Podstawy sterowania. Kompilacja wykładów i książki Obserwacja i sterowanie w systemach dynamicznych dr hab. inż. Witolda Byrskiego, prof. nadzw.

Transkrypt

1 Podstaw sterowania Kompilacja wkładów i książki Obserwacja i sterowanie w sstemach dnamicznch dr hab. inż. Witolda Brskiego, prof. nadzw. AGH Spis treści Sprzężenie zwrotne. Zadania kład reglacji...3. Sprzężenie zwrotne Zadania kład reglacji Modele procesów fizcznch i ich opis. Modele sgnałów. Zasad ciągłości Modele procesów fizcznch Stan przejściowe Modele sgnałów Rząd kład Zasad ciągłości Modele dnamiczne liniowe i nieliniowe Człon inercjn I rzęd Człon różniczkjąc z inercją I rzęd Układ II rzęd (osclacjn) Model hdralicznego człon całkjącego (zbiornik liniow bezodpłwow) Model hdralicznego obiekt inercjnego (zbiornik liniow z odpłwem swobodnm) Tabela zbiorcza obiektów Modele dnamiczne nieliniowe Model zbiornika stożkowego z odpłwem... 4 Transformata Laplace'a. Transmitancja operatorowa. Odpowiedź kład na wmszenia harmoniczne. Modelowanie sstemów dnamicznch Transformata Laplace'a Własności transformat Laplace'a Odwrotna transformata Laplace'a Rozwiązwanie równań różniczkowch techniką operatorową Transmitancja operatorowa Własności transmitancji Transmitancja kładów wielowmiarowch Algebra schematów blokowch Przkład transmitancji kładów skalarnch Odpowiedź na wmszenie harmoniczne Transformata Foriera Charakterstki częstotliwościowe kładów dnamicznch Modelowanie sstemów dnamicznch za pomocą równań różniczkowch stan Wliczanie macierz fnkcjnej Wektor własne i wartości własne macierz. Transformacje liniowe zmiennch stan. Transmitancja a równania stan Definicja formalna macierz liczbowej Definicja operatorowa macierz Wektor własne i wartości własne macierz Transformacje liniowe zmiennch stan Implsowa fnkcja przejścia Transmitancja a równania stan Natralne zmienne stan Równanie -tego rzęd Postać sterowalna Obiekt, sterowanie i wjście. Strktr sstemów sterowania Zadania atomatki Sterowanie w kładzie otwartm i kładzie zamkniętm Zadania sterowania Sstem atomatki procesowej i zabezpieczeniowej Ogóln schemat kład reglacji ze sprzężeniem zwrotnm Przkładowe realizacje jednowmiarowch kładów reglacji SISO Układ klasczn Układ kaskadow Układ adaptacjn...3 Podstaw sterowania

2 6.7 Algortm ciągłej reglacji PID Reglator proporcjonaln P Reglator proporcjonalno-różniczkjąc PD Reglator proporcjonalno-całkjąc PI Reglator proporcjonalno-całkjąco-różniczkjąc PID (idealn) Reglator proporcjonalno-całkjąco-różniczkjąc PID z inercją (rzeczwist) Algortm dskretne reglatorów PID. Stabilność Algortm dskretne reglatora PID Regła całkowania prostokątów (forward) Aproksmacja wsteczna (backward) Regła całkowania trapezów Transmitancja w przpadk ogólnm Reglator przekaźnikowe stosowane w kładzie reglacji Stabilność Stabilność w sensie Lapnowa Stabilność w sensie ograniczone wejście ograniczone wjście (BIBO) Stabilność w sensie Lapnowa a stabilność w sensie BIBO Krteria ocen stabilności. Sstem nieliniowe Krterim Hrwitza Krterim Nqista Stabilność kładów liniowch dskretnch Przekształcenie Stabilność kładów nieliniowch ciągłch Pnkt równowagi Pierwsza metoda Lapnowa Sterowalność i obserwowalność Sterowalność Warnek konieczn i dostateczn sterowalności kład liniowego Sterowalność kładów liniowch dskretnch Obserwowalność Krterim obserwowalności Podział obserwatorów...46 Reglator wielowmiarowe Wskaźniki jakości Reglator LQR Algebraiczne równanie Riccatiego...49 Indeks tabel Tabela 2.: Tp modeli procesów fizcznch i równania je opisjące...4 Tabela 3.: Analogie wstępjące w kładach mechanicznch i elektrcznch...7 Tabela 3.2: Tabela zbiorcza obiektów... Tabela 4.: Przkładowe transformat...2 Tabela 4.2: Transformata wejścia i transmitancja a transformata wjścia...6 Podstaw sterowania 2

3 Sprzężenie zwrotne. Zadania kład reglacji.. Sprzężenie zwrotne Sprzężenie zwrotne (feedback) jest przede wszstkim podstawową metodą sterowania sstemami niestabilnmi. Ogólnie, sprzężenie zwrotne stosje się zawsze w warnkach niepewności i niekompletności informacji o sstemie i zakłóceniach. Reprezentowane jest przez łańcch przcznowo sktkow, przedstawiając zależności: Wejście Sstem Dnamiczn Wjście Pomiar Porównanie z Sgnałem Odniesienia Wejście Sgnał odniesienia Wejście Sstem dnamiczn - Wjście Pomiar Rsnek.: Układ z (jemnm) sprzężeniem zwrotnm.2 Zadania kład reglacji nadążanie za sgnałem referencjnm (odniesienia) wskazjącm now poziom wjścia Przestawiam żelazko z 6 na 8 st. chcem, b temperatra zmieniła się jak najszbciej. temperatra Rsnek.2: Przkład nadążania czas stabilizacja zmiennej w pnkcie prac pomimo zjawienia się zakłócenia Przkładam żelazko do mokrch jeansów chcem, b trzmało temperatrę. temperatra sgnał zakłócając Rsnek.3: Przkład stabilizacji czas Podstaw sterowania 3

4 2 Modele procesów fizcznch i ich opis. Modele sgnałów. Zasad ciągłości. 2. Modele procesów fizcznch W atomatce rozróżniam następjące tp modeli procesów fizcznch: Statczne (równania algebraiczne) Liniowe (równania liniowe) O parametrach skpionch (równania różniczkowe zwczajne) Stacjonarne (równania o parametrach stałch w czasie) Ciągłe (równania różniczkowe) Deterministczne (równania deterministczne) Dnamiczne (równania różniczkowe) Nieliniowe (równania nieliniowe) O parametrach rozłożonch (równania różniczkowe cząstkowe) Niestacjonarne (równania o parametrach zmiennch w czasie) Dskretne (równania różnicowe) Losowe (stochastczne) (równania z teorii procesów stochastcznch) Chaotczne (równania różniczkowe nieliniowe) Tabela 2.: Tp modeli procesów fizcznch i równania je opisjące Najprostsze modele dnamiki opiswane są przez liniowe, stacjonarne równania różniczkowe, a najtrdniejsze przez nieliniowe, niestacjonarne równania cząstkowe. Najważniejsz jest podział na modele statczne i dnamiczne. Modele statczne tworzone są głównie dla celów poszkiwania optmalnego pnkt prac instalacji technologicznej. Jak postawiać różne parametr, żeb koszt prodkcji bł jak najniższe, a zsk jak największ. Modele statczne reprezentją zachowanie się sstem w stanach stalonch (czli np. w tmże pnkcie optmalnm). Modele dnamiczne odwzorowją zachowanie się sstem w stanach przejściowch. 2.2 Stan przejściowe Stan przejściowe wwołane są: planowmi zmianami pnktów prac instalacji przez personel operatorski lb kompter sterjąc nieprzewidzianmi zakłóceniami oddziałwającmi na zmienne sterjące, zmienne wjściowe i parametr proces I t wracam do zadań kład reglacji. Sstem fizczn znawan jest za statczn (pozbawion dnamiki), gd wielkość wjściowa t dla każdej chwili t zależ tlko od wejścia t i nie zależ od wartości t dla t t. W rzeczwistości idealne sstem statczne nie istnieją. sterowanie stalone Sstem dnamiczn Rsnek 2.: Model statczn wjście stalone Modele statczne można też przpisać wiel procesom i obiektom atomatki, mimo ich istniejącej Podstaw sterowania 4

5 dnamiki. Mogą one bć rozważane jako charakterstki ich stanów stalonch. Można je zskać przrównjąc do zera wszstkie pochodne zmiennch procesowch po czasie w równaniach różniczkowch zwczajnch, opisjącch dnamikę proces. Mam obiekt liniow określon równaniem: Model statczn tego proces ma postać: ẍ t, ẋ t x t =, t x=, 2.3 Modele sgnałów. Skok jednostkow t : t = { t t 2. Impls jednostkow z parametrem, t, : a) t, : t, dt= b) lim t, = { t t= Rsnek 2.2: Skok jednostkow t 3. Delta Diraca t : a) t =lim t, t dt= b) t = d t dt t d = t 2.4 Rząd kład Rząd kład (równania różniczkowego) pokrwa się z regł z ilością niezależnch magaznów energii (pojemności), pomiędz którmi może następować jej wmiana. Pojemność = człon całkjąc. 2.5 Zasad ciągłości Zasad ciągłości, stosowane do bdow modeli dnamicznch:. Zasada ciągłości pęd (bilans sił) d [m t v i t ] dt = d m t dt v i t d v i t dt N m t = F ij t j= gdzie v i t - prędkość w i-tm kiernk, F ij - j-ta składowa sił w i-tm kiernk 2. Zasada ciągłości mas (bilans materiałow) Dla kład dnamicznego szbkość zmian magaznowanej mas równa się różnic dopłw i odpłw mas do kład. 3. Zasada ciągłości energii (bilans ciepln) Szbkość zmian energii kład równa się różnic dopłw i odpłw energii kład przez konwekcję, dfzję, przewodzenie, promieniowanie pls ciepło wdzielone przez reakcję chemiczną, mins praca wkonana przez kład na otoczeni. Podstaw sterowania 5

6 3 Modele dnamiczne liniowe i nieliniowe. 3. Człon inercjn I rzęd. Elektrczn: Stąd ładnek: q t =C 2 t 2. Mechaniczn: 3. Ogólnie: i t =C d t 2 = dt R t 2 t R dq t dt C q t = t b dx t 2 k x dt 2 t x t = b dx t 2 kx dt 2 t =kx t ẋ t = x t b t, dla danego x = x T t x t =b e T x b Co dla x = przechodzi w: x t =b e t T WAŻNY JEST WARUNEK POCZĄTKOWY STAN W JAKIM ZNAJDOWAŁ SIĘ UKŁAD W CHWILI t= i R U C U 2 Rsnek 3.: Układ RC b k Rsnek 3.2: Układ mechaniczn x 2 x Ten wzór jest z książki, na wkładzie bł inn. b 3 b 2 =x b b Rsnek 3.3: Zależność rozwiązania od T warnków początkowch Rsnek 3.4: Rozwiązanie dla x = t 3.2 Człon różniczkjąc z inercją I rzęd Wstępje pochodna na sgnale wejściowm.. Elektrczn: C d 2 t t = t 2 dt R i C U R U 2 Rsnek 3.5: Układ RC Podstaw sterowania 6

7 2. Mechaniczn: R d t 2 t 2 dt C =R d t dt b d x 2 t x t kx dt 2 t = b dx t 2 kx dt 2 t =b dx t dt k b x Układ II rzęd (osclacjn). Elektrczn: L di t Ri t t dt C i d =e t Przjmjąc, że q t to ładnek elektrczn: Rsnek 3.6: Układ mechaniczn L R x L q t R q t q t =e t C 2. Mechaniczn: Równanie równowagi sił: m ẍ t b ẋ t kx t = f t e Rsnek 3.7: Układ szeregow RLC C k b m x f t Rsnek 3.8: Układ mechaniczn II rzęd Układ mechaniczn Siła f (moment T ) Masa m (moment bezwładności J ) Współcznnik tarcia wiskotcznego b Stała sprężn k Przesnięcie x (kąt ) Szbkość ẋ=v ( = ) Moc p= fv Układ elektrczn Napięcie Indkcjność L Opór R Odwrotność pojemności C Ładnek q Prąd i Moc p=i Tabela 3.: Analogie wstępjące w kładach mechanicznch i elektrcznch Podstaw sterowania 7

8 3.4 Model hdralicznego człon całkjącego (zbiornik liniow bezodpłwow) Teoretczna wsokość ścianek wnosi. Q t masowe natężenie przepłw gęstość P pole powierzchni (const.) V t =Ph t objętość P dh t =Q t T ḣ t =Q t dt h t = T t Q d dla h = h Rsnek 3.9: Zbiornik prostopadłościenn Q Zbiornik prostopadłościenn jest dla zmiennej h t członem całkjącm. 3.5 Model hdralicznego obiekt inercjnego (zbiornik liniow z odpłwem swobodnm) Ponieważ model ma bć liniow, nie może wstąpić w nim pierwiastek. Przbliżam więc: Q t = h t R h t R P ḣ t =Q t h t R ḣ t = P R h t P Q t Zbiornik z odpłwem posiada cechę samowrównwania poziom tak jak obiekt inercjn. Q h Q Rsnek 3.: Zbiornik z odpłwem 3.6 Tabela zbiorcza obiektów Dla K =.5 i T = (poza 8., gdzie T =3 ) Równanie Transmitancja Idealn obiekt różniczkjąc nie wstępje w przrodzie. Jego wkresów nie jestem pewna. Nazwa obiekt Odpowiedź t na: t = t t = t. t = K t K proporcjonaln 2. ẏ t = K t K s całkjąc Podstaw sterowania 8

9 Równanie Transmitancja Nazwa obiekt Odpowiedź t na: t = t t = t 3. t = K t Ks różniczkjąc 4. T ẏ t t =K t K Ts inercjn I rzęd 5. T ẏ t t =K t Ks Ts różniczkjąc z inercją 6. ÿ t T ẏ t =K t K s s T całkjącoinercjn 7. ÿ t T ẏ t t =K t K s 2 Ts T < 2, II rzęd osclacjn 8. ÿ t T ẏ t t =K t K s 2 Ts T > 2, II rzęd przetłmion 9. ÿ t t =K t K s 2 osclacjn Podstaw sterowania 9

10 Tabela 3.2: Tabela zbiorcza obiektów 3.7 Modele dnamiczne nieliniowe Dnamikę kładów nieliniowch opisją równania różniczkowe nieliniowe. Np.: ÿ t 7[ ẏ t ] 2 t = t ÿ t ẏ t t t = t ÿ t ẏ t sin t = t Niektóre z tch równań różniczkowch można rozwiązać analitcznie, dla wiel jednak wzor nie istnieją. Wted można wkonać linearzację danej nieliniowości w niewielkim wbranm obszarze (pnkcie). Wkorzstje się szereg Talora cięt do dwóch wrazów. WAŻNY JEST PUNKT PRACY OD NIEGO ZALEŻY DOKŁADNOŚĆ LINEARYZACJI. Nieliniowość a h b, gdzie a=tg. b x stczna = f x Rsnek 3.: Przkład linearzacji x 3.8 Model zbiornika stożkowego z odpłwem Pole powierzchni ciecz w zbiornik stożkowm zależ od wsokości słpa ciecz. Objętość V h nie zmienia się więc w sposób liniow. Najprostszm sposobem zamodelowania takiego kład jest znanie go za liniow w pewnch wbranch pnktach prac (czerwona linia na rsnk obok). Dokonje się to poprzez rozwinięcie V h w szereg Talora w okolic tch pnktów. Q t h t Q 2 t Rsnek 3.2: Zbiornik stożkow Podstaw sterowania

11 4 Transformata Laplace'a. Transmitancja operatorowa. Odpowiedź kład na wmszenia harmoniczne. Modelowanie sstemów dnamicznch. 4. Transformata Laplace'a Transformatę Laplace'a definije się jako: L [ f t ]= F s = f e s d Danej fnkcji f t przporządkowje ona fnkcję F s, gdzie s= j. Ab transformata istniała, msi istnieć dla danej fnkcji f t prznajmniej jedno s, dla którch taka całka istnieje, tzn. jest mniejsza od : e st f t dt Transformata Laplace'a nie istnieje np. dla f t =e t 2, ponieważ fnkcja ta rośnie szbciej niż e st maleje. t L równanie różniczkowe t tablice tablice U s równanie algebraiczne Y s L Rsnek 4.: Schemat stosowania transformat Laplace'a Orginalna f t Transformata F s t t t e at s a a e a t t n t n! s s s a t t e a t s a 2 t t n e a t n! s a n s n Podstaw sterowania

12 Orginalna f t Transformata F s t e t n n! s s s 2 s n t sin t t cos t t e a t sin t Tabela 4.: Przkładowe transformat 4.2 Własności transformat Laplace'a. Liniowość: 2. Skalowalność: af t bf 2 t af s bf 2 s f a t a F s a 3. Przesnięcie w czasie: f t F s e s 4. Przesnięcie w dziedzinie częstotliwości: e at f t F s a 5. Splot w dziedzinie czas: f t f 2 t = 6. Splot w dziedzinie częstotliwości: f f 2 t d F s F 2 s j f t f 2 t F 2 j F 2 s d j 7. Jednostronne różniczkowanie w dziedzinie czas: df t sf s f dt s 2 2 s s 2 2 s a Jednostronne różniczkowanie w dziedzinie czas dla zerowch warnków początkowch i dla niezerowch warnków początkowch: d n f t dt n s n F s d n f t dt n 4.3 Odwrotna transformata Laplace'a s n F s s n f s n 2 f f n Problem transformacji odwrotnej sprowadza się do rozwiązania równania całkowego Laplace'a: F s = f e s d a poszkiwana fnkcja f t będzie rozwiązaniem transformacji odwrotnej Laplace'a: Podstaw sterowania 2

13 f t = L [ F s ] 4.4 Rozwiązwanie równań różniczkowch techniką operatorową Mam równanie: t 3 ÿ t 6 ẏ t 4 t = t 3 t Warnki początkowe zerowe: =, ẏ =, ÿ =. Fnkcja wmszająca t = t dla t. Po zastosowani transformacji Laplace'a otrzmje się: gdzie U s =. Y s s 3 3s 2 6s 4 = s 3 U s Stosjem rozkład na łamki proste: s 3 Y s = s 2 2s 4 s = Bs C s 2 2s 4 A s s 3 s Bs C A s 2 2s 4 s 3 Bs 2 Cs Bs C As 2 2As 4A s 3 s 2 A B s 2A B C 4A C Porównjem współcznniki lewej i prawej stron prz jednakowch potęgach s : { A B= 2A B C= A= 2 3, B= 2 3,C = 3 4A C =3 Y s = 2 3 s 2 3 s s s 2 3 Rozwiązanie ma więc postać: t =[ 2 3 e t 2 3 e t cos 3t 3 e t sin 3t ] t Zadziałanie na kład deltą Diraca to trochę jak pstrknięcie sprężn drga przez chwilę, a potem wraca do stan początkowego. Podanie na wejście skok jednostkowego działa jak zawieszenie na sprężnie ciężarka drga przez chwilę, a potem znajdje now pnkt równowagi. 4.5 Transmitancja operatorowa STOSUNEK TRANSFORMATY LAPLACE'A FUNKCJI WYJŚCIA SYSTEMU DO TRANSFORMATY LAPLACE'A WEJŚCIA SYSTEMU (PRZY ZEROWYCH WARUNKACH POCZĄTKOWYCH) TWORZY UŁAMEK WYMIERNY ZMIENNEJ s I NAZYWA SIĘ TRANSMITANCJĄ OPERATOROWĄ SYSTEMU G s. Y s U s = L s M s = b m s m b m s m b s b =G s a n s n a n s n a s a Pierwiastki wielomian licznika ( L s ) nazwane są zerami transmitancji, a pierwiastki mianownika ( M s ) biegnami. 4.6 Własności transmitancji Gdbśm chcieli powrócić na wspólną kreskę łamkową, to trzeba pomnożć Bs C s i A S 2 2s 4 Rsnek 4.2: Rozwiązanie równania Ab transmitancja bła realizowalna fizcznie, stopień licznika msi bć mniejsz lb równ stopniowi mianownika ( m n ). Podstaw sterowania 3

14 Podczas korzstania z opis za pomocą transmitancji należ pamiętać o dwóch jej cechach:. transmitancja nie względnia wpłw warnków początkowch na rozwiązanie 2. transmitancja obejmje swoim opisem dnamikę sstem związaną bezpośrednio z torem wejście-wjście; niekied tor ten reprezentje cał kład, ale niekied tlko jego część U G G 2 + Y 4.7 Transmitancja kładów wielowmiarowch W liniowch kładach wielowmiarowch prz wiel różnch wejściach i wiel różnch wjściach można określać transmitancje torów skrośnch pomiędz i -tm wejściem i j -tm wjściem: Y j s U i s =G ij s G 2 U 2 + Y 2 G 22 Rsnek 4.3: Przkład transmitancji wielowmiarowej Transmitancja G s tworzona jest więc jako macierz transmitancji skalarnch G ij s. Dla przkład z rsnk 2 można to przedstawić następjąco: [ Y Y 2 s ] [ = G s G 2 G 2 s G 22 s ][ U U 2 s ] Układ wielowmiarowe stanowią pewną trdność dla zadań sterowania, gdż zmiana każdego z osobna sterowania powodje jednoczesne zmian wiel wjść. Przkładem kład wielowmiarowego może bć helikopter. Gd dam sgnał do lot w górę, helikopter będzie chciał kręcić się bardziej niż przed chwilą, w związk z czm zwiększą się obrot śmigła bocznego. Ta zmiana z kolei sprawi, że helikopter będzie ściągan w dół. Podobnie jest w przpadk chęci zmian kiernk lot. W skrócie: sterowania góra-dół i skręć nie są od siebie niezależne. Ab rozseparować wpłw sterowań na wjścia stosje się sprzężenie zwrotne i specjalne kład odsprzęgające, dołączone do sstem sterowanego. 4.8 Algebra schematów blokowch. Połączenie równoległe transmitancji G + G 2 + Rsnek 4.4: Połączenie równoległe transmitancji G Z =G G 2 Podstaw sterowania 4

15 2. Połączenie szeregowe transmitancji 2 G G 2 Rsnek 4.5: Połączenie szeregowe transmitancji G Z =G G 2 3. Sprzężenie zwrotne ± G H Rsnek 4.6: Sprzężenie zwrotne G Z = G G H + prz jemnm sprzężeni zwrotnm prz dodatnim 4. Przeswanie węzła smacjnego + z G G G + z Rsnek 4.7: Przeswanie węzła smacjnego U Z G=UG ZG=Y 5. Przeswanie węzła zaczepowego G G G - G G G Rsnek 4.8: Przeswanie węzła zaczepowego Podstaw sterowania 5

16 4.9 Przkład transmitancji kładów skalarnch Orginał t Transformata U s Transmitancja Nazwa obiekt Transformata odpowiedzi t s s a całkjącoinercjn s s a t s s a inercjn s s a t e at s a s całkjąc s s a a e at s s a proporcjonaln o wzmocnieni s s a Tabela 4.2: Transformata wejścia i transmitancja a transformata wjścia Stabiln kład inercjn rzęd I:. Układ RC: R i U C U 2 t Rsnek 4.9: Układ RC Rsnek 4.: Odpowiedź = 2 na skok U 2 s = Cs U s R Cs G s = U 2 s U s = Rcs = Ts t =K t t t = 2 t =K [ e T ] 2. Człon całkjąc z jemnm sprzężeniem zwrotnm: Ts - Rsnek 4.: Człon całkjąc z jemnm sprzężeniem zwrotnm Ts G s = Ts = Ts 4. Odpowiedź na wmszenie harmoniczne Dla sterowania t = Asin t U s = A s 2 2 i transmitancji G s = K st transformata wjścia (prz zerowch warnkach początkowch) może bć rozłożona na łamki proste. Po Podstaw sterowania 6

17 obliczeniach otrzmjem: Stąd mam: AK Y s = Ts s 2 2 = AK T 2 T 2 2 Ts s 2 st 2 s 2 2 t t = AK T e T sin t T cos t = AKT T 2 2 T 2 2 e Gdzie tg = T, co oznacza, że sgnał na wjści jest zawsze opóźnion. t T AK sin t T 2 2 Traktjąc transmitancję jako liczbę zespoloną ( s= j ), można policzć jej modł w fnkcji parametr częstotliwości : G j = K T j = K Tj T 2 2 = K T 2 2 j Jest to tzw. transmitancja widmowa, gdzie: K G j = T 2 2 tg [ ]= T KT T 2 2 = G j e j Ponieważ t e tt dla stan stalonego można zapisać: t =A G j sin t Wnik ten może bć ogólnion na kład liniowe wższego rzęd. Załóżm, że mam kilka połączonch ze sobą zbiorników z pierwszego woda przelewa się do drgiego itd. Bawim się kranem nad pierwszm zbiornikiem, odkręcając i zakręcając go w rtm sinsoid. Po pewnm czasie (gd zbiorniki napełnią się do pewnch poziomów) zaważm, że poziom wod w ostatnim zbiornik podnosi się i opada zgodnie z rtmem sinsoid wejściowej. Jest tlko trochę spóźnion w stosnk do odkręcanego i zakręcanego kran. Podsmowjąc: JEŚLI NA WEJŚCIU BYŁ SINUS, TO NA WYJŚCIU TAKŻE (PO PEWNYM CZASIE) OTRZYMAMY SYGNAŁ SINUSOIDALNY. NIE WAŻNE JEST, JAKI BYŁ RZĄD UKŁADU. G j SINUS WYJŚCIOWY MA TĄ SAMĄ CZĘSTOTLIWOŚĆ CO WEJŚCIOWY, RÓŻNIĆ SIĘ MOŻE AMPLITUDĄ I FAZĄ. WRAZ ZE WZROSTEM CZĘSTOTLIWOŚCI ZMNIEJSZA SIĘ MODUŁ TRANSMITANCJI, A CO ZA TYM IDZIE ZMNIEJSZA SIĘ AMPLITUDA SYGNAŁU NA WYJŚCIU. 4. Transformata Foriera Rsnek 4.2: Filtr dolnoprzepstow Każd sgnał można przedstawić za pomocą sm sinsoid o różnch częstotliwościach, amplitdach i fazach. Za pomocą transformat Foriera (dla fnkcji spełniającch pewne warnki) można wznaczć te właśnie sinsoid. Załóżm że z satelit ma bć przesłan pewien sgnał, składając się z liczb. Załóżm też, że po wliczeni szbkiej transformat Foriera okazało się, że składa się on z 7 sinsoid. Lepiej jest przesłać 3 amplitda,częstotliwość, faza 7=5 liczb niż. 2 Podstaw sterowania 7

18 4.2 Charakterstki częstotliwościowe kładów dnamicznch Wróżniam dwa rodzaje charakterstk: a) charakterstka Nqista, będąca charakterstką amplitdowo-fazową; otrzmje się ją poprzez narsowanie na płaszczźnie Nqista transmitancji widmowej ( G j ) w fnkcji parametr częstotliwości. b) charakterstka Bodego, będąca charakterstką amplitdową i fazową; są to wkres logartmiczne wzmocnienia sgnał w zależności o częstotliwości oraz wkres faz w fnkcji częstotliwości. Dla obiekt inercjnego I rzęd ( G s = K, tg = T ) charakterstki te są następjące: Ts Podstaw sterowania 8

19 4.3 Modelowanie sstemów dnamicznch za pomocą równań różniczkowch stan Stan x najmniejsza liczba wielkości przpisanch do kład. Ab przewidzieć zachowanie kład potrzebne są: wartości zmiennch stan w chwili początkowej t=t ( x t ) znajomość model sstem, czli strktr powiązań międz zmiennmi stan znajomość przebieg sterowania t na całm przedziale [t, t ] Wjście wbran zbiór wielkości procesowch, które są szczególnie interesjące z pnkt widzenia modelowania lb sstem sterowania (np. należ je stabilizować). Gdzie: Jako zmienne stan w kładach mechanicznch przjmje się przesnięcia, prędkości i przspieszenia. Jako zmienne stan w kładach elektrcznch przjmje się napięcia na pojemnościach C (kondensatorach) i prąd w indkcjnościach L (cewkach). STANDARDOWA FORMA LINIOWEGO RÓWNANIA STANU DLA UKŁADU STACJONARNEGO MA POSTAĆ: ẋ t =Ax t B t, x t =x t =Cx t D t DLA t t : x t R n, t R r, t R m n ilość wejść r ilość sterowań m ilość wjść A macierz stan o wmiarach n n B macierz sterowania n r C macierz obserwacji m n D macierz wjścia m r Ogólne rozwiązanie x t ma postać: A fnkcja wjścia t : x t =e A t t x t e A t B d t t całka splotowa t t =Ce A t t x t C e A t B d D t t DLA t = OTRZYMUJEMY: t x t =e At x e A t B d Przkładowo dla t = t i prz założeni nieosobliwości A ( A ) rozwiązanie ma postać: x t =e At x A [ e At I ] B=e At [ x A B ] A B R r x R n R m Rsnek 4.3: Układ dnamiczn Podstaw sterowania 9

20 4.4 Wliczanie macierz fnkcjnej e At Niektóre metod wliczania wkładniczej postaci macierz fnkcjnej e At : z definicji szereg wkładniczego: A=[ 2] e At =[ e At = At k k= k! =I At A2 t 2 2 A3 t 3 6 et 2t] e z twierdzenia Slwestera, wkorzstjąc wielomian interpolacjn Lagrange'a f a =e At jako odwrotne przekształcenie Laplace'a e At = L [ si A ] A=[ 2] [ s = s 2] s s 2 [ s 2 s ] =[ s ] [ L et 2t] e s 2 transformacja do diagonalnej postaci Jordana gdzie: i wartości własne e At =T e Jt T, J =T AT T i odpowiadające im wektor własne (główne) macierz A T =[ T T 2 T n ] modalna macierz transformacji A do postaci Jordana J A=[ 2 3] I A =[ 2 3] = =9 8=,2 = 3± = 2, (wartości własne A ) 2 Wektor własn T = T T 2 obliczam z równania I A T = : [[ 2 2] [ 2 3]] T { 2 T T = 2 2T T 2 = -) T = [ 2 ] T 2 = [ 2 2 ] T T 2 = (jedną współrzędną wbieram dowolną (najczęściej lb Wektor własn T 2 = T 2 T 22 obliczam z równania 2 I A T 2 = : Podstaw sterowania 2

21 [ 2 2 ] T 2 T 22 = T 2 = [ ] T =[ 2 ], T =[ 2 ] T AT =[ 2 ] [ 2 3] [ 2 ] = [ 2 ] =J e At =T e Jt T =T [ e 2t e =[ nmerczne wliczanie e At t] T e 2t 2 e t e 2t e t 2e 2t 2 e t 2 e 2t e ] t Podstaw sterowania 2

22 5 Wektor własne i wartości własne macierz. Transformacje liniowe zmiennch stan. Transmitancja a równania stan. 5. Definicja formalna macierz liczbowej Układ liczb rozmieszczon w tablic o m wierszach i n kolmnach nazwam macierzą [m n] wmiarową. Stanowi on odwzorowanie par liczb i, j w element a ij. a a n A=[ a m a mn] 5.2 Definicja operatorowa macierz Każd liniow operator przekształcając skończenie wmiarową przestrzeń X n X m, (prz zadanch wektorach bazowch) ma postać macierz [m n] -wmiarowej. Macierz kwadratowa przekształca element (wektor) przestrzeni X n w inne element tej samej przestrzeni. Ax=, x, X n [ 3 5 ] [ 2 ] = [ 4 ] x 5.3 Wektor własne i wartości własne macierz Dla każdej macierz kwadratowej [n n] istnieją w przestrzeni X n charakterstczne wektor, które po przekształceni przez tę macierz pozostają kolinearne, tzn. zmieniają tlko swoją dłgość z pewnm współcznnikiem. Wektor te nazwają się wektorami własnmi macierz A, a współcznniki proporcjonalności nazwane są wartościami własnmi tej macierz. Aw= w A I w= Ab powższ kład posiadał niezerowe rozwiązanie dla wektora w, rząd macierz A I msi bć mniejsz od n. Stąd z warnk det [ A I ]= otrzmje się wielomian charakterstczn, któr posiada n pierwiastków i. Dla danego = i wznacza się z kład równań wektor w i, ale tlko z dokładnością do współcznnika c, tzn. wektor c w i ( c dowolna stała) również spełnia ten kład. Z kład wznacza się więc nie wektor, a raczej kiernki własne, które nie legają zmianie prz przekształceni przez macierz A. Stąd wektor własne z regł mogą bć znormalizowane do jedności. Jeśli wartości własne są pojedncze, można wznaczć n wektorów własnch liniowo niezależnch. Macierz W, której kolmn są tworzone z wektorów własnch macierz A, nazwa się macierzą modalną macierz A. 5.4 Transformacje liniowe zmiennch stan Dan jest kład wielowmiarow (MIMO, Mlti Inpt - Mlti Otpt): ẋ t =Ax t B t t =Cx t, x = x warnki początkowe x t R n, t R r, t R m, t Rsnek 5.: Ilstracja definicji operatorowej macierz Można znaleźć nieosobliwą macierz transformacji podobieństwa T zbdowaną z wektorów własnch i głównch (macierz modalną), przekształcającą zmienne stan x w inne zmienne Podstaw sterowania 22

23 stan z : Wted: x t =Tz t ż t =T ATz t T B t =Jz t B t t =Ctz t = C z t z =T x Po podstawieni T AT =J, rozwiązanie ma postać: Ważna jest zależność: t z t =e Jt z e J t B d t x t =Te Jt T x T e J t T B d e At =Te Jt T Wjście t może bć wrażone wzorem: t t =CTe Jt T x C T e J t T B d Dzięki transformacji liniowej do innch zmiennch stan można pozbć się sprzężenia zwrotnego rozsprzęc kład. 5.5 Implsowa fnkcja przejścia Odpowiedź t sstem na specjaln sgnał sterjąc będąc implsem Diraca t =a t oznacza się t =a g t Fnkcja g(t) nazwa się implsową fnkcją przejścia kład liniowego. IMPULSOWA FUNKCJA PRZEJŚCIA TO:. ODPOWIEDŹ NA DELTĘ DIRACA 2. POCHODNA ODPOWIEDZI UKŁADU h t NA SKOK JEDNOSTKOWY: g t =dh t dt 3. ORYGINAŁ TRANSMITANCJI G s, CZYLI ODWROTNA TRANSFORMATA LAPLACE'A TRANSMITANCJI: Y s =G s U s, U s = Y s =G s, t =g t 5.6 Transmitancja a równania stan Transmitancja opisje dnamikę tor sterowanie-wjście (prz zerowch warnkach początkowch) nie wnikając w strktrę obiekt. To samo wejście, to samo wjście, inn środek. Równanie stan daje możliwość dokładnego opis strktr, opis dnamiki stan i wjścia oraz jęcia wpłw warnków początkowch. Dana transmitancja reprezentje kład dwóch zbiorników: A, B, C J, B, C Rsnek 5.2: Działanie transformacji liniowej zmiennch stan Podstaw sterowania 23

24 K G s = s s 2 Jest niekończenie wiele zestawów A, B, C realizjącch tę transmitancję. Mam nadzieję, że rsnki są dobrze, ale że bł przersowwane na szbko, to są odtwarzane trochę na zasadzie zgadj-zgadla.. Modelowanie poziom dwóch zbiorników połączonch szeregowo: [ x x 2] [ = 2 2] [ x x 2] [ K =[ ] [ x x 2] ] 2 x 2 K 2 K x s s x = 2 x 2 Rsnek 5.4: Schemat blokow dwóch zbiorników połączonch szeregowo 2. Modelowanie różnic poziomów dwóch zbiorników połączonch równolegle: [ x x 2] [ = 2][ x x 2] [ K K ] 2 =[ ] [ x x 2] 2 Rsnek 5.3: Zbiorniki połączone szeregowo x s x K 2 K 2 K 2 s x x 2 x x 2 x 2 x 2 Rsnek 5.6: Zbiorniki połączone równolegle 3. Modelowanie poziom dwóch zbiorników połączonch szeregowo i sprzężeniem: [ x x 2] [ = 2 2 2][ x x 2] [ K ] =[ ] [ x x 2] 2 Rsnek 5.5: Schemat blokow dwóch zbiorników połączonch równolegle Podstaw sterowania 24

25 x 2 x =x K 2 2 s s 2 2 x 2 Rsnek 5.7: Schemat blokow zbiorników połączonch szeregowo ze sprzężeniem x 2 K 5.7 Natralne zmienne stan Układ liniowe n -tego rzęd opiswane transmitancją mogą bć przedstawione w postaci schematów blokowch z wkorzstaniem tlko członów całkjącch I rzęd i członów wzmacniającch. Reprezentacja ta wprowadza pojęcie natralnch zmiennch stan, którmi mogą bć kolejne pochodne zmiennej wejściowej. Dana jest transmitancja: G s = b 3 s3 b 2 s 2 b s b = b s 3 a 2 s 2 a s a s 3 a 2 s 2 3 s 3 b 2 s 2 b s b a s a s s s 2 x 2 x Rsnek 5.8: Zbiorniki połączone szeregowo ze sprzężeniem s 3 b 3 a 2 s 2 b 2 a sb a b + Rsnek 5.9: Schemat blokow W schemacie tm po przekształceni wstępje sprzężenie do tł i do przod. b 3 b 2 b s s s b + a 2 a a Rsnek 5.: Schemat blokow po przeniesieni węzłów smacjnch Podstaw sterowania 25

26 Wprowadzając wektor natralnch zmiennch stan x t R 3,w którm składowmi są wjścia z członów całkjącch, otrzmje się: x t = x 2 t, x 2 t =x 3 t, x 3 t = a x t a x 2 t a 2 x 3 t t ẋ=[ 2] [ x ] a a a =[b,b,b 2 ] x [b 3 a,b 3 a,b 3 a 2 ] x b 3 =[b a b 3,b a b 3,b 2 a 2 b 3 ] x b Równanie n -tego rzęd Ogólne skalarne równanie n -tego rzęd na zmienną wjściową t dla kład jednowmiarowego (SISO, Single Inpt-Single Otpt) n t a n n t a ẏ t a =b n n t b n n t b t b t można zamienić na n równań różniczkowch I rzęd: x t =[ x t x n t ] R n, t R, t R ẋ t =Ax t B t t =Cx t D t 5.9 Postać sterowalna Dla oznaczeń: =[, 2,, n ]=[b a b n, b a b n,,b n a n b n ] b n = =[b,b,,b n ] I postać sterowalna wgląda tak: A=[ a a a n ], B=[ ] C=[, 2,, n ], D=b n Podstaw sterowania 26

27 6 Obiekt, sterowanie i wjście. Strktr sstemów sterowania. 6. Zadania atomatki Zadanie analiz sstem dnamicznego, którm chcem sterować: a) poznanie cech obiekt (poznanie model) b) poznanie reakcji kład na dane sterowanie Pierwsze trz pnkt są w dżej części odtwarzane z pamięci notatki z wkład mam szczątkowe, a nie mogę znaleźć tego w książce. t O t =? Rsnek 6.: Ilstracja zadania analiz Zadanie sntez sstem sterowania: a) otrzmanie pożądanego kształt wjścia b) znalezienie sterowania c) zaprojektowanie sterownika R t =? O r t Rsnek 6.2: Ilstracja zadania sntez 6.2 Sterowanie w kładzie otwartm i kładzie zamkniętm OBIEKTEM MOŻNA STEROWAĆ W UKŁADZIE OTWARTYM, JEŚLI SPEŁNIONE SĄ WSZYSTKIE PONIŻSZE WARUNKI: A) OBIEKT JEST STABILNY B) OBIEKT JEST BARDZO DOBRZE ZNANY C) JEST GWARANCJA, ŻE W CZASIE STEROWANIA NIE BĘDZIE ŻADNYCH ZAKŁÓCEŃ ZEWNĘTRZNYCH r R O Rsnek 6.3: Układ otwart OBIEKTEM NALEŻY STEROWAĆ W UKŁADZIE ZAMKNIĘTYM, GDY ZACHODZI PRZYNAJMNIEJ JEDEN Z PONIŻSZYCH WARUNKÓW: A) OBIEKT JEST NIESTABILNY B) OBIEKT JEST SŁABO POZNANY C) NIE MA GWARANCJI, ŻE W CZASIE STEROWANIA NIE BĘDZIE ŻADNYCH ZAKŁÓCEŃ ZEWNĘTRZNYCH Podstaw sterowania 27