Podstawy sterowania. Kompilacja wykładów i książki Obserwacja i sterowanie w systemach dynamicznych dr hab. inż. Witolda Byrskiego, prof. nadzw.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawy sterowania. Kompilacja wykładów i książki Obserwacja i sterowanie w systemach dynamicznych dr hab. inż. Witolda Byrskiego, prof. nadzw."

Transkrypt

1 Podstaw sterowania Kompilacja wkładów i książki Obserwacja i sterowanie w sstemach dnamicznch dr hab. inż. Witolda Brskiego, prof. nadzw. AGH Spis treści Sprzężenie zwrotne. Zadania kład reglacji...3. Sprzężenie zwrotne Zadania kład reglacji Modele procesów fizcznch i ich opis. Modele sgnałów. Zasad ciągłości Modele procesów fizcznch Stan przejściowe Modele sgnałów Rząd kład Zasad ciągłości Modele dnamiczne liniowe i nieliniowe Człon inercjn I rzęd Człon różniczkjąc z inercją I rzęd Układ II rzęd (osclacjn) Model hdralicznego człon całkjącego (zbiornik liniow bezodpłwow) Model hdralicznego obiekt inercjnego (zbiornik liniow z odpłwem swobodnm) Tabela zbiorcza obiektów Modele dnamiczne nieliniowe Model zbiornika stożkowego z odpłwem... 4 Transformata Laplace'a. Transmitancja operatorowa. Odpowiedź kład na wmszenia harmoniczne. Modelowanie sstemów dnamicznch Transformata Laplace'a Własności transformat Laplace'a Odwrotna transformata Laplace'a Rozwiązwanie równań różniczkowch techniką operatorową Transmitancja operatorowa Własności transmitancji Transmitancja kładów wielowmiarowch Algebra schematów blokowch Przkład transmitancji kładów skalarnch Odpowiedź na wmszenie harmoniczne Transformata Foriera Charakterstki częstotliwościowe kładów dnamicznch Modelowanie sstemów dnamicznch za pomocą równań różniczkowch stan Wliczanie macierz fnkcjnej Wektor własne i wartości własne macierz. Transformacje liniowe zmiennch stan. Transmitancja a równania stan Definicja formalna macierz liczbowej Definicja operatorowa macierz Wektor własne i wartości własne macierz Transformacje liniowe zmiennch stan Implsowa fnkcja przejścia Transmitancja a równania stan Natralne zmienne stan Równanie -tego rzęd Postać sterowalna Obiekt, sterowanie i wjście. Strktr sstemów sterowania Zadania atomatki Sterowanie w kładzie otwartm i kładzie zamkniętm Zadania sterowania Sstem atomatki procesowej i zabezpieczeniowej Ogóln schemat kład reglacji ze sprzężeniem zwrotnm Przkładowe realizacje jednowmiarowch kładów reglacji SISO Układ klasczn Układ kaskadow Układ adaptacjn...3 Podstaw sterowania

2 6.7 Algortm ciągłej reglacji PID Reglator proporcjonaln P Reglator proporcjonalno-różniczkjąc PD Reglator proporcjonalno-całkjąc PI Reglator proporcjonalno-całkjąco-różniczkjąc PID (idealn) Reglator proporcjonalno-całkjąco-różniczkjąc PID z inercją (rzeczwist) Algortm dskretne reglatorów PID. Stabilność Algortm dskretne reglatora PID Regła całkowania prostokątów (forward) Aproksmacja wsteczna (backward) Regła całkowania trapezów Transmitancja w przpadk ogólnm Reglator przekaźnikowe stosowane w kładzie reglacji Stabilność Stabilność w sensie Lapnowa Stabilność w sensie ograniczone wejście ograniczone wjście (BIBO) Stabilność w sensie Lapnowa a stabilność w sensie BIBO Krteria ocen stabilności. Sstem nieliniowe Krterim Hrwitza Krterim Nqista Stabilność kładów liniowch dskretnch Przekształcenie Stabilność kładów nieliniowch ciągłch Pnkt równowagi Pierwsza metoda Lapnowa Sterowalność i obserwowalność Sterowalność Warnek konieczn i dostateczn sterowalności kład liniowego Sterowalność kładów liniowch dskretnch Obserwowalność Krterim obserwowalności Podział obserwatorów...46 Reglator wielowmiarowe Wskaźniki jakości Reglator LQR Algebraiczne równanie Riccatiego...49 Indeks tabel Tabela 2.: Tp modeli procesów fizcznch i równania je opisjące...4 Tabela 3.: Analogie wstępjące w kładach mechanicznch i elektrcznch...7 Tabela 3.2: Tabela zbiorcza obiektów... Tabela 4.: Przkładowe transformat...2 Tabela 4.2: Transformata wejścia i transmitancja a transformata wjścia...6 Podstaw sterowania 2

3 Sprzężenie zwrotne. Zadania kład reglacji.. Sprzężenie zwrotne Sprzężenie zwrotne (feedback) jest przede wszstkim podstawową metodą sterowania sstemami niestabilnmi. Ogólnie, sprzężenie zwrotne stosje się zawsze w warnkach niepewności i niekompletności informacji o sstemie i zakłóceniach. Reprezentowane jest przez łańcch przcznowo sktkow, przedstawiając zależności: Wejście Sstem Dnamiczn Wjście Pomiar Porównanie z Sgnałem Odniesienia Wejście Sgnał odniesienia Wejście Sstem dnamiczn - Wjście Pomiar Rsnek.: Układ z (jemnm) sprzężeniem zwrotnm.2 Zadania kład reglacji nadążanie za sgnałem referencjnm (odniesienia) wskazjącm now poziom wjścia Przestawiam żelazko z 6 na 8 st. chcem, b temperatra zmieniła się jak najszbciej. temperatra Rsnek.2: Przkład nadążania czas stabilizacja zmiennej w pnkcie prac pomimo zjawienia się zakłócenia Przkładam żelazko do mokrch jeansów chcem, b trzmało temperatrę. temperatra sgnał zakłócając Rsnek.3: Przkład stabilizacji czas Podstaw sterowania 3

4 2 Modele procesów fizcznch i ich opis. Modele sgnałów. Zasad ciągłości. 2. Modele procesów fizcznch W atomatce rozróżniam następjące tp modeli procesów fizcznch: Statczne (równania algebraiczne) Liniowe (równania liniowe) O parametrach skpionch (równania różniczkowe zwczajne) Stacjonarne (równania o parametrach stałch w czasie) Ciągłe (równania różniczkowe) Deterministczne (równania deterministczne) Dnamiczne (równania różniczkowe) Nieliniowe (równania nieliniowe) O parametrach rozłożonch (równania różniczkowe cząstkowe) Niestacjonarne (równania o parametrach zmiennch w czasie) Dskretne (równania różnicowe) Losowe (stochastczne) (równania z teorii procesów stochastcznch) Chaotczne (równania różniczkowe nieliniowe) Tabela 2.: Tp modeli procesów fizcznch i równania je opisjące Najprostsze modele dnamiki opiswane są przez liniowe, stacjonarne równania różniczkowe, a najtrdniejsze przez nieliniowe, niestacjonarne równania cząstkowe. Najważniejsz jest podział na modele statczne i dnamiczne. Modele statczne tworzone są głównie dla celów poszkiwania optmalnego pnkt prac instalacji technologicznej. Jak postawiać różne parametr, żeb koszt prodkcji bł jak najniższe, a zsk jak największ. Modele statczne reprezentją zachowanie się sstem w stanach stalonch (czli np. w tmże pnkcie optmalnm). Modele dnamiczne odwzorowją zachowanie się sstem w stanach przejściowch. 2.2 Stan przejściowe Stan przejściowe wwołane są: planowmi zmianami pnktów prac instalacji przez personel operatorski lb kompter sterjąc nieprzewidzianmi zakłóceniami oddziałwającmi na zmienne sterjące, zmienne wjściowe i parametr proces I t wracam do zadań kład reglacji. Sstem fizczn znawan jest za statczn (pozbawion dnamiki), gd wielkość wjściowa t dla każdej chwili t zależ tlko od wejścia t i nie zależ od wartości t dla t t. W rzeczwistości idealne sstem statczne nie istnieją. sterowanie stalone Sstem dnamiczn Rsnek 2.: Model statczn wjście stalone Modele statczne można też przpisać wiel procesom i obiektom atomatki, mimo ich istniejącej Podstaw sterowania 4

5 dnamiki. Mogą one bć rozważane jako charakterstki ich stanów stalonch. Można je zskać przrównjąc do zera wszstkie pochodne zmiennch procesowch po czasie w równaniach różniczkowch zwczajnch, opisjącch dnamikę proces. Mam obiekt liniow określon równaniem: Model statczn tego proces ma postać: ẍ t, ẋ t x t =, t x=, 2.3 Modele sgnałów. Skok jednostkow t : t = { t t 2. Impls jednostkow z parametrem, t, : a) t, : t, dt= b) lim t, = { t t= Rsnek 2.2: Skok jednostkow t 3. Delta Diraca t : a) t =lim t, t dt= b) t = d t dt t d = t 2.4 Rząd kład Rząd kład (równania różniczkowego) pokrwa się z regł z ilością niezależnch magaznów energii (pojemności), pomiędz którmi może następować jej wmiana. Pojemność = człon całkjąc. 2.5 Zasad ciągłości Zasad ciągłości, stosowane do bdow modeli dnamicznch:. Zasada ciągłości pęd (bilans sił) d [m t v i t ] dt = d m t dt v i t d v i t dt N m t = F ij t j= gdzie v i t - prędkość w i-tm kiernk, F ij - j-ta składowa sił w i-tm kiernk 2. Zasada ciągłości mas (bilans materiałow) Dla kład dnamicznego szbkość zmian magaznowanej mas równa się różnic dopłw i odpłw mas do kład. 3. Zasada ciągłości energii (bilans ciepln) Szbkość zmian energii kład równa się różnic dopłw i odpłw energii kład przez konwekcję, dfzję, przewodzenie, promieniowanie pls ciepło wdzielone przez reakcję chemiczną, mins praca wkonana przez kład na otoczeni. Podstaw sterowania 5

6 3 Modele dnamiczne liniowe i nieliniowe. 3. Człon inercjn I rzęd. Elektrczn: Stąd ładnek: q t =C 2 t 2. Mechaniczn: 3. Ogólnie: i t =C d t 2 = dt R t 2 t R dq t dt C q t = t b dx t 2 k x dt 2 t x t = b dx t 2 kx dt 2 t =kx t ẋ t = x t b t, dla danego x = x T t x t =b e T x b Co dla x = przechodzi w: x t =b e t T WAŻNY JEST WARUNEK POCZĄTKOWY STAN W JAKIM ZNAJDOWAŁ SIĘ UKŁAD W CHWILI t= i R U C U 2 Rsnek 3.: Układ RC b k Rsnek 3.2: Układ mechaniczn x 2 x Ten wzór jest z książki, na wkładzie bł inn. b 3 b 2 =x b b Rsnek 3.3: Zależność rozwiązania od T warnków początkowch Rsnek 3.4: Rozwiązanie dla x = t 3.2 Człon różniczkjąc z inercją I rzęd Wstępje pochodna na sgnale wejściowm.. Elektrczn: C d 2 t t = t 2 dt R i C U R U 2 Rsnek 3.5: Układ RC Podstaw sterowania 6

7 2. Mechaniczn: R d t 2 t 2 dt C =R d t dt b d x 2 t x t kx dt 2 t = b dx t 2 kx dt 2 t =b dx t dt k b x Układ II rzęd (osclacjn). Elektrczn: L di t Ri t t dt C i d =e t Przjmjąc, że q t to ładnek elektrczn: Rsnek 3.6: Układ mechaniczn L R x L q t R q t q t =e t C 2. Mechaniczn: Równanie równowagi sił: m ẍ t b ẋ t kx t = f t e Rsnek 3.7: Układ szeregow RLC C k b m x f t Rsnek 3.8: Układ mechaniczn II rzęd Układ mechaniczn Siła f (moment T ) Masa m (moment bezwładności J ) Współcznnik tarcia wiskotcznego b Stała sprężn k Przesnięcie x (kąt ) Szbkość ẋ=v ( = ) Moc p= fv Układ elektrczn Napięcie Indkcjność L Opór R Odwrotność pojemności C Ładnek q Prąd i Moc p=i Tabela 3.: Analogie wstępjące w kładach mechanicznch i elektrcznch Podstaw sterowania 7

8 3.4 Model hdralicznego człon całkjącego (zbiornik liniow bezodpłwow) Teoretczna wsokość ścianek wnosi. Q t masowe natężenie przepłw gęstość P pole powierzchni (const.) V t =Ph t objętość P dh t =Q t T ḣ t =Q t dt h t = T t Q d dla h = h Rsnek 3.9: Zbiornik prostopadłościenn Q Zbiornik prostopadłościenn jest dla zmiennej h t członem całkjącm. 3.5 Model hdralicznego obiekt inercjnego (zbiornik liniow z odpłwem swobodnm) Ponieważ model ma bć liniow, nie może wstąpić w nim pierwiastek. Przbliżam więc: Q t = h t R h t R P ḣ t =Q t h t R ḣ t = P R h t P Q t Zbiornik z odpłwem posiada cechę samowrównwania poziom tak jak obiekt inercjn. Q h Q Rsnek 3.: Zbiornik z odpłwem 3.6 Tabela zbiorcza obiektów Dla K =.5 i T = (poza 8., gdzie T =3 ) Równanie Transmitancja Idealn obiekt różniczkjąc nie wstępje w przrodzie. Jego wkresów nie jestem pewna. Nazwa obiekt Odpowiedź t na: t = t t = t. t = K t K proporcjonaln 2. ẏ t = K t K s całkjąc Podstaw sterowania 8

9 Równanie Transmitancja Nazwa obiekt Odpowiedź t na: t = t t = t 3. t = K t Ks różniczkjąc 4. T ẏ t t =K t K Ts inercjn I rzęd 5. T ẏ t t =K t Ks Ts różniczkjąc z inercją 6. ÿ t T ẏ t =K t K s s T całkjącoinercjn 7. ÿ t T ẏ t t =K t K s 2 Ts T < 2, II rzęd osclacjn 8. ÿ t T ẏ t t =K t K s 2 Ts T > 2, II rzęd przetłmion 9. ÿ t t =K t K s 2 osclacjn Podstaw sterowania 9

10 Tabela 3.2: Tabela zbiorcza obiektów 3.7 Modele dnamiczne nieliniowe Dnamikę kładów nieliniowch opisją równania różniczkowe nieliniowe. Np.: ÿ t 7[ ẏ t ] 2 t = t ÿ t ẏ t t t = t ÿ t ẏ t sin t = t Niektóre z tch równań różniczkowch można rozwiązać analitcznie, dla wiel jednak wzor nie istnieją. Wted można wkonać linearzację danej nieliniowości w niewielkim wbranm obszarze (pnkcie). Wkorzstje się szereg Talora cięt do dwóch wrazów. WAŻNY JEST PUNKT PRACY OD NIEGO ZALEŻY DOKŁADNOŚĆ LINEARYZACJI. Nieliniowość a h b, gdzie a=tg. b x stczna = f x Rsnek 3.: Przkład linearzacji x 3.8 Model zbiornika stożkowego z odpłwem Pole powierzchni ciecz w zbiornik stożkowm zależ od wsokości słpa ciecz. Objętość V h nie zmienia się więc w sposób liniow. Najprostszm sposobem zamodelowania takiego kład jest znanie go za liniow w pewnch wbranch pnktach prac (czerwona linia na rsnk obok). Dokonje się to poprzez rozwinięcie V h w szereg Talora w okolic tch pnktów. Q t h t Q 2 t Rsnek 3.2: Zbiornik stożkow Podstaw sterowania

11 4 Transformata Laplace'a. Transmitancja operatorowa. Odpowiedź kład na wmszenia harmoniczne. Modelowanie sstemów dnamicznch. 4. Transformata Laplace'a Transformatę Laplace'a definije się jako: L [ f t ]= F s = f e s d Danej fnkcji f t przporządkowje ona fnkcję F s, gdzie s= j. Ab transformata istniała, msi istnieć dla danej fnkcji f t prznajmniej jedno s, dla którch taka całka istnieje, tzn. jest mniejsza od : e st f t dt Transformata Laplace'a nie istnieje np. dla f t =e t 2, ponieważ fnkcja ta rośnie szbciej niż e st maleje. t L równanie różniczkowe t tablice tablice U s równanie algebraiczne Y s L Rsnek 4.: Schemat stosowania transformat Laplace'a Orginalna f t Transformata F s t t t e at s a a e a t t n t n! s s s a t t e a t s a 2 t t n e a t n! s a n s n Podstaw sterowania

12 Orginalna f t Transformata F s t e t n n! s s s 2 s n t sin t t cos t t e a t sin t Tabela 4.: Przkładowe transformat 4.2 Własności transformat Laplace'a. Liniowość: 2. Skalowalność: af t bf 2 t af s bf 2 s f a t a F s a 3. Przesnięcie w czasie: f t F s e s 4. Przesnięcie w dziedzinie częstotliwości: e at f t F s a 5. Splot w dziedzinie czas: f t f 2 t = 6. Splot w dziedzinie częstotliwości: f f 2 t d F s F 2 s j f t f 2 t F 2 j F 2 s d j 7. Jednostronne różniczkowanie w dziedzinie czas: df t sf s f dt s 2 2 s s 2 2 s a Jednostronne różniczkowanie w dziedzinie czas dla zerowch warnków początkowch i dla niezerowch warnków początkowch: d n f t dt n s n F s d n f t dt n 4.3 Odwrotna transformata Laplace'a s n F s s n f s n 2 f f n Problem transformacji odwrotnej sprowadza się do rozwiązania równania całkowego Laplace'a: F s = f e s d a poszkiwana fnkcja f t będzie rozwiązaniem transformacji odwrotnej Laplace'a: Podstaw sterowania 2

13 f t = L [ F s ] 4.4 Rozwiązwanie równań różniczkowch techniką operatorową Mam równanie: t 3 ÿ t 6 ẏ t 4 t = t 3 t Warnki początkowe zerowe: =, ẏ =, ÿ =. Fnkcja wmszająca t = t dla t. Po zastosowani transformacji Laplace'a otrzmje się: gdzie U s =. Y s s 3 3s 2 6s 4 = s 3 U s Stosjem rozkład na łamki proste: s 3 Y s = s 2 2s 4 s = Bs C s 2 2s 4 A s s 3 s Bs C A s 2 2s 4 s 3 Bs 2 Cs Bs C As 2 2As 4A s 3 s 2 A B s 2A B C 4A C Porównjem współcznniki lewej i prawej stron prz jednakowch potęgach s : { A B= 2A B C= A= 2 3, B= 2 3,C = 3 4A C =3 Y s = 2 3 s 2 3 s s s 2 3 Rozwiązanie ma więc postać: t =[ 2 3 e t 2 3 e t cos 3t 3 e t sin 3t ] t Zadziałanie na kład deltą Diraca to trochę jak pstrknięcie sprężn drga przez chwilę, a potem wraca do stan początkowego. Podanie na wejście skok jednostkowego działa jak zawieszenie na sprężnie ciężarka drga przez chwilę, a potem znajdje now pnkt równowagi. 4.5 Transmitancja operatorowa STOSUNEK TRANSFORMATY LAPLACE'A FUNKCJI WYJŚCIA SYSTEMU DO TRANSFORMATY LAPLACE'A WEJŚCIA SYSTEMU (PRZY ZEROWYCH WARUNKACH POCZĄTKOWYCH) TWORZY UŁAMEK WYMIERNY ZMIENNEJ s I NAZYWA SIĘ TRANSMITANCJĄ OPERATOROWĄ SYSTEMU G s. Y s U s = L s M s = b m s m b m s m b s b =G s a n s n a n s n a s a Pierwiastki wielomian licznika ( L s ) nazwane są zerami transmitancji, a pierwiastki mianownika ( M s ) biegnami. 4.6 Własności transmitancji Gdbśm chcieli powrócić na wspólną kreskę łamkową, to trzeba pomnożć Bs C s i A S 2 2s 4 Rsnek 4.2: Rozwiązanie równania Ab transmitancja bła realizowalna fizcznie, stopień licznika msi bć mniejsz lb równ stopniowi mianownika ( m n ). Podstaw sterowania 3

14 Podczas korzstania z opis za pomocą transmitancji należ pamiętać o dwóch jej cechach:. transmitancja nie względnia wpłw warnków początkowch na rozwiązanie 2. transmitancja obejmje swoim opisem dnamikę sstem związaną bezpośrednio z torem wejście-wjście; niekied tor ten reprezentje cał kład, ale niekied tlko jego część U G G 2 + Y 4.7 Transmitancja kładów wielowmiarowch W liniowch kładach wielowmiarowch prz wiel różnch wejściach i wiel różnch wjściach można określać transmitancje torów skrośnch pomiędz i -tm wejściem i j -tm wjściem: Y j s U i s =G ij s G 2 U 2 + Y 2 G 22 Rsnek 4.3: Przkład transmitancji wielowmiarowej Transmitancja G s tworzona jest więc jako macierz transmitancji skalarnch G ij s. Dla przkład z rsnk 2 można to przedstawić następjąco: [ Y Y 2 s ] [ = G s G 2 G 2 s G 22 s ][ U U 2 s ] Układ wielowmiarowe stanowią pewną trdność dla zadań sterowania, gdż zmiana każdego z osobna sterowania powodje jednoczesne zmian wiel wjść. Przkładem kład wielowmiarowego może bć helikopter. Gd dam sgnał do lot w górę, helikopter będzie chciał kręcić się bardziej niż przed chwilą, w związk z czm zwiększą się obrot śmigła bocznego. Ta zmiana z kolei sprawi, że helikopter będzie ściągan w dół. Podobnie jest w przpadk chęci zmian kiernk lot. W skrócie: sterowania góra-dół i skręć nie są od siebie niezależne. Ab rozseparować wpłw sterowań na wjścia stosje się sprzężenie zwrotne i specjalne kład odsprzęgające, dołączone do sstem sterowanego. 4.8 Algebra schematów blokowch. Połączenie równoległe transmitancji G + G 2 + Rsnek 4.4: Połączenie równoległe transmitancji G Z =G G 2 Podstaw sterowania 4

15 2. Połączenie szeregowe transmitancji 2 G G 2 Rsnek 4.5: Połączenie szeregowe transmitancji G Z =G G 2 3. Sprzężenie zwrotne ± G H Rsnek 4.6: Sprzężenie zwrotne G Z = G G H + prz jemnm sprzężeni zwrotnm prz dodatnim 4. Przeswanie węzła smacjnego + z G G G + z Rsnek 4.7: Przeswanie węzła smacjnego U Z G=UG ZG=Y 5. Przeswanie węzła zaczepowego G G G - G G G Rsnek 4.8: Przeswanie węzła zaczepowego Podstaw sterowania 5

16 4.9 Przkład transmitancji kładów skalarnch Orginał t Transformata U s Transmitancja Nazwa obiekt Transformata odpowiedzi t s s a całkjącoinercjn s s a t s s a inercjn s s a t e at s a s całkjąc s s a a e at s s a proporcjonaln o wzmocnieni s s a Tabela 4.2: Transformata wejścia i transmitancja a transformata wjścia Stabiln kład inercjn rzęd I:. Układ RC: R i U C U 2 t Rsnek 4.9: Układ RC Rsnek 4.: Odpowiedź = 2 na skok U 2 s = Cs U s R Cs G s = U 2 s U s = Rcs = Ts t =K t t t = 2 t =K [ e T ] 2. Człon całkjąc z jemnm sprzężeniem zwrotnm: Ts - Rsnek 4.: Człon całkjąc z jemnm sprzężeniem zwrotnm Ts G s = Ts = Ts 4. Odpowiedź na wmszenie harmoniczne Dla sterowania t = Asin t U s = A s 2 2 i transmitancji G s = K st transformata wjścia (prz zerowch warnkach początkowch) może bć rozłożona na łamki proste. Po Podstaw sterowania 6

17 obliczeniach otrzmjem: Stąd mam: AK Y s = Ts s 2 2 = AK T 2 T 2 2 Ts s 2 st 2 s 2 2 t t = AK T e T sin t T cos t = AKT T 2 2 T 2 2 e Gdzie tg = T, co oznacza, że sgnał na wjści jest zawsze opóźnion. t T AK sin t T 2 2 Traktjąc transmitancję jako liczbę zespoloną ( s= j ), można policzć jej modł w fnkcji parametr częstotliwości : G j = K T j = K Tj T 2 2 = K T 2 2 j Jest to tzw. transmitancja widmowa, gdzie: K G j = T 2 2 tg [ ]= T KT T 2 2 = G j e j Ponieważ t e tt dla stan stalonego można zapisać: t =A G j sin t Wnik ten może bć ogólnion na kład liniowe wższego rzęd. Załóżm, że mam kilka połączonch ze sobą zbiorników z pierwszego woda przelewa się do drgiego itd. Bawim się kranem nad pierwszm zbiornikiem, odkręcając i zakręcając go w rtm sinsoid. Po pewnm czasie (gd zbiorniki napełnią się do pewnch poziomów) zaważm, że poziom wod w ostatnim zbiornik podnosi się i opada zgodnie z rtmem sinsoid wejściowej. Jest tlko trochę spóźnion w stosnk do odkręcanego i zakręcanego kran. Podsmowjąc: JEŚLI NA WEJŚCIU BYŁ SINUS, TO NA WYJŚCIU TAKŻE (PO PEWNYM CZASIE) OTRZYMAMY SYGNAŁ SINUSOIDALNY. NIE WAŻNE JEST, JAKI BYŁ RZĄD UKŁADU. G j SINUS WYJŚCIOWY MA TĄ SAMĄ CZĘSTOTLIWOŚĆ CO WEJŚCIOWY, RÓŻNIĆ SIĘ MOŻE AMPLITUDĄ I FAZĄ. WRAZ ZE WZROSTEM CZĘSTOTLIWOŚCI ZMNIEJSZA SIĘ MODUŁ TRANSMITANCJI, A CO ZA TYM IDZIE ZMNIEJSZA SIĘ AMPLITUDA SYGNAŁU NA WYJŚCIU. 4. Transformata Foriera Rsnek 4.2: Filtr dolnoprzepstow Każd sgnał można przedstawić za pomocą sm sinsoid o różnch częstotliwościach, amplitdach i fazach. Za pomocą transformat Foriera (dla fnkcji spełniającch pewne warnki) można wznaczć te właśnie sinsoid. Załóżm że z satelit ma bć przesłan pewien sgnał, składając się z liczb. Załóżm też, że po wliczeni szbkiej transformat Foriera okazało się, że składa się on z 7 sinsoid. Lepiej jest przesłać 3 amplitda,częstotliwość, faza 7=5 liczb niż. 2 Podstaw sterowania 7

18 4.2 Charakterstki częstotliwościowe kładów dnamicznch Wróżniam dwa rodzaje charakterstk: a) charakterstka Nqista, będąca charakterstką amplitdowo-fazową; otrzmje się ją poprzez narsowanie na płaszczźnie Nqista transmitancji widmowej ( G j ) w fnkcji parametr częstotliwości. b) charakterstka Bodego, będąca charakterstką amplitdową i fazową; są to wkres logartmiczne wzmocnienia sgnał w zależności o częstotliwości oraz wkres faz w fnkcji częstotliwości. Dla obiekt inercjnego I rzęd ( G s = K, tg = T ) charakterstki te są następjące: Ts Podstaw sterowania 8

19 4.3 Modelowanie sstemów dnamicznch za pomocą równań różniczkowch stan Stan x najmniejsza liczba wielkości przpisanch do kład. Ab przewidzieć zachowanie kład potrzebne są: wartości zmiennch stan w chwili początkowej t=t ( x t ) znajomość model sstem, czli strktr powiązań międz zmiennmi stan znajomość przebieg sterowania t na całm przedziale [t, t ] Wjście wbran zbiór wielkości procesowch, które są szczególnie interesjące z pnkt widzenia modelowania lb sstem sterowania (np. należ je stabilizować). Gdzie: Jako zmienne stan w kładach mechanicznch przjmje się przesnięcia, prędkości i przspieszenia. Jako zmienne stan w kładach elektrcznch przjmje się napięcia na pojemnościach C (kondensatorach) i prąd w indkcjnościach L (cewkach). STANDARDOWA FORMA LINIOWEGO RÓWNANIA STANU DLA UKŁADU STACJONARNEGO MA POSTAĆ: ẋ t =Ax t B t, x t =x t =Cx t D t DLA t t : x t R n, t R r, t R m n ilość wejść r ilość sterowań m ilość wjść A macierz stan o wmiarach n n B macierz sterowania n r C macierz obserwacji m n D macierz wjścia m r Ogólne rozwiązanie x t ma postać: A fnkcja wjścia t : x t =e A t t x t e A t B d t t całka splotowa t t =Ce A t t x t C e A t B d D t t DLA t = OTRZYMUJEMY: t x t =e At x e A t B d Przkładowo dla t = t i prz założeni nieosobliwości A ( A ) rozwiązanie ma postać: x t =e At x A [ e At I ] B=e At [ x A B ] A B R r x R n R m Rsnek 4.3: Układ dnamiczn Podstaw sterowania 9

20 4.4 Wliczanie macierz fnkcjnej e At Niektóre metod wliczania wkładniczej postaci macierz fnkcjnej e At : z definicji szereg wkładniczego: A=[ 2] e At =[ e At = At k k= k! =I At A2 t 2 2 A3 t 3 6 et 2t] e z twierdzenia Slwestera, wkorzstjąc wielomian interpolacjn Lagrange'a f a =e At jako odwrotne przekształcenie Laplace'a e At = L [ si A ] A=[ 2] [ s = s 2] s s 2 [ s 2 s ] =[ s ] [ L et 2t] e s 2 transformacja do diagonalnej postaci Jordana gdzie: i wartości własne e At =T e Jt T, J =T AT T i odpowiadające im wektor własne (główne) macierz A T =[ T T 2 T n ] modalna macierz transformacji A do postaci Jordana J A=[ 2 3] I A =[ 2 3] = =9 8=,2 = 3± = 2, (wartości własne A ) 2 Wektor własn T = T T 2 obliczam z równania I A T = : [[ 2 2] [ 2 3]] T { 2 T T = 2 2T T 2 = -) T = [ 2 ] T 2 = [ 2 2 ] T T 2 = (jedną współrzędną wbieram dowolną (najczęściej lb Wektor własn T 2 = T 2 T 22 obliczam z równania 2 I A T 2 = : Podstaw sterowania 2

21 [ 2 2 ] T 2 T 22 = T 2 = [ ] T =[ 2 ], T =[ 2 ] T AT =[ 2 ] [ 2 3] [ 2 ] = [ 2 ] =J e At =T e Jt T =T [ e 2t e =[ nmerczne wliczanie e At t] T e 2t 2 e t e 2t e t 2e 2t 2 e t 2 e 2t e ] t Podstaw sterowania 2

22 5 Wektor własne i wartości własne macierz. Transformacje liniowe zmiennch stan. Transmitancja a równania stan. 5. Definicja formalna macierz liczbowej Układ liczb rozmieszczon w tablic o m wierszach i n kolmnach nazwam macierzą [m n] wmiarową. Stanowi on odwzorowanie par liczb i, j w element a ij. a a n A=[ a m a mn] 5.2 Definicja operatorowa macierz Każd liniow operator przekształcając skończenie wmiarową przestrzeń X n X m, (prz zadanch wektorach bazowch) ma postać macierz [m n] -wmiarowej. Macierz kwadratowa przekształca element (wektor) przestrzeni X n w inne element tej samej przestrzeni. Ax=, x, X n [ 3 5 ] [ 2 ] = [ 4 ] x 5.3 Wektor własne i wartości własne macierz Dla każdej macierz kwadratowej [n n] istnieją w przestrzeni X n charakterstczne wektor, które po przekształceni przez tę macierz pozostają kolinearne, tzn. zmieniają tlko swoją dłgość z pewnm współcznnikiem. Wektor te nazwają się wektorami własnmi macierz A, a współcznniki proporcjonalności nazwane są wartościami własnmi tej macierz. Aw= w A I w= Ab powższ kład posiadał niezerowe rozwiązanie dla wektora w, rząd macierz A I msi bć mniejsz od n. Stąd z warnk det [ A I ]= otrzmje się wielomian charakterstczn, któr posiada n pierwiastków i. Dla danego = i wznacza się z kład równań wektor w i, ale tlko z dokładnością do współcznnika c, tzn. wektor c w i ( c dowolna stała) również spełnia ten kład. Z kład wznacza się więc nie wektor, a raczej kiernki własne, które nie legają zmianie prz przekształceni przez macierz A. Stąd wektor własne z regł mogą bć znormalizowane do jedności. Jeśli wartości własne są pojedncze, można wznaczć n wektorów własnch liniowo niezależnch. Macierz W, której kolmn są tworzone z wektorów własnch macierz A, nazwa się macierzą modalną macierz A. 5.4 Transformacje liniowe zmiennch stan Dan jest kład wielowmiarow (MIMO, Mlti Inpt - Mlti Otpt): ẋ t =Ax t B t t =Cx t, x = x warnki początkowe x t R n, t R r, t R m, t Rsnek 5.: Ilstracja definicji operatorowej macierz Można znaleźć nieosobliwą macierz transformacji podobieństwa T zbdowaną z wektorów własnch i głównch (macierz modalną), przekształcającą zmienne stan x w inne zmienne Podstaw sterowania 22

23 stan z : Wted: x t =Tz t ż t =T ATz t T B t =Jz t B t t =Ctz t = C z t z =T x Po podstawieni T AT =J, rozwiązanie ma postać: Ważna jest zależność: t z t =e Jt z e J t B d t x t =Te Jt T x T e J t T B d e At =Te Jt T Wjście t może bć wrażone wzorem: t t =CTe Jt T x C T e J t T B d Dzięki transformacji liniowej do innch zmiennch stan można pozbć się sprzężenia zwrotnego rozsprzęc kład. 5.5 Implsowa fnkcja przejścia Odpowiedź t sstem na specjaln sgnał sterjąc będąc implsem Diraca t =a t oznacza się t =a g t Fnkcja g(t) nazwa się implsową fnkcją przejścia kład liniowego. IMPULSOWA FUNKCJA PRZEJŚCIA TO:. ODPOWIEDŹ NA DELTĘ DIRACA 2. POCHODNA ODPOWIEDZI UKŁADU h t NA SKOK JEDNOSTKOWY: g t =dh t dt 3. ORYGINAŁ TRANSMITANCJI G s, CZYLI ODWROTNA TRANSFORMATA LAPLACE'A TRANSMITANCJI: Y s =G s U s, U s = Y s =G s, t =g t 5.6 Transmitancja a równania stan Transmitancja opisje dnamikę tor sterowanie-wjście (prz zerowch warnkach początkowch) nie wnikając w strktrę obiekt. To samo wejście, to samo wjście, inn środek. Równanie stan daje możliwość dokładnego opis strktr, opis dnamiki stan i wjścia oraz jęcia wpłw warnków początkowch. Dana transmitancja reprezentje kład dwóch zbiorników: A, B, C J, B, C Rsnek 5.2: Działanie transformacji liniowej zmiennch stan Podstaw sterowania 23

24 K G s = s s 2 Jest niekończenie wiele zestawów A, B, C realizjącch tę transmitancję. Mam nadzieję, że rsnki są dobrze, ale że bł przersowwane na szbko, to są odtwarzane trochę na zasadzie zgadj-zgadla.. Modelowanie poziom dwóch zbiorników połączonch szeregowo: [ x x 2] [ = 2 2] [ x x 2] [ K =[ ] [ x x 2] ] 2 x 2 K 2 K x s s x = 2 x 2 Rsnek 5.4: Schemat blokow dwóch zbiorników połączonch szeregowo 2. Modelowanie różnic poziomów dwóch zbiorników połączonch równolegle: [ x x 2] [ = 2][ x x 2] [ K K ] 2 =[ ] [ x x 2] 2 Rsnek 5.3: Zbiorniki połączone szeregowo x s x K 2 K 2 K 2 s x x 2 x x 2 x 2 x 2 Rsnek 5.6: Zbiorniki połączone równolegle 3. Modelowanie poziom dwóch zbiorników połączonch szeregowo i sprzężeniem: [ x x 2] [ = 2 2 2][ x x 2] [ K ] =[ ] [ x x 2] 2 Rsnek 5.5: Schemat blokow dwóch zbiorników połączonch równolegle Podstaw sterowania 24

25 x 2 x =x K 2 2 s s 2 2 x 2 Rsnek 5.7: Schemat blokow zbiorników połączonch szeregowo ze sprzężeniem x 2 K 5.7 Natralne zmienne stan Układ liniowe n -tego rzęd opiswane transmitancją mogą bć przedstawione w postaci schematów blokowch z wkorzstaniem tlko członów całkjącch I rzęd i członów wzmacniającch. Reprezentacja ta wprowadza pojęcie natralnch zmiennch stan, którmi mogą bć kolejne pochodne zmiennej wejściowej. Dana jest transmitancja: G s = b 3 s3 b 2 s 2 b s b = b s 3 a 2 s 2 a s a s 3 a 2 s 2 3 s 3 b 2 s 2 b s b a s a s s s 2 x 2 x Rsnek 5.8: Zbiorniki połączone szeregowo ze sprzężeniem s 3 b 3 a 2 s 2 b 2 a sb a b + Rsnek 5.9: Schemat blokow W schemacie tm po przekształceni wstępje sprzężenie do tł i do przod. b 3 b 2 b s s s b + a 2 a a Rsnek 5.: Schemat blokow po przeniesieni węzłów smacjnch Podstaw sterowania 25

26 Wprowadzając wektor natralnch zmiennch stan x t R 3,w którm składowmi są wjścia z członów całkjącch, otrzmje się: x t = x 2 t, x 2 t =x 3 t, x 3 t = a x t a x 2 t a 2 x 3 t t ẋ=[ 2] [ x ] a a a =[b,b,b 2 ] x [b 3 a,b 3 a,b 3 a 2 ] x b 3 =[b a b 3,b a b 3,b 2 a 2 b 3 ] x b Równanie n -tego rzęd Ogólne skalarne równanie n -tego rzęd na zmienną wjściową t dla kład jednowmiarowego (SISO, Single Inpt-Single Otpt) n t a n n t a ẏ t a =b n n t b n n t b t b t można zamienić na n równań różniczkowch I rzęd: x t =[ x t x n t ] R n, t R, t R ẋ t =Ax t B t t =Cx t D t 5.9 Postać sterowalna Dla oznaczeń: =[, 2,, n ]=[b a b n, b a b n,,b n a n b n ] b n = =[b,b,,b n ] I postać sterowalna wgląda tak: A=[ a a a n ], B=[ ] C=[, 2,, n ], D=b n Podstaw sterowania 26

27 6 Obiekt, sterowanie i wjście. Strktr sstemów sterowania. 6. Zadania atomatki Zadanie analiz sstem dnamicznego, którm chcem sterować: a) poznanie cech obiekt (poznanie model) b) poznanie reakcji kład na dane sterowanie Pierwsze trz pnkt są w dżej części odtwarzane z pamięci notatki z wkład mam szczątkowe, a nie mogę znaleźć tego w książce. t O t =? Rsnek 6.: Ilstracja zadania analiz Zadanie sntez sstem sterowania: a) otrzmanie pożądanego kształt wjścia b) znalezienie sterowania c) zaprojektowanie sterownika R t =? O r t Rsnek 6.2: Ilstracja zadania sntez 6.2 Sterowanie w kładzie otwartm i kładzie zamkniętm OBIEKTEM MOŻNA STEROWAĆ W UKŁADZIE OTWARTYM, JEŚLI SPEŁNIONE SĄ WSZYSTKIE PONIŻSZE WARUNKI: A) OBIEKT JEST STABILNY B) OBIEKT JEST BARDZO DOBRZE ZNANY C) JEST GWARANCJA, ŻE W CZASIE STEROWANIA NIE BĘDZIE ŻADNYCH ZAKŁÓCEŃ ZEWNĘTRZNYCH r R O Rsnek 6.3: Układ otwart OBIEKTEM NALEŻY STEROWAĆ W UKŁADZIE ZAMKNIĘTYM, GDY ZACHODZI PRZYNAJMNIEJ JEDEN Z PONIŻSZYCH WARUNKÓW: A) OBIEKT JEST NIESTABILNY B) OBIEKT JEST SŁABO POZNANY C) NIE MA GWARANCJI, ŻE W CZASIE STEROWANIA NIE BĘDZIE ŻADNYCH ZAKŁÓCEŃ ZEWNĘTRZNYCH Podstaw sterowania 27

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan

Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Czym jest AUTOMATYKA? Automatyka to dziedzina nauki i techniki zajmująca się teorią i praktycznym zastosowaniem urządzeń

Bardziej szczegółowo

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym . Rodzaj poiaru.. Poiar bezpośredni (prost) W przpadku poiaru pojednczej wielkości przrząde wskalowan w jej jednostkach wartość niedokładności ± określa graniczn błąd przrządu analogowego lub cfrowego

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi: Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Motto. Czy to nie zabawne, że ci sami ludzie, którzy śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogody oraz ekonomistów? (K.

Motto. Czy to nie zabawne, że ci sami ludzie, którzy śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogody oraz ekonomistów? (K. Motto Cz to nie zabawne, że ci sami ludzie, którz śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogod oraz ekonomistów? (K. Throop III) 1 Specfika szeregów czasowch Modele szeregów czasowch są alternatwą

Bardziej szczegółowo

Zasady budowania prognoz ekonometrycznych

Zasady budowania prognoz ekonometrycznych Zasad budowania prognoz ekonometrcznch Klasczne założenia teorii predkcji 1. Znajomość modelu kształtowania się zmiennej prognozowanej Znajomość postaci analitcznej wstępującch zależności międz zmiennmi

Bardziej szczegółowo

Rys. 1 Otwarty układ regulacji

Rys. 1 Otwarty układ regulacji Automatyka zajmuje się sterowaniem, czyli celowym oddziaływaniem na obiekt, w taki sposób, aby uzyskać jego pożądane właściwości. Sterowanie często nazywa się regulacją. y zd wartość zadana u sygnał sterujący

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek Nazwisko... Data... Wdział... Imię... Dzień tg.... Godzina... Ćwiczenie 36 Badanie układu dwóch soczewek Wznaczenie ogniskowch soczewek metodą Bessela Odległość przedmiotu od ekranu (60 cm 0 cm) l Soczewka

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Automatyzacja. Ćwiczenie 9. Transformata Laplace a sygnałów w układach automatycznej regulacji

Automatyzacja. Ćwiczenie 9. Transformata Laplace a sygnałów w układach automatycznej regulacji Automatyzacja Ćwiczenie 9 Transformata Laplace a sygnałów w układach automatycznej regulacji Rodzaje elementów w układach automatyki Blok: prostokąt ze strzałkami reprezentującymi jego sygnał wejściowy

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ

REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ 1 1. Zadania regulatorów w układach regulacji automatycznej Do podstawowych zadań regulatorów w układach regulacji automatycznej należą: porównywanie wartości

Bardziej szczegółowo

14. Grupy, pierścienie i ciała.

14. Grupy, pierścienie i ciała. 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Modele i metody automatyki. Układy automatycznej regulacji UAR

Modele i metody automatyki. Układy automatycznej regulacji UAR Modele i metody automatyki Układy automatycznej regulacji UAR Możliwości i problemy jakie stwarzają zamknięte układy automatycznej regulacji powodują, że stały się one głównym obiektem zainteresowań automatyków.

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Zapoznanie studentów z własnościami

Bardziej szczegółowo

POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH

POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMST Semestr letni Wykład nr 2 Prawo autorskie Niniejsze

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Tranzystorowe wzmacniacze OE OB OC. na tranzystorach bipolarnych

Tranzystorowe wzmacniacze OE OB OC. na tranzystorach bipolarnych Tranzystorowe wzmacniacze OE OB OC na tranzystorach bipolarnych Wzmacniacz jest to urządzenie elektroniczne, którego zadaniem jest : proporcjonalne zwiększenie amplitudy wszystkich składowych widma sygnału

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Technika regulacji automatycznej

Technika regulacji automatycznej Technika regulacji automatycznej Wykład 5 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 38 Plan wykładu Kompensator wyprzedzający Kompensator opóźniający

Bardziej szczegółowo

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT Z MATEMATYKI Wstęp do matematki Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską

Bardziej szczegółowo

Wzmacniacz jako generator. Warunki generacji

Wzmacniacz jako generator. Warunki generacji Generatory napięcia sinusoidalnego Drgania sinusoidalne można uzyskać Poprzez utworzenie wzmacniacza, który dla jednej częstotliwości miałby wzmocnienie równe nieskończoności. Poprzez odtłumienie rzeczywistego

Bardziej szczegółowo

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia. Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

WZMACNIACZ OPERACYJNY. Podstawowe właściwości wzmacniaczy operacyjnych. Rodzaj wzmacniacza Rezystancja wejściowa Rezystancja wyjściowa

WZMACNIACZ OPERACYJNY. Podstawowe właściwości wzmacniaczy operacyjnych. Rodzaj wzmacniacza Rezystancja wejściowa Rezystancja wyjściowa WZMACNIACZ OPEACYJNY kłady aktywne ze wzmacniaczami operacyjnymi... Podstawowe właściwości wzmacniaczy operacyjnych odzaj wzmacniacza ezystancja wejściowa ezystancja wyjściowa Bipolarny FET MOS-FET Idealny

Bardziej szczegółowo

Regulator PID w sterownikach programowalnych GE Fanuc

Regulator PID w sterownikach programowalnych GE Fanuc Regulator PID w sterownikach programowalnych GE Fanuc Wykład w ramach przedmiotu: Sterowniki programowalne Opracował na podstawie dokumentacji GE Fanuc dr inż. Jarosław Tarnawski Cel wykładu Przypomnienie

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJĄCY IMIĘ I NAZWISKO UCZNIA NUMER UCZNIA W DZIENNIKU PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). Ewentualny

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Fizyka I (mechanika), ćwiczenia, seria 1

Fizyka I (mechanika), ćwiczenia, seria 1 Fizka I (mechanika), ćwiczenia, seria 1 Układ współrzędnch na płaszczźnie. Zadanie 1 Odcinek o stałej długości porusza się tak, że jego punkt końcowe A i B ślizgają się po osiach odpowiednio x i pewnego

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R M-2

Ć W I C Z E N I E N R M-2 INSYU FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ECHNOLOGII MAERIAŁÓW POLIECHNIKA CZĘSOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M- ZALEŻNOŚĆ OKRESU DRGAŃ WAHADŁA OD AMPLIUDY Ćwiczenie M-: Zależność

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ TRANSPORTU KATEDRA LOGISTYKI I TRANSPORTU PRZEMYSŁOWEGO NR 1 POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO Katowice, październik 5r. CEL ĆWICZENIA Poznanie zjawiska przesunięcia fazowego. ZESTAW

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

Zestaw 1 1. Rodzaje ruchu punktu materialnego i metody ich opisu. 2. Mikrokontrolery architektura, zastosowania. 3. Silniki krokowe budowa, zasada działania, sterowanie pracą. Zestaw 2 1. Na czym polega

Bardziej szczegółowo

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Wprowadzenie Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: stabilność i wymagania

Bardziej szczegółowo

Przekształtniki impulsowe prądu stałego (dc/dc)

Przekształtniki impulsowe prądu stałego (dc/dc) Przekształtniki impulsowe prądu stałego (dc/dc) Wprowadzenie Sterowanie napięciem przez Modulację Szerokości Impulsów MSI (Pulse Width Modulation - PWM) Przekształtnik obniżający napięcie (buck converter)

Bardziej szczegółowo

Dobór parametrów regulatora - symulacja komputerowa. Najprostszy układ automatycznej regulacji można przedstawić za pomocą

Dobór parametrów regulatora - symulacja komputerowa. Najprostszy układ automatycznej regulacji można przedstawić za pomocą Politechnika Świętokrzyska Wydział Mechatroniki i Budowy Maszyn Centrum Laserowych Technologii Metali PŚk i PAN Zakład Informatyki i Robotyki Przedmiot:Podstawy Automatyzacji - laboratorium, rok I, sem.

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki Badanie i synteza kaskadowego adaptacyjnego układu regulacji do sterowania obiektu o

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

Zadania do rozdziału 10.

Zadania do rozdziału 10. Zadania do rozdziału 0. Zad.0.. Jaką wsokość musi mieć pionowe zwierciadło ab osoba o wzroście.80 m mogła się w nim zobaczć cała. Załóżm, że ocz znajdują się 0 cm poniżej czubka głow. Ab prawidłowo rozwiązać

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

OCENA JAKOŚCI PROCESU LOGISTYCZNEGO PRZEDSIĘBIORSTWA PRZEMYSŁOWEGO METODĄ UOGÓLNIONEGO PARAMETRU CZĘŚĆ I. 1. Wprowadzenie

OCENA JAKOŚCI PROCESU LOGISTYCZNEGO PRZEDSIĘBIORSTWA PRZEMYSŁOWEGO METODĄ UOGÓLNIONEGO PARAMETRU CZĘŚĆ I. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 2 2004 Anna DOBROWOLSKA* Jan MIKUŚ* OCENA JAKOŚCI PROCESU LOGISTYCZNEGO PRZEDSIĘBIORSTWA PRZEMYSŁOWEGO METODĄ UOGÓLNIONEGO PARAMETRU CZĘŚĆ I Przedstawiono

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Przetworniki A/C. Ryszard J. Barczyński, 2010 2015 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego

Przetworniki A/C. Ryszard J. Barczyński, 2010 2015 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Przetworniki A/C Ryszard J. Barczyński, 2010 2015 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Parametry przetworników analogowo cyfrowych Podstawowe parametry przetworników wpływające na ich dokładność

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4 - Badanie charakterystyk skokowych regulatora PID.

Ćwiczenie 4 - Badanie charakterystyk skokowych regulatora PID. Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie KATEDRA AUTOMATYKI LABORATORIUM Aparatura Automatyzacji Ćwiczenie 4. Badanie charakterystyk skokowych regulatora PID. Wydział EAIiE kierunek

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych Wkład 1. Funkcje wielu zmiennch dr Mariusz Grządziel 6 maja 1 (ostatnie poprawki: 1 maja 1) Funkcje wielu zmiennch Przestrzeń dwuwmiarowa, oznaczana w literaturze matematcznej smbolem R, może bć utożsamiona

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 5 ITERACYJNY ALGORYTM LS. IDENTYFIKACJA OBIEKTÓW NIESTACJONARNYCH ALGORYTM Z WYKŁADNICZYM ZAPOMINANIEM.

Ćwiczenie 5 ITERACYJNY ALGORYTM LS. IDENTYFIKACJA OBIEKTÓW NIESTACJONARNYCH ALGORYTM Z WYKŁADNICZYM ZAPOMINANIEM. Kompterowe Sstem Idetfikacji Laboratorim Ćwiczeie 5 IERACYJY ALGORY LS. IDEYFIKACJA OBIEKÓW IESACJOARYCH ALGORY Z WYKŁADICZY ZAPOIAIE. gr iż. Piotr Bros, bros@agh.ed.pl Kraków 26 Kompterowe Sstem Idetfikacji

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A.

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A. Prąd elektryczny Dotychczas zajmowaliśmy się zjawiskami związanymi z ładunkami spoczywającymi. Obecnie zajmiemy się zjawiskami zachodzącymi podczas uporządkowanego ruchu ładunków, który często nazywamy

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI. Robot do pokrycia powierzchni terenu

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI. Robot do pokrycia powierzchni terenu WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI Robot do pokrycia powierzchni terenu Zadania robota Zadanie całkowitego pokrycia powierzchni na podstawie danych sensorycznych Zadanie unikania przeszkód

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT)

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) 8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) Ćwiczenie polega na wykonaniu analizy widmowej zadanych sygnałów metodą FFT, a następnie określeniu amplitud i częstotliwości głównych składowych

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 7 OBRAZOWANIE

ĆWICZENIE 7 OBRAZOWANIE Komputerowe Metod Optki lab. Wdział Fizki, Politechnika Warszawska ĆWICZENIE 7 OBRAZOWANIE Celem ćwiczenia jest zasmulowanie działania układów obrazującch w świetle monochromatcznm oraz przeprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1-

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Filtry cyfrowe cz. Zastosowanie funkcji okien do projektowania filtrów SOI Nierównomierności charakterystyki amplitudowej filtru cyfrowego typu SOI można

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

Modelowanie układów prętowych

Modelowanie układów prętowych Modelowanie kładów prętowych Elementy prętowe -definicja Elementami prętowymi można modelować - elementy konstrkcji o stosnk wymiarów poprzecznych do podłżnego poniżej 0.1, - elementy, które są wąskie

Bardziej szczegółowo

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

CZWÓRNIKI KLASYFIKACJA CZWÓRNIKÓW.

CZWÓRNIKI KLASYFIKACJA CZWÓRNIKÓW. CZWÓRNK jest to obwód elektryczny o dowolnej wewnętrznej strukturze połączeń elementów, mający wyprowadzone na zewnątrz cztery zaciski uporządkowane w dwie pary, zwane bramami : wejściową i wyjściową,

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 6. Badanie

Bardziej szczegółowo

II. STEROWANIE I REGULACJA AUTOMATYCZNA

II. STEROWANIE I REGULACJA AUTOMATYCZNA II. STEROWANIE I REGULACJA AUTOMATYCZNA 1. STEROWANIE RĘCZNE W UKŁADZIE ZAMKNIĘTYM Schemat zamkniętego układu sterowania ręcznego przedstawia rysunek 1. Centralnym elementem układu jest obiekt sterowania

Bardziej szczegółowo

I. LICZBY I DZIAŁANIA

I. LICZBY I DZIAŁANIA WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA PIERWSZA GIMNAZJUM I. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne. 3. Umie

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Elektryczny AUTOREFERAT ROZPRAWY DOKTORSKIEJ Mgr inż. Krzysztof Rogowski Wybrane zagadnienia teorii dwuwymiarowych układów niecałkowitego rzędu opisanych modelem Roessera

Bardziej szczegółowo