UKŁADY JEDNOWYMIAROWE. Część III UKŁADY NIELINIOWE

Transkrypt

1 UKŁADY JEDNOWYMIAROWE Część III UKŁADY NIELINIOWE 1

2 15. Wprowadzenie do części III Układ nieliniowe wkazją czter właściwości znacznie różniące je od kładów liniowch: 1) nie spełniają zasad sperpozcji, 2) charakter odpowiedzi w stanie stalonm w sposób istotn zależ od amplitd sgnał wmszającego lb amplitd zakłócenia, 3) odpowiedź w stanie stalonm oprócz częstotliwości pochodzącej od wmszenia lb zakłócenia może dodatkowo zawierać inne harmoniczne, 2

3 4) stabilność kładów w istotn sposób zależ od wartości warnków początkowch, przkładowo: a) dla małch wartości warnków początkowch kład może bć stabiln, b) dla dżch wartości warnków początkowch kład może bć niestabiln. Dla zilstrowania tch zasad, a zwłaszcza zasad 2, rozważm następjąc przkład. 3

4 Przkład 15.1 Mam trz kład reglacji z jednostkowm sprzężeniem zwrotnm: 1) kład liniow opisan fnkcją przejścia tor głównego G(s) 2 s 4 s 1 2) kład nieliniow zawierając człon liniow opisan poniższą fnkcją przejścia oraz człon o charakterstce przekaźnika dwpołożeniowego 2 G(s) 2 s 2 s e -2 4

5 3) kład nieliniow zawierając człon liniow opisan poniższą fnkcją przejścia oraz człon o charakterstce przekaźnika dwpołożeniowego 2 G(s) 2 s 2 s e -2 5

6 Układ 1 + e 4 s 2+s+1 1 t w + e Układ 2 Przek_1 2 s 2+s+1 2 Mx + e Układ 3 Przek_2 2 s 2+s+1 3 Rs Schemat blokowe kładów reglacji 6

7 Wszstkie kład poddano jednocześnie działani poniższch sgnałów skokowch: - sgnał w(t) = A w 1(t), gdzie A w = 1 i otrzmano wniki jak na rsnk sgnał w(t) = A w 1(t), gdzie A w = 4 i otrzmano wniki jak na rsnk

8 w(t)=1*1(t) Układ 1 Układ 2 Układ Czas [s] Rs Charakterstki skokowe kładów dla A w = 1 8

9 1, 2, w(t)=4*1(t) Układ 2 Układ 1 Układ Cz as [s] Rs Charakterstki skokowe kładów dla A w = 4 9

10 Wstępne wnioski wnikające z porównania charakterstk badanch kładów przedstawiają się następjąco: - kład 1 zachowje się tak, że na podstawie charakterstki dla A w = 1 można wznaczć charakterstkę dla A w = 4, - w przpadk kład 2 i 3 na podstawie charakterstk dla A w = 1 nie można wznaczć charakterstk dla A w = 4. 10

11 16. Smbole graficzne i charakterstki członów Smbole graficzne Smbole graficzne członów nieliniowch a) b) c) = f () Rs Smbole graficzne członów nieliniowch: a) smbol ogóln; b) charakterstka dana wzorem; c) charakterstka dana graficznie 11

12 16.2. Ogóln zapis charakterstk Ogólnie związek odpowiedzi (t) człon nieliniowego z wmszeniem (t) jest opisan nieliniowm równaniem różniczkowm n-tego rzęd F( (n), (n-1),...,, (m), (m-1),...,,t) 0 gdzie: (n) n d n dt D n (m) d dt m m D n 12

13 W przpadk szczególnm powższe równanie może przjąć postać algebraiczną przedstawiającą model nieatonomiczn F(,,t) = 0 Gd czas nie wstępje w postaci jawnej, to człon opisjem równaniem atonomicznm, nazwanm charakterstką statczną F(,) = 0 którą zwkle staram się przedstawić w postaci = f() 13

14 Ze względ na opis matematczn charakterstki statczne członów nieliniowch dzielim na dwie grp: 1) nieliniowości analitczne, czli opisane w postaci jednoznacznej krzwej gładkiej lb rodzin krzwch. 2) nieliniowości nieanalitczne, czli opisane za pomocą krzwch nieciągłch lb niejednoznacznch. 14

15 Ponadto wszstkie nieliniowości ze względ na sposób wstępowania w kładzie dzielim na: 1) nieliniowości strktralne, czli wnikające z właściwości fizcznch członów, 2) nieliniowości celowe, czli specjalnie wprowadzone do kład dla zapewnienia pożądanch właściwości statcznch i dnamicznch. 15

16 16.3. Wbrane charakterstki statczne i ich opis matematczn Do bardzo często spotkanch członów nieliniowch zaliczam: a) człon ze strefą nieczłości, b) człon z nasceniem, c) człon ze strefą nieczłości i nasceniem, d) człon ze skokiem początkowm i nasceniem, e) przekaźnik dwpołożeniow bez histerez, f) przekaźnik dwpołożeniow z histerezą, g) przekaźnik trójpołożeniow bez histerez, h) przekaźnik trójpołożeniow z histerezą. 16

17 Tabela 16.1 Charakterstki statczne najczęściej spotkanch członów nieliniowch Nazwa człon Charakterstka człon = f() Człon ze strefą nieczłości k = tgα α -a α 0 a Człon z nasceniem k = tgα B k B α 0 B k -B 17

18 Nazwa człon Charakterstka człon = f() k = tgα B Człon ze strefą nieczłości i nasceniem B k α a -a α 0 a B +a k -B Człon ze skokiem początkowm i nasceniem k = tgα α B b k B b 0 -b -B B b k α 18

19 Nazwa człon Charakterstka człon = f() Przekaźnik dwpołożeniow bez histerez (idealn) B 0 -B Przekaźnik dwpołożeniow z histerezą (rzeczwist) -a B 0 a -B 19

20 Nazwa człon Charakterstka człon = f() Przekaźnik trójpołożeniow bez histerez (idealn) -a B 0 a -B Przekaźnik trójpołożeniow z histerezą (rzeczwist) -a 2 -a 1 B 0 a 1 a 2 -B 20

21 16.4. Wbrane schemat zastępcze członów przekaźnikowch Przkład 16.1 Dla charakterstki przekaźnika dwpołożeniowego z histerezą z rsnk 16.2 konstrjem schemat zastępcz zawierając charakterstkę przekaźnika idealnego i obwód sprzężenia zwrotnego jak na rsnk

22 B B -a a -B -B a B Rs Charakterstka przekaźnika dwpołożeniowego z histerezą Rs Schemat zastępcz przekaźnika z rsnk

23 Przkład 16.2 Dana jest charakterstka przekaźnika trójpołożeniowego z histerezą jak na rsnk Rozważam ponadto charakterstkę przekaźnika idealnego przechodząca przez środek pola histerez jak na rsnk

24 B B -a 2 -a 1 a 1 a 2 a + a a + a B -B Rs Charakterstka przekaźnika trójpołożeniowego z histerezą Rs Charakterstka idealnego przekaźnika trójpołożeniowego 24

25 Dla charakterstki idealnej skonstrowanej wedłg rsnk 16.5 otrzmam schemat zastępcz pokazan na rsnk poniżej. B -B a -a 2B 2 1 Rs Schemat zastępcz przekaźnika z rsnk

26 17. Przekształcanie schematów blokowch Schemat blokowe kładów z członami nieliniowmi można przekształcać podobnie jak schemat kładów liniowch. Obowiązje prz tm warnek konieczn i dostateczn przekształcenia: 26

27 Zastąpienie części schemat kładem równoważnm nie może powodować zmian w pozostałch częściach schemat nie podlegającm przekształceni. Stąd wnika podstawowa zasada przekształcania Kolejność wstępowania członów nieliniowch ma istotne znaczenie dla właściwości kład i nie wolno jej zmieniać. 27

28 Spotkane przekształcenia schematów blokowch: 1) szeregowe połączenie członów, 2) równoległe połączenie członów, 3) człon w sprzężeni zwrotnm, 4) przenoszenie węzła zaczepowego. 28

29 17.1. Szeregowe połączenie członów Rozważam fragment kład złożon z dwóch członów nieliniowch o znanch charakterstkach statcznch rsnek f () 1 1 f2( 1) f () Rs Dwa człon nieliniowe połączone szeregowo Rs Człon zastępcz równoważn kładowi z rsnk

30 Po podstawieni charakterstki pierwszego człon do charakterstki drgiego człon otrzmjem lb w postaci graficznej = f 2 ( 1 ) = f 2 [f 1 ()] = f() 30

31 , 1 = f 2 ( 1 ) prosta odbijająca = f( ) 4 5 = f ( ) , 1 Rs Graficzne wznaczanie charakterstki człon zastępczego dla członów nieliniowch połączonch szeregowo 31

32 Przkład 17.1 Wznaczć charakterstkę człon zastępczego dla podanego niżej szeregowego połączenia członów o znanch charakterstkach statcznch Rs Dwa człon nieliniowe połączone szeregowo 32

33 Rozwiązanie Postępjąc jak na rsnk 17.3, otrzmam rezltat jak na rsnk Na podstawie otrzmanego wnik stwierdzam, że przez dobór odpowiednich charakterstk można zskać charakterstkę wpadkową liniową lb zbliżoną do liniowej. 33

34 , = f1() 2 3 = f ( ) = f 2 ( 1 ) , 1 prosta odbijająca 34 Rs Charakterstki człon zastępczego dla kład z rsnk 17.4

35 17.2. Równoległe połączenie członów f1 ( ) f ( ) f2 ( ) 2 Rs Dwa człon nieliniowe połączone równolegle Rs Człon zastępcz równoważn kładowi z rsnk

36 Z istot połączenia równoległego wnika, że charakterstka człon zastępczego jest równa smie charakterstk członów składowch = = f 1 () + f 2 () = f() 36

37 ,, = f( ) = f () 2 2 = f ( ) Rs Graficzne wznaczanie charakterstki człon zastępczego dla członów nieliniowch połączonch równolegle 37

38 Przkład 17.2 Wznaczć charakterstkę człon zastępczego dla podanego niżej równoległego połączenia członów o znanch charakterstkach statcznch Rs Dwa człon nieliniowe połączone równolegle 38

39 Rozwiązanie Rozwiązaniem jest charakterstka pokazana na rsnk Podobnie jak wcześniej, charakterstka wpadkowa jest liniowa lb zbliżona do liniowej.,, = f( ) = f ( ) 2 2 = f ( ) Rs Charakterstki dla kład z rsnk

40 Przkład 17.3 Wznaczć charakterstkę człon o zmiennm wzmocnieni, tworzonego z: 1) człon liniowego opisanego wzmocnieniem K 1 = 0.5, 2) człon nieliniowego ze strefą nieczłości o szerokości 2a = 1, poza tą strefą opisanego wzmocnieniem K 2 = Rs Schemat człon o zmiennm wzmocnieni 40

41 Rozwiązanie Dla rozwiązania zadania wkorzstano Matlab/Simlink, za pomocą którego otrzmano schemat blokow człon na rsnk i charakterstkę statczną na rsnk K K2 Rs Schemat blokow człon i rejestracja zmiennch dla charakterstki statcznej 41

42 Rs Charakterstka statczna człon 42

43 17.3. Człon w obwodzie jemnego sprzężenia zwrotnego ε f 1 () ε f ( ) v f2 ( ) Rs Fragment kład z członem w torze głównm i sprzężenia zwrotnego Rs Człon zastępcz równoważn kładowi z rsnk

44 v, = f 1 () ε = f ( ) =p1 p2 p5 v=p4 p3 v= f 2 ( ) ε v =p1, ε, Rs Graficzne wznaczanie charakterstki człon zastępczego dla kład z rsnk

45 W cel zastosowania metod stałej odpowiedzi nanosim charakterstki członów tak, ab: 1) na osi odciętch znalazł się wartości sgnałów wejściowch, ε,, 2) na osi rzędnch znalazł się wartości sgnałów wjściowch v,. Opis przedstawionej konstrkcji: 1) na osi rzędnch obieram dowolną wartość odpowiedzi, np. w pnkcie p1, 2) za pomocą charakterstki f 1 (ε) i pnkt p2 znajdjem wartość chb ε, odpowiadającą przjętej wartości, 3) bierzem pod wagę równanie węzła smacjnego i zapisjem je w postaci ε = v 45

46 = ε + v Wnika stąd, że dla znalezienia szkanego sgnał msim znaleźć sgnał v i dodać go do chb ε: 1) dla znalezienia sgnał v wkorzstjem pnkt p1 na osi rzędnch oraz charakterstkę f 2 () otrzmjąc pnkt p3 a następnie pnkt p4, którego wartość na osi odciętch wnosi v, 2) sgnał v przenosim tak, ab możliwić dodanie go do sgnał ε, 3) Dla sm argmentów ε i v znajdjem szkan sgnał, 4) w pnkcie p5 znajdjem wartość odpowiedzi zgodną z sgnałem. 46

47 17.4. Przenoszenie węzła zaczepowego przed blok Przeniesienie węzła zaczepowego przed blok nieliniow zgodnie z warnkiem koniecznm i dostatecznm wmaga wprowadzenia dodatkowego człon nieliniowego takiego, jak człon dan, otrzmam wted schemat pokazan na rsnk

48 f ( ) f ( ) f ( ) Rs Schemat blokow z węzłem zaczepowm za blokiem Rs Przekształcon schemat z rsnk

49 17.4. Przenoszenie węzła zaczepowego za blok Przeniesienie węzła zaczepowego za blok nieliniow zgodnie z warnkiem koniecznm i dostatecznm wmaga wprowadzenia dodatkowego człon nieliniowego o charakterstce odwrotnej do charakterstki danej. 49

50 f ( ) f ( ) φ( ) = f -1 ( ) Rs Schemat blokow z węzłem zaczepowm przed blokiem Rs Przekształcon schemat z rsnk