18. Wprowadzenie do metod analizy i syntezy układów

Transkrypt

1 18. Wprowadzenie do metod analizy i syntezy kładów Metody analizy kładów nieliniowych dzielimy na dwie grpy: przybliżone i ścisłe. 1. Metody przybliżone a) linearyzacja przez rozwinięcie w szereg Taylora, b) linearyzacja metodą minimm błęd kwadratowego, c) linearyzacja metodą pierwszej harmonicznej, czyli metodą fnkcji opisjącej, d) pierwsza metoda Lapnowa. 2. Metody ścisłe a) metoda przestrzeni (płaszczyzny) fazowej, b) drga metoda Lapnowa, c) rozwiązania szczególne. 1

2 18.1. Linearyzacja metodą minimm błęd kwadratowego Metoda minimm błęd kwadratowego (najmniejszych kwadratów) jest wygodną metodą linearyzacji stosowaną do nieliniowości statycznych, a w tym do: analitycznych, nieanalitycznych lb otrzymanych z eksperyment. 2

3 Weźmy zbiór pnktów tworzących charakterystykę statyczną element nieliniowego, otrzymaną z eksperyment y y = f() y id y ip y= K 0 i Rys Zbiór pnktów eksperymentalnej charakterystyki statycznej i prosta aproksymjąca 3

4 Poszkjemy liniowej fnkcji aproksymjącej zapisanej w postaci y = K gdzie K niewiadomy współczynnik kiernkowy prostej Dla wyznaczenia wartości K rozpatrje się różnicę między wartością dokładną y id a przybliżoną y ip, zapisaną wzorem E i = y id y ip = y id K i 4

5 Metoda błęd kwadratowego polega na zminimalizowani smy kwadratów wymienionych różnic n i 1 2 E i min Czyli n i 1 (y id - K i ) 2 min Zgodnie z zasadami poszkiwania ekstremów otrzymjemy K n i 1 n i i y 2 i id 5

6 Obliczenia wedłg powyższego wzor znacznie się praszczają, jeżeli eksperyment zostanie przeprowadzony dla stałych odstępów między wartościami, czyli gdy i+1 i = const Jeżeli charakterystyka nieliniowa zadana jest w postaci analitycznej y = f() to smowanie zastępjemy całkowaniem K n 1 f()d n 1 2 d 6

7 Przykład 18.1 Dana jest charakterystyka pokazana na rysnk Przeprowadzić linearyzację metodą błęd kwadratowego, gdy zmienna należy do przedział [- m, m ]. y A - m m -A Rys Nieliniowa charakterystyka statyczna i zakres linearyzacji Rozwiązanie Z wagi na biegnową symetrię wykres można rozważania zawęzić do przedział [0, m ], a następnie zastosować wzór 7

8 K m 0 m Ad 2 d 3A 2 m 0 Uwaga Zawsze należy przeanalizować wartości błędów wprowadzonych przez linearyzację. Rys Zestawienie charakterystyk 8

9 18.2. Wprowadzenie do metod Lapnowa Pojęcia podstawowe W badani stabilności kładów reglacji spotyka się dwa podstawowe pojęcia związane z powracaniem kład do stan równowagi: 1) stabilność asymptotyczna, 2) stabilność nieasymptotyczna. 9

10 Stabilność asymptotyczna jest wtedy, gdy kład atonomiczny wytrącony ze stan równowagi y r powraca do tego stan, czyli gdy y(t) y r, przy t Oznacza to, że wszystkie pierwiastki RCH kład zamkniętego leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej. Stabilność nieasymptotyczna jest wtedy, gdy nie wymaga się, aby kład powracał do stan równowagi y r. 10

11 Ponadto, istotne są pojęcia: a) niestabilny pnkt równowagi, b) stabilność lokalna w małym otoczeni pnkt równowagi, c) stabilność globalna dla dowolnie dżych warnków początkowych. a) b) c) Rys Ilstracja mechaniczna wybranych pojęć podstawowych: a) niestabilny pnkt równowagi, b) stabilność lokalna, c) stabilność globalna. 11

12 Od kładów reglacji wymaga się zwykle stabilności globalnej asymptotycznej. 12

13 Wprowadzenie do pierwszej metody Lapnowa Pierwszą metodę Lapnowa inaczej pośrednią stosjemy do badań stabilności lokalnej asymptotycznej kładów nieliniowych atonomicznych. Zgodnie z pojęciem stabilności lokalnej należy zbadać kład dla małych odchyleń od stan równowagi. Przy małych odchyleniach można zastąpić równanie nieliniowe przybliżeniem zlinearyzowanym i zastosować konwencjonalne kryteria stabilności. Należy brać pod wagę, że: 13

14 a) jeśli RCH przybliżone ma pierwiastki rojone, to stabilności lokalnej kład nieliniowego nie można ocenić, b) zmieniając położenia stan równowagi można zbadać stabilność lokalną w całym zakresie pracy, c) otrzymane wyniki są poprawne jedynie dla małych odchyleń od kolejnych stanów równowagi, mogą natomiast być niesłszne dla dżych odchyleń. 14

15 Wprowadzenie do drgiej metody Lapnowa Drgą metodę Lapnowa inaczej bezpośrednią stosjemy do badań stabilności globalnej asymptotycznej kładów nieliniowych atonomicznych lb stabilności asymptotycznej tych kładów w pewnym obszarze, który można wyznaczyć. W badaniach wykorzystjemy specjalnie dobieraną fnkcję Lapnowa V(y), która powinna spełniać szereg warnków. Dobór ten jest dość trdny. Wiadomo bowiem, że: 15

16 a) jeśli nie da się znaleźć fnkcji V(y) nie oznacza to, że kład jest niestabilny przeciwnie, kład może być stabilny asymptotycznie, b) dla różnych fnkcji V(y) możemy otrzymać różne warnki i obszary stabilności asymptotycznej przy niezbyt szczęśliwym doborze fnkcji Lapnowa dostaje się warnki stabilności nakładające nadmierne ograniczenia na parametry kład, co jest równoważne nadmiernem zawężeni obszar stabilności. 16

17 18.3. Metoda przestrzeni fazowej Ogólny opis metody Metoda przestrzeni fazowej możliwia analizę i syntezę kładów reglacji na podstawie równania różniczkowego jednorodnego, które jest tworzone dla dowolnego sygnał w kładzie; może to być sygnał chyb, sygnał wyjściowy czy też sygnał dochodzący do człon nieliniowego. w ε L 1 N x L 2 y Rys Ogólny schemat blokowy kład nieliniowego 17

18 Wyłącznie dla łatwienia ilstracji problem wykorzystjemy równanie różniczkowe liniowe a n (n) + a n-1 (n-1) + + a 1 (1) + a 0 = 0 Następnie zakładamy, że sygnał i jego pochodne aż do n-1 są znane i są nowymi współrzędnymi w przestrzeni n+1 wymiarowej. Wobec tego możemy wyznaczyć brakjącą zmienną czyli pochodną rzęd n. 18

19 (n) = -A 0 A 1 (1) - - A n-1 (n-1) (18.11) gdzie a0 A0,..., An-1 a n a a n-1 n Otrzymane równanie przedstawia krzywą n-wymiarową zwaną trajektorią fazową. Krzywa ta rozpoczyna się w pnkcie zadanym przez warnki początkowe 0, 0 (1),, 0 (n-1) i może zmierzać: a) do pnkt równowagi, w którym wszystkie pochodne fnkcji się zerją, b) do nieskończoności, c) do krzywej zamkniętej nazywanej cyklem granicznym. 19

20 ... Rys Trajektoria fazowa zmierzająca do pnkt równowagi 20

21 ... Rys Trajektoria fazowa zmierzająca do nieskończoności 21

22 ... Rys Trajektoria fazowa zmierzająca do cykl granicznego 22

23 Dla różnych pnktów początkowych otrzymje się różne trajektorie fazowe. Zbiór tych trajektorii nosi nazwę portret fazowego. Przez jeden pnkt przestrzeni fazowej może przechodzić tylko jedna trajektoria fazowa wyjątek stanowią tzw. pnkty osobliwe, przez które może przechodzić kilka trajektorii albo żadna. 23

24 Praktycznie wykorzystje się przestrzeń dwwymiarową, czyli płaszczyznę fazową, na której mogą wystąpić następjące pnkty osobliwe: a) ognisko stabilne, b) ognisko niestabilne, c) węzeł stabilny, d) węzeł niestabilny, e) siodło, f) środek. 24

25 a). b). c). d). e). f). Rys Pnkty osobliwe 25

26 Szczególną cechą kładów nieliniowych jest możliwość występowania cykli granicznych. Z cyklem granicznym mamy do czynienia wtedy, gdy trajektoria fazowa nie dochodzi do pnkt równowagi lecz przechodzi w zamkniętą krzywą otaczającą ten pnkt. Rozróżniamy cykle graniczne stabilne i niestabilne. W cykl granicznym stabilnym występje cykliczne powtarzanie poszczególnych faz rch, są to po prost nietłmione drgania kład wokół położenia równowagi. W cykl granicznym niestabilnym nie dochodzi do drgań o stałej amplitdzie, a kład cieka od teoretycznej krzywej cykl do pnkt równowagi lb do nieskończoności. 26

27 a) b).. c). d). Rys Cykle graniczne: a) stabilny dla dowolnych wartości warnków początkowych, b) stabilny dla dżych wartości warnków 27 początkowych, c) i d) niestabilne.

28 Konstrkcja trajektorii fazowych na płaszczyźnie fazowej Istnieją następjące konwencjonalne metody wyznaczania trajektorii fazowych: a) metoda izoklin, b) metoda Lienarda, c) metoda delta, d) metoda Pella. 28

29 Metoda izoklin jęcie dla płaszczyzny fazowej Metoda ta jest dość często stosowana, gdy zachodzi potrzeba wykreślenia większej liczby trajektorii fazowych. Wyłącznie dla ilstracji metody rozważymy liniowe równanie różniczkowe drgiego rzęd, zapisane w postaci (18.11) czyli po wyznaczeni drgiej pochodnej (2) = -A 0 A 1 (1) lb po rozpisani 2 d 2 dt -A - 0 A 1 d dt 29

30 Pierwszą pochodną traktjemy jako nową zmienną fazową i mamy d dt z dz dt A - 0 A z 1 W cel wyeliminowania czas obydwa równania dzielimy stronami prze siebie i otrzymjemy pochodną dz A0 - A1 z d z (18.17) 30

31 Pochodna ta oznacza nachylenie trajektorii fazowej i jest traktowana jak parametr dz d N Mamy zatem - A0 - A1 z N const z Można więc kreślić krzywe z = f(), nazywane izoklinami dla danego parametr N. W tym przykładzie będzie to wzór z A N A 0 (18.20) 1 31

32 Ze wzor (18.20) wynika, że izokliny będą zbiorem prostych poziomych, jednak w ogólności będą to krzywe pokazane na przykładowym rysnk Na krzywych wprowadzono znaczniki odpowiadające wartościom parametr N, czyli wartościom kąta nachylenia.. z= N 1 N 2 N tgα dz d = = = const N 3 d α dz Rys Fragment rodziny izoklin 32

33 . z = z o P o Rys Graficzne całkowanie równania dz/d W wynik całkowania równania otrzymjemy trajektorię fazową rozpoczynającą się w pnkcie P określonym przez warnki początkowe 0 i z 0. Przykłady portretów fazowych otrzymanych w wymieniony sposób ilstrją rysnki i

34 . 4 3 Znaczniki nachylenia 2 Izokliny 1 Trajektorie fazowe Rys Portret fazowy równania (2) + (1) + = 0 34

35 Rys Portret fazowy równania (2) + (1) + = 0 35

36 Zastosowanie Matlaba/Simlinka do tworzenia trajektorii fazowych Przykład 18.2 Wyznaczyć trajektorię fazową dla kład opisanego równaniem różniczkowym 2 d dt 2 T 2 2 T d dt 0 36

37 Rozwiązanie W pierwszej kolejności wyznaczamy najwyższą pochodną d dt d 2 n n dt (18.23) Przy czym ω n = 1/T jest plsacją drgań własnych nietłmionych Następnie w Simlink tworzymy schemat blokowy słżący do rozwiązania równania (18.23). 37

38 D 15 Do 10 o D2 1 s + D + 1 s + + 2*zeta*wn 1 wn^2 1 Rys Schemat blokowy do rozwiązania równania (18.23) 38

39 D Dane: ζ = 0.5, ω n = 1.0, o = 10, (D) o = Rys Trajektoria fazowa ognisko stabilne 16 39

40 D Dane: ζ = 0.0, ω n = 1.0, o = 0, (D) o = Rys Trajektoria fazowa środek 40

41 Przykład 18.3 Wyznaczyć trajektorię fazową dla kład opisanego równaniem różniczkowym 2 d 2 dt d dt 0 Rozwiązanie Wyznaczamy najwyższą pochodną przekształcając równanie 2 d 2 dt d dt Następnie tworzymy schemat blokowy do rozwiązania 41

42 D 0 Do 2 o D2 1 s + D + 1 s + + * Rys Schemat blokowy dla rozwiązania równania 42

43 D Dane: o = 2, (D) o = 0. Wynik jest zgodny z rysnkiem Rys Trajektoria fazowa środek 43

44 . 4 3 Znaczniki nachylenia 2 Izokliny 1 Trajektorie fazowe Rys Portret fazowy równania (2) + (1) + = 0 44

45 Przykład 18.4 Wyznaczyć trajektorię fazową dla kład opisanego schematem blokowym jak na rysnk w ε -a K 1 K a s 2 2 y Rys Schemat blokowy kład reglacji Dane: K 1 =2.0, a = 1.0, K 2 =2.0, ε o = 1.5, (Dε) o = 0, 45

46 Rozwiązanie Wyznaczenie trajektorii fazowej można przeprowadzić na dwa sposoby: a) za pomocą równania tworzonego ze schemat blokowego, b) bezpośrednio ze schemat blokowego. Poniżej pokazano drgi sposób postępowania jako wygodniejszy w praktycznych zastosowaniach 46

47 Sposób drgi e t d/dt De 1.5 w + e 2 K1 2 K2 1 s 1 s y y Rys Schemat blokowy kład reglacji 47

48 De e Rys Trajektoria fazowa kład - środek 48

49 y Czas [s] Rys Charakterystyka czasowa kład 49