Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Transkrypt

1 Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP luty, 2012

2 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja. Ośrodkowość procesu Proces (X (t)) t T nazywamy ośrodkowym, jeśli istnieje zbiór przeliczalny S T oraz zbiór N, P(N) = 0, taki, że dla ω / N i dla dowolnego t T zachodzi X t (ω) X (I S, ω) I ;I t gdzie I przebiega zbiór J odcinków relatywnie otwartych w T. S nazywamy zbiorem ośrodkowości procesu (X (t)) t T. Równoważnie: Proces (X (t)) t T jest ośrodkowy dla dowolnego ω / N i dowolnego u / S istnieje ciąg S s j u taki, że X (u, ω) = lim j X (s j, ω).

3 Ośrodkowość procesów Wniosek. Proces o trajektoriach ciągłych (prawostronnie, lewostronnie ciągłych) jest ośrodkowy. Tw. 1. Niech (X (t)) t T będzie procesem ośrodkowym oraz S zbiorem ośrodkowości procesu. Istnieje zbiór N, P(N) = 0 taki, że dla dowolnego domkniętego zbioru K R oraz dowolnego relatywnie otwartego przedziału I T zachodzi {X (t) K, t I S} \ {X (t) K, t I } N. Stąd wynika, że zbiory {X (t) K, t I } są zdarzeniami ( Σ) oraz P(X (t) K, t I ) = P(X (t) K, t I S) = inf P(X (t) K, t I U). U I gdzie U przebiega wszystkie przeliczalne podzbiory I T.

4 Ośrodkowość procesów Wniosek. Dla ω / N zachodzi lim sup t u sup I X (t, ω) = sup X (t, ω), inf X (t, ω) = inf X (t, ω); I S I I S X (t, ω) = lim sup S t u X (t, ω), lim inf t u Stąd, powyższe wzory określają zmienne losowe. X (t, ω) = lim inf X (t, ω). S t u Analogiczne wzory zachodzą dla granic jednostronnych. Dowód Tw. 1. Z definicji ośrodkowości zachodzi X (u, ω) X (I S, ω), dla dowolnego u I J oraz ω / N. Zatem X (I, ω) = X (I S, ω), I J, ω / N. Pierwszy z wzorów wynika teraz z następującej równoważności: {X (t) K, t T 0 } X (T 0, ω) K, K domkn. R, T 0 T.

5 Ciągłość stochastyczna, środkowość procesów Definicja. Ciągłość stochastyczna procesu Proces (X (t)) t T nazywamy ciągłym stochastycznie, gdy odwzorowanie t X (t) jest ciągłe w sensie zbieżności wg. prawdopodobieństwa. Tw. 2. Jeśli (X (t)) t T jest ciągły stochastycznie i ośrodkowy to dowolny zbiór przeliczalny gęsty w T jest zbiorem ośrodkowości procesu. Lemat. Niech (X (t)) t T będzie ciągły stochastycznie oraz niech S będzie zbiorem przeliczalnym, gęstym w T. Istnieje rodzina {N u ; u T } zbiorów zerowych, taka, że dla dowolnego u T oraz ω / N u X (u, ω) I u X (I S, ω)

6 Ciągłość stochastyczna, ośrodkowość procesów Dowód Lematu. Dla dowolnego u T i dowolnego {s j }, s j S, s j u zachodzi X sj X u wg. prawdopodobieństwa. Istnieje wiec podciąg {s k } taki, że dla ω / N u zachodzi X sk X u więc X (u, ω) X (I S, ω). I u Dowód Tw. 2. Niech S 0 - zbiór ośrodkowości procesu oraz N - zbiór zerowy z definicji ośrodkowości. Jeśli S jest zbiorem przeliczalnym gęstym w T, to na podstawie lematu X (I S 0, ω) X (I S, ω), dla ω / S 0 N u. Stąd X (u, ω) X (I S, ω), dla dowolnego u I J i dowolnego ω / N S 0 N u.

7 Stochastyczna równoważność i ośrodkowość procesów Definicja. Stochastyczna równoważność procesów Procesy X i Y nazywamy stochastycznie równoważnymi jeśli dla każdego t T zachodzi P(X (t) = Y (t)) = 1. Procesy stochastycznie równoważne mają te same rozkłady skończenie wymiarowe więc ten sam rozkład procesu. Tw. Stochastyczna równoważność z procesem ośrodkowym Dla dowolnego procesu X istnieje stochastycznie równoważny proces ośrodkowy Y o wartościach w R.

8 Proces Wienera R. Brown (1827) - chaotyczny ruch pyłku unoszącego się w cieczy; A. Einstein (1827) - równanie dyfuzji; N. Wiener (1918) - istnienie i podstawowe własności procesu Wienera (ruchu Browna). Postulaty procesy Wienera W (t) (i) W (0) = 0, (ii) W jest jednorodnym procesem o przyrostach niezależnych, (iii) W (t + s) W (s) ma rozkład normalny o średniej 0 i wariancji t, (iv) trajektorie procesu W są z prawdopodobieństwem 1 ciągłe.

9 Proces Wienera, lematy pomocnicze Lemat 1. Niech J a = a e v 2 /2 dv. Dla a > 0 zachodzi: Stąd Dowód. J a = a a 1 + a 2 e a2 /2 J a 1 a e a2 /2. J a 1 a e a2 /2. 1 v v e v 2 /2 ( 1) dv = d(e v 2 /2 ) = a v = 1 /2 e v 2 /2 dv a e a2 v 2. a

10 Proces Wienera, lematy pomocnicze Ponieważ a e v2 /2 dv v 2 1 a e a2 /2 = J a + a J a /a 2 więc e v 2 /2 dv v 2 J a + 1 a 2 = 1 + a2 a 2 J a, Stąd otrzymujemy lewą część nierówności. Prawa wynika bezpośrednio z pierwszego wzoru. Lemat 2. Niech ξ 1,..., ξ n będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Połóżmy U 0 = V n = 0, U k = ξ ξ k, V k = ξ k ξ n, k = 0,......, n 1. Jeśli P(V k b) p > 0 dla każdego k, b 0 a, to p P(max U k > a) P(U n > a + b). k Jeśli P( V k b) q > 0 dla wszystkich k, b 0, to P(max U k > a + b) P( U n > a). k

11 Proces Wienera, lematy pomocnicze Dowód Lematu 2. Oznaczmy A 0 = {U 0 > a}, B k = {V k b} oraz A k = {U 0 a,..., U k 1 a, U k > a}. Dowód pierwszej nierówności: P(U n > a + b) k P(A k B k ) = k P(A k ) P(B k ) = p k P(A k ) = p P(max U k > a). k Dla dowodu drugiej, niech A 0 = { U 0 > a + b}, B k = { V k b}, A k = { U 0 a + b,..., U k 1 a + b, U k > a + b}. U n U k V k więc A k B k { U n > a}. Stąd P( U n > a) k P(A k B k ) = k P(A k ) P(B k ) = q P(max k U k > a + b).

12 Oszacowanie maksimum w procesie Wienera Tw. 3. P(sup 0 s t W s > a) 2 P( W t > a) Niech W = (W (t)) 0 będzie procesem ośrodkowym spełniającym postulaty (i)-(iii). Oznaczmy M t = sup 0 s t W s, m t = inf 0 s t W s. Dla a 0 zachodzi P(M t > a) 2 P(W t > a), P( sup W s > a) 2 P( W t > a). 0 s t P(m t < a) 2 P(W t < a), Dowód. Udowodnimy pierwszą nierówność. Z ośrodkowości i ciągłości stochastycznej wynika, że wystarczy pokazać nierówność dla sup s [0t] S W s dla dowolnego zbioru S = {s 1, s 2,...}, przeliczalnego i gęstego w [0, t]. Niech s 1 = 0, s 2 = t oraz niech 0 = t 0 < t 1 <... < t n = t będzie układem n pierwszych wyrazów tego zbioru, uporządkowanym rosnąco. Kładąc ξ k = W tk W tk 1 otrzymujemy U k = ξ ξ k = W tk, V k = ξ k ξ n = W t W tk oraz P(V k 0) 1/2.

13 Oszacowanie maksimum w procesie Wienera Stosując Lemat 2 dla b = 0 oraz p = 1/2 otrzymujemy P( sup W tk 0 k n > a) 2 P(W t > a). Gdy n otrzymujemy dowodzoną nierówność. Ponieważ { sup W s > a} { sup W s > a} { inf W s < a} 0 s t 0 s t 0 s t więc pierwsze dwie nierówności pociągają za sobą trzecią. Druga nierówność wynika z pierwszej i z symetrii W t : sup W s = inf ( W s); 0 s t 0 s t ( W s ) s 0 ma taki sam rozkład jak (W s ) s 0.

14 Ciągłość trajektorii procesu Wienera Tw. 4. Ciągłość trajektorii procesu Wienera Niech (W t ) t 0 będzie ośrodkowym procesem spełniającym postulaty (i)-(iii) procesu Wienera. Trajektorie procesu (W t ) t 0 są ciągłe z prawdopodobieństwem 1. Dokładniej, dla każdego 0 < p < 1/2 istnieje N p = N p (ω) takie, że gdy n N p to z prawd. 1 zachodzi W s W t < 4/n p dla s t < 1/n, s, t [0, n]. Dowód. Wystarczy udowodnić ostatnią nierówność. Niech Y n = sup s t <1/n W s W t, s, t [0, n] oraz niech Z k = sup t Jk W t W (k 1)/n, J k = [(k 1)/n, k/n], k = 1,..., n 2. Z nierówności trójkąta mamy Y n 3 max k Z k. Rzeczywiście, gdy s t < 1/n, s J k to W s W t 2 Z k + Z k+1 3 max k Z k. Z k mają jednakowe rozkłady, więc

15 Ciągłość trajektorii procesu Wienera Na mocy Tw. 3 p n = P(max Z k > ε) = P( {Z k > ε}) P(Z k > ε) = n 2 P(Z k > ε). k P(Z k > ε) 2 P( W 1/n > ε) = 2 2 π ε e v 2 /2 dv, n więc z Lematu 1 otrzymujemy p n 2 n 2 2 P( W 1/n > ε) 2 π n3/2 e nε2 /2 /ε. Kładąc ε = ε n = 1/n p dla p < 1/2 otrzymujemy p n <. Z lematu Borella - Cantelliego z prawdopodobieństwem 1 zachodzi n > N p = max k Z k 1/n p czyli Y n 3/n p.