Podstawy sterowania. Kompilacja wykładów i książki Obserwacja i sterowanie w systemach dynamicznych dr hab. inż. Witolda Byrskiego, prof. nadzw.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawy sterowania. Kompilacja wykładów i książki Obserwacja i sterowanie w systemach dynamicznych dr hab. inż. Witolda Byrskiego, prof. nadzw."

Transkrypt

1 Podstaw sterowania Kompilacja wkładów i książki Obserwacja i sterowanie w sstemach dnamicznch dr hab. inż. Witolda Brskiego, prof. nadzw. AGH Spis treści Sprzężenie zwrotne. Zadania kład reglacji...3. Sprzężenie zwrotne Zadania kład reglacji Modele procesów fizcznch i ich opis. Modele sgnałów. Zasad ciągłości Modele procesów fizcznch Stan przejściowe Modele sgnałów Rząd kład Zasad ciągłości Modele dnamiczne liniowe i nieliniowe Człon inercjn I rzęd Człon różniczkjąc z inercją I rzęd Układ II rzęd (osclacjn) Model hdralicznego człon całkjącego (zbiornik liniow bezodpłwow) Model hdralicznego obiekt inercjnego (zbiornik liniow z odpłwem swobodnm) Tabela zbiorcza obiektów Modele dnamiczne nieliniowe Model zbiornika stożkowego z odpłwem... 4 Transformata Laplace'a. Transmitancja operatorowa. Odpowiedź kład na wmszenia harmoniczne. Modelowanie sstemów dnamicznch Transformata Laplace'a Własności transformat Laplace'a Odwrotna transformata Laplace'a Rozwiązwanie równań różniczkowch techniką operatorową Transmitancja operatorowa Własności transmitancji Transmitancja kładów wielowmiarowch Algebra schematów blokowch Przkład transmitancji kładów skalarnch Odpowiedź na wmszenie harmoniczne Transformata Foriera Charakterstki częstotliwościowe kładów dnamicznch Modelowanie sstemów dnamicznch za pomocą równań różniczkowch stan Wliczanie macierz fnkcjnej Wektor własne i wartości własne macierz. Transformacje liniowe zmiennch stan. Transmitancja a równania stan Definicja formalna macierz liczbowej Definicja operatorowa macierz Wektor własne i wartości własne macierz Transformacje liniowe zmiennch stan Implsowa fnkcja przejścia Transmitancja a równania stan Natralne zmienne stan Równanie -tego rzęd Postać sterowalna Obiekt, sterowanie i wjście. Strktr sstemów sterowania Zadania atomatki Sterowanie w kładzie otwartm i kładzie zamkniętm Zadania sterowania Sstem atomatki procesowej i zabezpieczeniowej Ogóln schemat kład reglacji ze sprzężeniem zwrotnm Przkładowe realizacje jednowmiarowch kładów reglacji SISO Układ klasczn Układ kaskadow Układ adaptacjn...3 Podstaw sterowania

2 6.7 Algortm ciągłej reglacji PID Reglator proporcjonaln P Reglator proporcjonalno-różniczkjąc PD Reglator proporcjonalno-całkjąc PI Reglator proporcjonalno-całkjąco-różniczkjąc PID (idealn) Reglator proporcjonalno-całkjąco-różniczkjąc PID z inercją (rzeczwist) Algortm dskretne reglatorów PID. Stabilność Algortm dskretne reglatora PID Regła całkowania prostokątów (forward) Aproksmacja wsteczna (backward) Regła całkowania trapezów Transmitancja w przpadk ogólnm Reglator przekaźnikowe stosowane w kładzie reglacji Stabilność Stabilność w sensie Lapnowa Stabilność w sensie ograniczone wejście ograniczone wjście (BIBO) Stabilność w sensie Lapnowa a stabilność w sensie BIBO Krteria ocen stabilności. Sstem nieliniowe Krterim Hrwitza Krterim Nqista Stabilność kładów liniowch dskretnch Przekształcenie Stabilność kładów nieliniowch ciągłch Pnkt równowagi Pierwsza metoda Lapnowa Sterowalność i obserwowalność Sterowalność Warnek konieczn i dostateczn sterowalności kład liniowego Sterowalność kładów liniowch dskretnch Obserwowalność Krterim obserwowalności Podział obserwatorów...46 Reglator wielowmiarowe Wskaźniki jakości Reglator LQR Algebraiczne równanie Riccatiego...49 Indeks tabel Tabela 2.: Tp modeli procesów fizcznch i równania je opisjące...4 Tabela 3.: Analogie wstępjące w kładach mechanicznch i elektrcznch...7 Tabela 3.2: Tabela zbiorcza obiektów... Tabela 4.: Przkładowe transformat...2 Tabela 4.2: Transformata wejścia i transmitancja a transformata wjścia...6 Podstaw sterowania 2

3 Sprzężenie zwrotne. Zadania kład reglacji.. Sprzężenie zwrotne Sprzężenie zwrotne (feedback) jest przede wszstkim podstawową metodą sterowania sstemami niestabilnmi. Ogólnie, sprzężenie zwrotne stosje się zawsze w warnkach niepewności i niekompletności informacji o sstemie i zakłóceniach. Reprezentowane jest przez łańcch przcznowo sktkow, przedstawiając zależności: Wejście Sstem Dnamiczn Wjście Pomiar Porównanie z Sgnałem Odniesienia Wejście Sgnał odniesienia Wejście Sstem dnamiczn - Wjście Pomiar Rsnek.: Układ z (jemnm) sprzężeniem zwrotnm.2 Zadania kład reglacji nadążanie za sgnałem referencjnm (odniesienia) wskazjącm now poziom wjścia Przestawiam żelazko z 6 na 8 st. chcem, b temperatra zmieniła się jak najszbciej. temperatra Rsnek.2: Przkład nadążania czas stabilizacja zmiennej w pnkcie prac pomimo zjawienia się zakłócenia Przkładam żelazko do mokrch jeansów chcem, b trzmało temperatrę. temperatra sgnał zakłócając Rsnek.3: Przkład stabilizacji czas Podstaw sterowania 3

4 2 Modele procesów fizcznch i ich opis. Modele sgnałów. Zasad ciągłości. 2. Modele procesów fizcznch W atomatce rozróżniam następjące tp modeli procesów fizcznch: Statczne (równania algebraiczne) Liniowe (równania liniowe) O parametrach skpionch (równania różniczkowe zwczajne) Stacjonarne (równania o parametrach stałch w czasie) Ciągłe (równania różniczkowe) Deterministczne (równania deterministczne) Dnamiczne (równania różniczkowe) Nieliniowe (równania nieliniowe) O parametrach rozłożonch (równania różniczkowe cząstkowe) Niestacjonarne (równania o parametrach zmiennch w czasie) Dskretne (równania różnicowe) Losowe (stochastczne) (równania z teorii procesów stochastcznch) Chaotczne (równania różniczkowe nieliniowe) Tabela 2.: Tp modeli procesów fizcznch i równania je opisjące Najprostsze modele dnamiki opiswane są przez liniowe, stacjonarne równania różniczkowe, a najtrdniejsze przez nieliniowe, niestacjonarne równania cząstkowe. Najważniejsz jest podział na modele statczne i dnamiczne. Modele statczne tworzone są głównie dla celów poszkiwania optmalnego pnkt prac instalacji technologicznej. Jak postawiać różne parametr, żeb koszt prodkcji bł jak najniższe, a zsk jak największ. Modele statczne reprezentją zachowanie się sstem w stanach stalonch (czli np. w tmże pnkcie optmalnm). Modele dnamiczne odwzorowją zachowanie się sstem w stanach przejściowch. 2.2 Stan przejściowe Stan przejściowe wwołane są: planowmi zmianami pnktów prac instalacji przez personel operatorski lb kompter sterjąc nieprzewidzianmi zakłóceniami oddziałwającmi na zmienne sterjące, zmienne wjściowe i parametr proces I t wracam do zadań kład reglacji. Sstem fizczn znawan jest za statczn (pozbawion dnamiki), gd wielkość wjściowa t dla każdej chwili t zależ tlko od wejścia t i nie zależ od wartości t dla t t. W rzeczwistości idealne sstem statczne nie istnieją. sterowanie stalone Sstem dnamiczn Rsnek 2.: Model statczn wjście stalone Modele statczne można też przpisać wiel procesom i obiektom atomatki, mimo ich istniejącej Podstaw sterowania 4

5 dnamiki. Mogą one bć rozważane jako charakterstki ich stanów stalonch. Można je zskać przrównjąc do zera wszstkie pochodne zmiennch procesowch po czasie w równaniach różniczkowch zwczajnch, opisjącch dnamikę proces. Mam obiekt liniow określon równaniem: Model statczn tego proces ma postać: ẍ t, ẋ t x t =, t x=, 2.3 Modele sgnałów. Skok jednostkow t : t = { t t 2. Impls jednostkow z parametrem, t, : a) t, : t, dt= b) lim t, = { t t= Rsnek 2.2: Skok jednostkow t 3. Delta Diraca t : a) t =lim t, t dt= b) t = d t dt t d = t 2.4 Rząd kład Rząd kład (równania różniczkowego) pokrwa się z regł z ilością niezależnch magaznów energii (pojemności), pomiędz którmi może następować jej wmiana. Pojemność = człon całkjąc. 2.5 Zasad ciągłości Zasad ciągłości, stosowane do bdow modeli dnamicznch:. Zasada ciągłości pęd (bilans sił) d [m t v i t ] dt = d m t dt v i t d v i t dt N m t = F ij t j= gdzie v i t - prędkość w i-tm kiernk, F ij - j-ta składowa sił w i-tm kiernk 2. Zasada ciągłości mas (bilans materiałow) Dla kład dnamicznego szbkość zmian magaznowanej mas równa się różnic dopłw i odpłw mas do kład. 3. Zasada ciągłości energii (bilans ciepln) Szbkość zmian energii kład równa się różnic dopłw i odpłw energii kład przez konwekcję, dfzję, przewodzenie, promieniowanie pls ciepło wdzielone przez reakcję chemiczną, mins praca wkonana przez kład na otoczeni. Podstaw sterowania 5

6 3 Modele dnamiczne liniowe i nieliniowe. 3. Człon inercjn I rzęd. Elektrczn: Stąd ładnek: q t =C 2 t 2. Mechaniczn: 3. Ogólnie: i t =C d t 2 = dt R t 2 t R dq t dt C q t = t b dx t 2 k x dt 2 t x t = b dx t 2 kx dt 2 t =kx t ẋ t = x t b t, dla danego x = x T t x t =b e T x b Co dla x = przechodzi w: x t =b e t T WAŻNY JEST WARUNEK POCZĄTKOWY STAN W JAKIM ZNAJDOWAŁ SIĘ UKŁAD W CHWILI t= i R U C U 2 Rsnek 3.: Układ RC b k Rsnek 3.2: Układ mechaniczn x 2 x Ten wzór jest z książki, na wkładzie bł inn. b 3 b 2 =x b b Rsnek 3.3: Zależność rozwiązania od T warnków początkowch Rsnek 3.4: Rozwiązanie dla x = t 3.2 Człon różniczkjąc z inercją I rzęd Wstępje pochodna na sgnale wejściowm.. Elektrczn: C d 2 t t = t 2 dt R i C U R U 2 Rsnek 3.5: Układ RC Podstaw sterowania 6

7 2. Mechaniczn: R d t 2 t 2 dt C =R d t dt b d x 2 t x t kx dt 2 t = b dx t 2 kx dt 2 t =b dx t dt k b x Układ II rzęd (osclacjn). Elektrczn: L di t Ri t t dt C i d =e t Przjmjąc, że q t to ładnek elektrczn: Rsnek 3.6: Układ mechaniczn L R x L q t R q t q t =e t C 2. Mechaniczn: Równanie równowagi sił: m ẍ t b ẋ t kx t = f t e Rsnek 3.7: Układ szeregow RLC C k b m x f t Rsnek 3.8: Układ mechaniczn II rzęd Układ mechaniczn Siła f (moment T ) Masa m (moment bezwładności J ) Współcznnik tarcia wiskotcznego b Stała sprężn k Przesnięcie x (kąt ) Szbkość ẋ=v ( = ) Moc p= fv Układ elektrczn Napięcie Indkcjność L Opór R Odwrotność pojemności C Ładnek q Prąd i Moc p=i Tabela 3.: Analogie wstępjące w kładach mechanicznch i elektrcznch Podstaw sterowania 7

8 3.4 Model hdralicznego człon całkjącego (zbiornik liniow bezodpłwow) Teoretczna wsokość ścianek wnosi. Q t masowe natężenie przepłw gęstość P pole powierzchni (const.) V t =Ph t objętość P dh t =Q t T ḣ t =Q t dt h t = T t Q d dla h = h Rsnek 3.9: Zbiornik prostopadłościenn Q Zbiornik prostopadłościenn jest dla zmiennej h t członem całkjącm. 3.5 Model hdralicznego obiekt inercjnego (zbiornik liniow z odpłwem swobodnm) Ponieważ model ma bć liniow, nie może wstąpić w nim pierwiastek. Przbliżam więc: Q t = h t R h t R P ḣ t =Q t h t R ḣ t = P R h t P Q t Zbiornik z odpłwem posiada cechę samowrównwania poziom tak jak obiekt inercjn. Q h Q Rsnek 3.: Zbiornik z odpłwem 3.6 Tabela zbiorcza obiektów Dla K =.5 i T = (poza 8., gdzie T =3 ) Równanie Transmitancja Idealn obiekt różniczkjąc nie wstępje w przrodzie. Jego wkresów nie jestem pewna. Nazwa obiekt Odpowiedź t na: t = t t = t. t = K t K proporcjonaln 2. ẏ t = K t K s całkjąc Podstaw sterowania 8

9 Równanie Transmitancja Nazwa obiekt Odpowiedź t na: t = t t = t 3. t = K t Ks różniczkjąc 4. T ẏ t t =K t K Ts inercjn I rzęd 5. T ẏ t t =K t Ks Ts różniczkjąc z inercją 6. ÿ t T ẏ t =K t K s s T całkjącoinercjn 7. ÿ t T ẏ t t =K t K s 2 Ts T < 2, II rzęd osclacjn 8. ÿ t T ẏ t t =K t K s 2 Ts T > 2, II rzęd przetłmion 9. ÿ t t =K t K s 2 osclacjn Podstaw sterowania 9

10 Tabela 3.2: Tabela zbiorcza obiektów 3.7 Modele dnamiczne nieliniowe Dnamikę kładów nieliniowch opisją równania różniczkowe nieliniowe. Np.: ÿ t 7[ ẏ t ] 2 t = t ÿ t ẏ t t t = t ÿ t ẏ t sin t = t Niektóre z tch równań różniczkowch można rozwiązać analitcznie, dla wiel jednak wzor nie istnieją. Wted można wkonać linearzację danej nieliniowości w niewielkim wbranm obszarze (pnkcie). Wkorzstje się szereg Talora cięt do dwóch wrazów. WAŻNY JEST PUNKT PRACY OD NIEGO ZALEŻY DOKŁADNOŚĆ LINEARYZACJI. Nieliniowość a h b, gdzie a=tg. b x stczna = f x Rsnek 3.: Przkład linearzacji x 3.8 Model zbiornika stożkowego z odpłwem Pole powierzchni ciecz w zbiornik stożkowm zależ od wsokości słpa ciecz. Objętość V h nie zmienia się więc w sposób liniow. Najprostszm sposobem zamodelowania takiego kład jest znanie go za liniow w pewnch wbranch pnktach prac (czerwona linia na rsnk obok). Dokonje się to poprzez rozwinięcie V h w szereg Talora w okolic tch pnktów. Q t h t Q 2 t Rsnek 3.2: Zbiornik stożkow Podstaw sterowania

11 4 Transformata Laplace'a. Transmitancja operatorowa. Odpowiedź kład na wmszenia harmoniczne. Modelowanie sstemów dnamicznch. 4. Transformata Laplace'a Transformatę Laplace'a definije się jako: L [ f t ]= F s = f e s d Danej fnkcji f t przporządkowje ona fnkcję F s, gdzie s= j. Ab transformata istniała, msi istnieć dla danej fnkcji f t prznajmniej jedno s, dla którch taka całka istnieje, tzn. jest mniejsza od : e st f t dt Transformata Laplace'a nie istnieje np. dla f t =e t 2, ponieważ fnkcja ta rośnie szbciej niż e st maleje. t L równanie różniczkowe t tablice tablice U s równanie algebraiczne Y s L Rsnek 4.: Schemat stosowania transformat Laplace'a Orginalna f t Transformata F s t t t e at s a a e a t t n t n! s s s a t t e a t s a 2 t t n e a t n! s a n s n Podstaw sterowania

12 Orginalna f t Transformata F s t e t n n! s s s 2 s n t sin t t cos t t e a t sin t Tabela 4.: Przkładowe transformat 4.2 Własności transformat Laplace'a. Liniowość: 2. Skalowalność: af t bf 2 t af s bf 2 s f a t a F s a 3. Przesnięcie w czasie: f t F s e s 4. Przesnięcie w dziedzinie częstotliwości: e at f t F s a 5. Splot w dziedzinie czas: f t f 2 t = 6. Splot w dziedzinie częstotliwości: f f 2 t d F s F 2 s j f t f 2 t F 2 j F 2 s d j 7. Jednostronne różniczkowanie w dziedzinie czas: df t sf s f dt s 2 2 s s 2 2 s a Jednostronne różniczkowanie w dziedzinie czas dla zerowch warnków początkowch i dla niezerowch warnków początkowch: d n f t dt n s n F s d n f t dt n 4.3 Odwrotna transformata Laplace'a s n F s s n f s n 2 f f n Problem transformacji odwrotnej sprowadza się do rozwiązania równania całkowego Laplace'a: F s = f e s d a poszkiwana fnkcja f t będzie rozwiązaniem transformacji odwrotnej Laplace'a: Podstaw sterowania 2

13 f t = L [ F s ] 4.4 Rozwiązwanie równań różniczkowch techniką operatorową Mam równanie: t 3 ÿ t 6 ẏ t 4 t = t 3 t Warnki początkowe zerowe: =, ẏ =, ÿ =. Fnkcja wmszająca t = t dla t. Po zastosowani transformacji Laplace'a otrzmje się: gdzie U s =. Y s s 3 3s 2 6s 4 = s 3 U s Stosjem rozkład na łamki proste: s 3 Y s = s 2 2s 4 s = Bs C s 2 2s 4 A s s 3 s Bs C A s 2 2s 4 s 3 Bs 2 Cs Bs C As 2 2As 4A s 3 s 2 A B s 2A B C 4A C Porównjem współcznniki lewej i prawej stron prz jednakowch potęgach s : { A B= 2A B C= A= 2 3, B= 2 3,C = 3 4A C =3 Y s = 2 3 s 2 3 s s s 2 3 Rozwiązanie ma więc postać: t =[ 2 3 e t 2 3 e t cos 3t 3 e t sin 3t ] t Zadziałanie na kład deltą Diraca to trochę jak pstrknięcie sprężn drga przez chwilę, a potem wraca do stan początkowego. Podanie na wejście skok jednostkowego działa jak zawieszenie na sprężnie ciężarka drga przez chwilę, a potem znajdje now pnkt równowagi. 4.5 Transmitancja operatorowa STOSUNEK TRANSFORMATY LAPLACE'A FUNKCJI WYJŚCIA SYSTEMU DO TRANSFORMATY LAPLACE'A WEJŚCIA SYSTEMU (PRZY ZEROWYCH WARUNKACH POCZĄTKOWYCH) TWORZY UŁAMEK WYMIERNY ZMIENNEJ s I NAZYWA SIĘ TRANSMITANCJĄ OPERATOROWĄ SYSTEMU G s. Y s U s = L s M s = b m s m b m s m b s b =G s a n s n a n s n a s a Pierwiastki wielomian licznika ( L s ) nazwane są zerami transmitancji, a pierwiastki mianownika ( M s ) biegnami. 4.6 Własności transmitancji Gdbśm chcieli powrócić na wspólną kreskę łamkową, to trzeba pomnożć Bs C s i A S 2 2s 4 Rsnek 4.2: Rozwiązanie równania Ab transmitancja bła realizowalna fizcznie, stopień licznika msi bć mniejsz lb równ stopniowi mianownika ( m n ). Podstaw sterowania 3

14 Podczas korzstania z opis za pomocą transmitancji należ pamiętać o dwóch jej cechach:. transmitancja nie względnia wpłw warnków początkowch na rozwiązanie 2. transmitancja obejmje swoim opisem dnamikę sstem związaną bezpośrednio z torem wejście-wjście; niekied tor ten reprezentje cał kład, ale niekied tlko jego część U G G 2 + Y 4.7 Transmitancja kładów wielowmiarowch W liniowch kładach wielowmiarowch prz wiel różnch wejściach i wiel różnch wjściach można określać transmitancje torów skrośnch pomiędz i -tm wejściem i j -tm wjściem: Y j s U i s =G ij s G 2 U 2 + Y 2 G 22 Rsnek 4.3: Przkład transmitancji wielowmiarowej Transmitancja G s tworzona jest więc jako macierz transmitancji skalarnch G ij s. Dla przkład z rsnk 2 można to przedstawić następjąco: [ Y Y 2 s ] [ = G s G 2 G 2 s G 22 s ][ U U 2 s ] Układ wielowmiarowe stanowią pewną trdność dla zadań sterowania, gdż zmiana każdego z osobna sterowania powodje jednoczesne zmian wiel wjść. Przkładem kład wielowmiarowego może bć helikopter. Gd dam sgnał do lot w górę, helikopter będzie chciał kręcić się bardziej niż przed chwilą, w związk z czm zwiększą się obrot śmigła bocznego. Ta zmiana z kolei sprawi, że helikopter będzie ściągan w dół. Podobnie jest w przpadk chęci zmian kiernk lot. W skrócie: sterowania góra-dół i skręć nie są od siebie niezależne. Ab rozseparować wpłw sterowań na wjścia stosje się sprzężenie zwrotne i specjalne kład odsprzęgające, dołączone do sstem sterowanego. 4.8 Algebra schematów blokowch. Połączenie równoległe transmitancji G + G 2 + Rsnek 4.4: Połączenie równoległe transmitancji G Z =G G 2 Podstaw sterowania 4

15 2. Połączenie szeregowe transmitancji 2 G G 2 Rsnek 4.5: Połączenie szeregowe transmitancji G Z =G G 2 3. Sprzężenie zwrotne ± G H Rsnek 4.6: Sprzężenie zwrotne G Z = G G H + prz jemnm sprzężeni zwrotnm prz dodatnim 4. Przeswanie węzła smacjnego + z G G G + z Rsnek 4.7: Przeswanie węzła smacjnego U Z G=UG ZG=Y 5. Przeswanie węzła zaczepowego G G G - G G G Rsnek 4.8: Przeswanie węzła zaczepowego Podstaw sterowania 5

16 4.9 Przkład transmitancji kładów skalarnch Orginał t Transformata U s Transmitancja Nazwa obiekt Transformata odpowiedzi t s s a całkjącoinercjn s s a t s s a inercjn s s a t e at s a s całkjąc s s a a e at s s a proporcjonaln o wzmocnieni s s a Tabela 4.2: Transformata wejścia i transmitancja a transformata wjścia Stabiln kład inercjn rzęd I:. Układ RC: R i U C U 2 t Rsnek 4.9: Układ RC Rsnek 4.: Odpowiedź = 2 na skok U 2 s = Cs U s R Cs G s = U 2 s U s = Rcs = Ts t =K t t t = 2 t =K [ e T ] 2. Człon całkjąc z jemnm sprzężeniem zwrotnm: Ts - Rsnek 4.: Człon całkjąc z jemnm sprzężeniem zwrotnm Ts G s = Ts = Ts 4. Odpowiedź na wmszenie harmoniczne Dla sterowania t = Asin t U s = A s 2 2 i transmitancji G s = K st transformata wjścia (prz zerowch warnkach początkowch) może bć rozłożona na łamki proste. Po Podstaw sterowania 6

17 obliczeniach otrzmjem: Stąd mam: AK Y s = Ts s 2 2 = AK T 2 T 2 2 Ts s 2 st 2 s 2 2 t t = AK T e T sin t T cos t = AKT T 2 2 T 2 2 e Gdzie tg = T, co oznacza, że sgnał na wjści jest zawsze opóźnion. t T AK sin t T 2 2 Traktjąc transmitancję jako liczbę zespoloną ( s= j ), można policzć jej modł w fnkcji parametr częstotliwości : G j = K T j = K Tj T 2 2 = K T 2 2 j Jest to tzw. transmitancja widmowa, gdzie: K G j = T 2 2 tg [ ]= T KT T 2 2 = G j e j Ponieważ t e tt dla stan stalonego można zapisać: t =A G j sin t Wnik ten może bć ogólnion na kład liniowe wższego rzęd. Załóżm, że mam kilka połączonch ze sobą zbiorników z pierwszego woda przelewa się do drgiego itd. Bawim się kranem nad pierwszm zbiornikiem, odkręcając i zakręcając go w rtm sinsoid. Po pewnm czasie (gd zbiorniki napełnią się do pewnch poziomów) zaważm, że poziom wod w ostatnim zbiornik podnosi się i opada zgodnie z rtmem sinsoid wejściowej. Jest tlko trochę spóźnion w stosnk do odkręcanego i zakręcanego kran. Podsmowjąc: JEŚLI NA WEJŚCIU BYŁ SINUS, TO NA WYJŚCIU TAKŻE (PO PEWNYM CZASIE) OTRZYMAMY SYGNAŁ SINUSOIDALNY. NIE WAŻNE JEST, JAKI BYŁ RZĄD UKŁADU. G j SINUS WYJŚCIOWY MA TĄ SAMĄ CZĘSTOTLIWOŚĆ CO WEJŚCIOWY, RÓŻNIĆ SIĘ MOŻE AMPLITUDĄ I FAZĄ. WRAZ ZE WZROSTEM CZĘSTOTLIWOŚCI ZMNIEJSZA SIĘ MODUŁ TRANSMITANCJI, A CO ZA TYM IDZIE ZMNIEJSZA SIĘ AMPLITUDA SYGNAŁU NA WYJŚCIU. 4. Transformata Foriera Rsnek 4.2: Filtr dolnoprzepstow Każd sgnał można przedstawić za pomocą sm sinsoid o różnch częstotliwościach, amplitdach i fazach. Za pomocą transformat Foriera (dla fnkcji spełniającch pewne warnki) można wznaczć te właśnie sinsoid. Załóżm że z satelit ma bć przesłan pewien sgnał, składając się z liczb. Załóżm też, że po wliczeni szbkiej transformat Foriera okazało się, że składa się on z 7 sinsoid. Lepiej jest przesłać 3 amplitda,częstotliwość, faza 7=5 liczb niż. 2 Podstaw sterowania 7

18 4.2 Charakterstki częstotliwościowe kładów dnamicznch Wróżniam dwa rodzaje charakterstk: a) charakterstka Nqista, będąca charakterstką amplitdowo-fazową; otrzmje się ją poprzez narsowanie na płaszczźnie Nqista transmitancji widmowej ( G j ) w fnkcji parametr częstotliwości. b) charakterstka Bodego, będąca charakterstką amplitdową i fazową; są to wkres logartmiczne wzmocnienia sgnał w zależności o częstotliwości oraz wkres faz w fnkcji częstotliwości. Dla obiekt inercjnego I rzęd ( G s = K, tg = T ) charakterstki te są następjące: Ts Podstaw sterowania 8

19 4.3 Modelowanie sstemów dnamicznch za pomocą równań różniczkowch stan Stan x najmniejsza liczba wielkości przpisanch do kład. Ab przewidzieć zachowanie kład potrzebne są: wartości zmiennch stan w chwili początkowej t=t ( x t ) znajomość model sstem, czli strktr powiązań międz zmiennmi stan znajomość przebieg sterowania t na całm przedziale [t, t ] Wjście wbran zbiór wielkości procesowch, które są szczególnie interesjące z pnkt widzenia modelowania lb sstem sterowania (np. należ je stabilizować). Gdzie: Jako zmienne stan w kładach mechanicznch przjmje się przesnięcia, prędkości i przspieszenia. Jako zmienne stan w kładach elektrcznch przjmje się napięcia na pojemnościach C (kondensatorach) i prąd w indkcjnościach L (cewkach). STANDARDOWA FORMA LINIOWEGO RÓWNANIA STANU DLA UKŁADU STACJONARNEGO MA POSTAĆ: ẋ t =Ax t B t, x t =x t =Cx t D t DLA t t : x t R n, t R r, t R m n ilość wejść r ilość sterowań m ilość wjść A macierz stan o wmiarach n n B macierz sterowania n r C macierz obserwacji m n D macierz wjścia m r Ogólne rozwiązanie x t ma postać: A fnkcja wjścia t : x t =e A t t x t e A t B d t t całka splotowa t t =Ce A t t x t C e A t B d D t t DLA t = OTRZYMUJEMY: t x t =e At x e A t B d Przkładowo dla t = t i prz założeni nieosobliwości A ( A ) rozwiązanie ma postać: x t =e At x A [ e At I ] B=e At [ x A B ] A B R r x R n R m Rsnek 4.3: Układ dnamiczn Podstaw sterowania 9

20 4.4 Wliczanie macierz fnkcjnej e At Niektóre metod wliczania wkładniczej postaci macierz fnkcjnej e At : z definicji szereg wkładniczego: A=[ 2] e At =[ e At = At k k= k! =I At A2 t 2 2 A3 t 3 6 et 2t] e z twierdzenia Slwestera, wkorzstjąc wielomian interpolacjn Lagrange'a f a =e At jako odwrotne przekształcenie Laplace'a e At = L [ si A ] A=[ 2] [ s = s 2] s s 2 [ s 2 s ] =[ s ] [ L et 2t] e s 2 transformacja do diagonalnej postaci Jordana gdzie: i wartości własne e At =T e Jt T, J =T AT T i odpowiadające im wektor własne (główne) macierz A T =[ T T 2 T n ] modalna macierz transformacji A do postaci Jordana J A=[ 2 3] I A =[ 2 3] = =9 8=,2 = 3± = 2, (wartości własne A ) 2 Wektor własn T = T T 2 obliczam z równania I A T = : [[ 2 2] [ 2 3]] T { 2 T T = 2 2T T 2 = -) T = [ 2 ] T 2 = [ 2 2 ] T T 2 = (jedną współrzędną wbieram dowolną (najczęściej lb Wektor własn T 2 = T 2 T 22 obliczam z równania 2 I A T 2 = : Podstaw sterowania 2

21 [ 2 2 ] T 2 T 22 = T 2 = [ ] T =[ 2 ], T =[ 2 ] T AT =[ 2 ] [ 2 3] [ 2 ] = [ 2 ] =J e At =T e Jt T =T [ e 2t e =[ nmerczne wliczanie e At t] T e 2t 2 e t e 2t e t 2e 2t 2 e t 2 e 2t e ] t Podstaw sterowania 2

22 5 Wektor własne i wartości własne macierz. Transformacje liniowe zmiennch stan. Transmitancja a równania stan. 5. Definicja formalna macierz liczbowej Układ liczb rozmieszczon w tablic o m wierszach i n kolmnach nazwam macierzą [m n] wmiarową. Stanowi on odwzorowanie par liczb i, j w element a ij. a a n A=[ a m a mn] 5.2 Definicja operatorowa macierz Każd liniow operator przekształcając skończenie wmiarową przestrzeń X n X m, (prz zadanch wektorach bazowch) ma postać macierz [m n] -wmiarowej. Macierz kwadratowa przekształca element (wektor) przestrzeni X n w inne element tej samej przestrzeni. Ax=, x, X n [ 3 5 ] [ 2 ] = [ 4 ] x 5.3 Wektor własne i wartości własne macierz Dla każdej macierz kwadratowej [n n] istnieją w przestrzeni X n charakterstczne wektor, które po przekształceni przez tę macierz pozostają kolinearne, tzn. zmieniają tlko swoją dłgość z pewnm współcznnikiem. Wektor te nazwają się wektorami własnmi macierz A, a współcznniki proporcjonalności nazwane są wartościami własnmi tej macierz. Aw= w A I w= Ab powższ kład posiadał niezerowe rozwiązanie dla wektora w, rząd macierz A I msi bć mniejsz od n. Stąd z warnk det [ A I ]= otrzmje się wielomian charakterstczn, któr posiada n pierwiastków i. Dla danego = i wznacza się z kład równań wektor w i, ale tlko z dokładnością do współcznnika c, tzn. wektor c w i ( c dowolna stała) również spełnia ten kład. Z kład wznacza się więc nie wektor, a raczej kiernki własne, które nie legają zmianie prz przekształceni przez macierz A. Stąd wektor własne z regł mogą bć znormalizowane do jedności. Jeśli wartości własne są pojedncze, można wznaczć n wektorów własnch liniowo niezależnch. Macierz W, której kolmn są tworzone z wektorów własnch macierz A, nazwa się macierzą modalną macierz A. 5.4 Transformacje liniowe zmiennch stan Dan jest kład wielowmiarow (MIMO, Mlti Inpt - Mlti Otpt): ẋ t =Ax t B t t =Cx t, x = x warnki początkowe x t R n, t R r, t R m, t Rsnek 5.: Ilstracja definicji operatorowej macierz Można znaleźć nieosobliwą macierz transformacji podobieństwa T zbdowaną z wektorów własnch i głównch (macierz modalną), przekształcającą zmienne stan x w inne zmienne Podstaw sterowania 22

23 stan z : Wted: x t =Tz t ż t =T ATz t T B t =Jz t B t t =Ctz t = C z t z =T x Po podstawieni T AT =J, rozwiązanie ma postać: Ważna jest zależność: t z t =e Jt z e J t B d t x t =Te Jt T x T e J t T B d e At =Te Jt T Wjście t może bć wrażone wzorem: t t =CTe Jt T x C T e J t T B d Dzięki transformacji liniowej do innch zmiennch stan można pozbć się sprzężenia zwrotnego rozsprzęc kład. 5.5 Implsowa fnkcja przejścia Odpowiedź t sstem na specjaln sgnał sterjąc będąc implsem Diraca t =a t oznacza się t =a g t Fnkcja g(t) nazwa się implsową fnkcją przejścia kład liniowego. IMPULSOWA FUNKCJA PRZEJŚCIA TO:. ODPOWIEDŹ NA DELTĘ DIRACA 2. POCHODNA ODPOWIEDZI UKŁADU h t NA SKOK JEDNOSTKOWY: g t =dh t dt 3. ORYGINAŁ TRANSMITANCJI G s, CZYLI ODWROTNA TRANSFORMATA LAPLACE'A TRANSMITANCJI: Y s =G s U s, U s = Y s =G s, t =g t 5.6 Transmitancja a równania stan Transmitancja opisje dnamikę tor sterowanie-wjście (prz zerowch warnkach początkowch) nie wnikając w strktrę obiekt. To samo wejście, to samo wjście, inn środek. Równanie stan daje możliwość dokładnego opis strktr, opis dnamiki stan i wjścia oraz jęcia wpłw warnków początkowch. Dana transmitancja reprezentje kład dwóch zbiorników: A, B, C J, B, C Rsnek 5.2: Działanie transformacji liniowej zmiennch stan Podstaw sterowania 23

24 K G s = s s 2 Jest niekończenie wiele zestawów A, B, C realizjącch tę transmitancję. Mam nadzieję, że rsnki są dobrze, ale że bł przersowwane na szbko, to są odtwarzane trochę na zasadzie zgadj-zgadla.. Modelowanie poziom dwóch zbiorników połączonch szeregowo: [ x x 2] [ = 2 2] [ x x 2] [ K =[ ] [ x x 2] ] 2 x 2 K 2 K x s s x = 2 x 2 Rsnek 5.4: Schemat blokow dwóch zbiorników połączonch szeregowo 2. Modelowanie różnic poziomów dwóch zbiorników połączonch równolegle: [ x x 2] [ = 2][ x x 2] [ K K ] 2 =[ ] [ x x 2] 2 Rsnek 5.3: Zbiorniki połączone szeregowo x s x K 2 K 2 K 2 s x x 2 x x 2 x 2 x 2 Rsnek 5.6: Zbiorniki połączone równolegle 3. Modelowanie poziom dwóch zbiorników połączonch szeregowo i sprzężeniem: [ x x 2] [ = 2 2 2][ x x 2] [ K ] =[ ] [ x x 2] 2 Rsnek 5.5: Schemat blokow dwóch zbiorników połączonch równolegle Podstaw sterowania 24

25 x 2 x =x K 2 2 s s 2 2 x 2 Rsnek 5.7: Schemat blokow zbiorników połączonch szeregowo ze sprzężeniem x 2 K 5.7 Natralne zmienne stan Układ liniowe n -tego rzęd opiswane transmitancją mogą bć przedstawione w postaci schematów blokowch z wkorzstaniem tlko członów całkjącch I rzęd i członów wzmacniającch. Reprezentacja ta wprowadza pojęcie natralnch zmiennch stan, którmi mogą bć kolejne pochodne zmiennej wejściowej. Dana jest transmitancja: G s = b 3 s3 b 2 s 2 b s b = b s 3 a 2 s 2 a s a s 3 a 2 s 2 3 s 3 b 2 s 2 b s b a s a s s s 2 x 2 x Rsnek 5.8: Zbiorniki połączone szeregowo ze sprzężeniem s 3 b 3 a 2 s 2 b 2 a sb a b + Rsnek 5.9: Schemat blokow W schemacie tm po przekształceni wstępje sprzężenie do tł i do przod. b 3 b 2 b s s s b + a 2 a a Rsnek 5.: Schemat blokow po przeniesieni węzłów smacjnch Podstaw sterowania 25

26 Wprowadzając wektor natralnch zmiennch stan x t R 3,w którm składowmi są wjścia z członów całkjącch, otrzmje się: x t = x 2 t, x 2 t =x 3 t, x 3 t = a x t a x 2 t a 2 x 3 t t ẋ=[ 2] [ x ] a a a =[b,b,b 2 ] x [b 3 a,b 3 a,b 3 a 2 ] x b 3 =[b a b 3,b a b 3,b 2 a 2 b 3 ] x b Równanie n -tego rzęd Ogólne skalarne równanie n -tego rzęd na zmienną wjściową t dla kład jednowmiarowego (SISO, Single Inpt-Single Otpt) n t a n n t a ẏ t a =b n n t b n n t b t b t można zamienić na n równań różniczkowch I rzęd: x t =[ x t x n t ] R n, t R, t R ẋ t =Ax t B t t =Cx t D t 5.9 Postać sterowalna Dla oznaczeń: =[, 2,, n ]=[b a b n, b a b n,,b n a n b n ] b n = =[b,b,,b n ] I postać sterowalna wgląda tak: A=[ a a a n ], B=[ ] C=[, 2,, n ], D=b n Podstaw sterowania 26

27 6 Obiekt, sterowanie i wjście. Strktr sstemów sterowania. 6. Zadania atomatki Zadanie analiz sstem dnamicznego, którm chcem sterować: a) poznanie cech obiekt (poznanie model) b) poznanie reakcji kład na dane sterowanie Pierwsze trz pnkt są w dżej części odtwarzane z pamięci notatki z wkład mam szczątkowe, a nie mogę znaleźć tego w książce. t O t =? Rsnek 6.: Ilstracja zadania analiz Zadanie sntez sstem sterowania: a) otrzmanie pożądanego kształt wjścia b) znalezienie sterowania c) zaprojektowanie sterownika R t =? O r t Rsnek 6.2: Ilstracja zadania sntez 6.2 Sterowanie w kładzie otwartm i kładzie zamkniętm OBIEKTEM MOŻNA STEROWAĆ W UKŁADZIE OTWARTYM, JEŚLI SPEŁNIONE SĄ WSZYSTKIE PONIŻSZE WARUNKI: A) OBIEKT JEST STABILNY B) OBIEKT JEST BARDZO DOBRZE ZNANY C) JEST GWARANCJA, ŻE W CZASIE STEROWANIA NIE BĘDZIE ŻADNYCH ZAKŁÓCEŃ ZEWNĘTRZNYCH r R O Rsnek 6.3: Układ otwart OBIEKTEM NALEŻY STEROWAĆ W UKŁADZIE ZAMKNIĘTYM, GDY ZACHODZI PRZYNAJMNIEJ JEDEN Z PONIŻSZYCH WARUNKÓW: A) OBIEKT JEST NIESTABILNY B) OBIEKT JEST SŁABO POZNANY C) NIE MA GWARANCJI, ŻE W CZASIE STEROWANIA NIE BĘDZIE ŻADNYCH ZAKŁÓCEŃ ZEWNĘTRZNYCH Podstaw sterowania 27

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI

1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI Podstawy automatyki / Józef Lisowski. Gdynia, 2015 Spis treści PRZEDMOWA 9 WSTĘP 11 1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI 17 1.1. Automatyka, sterowanie i regulacja 17 1.2. Obiekt regulacji

Bardziej szczegółowo

Podstawowe człony dynamiczne

Podstawowe człony dynamiczne . Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0, Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym . Rodzaj poiaru.. Poiar bezpośredni (prost) W przpadku poiaru pojednczej wielkości przrząde wskalowan w jej jednostkach wartość niedokładności ± określa graniczn błąd przrządu analogowego lub cfrowego

Bardziej szczegółowo

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013

ELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013 SIMULINK część pakietu numerycznego MATLAB (firmy MathWorks) służąca do przeprowadzania symulacji komputerowych. Atutem programu jest interfejs graficzny (budowanie układów na bazie logicznie połączonych

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności:

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan

Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Czym jest AUTOMATYKA? Automatyka to dziedzina nauki i techniki zajmująca się teorią i praktycznym zastosowaniem urządzeń

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem: PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.

Bardziej szczegółowo

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi: Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane

Bardziej szczegółowo

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Badanie stabilności liniowych układów sterowania

Badanie stabilności liniowych układów sterowania Badanie stabilności liniowych układów sterowania ver. 26.2-6 (26-2-7 4:6). Badanie stabilności liniowych układów sterowania poprzez analizę równania charakterystycznego. Układ zamknięty liniowy i stacjonarny

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów 9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt

Bardziej szczegółowo

Część 1. Transmitancje i stabilność

Część 1. Transmitancje i stabilność Część 1 Transmitancje i stabilność Zastosowanie opisu transmitancyjnego w projektowaniu przekształtników impulsowych Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. v g, i) i wielkości

Bardziej szczegółowo

Motto. Czy to nie zabawne, że ci sami ludzie, którzy śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogody oraz ekonomistów? (K.

Motto. Czy to nie zabawne, że ci sami ludzie, którzy śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogody oraz ekonomistów? (K. Motto Cz to nie zabawne, że ci sami ludzie, którz śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogod oraz ekonomistów? (K. Throop III) 1 Specfika szeregów czasowch Modele szeregów czasowch są alternatwą

Bardziej szczegółowo

Zasady budowania prognoz ekonometrycznych

Zasady budowania prognoz ekonometrycznych Zasad budowania prognoz ekonometrcznch Klasczne założenia teorii predkcji 1. Znajomość modelu kształtowania się zmiennej prognozowanej Znajomość postaci analitcznej wstępującch zależności międz zmiennmi

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Obiekt. Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany).

Obiekt. Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany). SWB - Systemy wbudowane w układach sterowania - wykład 13 asz 1 Obiekt sterowania Wejście Obiekt Wyjście Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany). Fizyczny obiekt (proces, urządzenie)

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Rys. 1 Otwarty układ regulacji

Rys. 1 Otwarty układ regulacji Automatyka zajmuje się sterowaniem, czyli celowym oddziaływaniem na obiekt, w taki sposób, aby uzyskać jego pożądane właściwości. Sterowanie często nazywa się regulacją. y zd wartość zadana u sygnał sterujący

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 2. REPREZENTACJA

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = ()

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek Nazwisko... Data... Wdział... Imię... Dzień tg.... Godzina... Ćwiczenie 36 Badanie układu dwóch soczewek Wznaczenie ogniskowch soczewek metodą Bessela Odległość przedmiotu od ekranu (60 cm 0 cm) l Soczewka

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ELEKTRONIKI

WSTĘP DO ELEKTRONIKI WSTĘP DO ELEKTRONIKI Część VI Sprzężenie zwrotne Wzmacniacz operacyjny Wzmacniacz operacyjny w układach z ujemnym i dodatnim sprzężeniem zwrotnym Janusz Brzychczyk IF UJ Sprzężenie zwrotne Sprzężeniem

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 9. Ruch drgający swobodny. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 9. Ruch drgający swobodny.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak Wkład FIZYK I 9. Ruch drgając swobodn Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak Insttut Fizki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizka.html Dr hab.

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 206/207

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Korekcja układów regulacji

Korekcja układów regulacji Korekcja układów regulacji Powszechnym sposobem wpływania na jakość procesów regulacji jest wprowadzenie urządzeń (członów) korekcyjnych. W przeważającej większości przypadków niezbędne jest umieszczenie

Bardziej szczegółowo

Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego

Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego kwiecień 2012 Sterowanie Teoria Przykład wahadła na wózku Dany jest system dynamiczny postaci: ẋ = f (x, u) (1) y = h(x) (2) Naszym zadaniem

Bardziej szczegółowo

LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE

LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE Współczesne układy regulacji automatycznej wyposażone są w regulatory cyfrowe, co narzuca konieczność stosowania w ich analizie i syntezie odpowiednich równań dynamiki, opisujących

Bardziej szczegółowo

Automatyzacja. Ćwiczenie 9. Transformata Laplace a sygnałów w układach automatycznej regulacji

Automatyzacja. Ćwiczenie 9. Transformata Laplace a sygnałów w układach automatycznej regulacji Automatyzacja Ćwiczenie 9 Transformata Laplace a sygnałów w układach automatycznej regulacji Rodzaje elementów w układach automatyki Blok: prostokąt ze strzałkami reprezentującymi jego sygnał wejściowy

Bardziej szczegółowo

4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ. Podstawowe wzory. Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat. Transmitancja układu zamkniętego

4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ. Podstawowe wzory. Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat. Transmitancja układu zamkniętego 4. UKŁADY II RZĘDU. STABILNOŚĆ Podstawowe wzory Układ II rzędu ze sprzężeniem zwrotnym Standardowy schemat (4.1) Transmitancja układu zamkniętego częstotliwość naturalna współczynnik tłumienia Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA Regulacja PID, badanie stabilności układów automatyki

INSTRUKCJA Regulacja PID, badanie stabilności układów automatyki Opracowano na podstawie: INSTRUKCJA Regulacja PID, badanie stabilności układów automatyki 1. Kaczorek T.: Teoria sterowania, PWN, Warszawa 1977. 2. Węgrzyn S.: Podstawy automatyki, PWN, Warszawa 1980 3.

Bardziej szczegółowo

14. Grupy, pierścienie i ciała.

14. Grupy, pierścienie i ciała. 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 4 - algebra schematów blokowych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 4 - algebra schematów blokowych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 4 - algebra schematów blokowych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Schemat blokowy Schemat blokowy (strukturalny): przedstawia wzajemne powiązania pomiędzy poszczególnymi zespołami

Bardziej szczegółowo

REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ

REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ 1 1. Zadania regulatorów w układach regulacji automatycznej Do podstawowych zadań regulatorów w układach regulacji automatycznej należą: porównywanie wartości

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD PROF. DR HAB. INŻ. TADEUSZA KACZORKA

WYKŁAD PROF. DR HAB. INŻ. TADEUSZA KACZORKA W pracy tej zostaną przedstawione: - warunki konieczne i wystarczające cykliczności macierzy A normalności macierzy transmitancji T(s); - warunki istnienia i metody doboru sprzężeń zwrotnych od stanu tak,

Bardziej szczegółowo

Liniowe układy scalone

Liniowe układy scalone Liniowe układy scalone Wykład 3 Układy pracy wzmacniaczy operacyjnych - całkujące i różniczkujące Cechy układu całkującego Zamienia napięcie prostokątne na trójkątne lub piłokształtne (stała czasowa układu)

Bardziej szczegółowo

Badanie generatora RC

Badanie generatora RC UKŁADY ELEKTRONICZNE Instrkcja do ćwiczeń laboratoryjnych Badanie generatora RC Laboratorim Układów Elektronicznych Poznań 2008 1. Cel i zakres ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie stdentów z bdową

Bardziej szczegółowo

W przypadku przepływu potencjalnego y u z. nieściśliwego równanie zachowania masy przekształca się w równanie Laplace a: = + + t

W przypadku przepływu potencjalnego y u z. nieściśliwego równanie zachowania masy przekształca się w równanie Laplace a: = + + t J. Szantr Wkład nr 3 Przepłw potencjalne 1 Jeżeli przepłw płn jest bezwirow, czli wszędzie lb prawie wszędzie w pol przepłw jest rot 0 to oznacza, że istnieje fnkcja skalarna ϕ,, z, t), taka że gradϕ.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Jakość układu regulacji Oprócz wymogu stabilności asymptotycznej, układom regulacji stawiane

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium Automatyka Automatics Forma studiów: studia stacjonarne Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH

POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMST Semestr letni Wykład nr 2 Prawo autorskie Niniejsze

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

K p. K o G o (s) METODY DOBORU NASTAW Metoda linii pierwiastkowych Metody analityczne Metoda linii pierwiastkowych

K p. K o G o (s) METODY DOBORU NASTAW Metoda linii pierwiastkowych Metody analityczne Metoda linii pierwiastkowych METODY DOBORU NASTAW 7.3.. Metody analityczne 7.3.. Metoda linii pierwiastkowych 7.3.2 Metody doświadczalne 7.3.2.. Metoda Zieglera- Nicholsa 7.3.2.2. Wzmocnienie krytyczne 7.3.. Metoda linii pierwiastkowych

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: SYSTEMY DYNAMICZNE 2. Kod przedmiotu: Esd 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Techniki Komputerowe

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Zapoznanie studentów z własnościami

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

1. Podstawowe pojęcia

1. Podstawowe pojęcia 1. Podstawowe pojęcia Sterowanie optymalne obiektu polega na znajdowaniu najkorzystniejszej decyzji dotyczącej zamierzonego wpływu na obiekt przy zadanych ograniczeniach. Niech dany jest obiekt opisany

Bardziej szczegółowo

Laboratorium z automatyki

Laboratorium z automatyki Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Laboratorium z automatyki Algebra schematów blokowych, wyznaczanie odpowiedzi obiektu na sygnał zadany, charakterystyki częstotliwościowe Kierunek studiów:

Bardziej szczegółowo

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej:

b n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej: 1. FILTRY CYFROWE 1.1 DEFIICJA FILTRU W sytuacji, kiedy chcemy przekształcić dany sygnał, w inny sygnał niezawierający pewnych składowych np.: szumów mówi się wtedy o filtracji sygnału. Ogólnie Filtracją

Bardziej szczegółowo

Modele i metody automatyki. Układy automatycznej regulacji UAR

Modele i metody automatyki. Układy automatycznej regulacji UAR Modele i metody automatyki Układy automatycznej regulacji UAR Możliwości i problemy jakie stwarzają zamknięte układy automatycznej regulacji powodują, że stały się one głównym obiektem zainteresowań automatyków.

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

Automatyka i sterowanie w gazownictwie. Regulatory w układach regulacji

Automatyka i sterowanie w gazownictwie. Regulatory w układach regulacji Automatyka i sterowanie w gazownictwie Regulatory w układach regulacji Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH Ogólne zasady projektowania

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji

Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Opracowanie: mgr inż. Krystian Łygas, inż. Wojciech Danilczuk Na podstawie materiałów Prof. dr hab.

Bardziej szczegółowo