargodnch źródeł ich ozskania. Oddzielnm roblemem jes wbór rób. Po ierwsze jej liczebność musi bć większa niż liczba szacowanch aramerów (sełnienie jednego z warunków numercznch), o drugie róba owinna bć rerezenawna. Pojęcie rerezenawności nie jes rozumiane jednoznacznie w rzadku danch rzekrojowch i danch czasowch. W rzadku danch rzekrojowch róba rerezenawna oznacza róbę losowo obraną z oulacji generalnej badanch obieków, o liczebności zaewniającej oszacowanie wbranch aramerów oulacji z zadaną dokładnością. W rzadku danch czasowch (szeregów czasowch) ojęcie rerezenawności odnosim raczej do akualności (sabilności) modelu ekonomercznego o zadanej srukurze. Wiem, że w miarę ułwu czasu dane ekonomiczne,,sarzeją się. W rzadku modeli oisującch relacje echniczno-ekonomiczne (n. modele rodukcji, koszów) jes o wnikiem wrowadzanch zmian echnologii rodukcji, isonch zmian organizacji rodukcji, bądź zmian insucjonalnch. Skukuje o częso isonmi zmianami w czasie akich aramerów jak elasczności rodukcji względem cznników, bądź kosz,,sałe i jednoskowe kosz zmienne. W rzadku modeli oisującch zachowanie jednosek w czasie (n. modele ou konsumcjnego) jes o wnikiem nasęującch w dłuższm okresie czasu zmian zachowań ch jednosek. Skukuje o zmianami w czasie akich aramerów jak krańcowa skłonność do konsumcji, cz elasczności dochodowe i cenowe. W akich rzadkach wdłużanie szeregu czasowego nie zawsze ma uzasadnienie. Rozarując na rzkład model ekonomerczn ze sałmi w czasie aramerami srukuralnmi będziem wbierać róbę czasową, dla kórej będzie można urzmać założenie o sałości aramerów. Będzie o zreszą rzedmioem werfikacji sascznej. Kolejnm eaem na schemacie oznaczonm (4) jes oracowanie danch. W rzadku danch ierwonch chodzi o założenie odowiedniego komuerowego banku danch. W rzadku, gd ozskujem dane, kóre isnieją już w formie elekronicznej chodzi o rzgoowanie ego zbioru w akiej osaci, b mógł bć ławo wkorzsan rzez sasczno-ekonomerczne rogram komuerowe (Saisica, Mfi, PCGive, i.). O wiele ważniejsze jes jednak oracowanie danch. W rzadku szeregów czasowch chodzi uaj o: - srawdzenie, cz w okresie rób dane są orównwalne, j. cz definicje kaegorii ekonomicznch nie uległ zmianie, cz cen w kórch wrażone są kaegorie realne ochodzą z ego samego okresu; jeśli nie należ dorowadzić dane do orównwalności, - srawdzenie, cz nie wsęują okres obserwacjne, w kórch brak jes obserwacji na zmiennch; jeśli ak należ, drogą inerolacji, doszacować brakujące dane, - srawdzenie cz nie wsęują dane nieowe, j. znaczące wzros bądź sadki warości zmiennch, jeśli ak, należ rzeanalizować rzczn nieowch realizacji (częso są o błęd w danch), - zdefiniowanie koniecznch ransformacji zmiennch, zależnie od ego jakie osacie analiczne będą rzedmioem analiz. W rzadku danch rzekrojowch o charakerze jakościowm (łeć, wkszałcenie) konieczne jes zdefiniowanie odowiednich zmiennch szucznch (w szczególności -). Oszacowanie aramerów srukuralnch i srukur sochascznej modelu jes kolejnm eaem rocedur konsrukcji modelu (na schemacie oznaczonm (5)). Jeśli model jes jednorównaniow oszacowania jego aramerów orzmwane są meodą najmniejszch kwadraów (liniową, bądź nieliniową). Zwkle, sosując sandardowe rogram sasczno-ekonomerczne, orzmujem ełn

Cechy szeregów czasowych

Cechy szeregów czasowych energecznch Cech szeregów czasowch Rozdział Modelowanie szeregów czasowch 7 proces deerminisczn proces kórego warość może bć preczjnie określona w dowolnm czasie =T+τ = a +b T T+τ czas = sin(ω) T T+τ czas

Bardziej szczegółowo

Wygładzanie metodą średnich ruchomych w procesach stałych

Wygładzanie metodą średnich ruchomych w procesach stałych Wgładzanie meodą średnich ruchomch w procesach sałch Cel ćwiczenia. Przgoowanie procedur Średniej Ruchomej (dla ruchomego okna danch); 2. apisanie procedur do obliczenia sandardowego błędu esmacji;. Wizualizacja

Bardziej szczegółowo

Motto. Czy to nie zabawne, że ci sami ludzie, którzy śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogody oraz ekonomistów? (K.

Motto. Czy to nie zabawne, że ci sami ludzie, którzy śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogody oraz ekonomistów? (K. Motto Cz to nie zabawne, że ci sami ludzie, którz śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogod oraz ekonomistów? (K. Throop III) 1 Specfika szeregów czasowch Modele szeregów czasowch są alternatwą

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA KONSTRUKCJI

DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 11 WPŁYW ZMIAN KURSU WALUTOWEGO NA RYNEK PRACY

ROZDZIAŁ 11 WPŁYW ZMIAN KURSU WALUTOWEGO NA RYNEK PRACY Rszard Sefański ROZDZIAŁ 11 WPŁYW ZMIAN KURSU WALUTOWEGO NA RYNEK PRACY Absrak Ocena wpłwu zmian kursu waluowego na rnek prac jes szczególnie isona dla polskiej gospodarki w najbliższch laach. Spośród

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i symulacje

Prognozowanie i symulacje Prognozowanie i smulacje Lepiej znać prawdę niedokładnie, niż dokładnie się mlić. J. M. Kenes dr Iwona Kowalska ikowalska@wz.uw.edu.pl Prognozowanie meod naiwne i średnie ruchome Meod naiwne poziom bez

Bardziej szczegółowo

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl IX OLIMPIADA FIZYCZNA (959/960). Soień III, zadanie doświadczalne D. Źródło: Komie Główny Olimiady Fizycznej; Aniela Nowicka: Olimiady Fizyczne IX i X. PZWS, Warszawa 965 (sr. 6 69). Nazwa zadania: Działy:

Bardziej szczegółowo

Modele wielorownaniowe

Modele wielorownaniowe Część 1. e e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e makroekonomiczne z reguły składają się z większej

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie prognoz. - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz. - podstawowe metody kombinowania prognoz

Kombinowanie prognoz. - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz. - podstawowe metody kombinowania prognoz Noaki do wykładu 005 Kombinowanie prognoz - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz - podsawowe meody kombinowania prognoz - przykłady kombinowania prognoz gospodarki polskiej - zalecenia

Bardziej szczegółowo

Krzywe na płaszczyźnie.

Krzywe na płaszczyźnie. Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.

EKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar. EKONOMERIA wykład Prof. dr hab. Eugeniusz Ganar eganar@mail.wz.uw.edu.pl Przedziały ufności Dla paramerów srukuralnych modelu: P bˆ j S( bˆ z prawdopodobieńswem parameru b bˆ S( bˆ, ( m j j j, ( m j b

Bardziej szczegółowo

Konspekty wykładów z ekonometrii

Konspekty wykładów z ekonometrii Konspek wkładów z ekonomerii Budowa i werfikaca modelu - reść przkładu W wniku ssemacznch badań popu na warzwa w pewnm mieście, orzmano nasępuące szeregi czasowe: przros (zmian) popu na warzwa (w zł. na

Bardziej szczegółowo

Zasady budowania prognoz ekonometrycznych

Zasady budowania prognoz ekonometrycznych Zasad budowania prognoz ekonometrcznch Klasczne założenia teorii predkcji 1. Znajomość modelu kształtowania się zmiennej prognozowanej Znajomość postaci analitcznej wstępującch zależności międz zmiennmi

Bardziej szczegółowo

licencjat Pytania teoretyczne:

licencjat Pytania teoretyczne: Plan wykładu: 1. Wiadomości ogólne. 2. Model ekonomeryczny i jego elemeny 3. Meody doboru zmiennych do modelu ekonomerycznego. 4. Szacownie paramerów srukuralnych MNK. Weryfikacja modelu KMNK 6. Prognozowanie

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk TREND WYODRĘBNIANIE SKŁADNIKÓW SZEREGU CZASOWEGO 1. FUNKCJA TRENDU METODA ANALITYCZNA 2. ŚREDNIE RUCHOME METODA WYRÓWNYWANIA MECHANICZNEGO średnie ruchome zwykłe średnie

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk Krzywa wieża w Pizie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y 4,9642 4,9644 4,9656 4,9667 4,9673 4,9688 4,9696 4,9698 4,9713 4,9717 4,9725 4,9742 4,9757 Szeregiem czasowym nazywamy

Bardziej szczegółowo

BADANIE NIESPŁACALNOŚCI KREDYTÓW ZA POMOCĄ BAYESOWSKICH MODELI DYCHOTOMICZNYCH - ZAŁOŻENIA I WYNIKI 1. 1. Wprowadzenie.

BADANIE NIESPŁACALNOŚCI KREDYTÓW ZA POMOCĄ BAYESOWSKICH MODELI DYCHOTOMICZNYCH - ZAŁOŻENIA I WYNIKI 1. 1. Wprowadzenie. Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Jerzy Marzec BADANIE NIESPŁACALNOŚCI KREDYTÓW ZA POMOCĄ BAYESOWSKICH MODELI DYCHOTOMICZNYCH - ZAŁOŻENIA I WYNIKI 1

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak ( ) ( ) ( ) i E E E i r r = = = = = θ θ ρ ν φ ε ρ α * 1 1 1 ) ( R. popyu R. Fishera Krzywa Phillipsa

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Urządzenia i Układów Automatyki Instrukcja Wykonania Projektu

Urządzenia i Układów Automatyki Instrukcja Wykonania Projektu KAEDRA ENERGOELEKRYKI POLIECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Urądenia i Układów Auomayki Insrukcja Wykonania Projeku Auory: rof. dr hab. inż. Eugenius Rosołowski dr inż. Pior Pier dr inż. Daniel Bejmer Wrocław 5 I.

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Aleksander Jakimowicz. Dynamika nieliniowa a rozumienie współczesnych idei ekonomicznych

Aleksander Jakimowicz. Dynamika nieliniowa a rozumienie współczesnych idei ekonomicznych Aleksander Jakimowicz Dynamika nieliniowa a rozumienie wsółczesnych idei ekonomicznych Plan rezenacji Dynamika ekonomiczna w rzesrzeni aramerów. Oczekiwania adaacyjne a oczekiwania racjonalne. Krzywa Phillisa.

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F

Bardziej szczegółowo

ISBN (wersja drukowana) ISBN (ebook)

ISBN (wersja drukowana) ISBN (ebook) Doroa Pekasiewicz Krsna Pruska Kaedra Meod Sascznch Wdział Ekonomiczno-Socjologiczn Uniwerse Łódzki 90-4 Łódź ul. Rewolucji 905 r. nr 4/43 RECENZENT Grażna Trzio SKŁD I ŁMNIE Barbara Lebioda PROJEKT OKŁDKI

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DYNAMIKI ZJAWISK SZEREG CZASOWY

ANALIZA DYNAMIKI ZJAWISK SZEREG CZASOWY D. Miszczńska, M.Miszczński, Maeriał do wkładu 5 ze Saski, 29/ [] ANALZA DYNAMK ZJAWSK. szereg czasow, chronologiczn (momenów, okresów) 2. średni oziom zjawiska w czasie (średnia armeczna, średnia chronologiczna)

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi: Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane

Bardziej szczegółowo

ANALIZA CZASOWO-KOSZTOWA (CPM-COST). ALGORYTM A MODEL OPTYMALIZACYJNY

ANALIZA CZASOWO-KOSZTOWA (CPM-COST). ALGORYTM A MODEL OPTYMALIZACYJNY D N I O P R C Y J N I D C Y Z J Nr 006 Helena GSPRS* NLIZ CZSOWO-KOSZTOW (CPM-COST). LGORYTM MODL OPTYMLIZCYJNY Za omocą rzkładowch sieci obrazującch realizację rzedsięwzięć inwestcjnch zilustrowano działanie

Bardziej szczegółowo

ψ przedstawia zależność

ψ przedstawia zależność Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi

Bardziej szczegółowo

WIELOFUNKCYJNY SYSTEM PRECYZYJNEGO POZYCJONOWANIA SATELITARNEGO ASG-EUPOS

WIELOFUNKCYJNY SYSTEM PRECYZYJNEGO POZYCJONOWANIA SATELITARNEGO ASG-EUPOS GŁÓWN URĄD GEODEJI I KRTOGRFII DEPRTMENT GEODEJI KRTOGRFII I SSTEMÓW INFORMCJI GEOGRFICNEJ WIELOFUNKCJN SSTEM PRECJNEGO POCJONOWNI STELITRNEGO SG-EUPOS PRELICENI I TRNSFORMCJE WSPÓŁRĘDNCH Oracoał: Leszek

Bardziej szczegółowo

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Marcin Gajewski Uniwersye Łódzki 4.12.2008 Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Niezabazpieczony UIP)

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

[ ] [ ] [ ] [ ] 1. Sygnały i systemy dyskretne (LTI, SLS) y[n] x[n] 1.1. Systemy LTI. liniowy system dyskretny

[ ] [ ] [ ] [ ] 1. Sygnały i systemy dyskretne (LTI, SLS) y[n] x[n] 1.1. Systemy LTI. liniowy system dyskretny Cyfrowe rzewarzanie sygnałów --. Sygnały i sysemy dyskrene (LTI, SLS).. Sysemy LTI Pojęcie sysemy LTI oznacza liniowe sysemy niezmienne w czasie (ang. Linear Time - Invarian ). W lieraurze olskiej częściej

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 5 listopada 2013 Czas 90 minut

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 5 listopada 2013 Czas 90 minut Wojewódzki Konkurs Maemayczny dla uczniów gimnazjów. Eap szkolny 5 lisopada 2013 Czas 90 minu ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. (1 punk) Liczby A = 0, 99, B = 0, 99 2, C = 0, 99 3, D = 0, 99, E=0, 99 1 usawiono

Bardziej szczegółowo

4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ

4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ 4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ 4.. Wrowadzeie W sysemach zależych od zdarzeń wyzwalaie określoego zachowaia się układu jes iicjowae rzez dyskree zdarzeia. Modelowaie akich syuacji ma a celu symulacyją aalizę

Bardziej szczegółowo

Etapy modelowania ekonometrycznego

Etapy modelowania ekonometrycznego Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki Poliechnika Gdańska Wydział Elekroechniki i Auomayki Kaedra Inżynierii Sysemów Serowania Podsawy Auomayki Repeyorium z Podsaw auomayki Zadania do ćwiczeń ermin T15 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz,

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

Analiza szeregów czasowych uwagi dodatkowe

Analiza szeregów czasowych uwagi dodatkowe Analiza szeregów czasowch uwagi dodakowe Jerz Sefanowski Poliechnika Poznańska Zaawansowana Eksploracja Danch Prognozowanie Wbór i konsrukcja modelu o dobrch własnościach predkcji przszłch warości zmiennej.

Bardziej szczegółowo

BAYESOWSKI MODEL TOBITOWY Z ROZKŁADEM t STUDENTA W ANALIZIE NIESPŁACALNOŚCI KREDYTÓW 1

BAYESOWSKI MODEL TOBITOWY Z ROZKŁADEM t STUDENTA W ANALIZIE NIESPŁACALNOŚCI KREDYTÓW 1 Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Jerzy Marzec BAYEOWKI MODEL TOBITOWY Z ROZKŁADEM TUDENTA W ANALIZIE NIEPŁACALNOŚCI KREDYTÓW 1 1. Wrowadzenie Głównym

Bardziej szczegółowo

Rozdział 3. Majątek trwały

Rozdział 3. Majątek trwały Rozdział 3. Mająek rwały Charakerysyka i odział rodzajowy środków rwałych Środki rwałe są rzeczowymi składnikami mająku rwałego o znacznej warości, rwale użykowanymi w jednosce gosodarczej, wykorzysywanymi

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw z systemem SAS Dr hab. E. Frątczak, ZAHZiAW, ISiD, KAE. Część VII. Analiza szeregu czasowego

Statystyka od podstaw z systemem SAS Dr hab. E. Frątczak, ZAHZiAW, ISiD, KAE. Część VII. Analiza szeregu czasowego Część VII. Analiza szeregu czasowego 1 DEFINICJA SZEREGU CZASOWEGO Szeregiem czasowym nazywamy zbiór warości cechy w uporządkowanych chronologicznie różnych momenach (okresach) czasu. Oznaczając przez

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków

Bardziej szczegółowo

Analiza składowych głównych. Wprowadzenie

Analiza składowych głównych. Wprowadzenie Wprowadzenie jest techniką redukcji wymiaru. Składowe główne zostały po raz pierwszy zaproponowane przez Pearsona(1901), a następnie rozwinięte przez Hotellinga (1933). jest zaliczana do systemów uczących

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK 1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE 2 hp://www.oucome-seo.pl/excel2.xls DODATEK SOLVER WERSJE EXCELA 5.0, 95, 97, 2000, 2002/XP i 2003. 3 Dodaek Solver jes dosępny w menu Narzędzia. Jeżeli Solver nie jes dosępny

Bardziej szczegółowo

Badanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1

Badanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 adanie funkorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 1. Cel ćwiczenia Zapoznanie się z podsawowymi srukurami funkorów logicznych realizowanych w echnice TTL (Transisor Transisor Logic), ich podsawowymi paramerami

Bardziej szczegółowo

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE Janusz Sowiński, Rober Tomaszewski, Arur Wacharczyk Insyu Elekroenergeyki Poliechnika Częsochowska Aky prawne

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami 8 Liczba 9 jest równa A. B. C. D. 9 5 C Przykładowe zadania z matematyki na oziomie odstawowym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0-) Liczba log jest równa A. log + log 0 B. log 6 + log C. log 6 log D. log

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. Zadania przygotowujące do egzaminu: .Wskazówka: Zastosować wzór de Moivre'a;

Algebra liniowa. Zadania przygotowujące do egzaminu: .Wskazówka: Zastosować wzór de Moivre'a; emer leni 5/6 lgebra liniowa Znaleźć i nakicować biór 8 C j ; a) ( ) b) { C j j } c) { C Im( ) } ; Zadania rgoowjące do egamin Wkaówka Zaoować wór de Moire'a; d) C Im Wnacć licb dla kórch macier je odwracalna

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

specyfikacji i estymacji modelu regresji progowej (ang. threshold regression).

specyfikacji i estymacji modelu regresji progowej (ang. threshold regression). 4. Modele regresji progowej W badaniach empirycznych coraz większym zaineresowaniem cieszą się akie modele szeregów czasowych, kóre pozwalają na objaśnianie nieliniowych zależności między poszczególnymi

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY I STUDIA. Metody spektralne w analizie cyklu koniunkturalnego gospodarki polskiej. Zeszyt nr 252. Paweł Skrzypczyński. Warszawa, 2010 r.

MATERIAŁY I STUDIA. Metody spektralne w analizie cyklu koniunkturalnego gospodarki polskiej. Zeszyt nr 252. Paweł Skrzypczyński. Warszawa, 2010 r. MATERIAŁY I STUDIA Zesz nr 5 Meod spekralne w analizie cklu koniunkuralnego gospodarki polskie Paweł Skrzpczński Warszawa, r. Chciałbm podziękować prof. Tomaszowi Kuszewskiemu za wsparcie oraz cenne uwagi

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do laboratorium z fizyki budowli. Ćwiczenie: Pomiar i ocena hałasu w pomieszczeniu

Instrukcja do laboratorium z fizyki budowli. Ćwiczenie: Pomiar i ocena hałasu w pomieszczeniu nstrukcja do laboratorium z fizyki budowli Ćwiczenie: Pomiar i ocena hałasu w omieszczeniu 1 1.Wrowadzenie. 1.1. Energia fali akustycznej. Podstawowym ojęciem jest moc akustyczna źródła, która jest miarą

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH SaSof Polska, el. 12 428 43 00, 601 41 41 51, info@sasof.pl, www.sasof.pl WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH Joanna Maych, Krajowy Depozy Papierów

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 1. Wykład 3. Sformułujemy teraz warunki konieczne dla istnienia rozwiązań zagadnienia optymalizacyjnego:

ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 1. Wykład 3. Sformułujemy teraz warunki konieczne dla istnienia rozwiązań zagadnienia optymalizacyjnego: ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 1 Wykład 3 3. Otymalizacja z ograniczeniami Sformułujemy teraz warunki konieczne dla istnienia rozwiązań zagadnienia otymalizacyjnego: g i HxL 0, i = 1, 2,..., m (3.1)

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL AUTOR: ŻANETA PRUSKA

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL AUTOR: ŻANETA PRUSKA 1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: mgr inż. ŻANETA PRUSKA DODATEK SOLVER 2 Sprawdzić czy w zakładce Dane znajduję się Solver 1. Kliknij przycisk Microsof Office, a nasępnie kliknij przycisk Opcje

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU

Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU Modelowanie ryzyka kredyowego MODELOWANIE ZA POMOCA PROCESU HAZARDU Mariusz Niewęgłowski Wydział Maemayki i Nauk Informacyjnych, Poliechniki Warszawskiej Warszawa 2014 hazardu Warszawa 2014 1 / 18 Proces

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13

Stanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13 Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka Zajęcia 13 1 1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Janusz Górczyński. Prognozowanie i symulacje w zadaniach

Janusz Górczyński. Prognozowanie i symulacje w zadaniach Wykłady ze statystyki i ekonometrii Janusz Górczyński Prognozowanie i symulacje w zadaniach Wyższa Szkoła Zarządzania i Marketingu Sochaczew 2009 Publikacja ta jest czwartą ozycją w serii wydawniczej Wykłady

Bardziej szczegółowo

Metoda najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów Model ekonometryczny Wykształcenie a zarobki Hipoteza badawcza: Istnieje zależność między poziomem wykształcenia a wysokością zarobków Wykształcenie a zarobki Hipoteza badawcza: Istnieje zależność między

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych Poliechnika Częsochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informayki Sprawozdanie #2 z przedmiou: Prognozowanie w sysemach mulimedialnych Andrzej Siwczyński Andrzej Rezler Informayka Rok V, Grupa IO II

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Ruch po równi pochyłej

Ruch po równi pochyłej Sławomir Jemielit Ruch po równi pochłej Z równi pochłej o kącie nachlenia do poziomu α zsuwa się ciało o masie m. Jakie jest przspieszenie ciała, jeśli współcznnik tarcia ciała o równię wnosi f? W jakich

Bardziej szczegółowo

Praca domowa nr 1. Metodologia Fizyki. Grupa 1. Szacowanie wartości wielkości fizycznych Zad Stoisz na brzegu oceanu, pogoda jest idealna,

Praca domowa nr 1. Metodologia Fizyki. Grupa 1. Szacowanie wartości wielkości fizycznych Zad Stoisz na brzegu oceanu, pogoda jest idealna, Praca domowa nr. Meodologia Fizyki. Grupa. Szacowanie warości wielkości fizycznych Zad... Soisz na brzegu oceanu, pogoda jes idealna, powierze przeźroczyse; proszę oszacować jak daleko od Ciebie znajduje

Bardziej szczegółowo

Analiza współzależności zjawisk

Analiza współzależności zjawisk Analiza współzależności zjawisk Informacje ogólne Jednostki tworzące zbiorowość statystyczną charakteryzowane są zazwyczaj za pomocą wielu cech zmiennych, które nierzadko pozostają ze sobą w pewnym związku.

Bardziej szczegółowo

SZEREG CZASOWY Y zjawisko badane w różnych okresach lub momentach czasu. Dynamika zjawiska to zmiana zjawiska w czasie. Przykład. Y średni kurs akcji

SZEREG CZASOWY Y zjawisko badane w różnych okresach lub momentach czasu. Dynamika zjawiska to zmiana zjawiska w czasie. Przykład. Y średni kurs akcji SZEREG CZASOWY Y zjawisko badane w różnch okresach lub momentach czasu. Dnamika zjawiska to zmiana zjawiska w czasie. Przkład. Y średni kurs akcji firm OPTMUS na giełdzie Okres: notowania od 1.03.2010

Bardziej szczegółowo

Metody rachunku kosztów Metoda rachunku kosztu działań Podstawowe pojęcia metody ABC Kalkulacja obiektów kosztowych metodą ABC Zasobowy rachunek

Metody rachunku kosztów Metoda rachunku kosztu działań Podstawowe pojęcia metody ABC Kalkulacja obiektów kosztowych metodą ABC Zasobowy rachunek Meody rachunku koszów Meoda rachunku koszu Podsawowe pojęcia meody ABC Kalkulacja obieków koszowych meodą ABC Zasobowy rachunek koszów Kalkulacja koszów meodą ABC podsawową informacja dla rachunkowości

Bardziej szczegółowo

WYZNACZENIE OKRESU RÓWNOWAGI I STABILIZACJI DŁUGOOKRESOWEJ

WYZNACZENIE OKRESU RÓWNOWAGI I STABILIZACJI DŁUGOOKRESOWEJ Anna Janiga-Ćmiel WYZNACZENIE OKRESU RÓWNOWAGI I STABILIZACJI DŁUGOOKRESOWEJ Wrowadzenie W rozwoju każdego zjawiska niezależnie od tego, jak rozwój ten jest ukształtowany rzez trend i wahania, można wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia IV

Ćwiczenia IV Ćwiczenia IV - 17.10.2007 1. Spośród podanych macierzy X wskaż te, których nie można wykorzystać do estymacji MNK parametrów modelu ekonometrycznego postaci y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ε 2. Na podstawie

Bardziej szczegółowo

Analiza danych DRZEWA DECYZYJNE. Drzewa decyzyjne. Entropia. http://zajecia.jakubw.pl/ test 1 dopełnienie testu 1

Analiza danych DRZEWA DECYZYJNE. Drzewa decyzyjne. Entropia. http://zajecia.jakubw.pl/ test 1 dopełnienie testu 1 Analiza danych Drzewa decyzyjne. Enropia. Jakub Wróblewski jakubw@pjwsk.edu.pl hp://zajecia.jakubw.pl/ DRZEWA DECYZYJNE Meoda reprezenacji wiedzy (modelowania ablic decyzyjnych). Pozwala na przejrzysy

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia Sem. zimowy 2016/2017

Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia Sem. zimowy 2016/2017 Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia Sem. zimowy 06/07 Źródła z amięcią Zadanie (kolokwium z lat orzednich) Obserwujemy źródło emitujące dwie wiadomości: $ oraz. Stwierdzono, że częstotliwości wystęowania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODEE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Joanna Małgorzaa andmesser Szkoła Główna

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA NEOKLASYCZNEJ TEORII WZROSTU EKOLOGICZNIE UWARUNKOWANEGO W MODELOWANIU ZRÓWNOWAŻONEGO ROZWOJU REGIONU. Henryk J. Wnorowski, Dorota Perło

ZAŁOŻENIA NEOKLASYCZNEJ TEORII WZROSTU EKOLOGICZNIE UWARUNKOWANEGO W MODELOWANIU ZRÓWNOWAŻONEGO ROZWOJU REGIONU. Henryk J. Wnorowski, Dorota Perło 0-0-0 ZAŁOŻENIA NEOKLASYCZNEJ TEORII WZROSTU EKOLOGICZNIE UWARUNKOWANEGO W MODELOWANIU ZRÓWNOWAŻONEGO ROZWOJU REGIONU Henryk J. Wnorowski, Doroa Perło Plan wysąpienia Cel referau. Kluczowe założenia neoklasycznej

Bardziej szczegółowo