Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym"

Transkrypt

1 Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest w środku ciężkości dwuteownika. 10 cm 10 cm P I10 L00x100x10 Rozwiazanie Rozpatrywany przekrój ściągu jest przekrojem złożonym z dwóch kształtowników: dwuteownika I10 i kątownika nierównoramiennego L00x100x10. Wartości charakterystyk geometrycznych użytych kształtowników zaczerpnięto z Tablic do projektowania konstrukcji stalowych, W. Bogucki i M. Żyburtowicz, wyd. 6, Warszawa, 1995r. Poniżej, i na stronie następnej, zamieszczono potrzebne do rozwiązania rozpatrywanego zadania wielkości charakterystyczne w takim układzie współrzędnych, jaki przyjęty jest w Tablicach. - dwuteownik I10: Y h X h = 10 mm b f = 58 mm A = 14, cm I x = 38 cm 4 I y = 1,5 cm 4 bf 1

2 - kątownik nierównoramienny L00x100x10: η α Y b e y ξ X b = 00 mm a = 100 mm e x =,01 cm e y = 6,93 cm tg α = 0,63 A = 9, cm I x = 119 cm 4 I y = 10 cm 4 I η = 135, cm 4 = I min e x a W celu obliczenia maksymalnej dopuszczalnej wartości siły P należy obliczyć ekstremalne naprężenia w ściągu, traktując wartość siły P jako znaną, a następnie tak obliczone naprężenie porównać z wartością dopuszczalną. W poniższym przykładzie zaprezentowane są dwa sposoby obliczenia naprężeń normalnych. W pierwszym naprężenia określa się korzystając ze wzoru na naprężenia normalne względem osi głównych centralnych, w drugim z bardziej ogólnego wzoru na naprężenia normalne względem osi centralnych. Niezależnie od przyjętego sposobu rozwiązanie zadania rozpocząć należy od określenia charakterystyk geometrycznych rozpatrywanego przekroju złożonego.

3 1. Wyznaczenie środka ciężkości W celu wyznaczenia środka ciężkości przyjęto wstępny ukłąd współrzędnych Y 1 OZ 1.,01 cm 10 cm 10 cm O = C I Y 1 C L Z 1 6,93 cm 1 cm 10 cm W tym układzie obliczone są momenty statyczne S y1 i S z1 : ( ) 1 S y1 = 14, 0 + 9, 1 +,01 = 0 + 9, 8,01 = 33,9 cm 3 S z1 = 14, 0 + 9, (10 6,93) = 0 + 9, 3,07 = 89,64 cm 3 Pole przekroju A ma zaś wartość A = 14, + 9, = 43,4 cm Tak więc, środek ciężkości C ma następujące współrzędne w układzie Y 1 OZ 1 : y c = S z 1 A = 89,64 =,066 cm 43,4 z c = S y 1 A = 33,9 = 5,389 cm 43,4 3

4 . Wyznaczenie centralnych momentów bezładności Przyjmijmy nowy centralny układ współrzędnych Y c CZ c.,01 cm 5,389 cm 10 cm 10 cm O = C I Y 1 C Y c C L,066 cm Z 1 6,93 cm Z c 1 cm 10 cm Dla tak przyjętego układu współrzędnych obliczane są, przy pomocy wzorów Steiner a, centralne momenty bezwładności: I yc = , ( 5,389) , ( 5, ,01) = = , ,,61 = 1151 cm 4 I zc = 1,5 + 14, (,066) , (, ,07) = = 1,5 + 60, , 1,004 = 1331 cm 4 Aby obliczyć dewiacyjny moment bezwładności I ycz c rozpatrywanego przekroju potrzebna jest znajomość dewiacyjnego momentu bezwładności kątownika nierównoramiennego wchodzącego w skład przekroju złożonego (dla dwuteownika jest on oczywiście równy zeru, gdyż dwuteownik jest figurą symetryczną). Nieznany moment kątownika można łatwo obliczyć wykorzystując inne wielkości charakterystyczne kątownika. W tym celu wystarczy przekształcić znany wzór na wartośc kąta nachylenia osi głównych: tg α = I xy I x I y = I xy = 1 (I x I y ) tg α Wartości I x i I y są dane, zaś kąt α obliczamy następująco: tg α = 0,63 = α = 14, 74 o Stąd wartość biegunowego momentu bezwładności kątownika nierównoramiennego wchodzącego w skład przekroju złożonego jest równa: I xy = 1 (119 10) tg( 14,74o ) = 85,1 cm 4 4

5 Inna metoda obliczenia nieznanej wartości I xy polega na wykorzystaniu zależności pomiędzy warościami momentów bezwładności: - wzoru na promień koła Mohra ( Jx J y ) ( ) ( ) + Jxy = J1 J = Jxy = J1 J - niezmiennika sumy momentów bezwładności ( Jx J y ) J x + J y = J 1 + J = J 1 = J x + J y J Po podstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy: J 1 = , = 193,8 cm 4 ( ) ( ) 193,8 135, Jxy = = ( 84,7 cm 4) Jak widać wyniki otrzymane dwoma metodami różnią się. Jest to spowodowane zaokrągleniami wartości tg α oraz J min charakteryzujących przekrój kątownika L00x100x10, które zostały wykorzystane do obliczenia J xy. Zakładając, że obie te wielkości charakterystyczne obarczone są identycznym błędem zasadne jest przyjęcie do dalszych obliczeń średnią arytmetyczną tych dwóch wartości. J xy = 85,1 84,7 = 84,9 cm 4 Tak więc, można już obliczyć wartość momentu dewiacyjnego I ycz c rozpatrywanego przekroju złożonego: I ycz c = , ( 5,389) (,066) + 84,9 + 9, 1,004,61 = 519,8 cm 4 Dalszy algorytm postępowania uzależniony jest od przyjętego sposobu rozwiązywania. W przypadku obliczania naprężeń normalnych względem osi głównych centralnych należy w pierwszej kolejności wyznaczyć te osie. SPOSÓB A - obliczenia przy użyciu wzorów określonych dla osi głównych centralnych 3.A. Wyznaczenie głównych centralnych osi i momentów bezładności Kąt nachylenia osi głównych Y i Z obliczamy następująco: tg α = I y cz c I yc I zc = = α = 40,10 o 519, = 5,790 = α = 80,0o = 5

6 ,01 cm Z 10 cm 10 cm O = C I C Y c C L Y 6,93 cm Z c 1 cm 10 cm Zaś w celu obliczenia momentów głównych centralnych korzystamy z poniższego wzoru: I 1, = 1 (I y c + I zc ) ± 1 (I yc I zc ) + 4Iy cz c W rozpatrywanym przypadku I 1, = 1 ( ) ± 1 ( ) + 4 ( 519,8) = = (141 ± 57,5) cm 4 Tak więc, maksymalny główny centralny moment bezwładności I 1 odpowiadający momentowi I z (gdyż I zc > I yc ) oraz moment minimalny I = I y mają wartości: I 1 = ,5 = 1768 cm 4 I = ,5 = 713, cm 4 = I z = I y Sprawdzenie poprawności obliczeń można wykonać na dwa sposoby: I yc + I zc = I 1 + I 1331 cm cm 4 = 1768 cm , cm 4 48 cm 4 = 48 cm 4 I yc I zc (I ycz c ) = I 1 I 1331 cm cm 4 ( 519,8 cm 4 ) = 1768 cm 4 713, cm cm 8 = cm 8 Równoznaczność otrzymanych wyników z lewej i prawej strony potwierdza poprawność obliczeń. 6

7 4.A. Obliczenie mimośrodów siły Aby wyznaczyć współrzędne punktu przyłożenia siły we współrzędnych Y CZ, które są jednocześnie mimośrodami przyłożenia siły, konieczne jest wyprowadzenie wzoru transformującego znane współrzędne Y c CZ c na współrzędne szukane. W rozpatrywanym przypadku wzór ten ma postać: y = y c cos α + z c sin α = y c cos 40,10 o + z c sin 40,10 o = 0,7649y c + 0,6441z c z = y c sin α + z c cos α = y c sin 40,10 o + z c cos 40,10 o = 0,6441y c + 0,7649z c ( ) Współrzędne punktu P przyłożenia obciążenia w układzie Y c CZ c mają wartość: y P c z P c =,066 cm = 5,389 cm co oznacza, że mimośrody siły są równe: y P = 0,7649 (,066) + 0,6441 ( 5,389) = 5,051 cm z P = 0,6441 (,066) + 0,7649 ( 5,389) =,79 cm = e y = e z 5.A. Obliczenie sił przekrojowych Zakłada się, że skłądowe momentu zginającego mają znak dodatni, jeśli wektory, które je reprezentują mają kieruneki zgodne z kierunkami osi. Siła normalna jest zaś dodatnia wtedy, gdy powoduje rozciąganie przekroju. Przy takich założeniach w dowolnym przekroju ściągu występują następujące siły wewnętrzne: N = P M y = N e z =,79 P M z = N e y = 5,051 P 6.A. Wyznaczenie wzoru na napręzenia normalne Ponieważ mimośrodowe rozciaganie można traktować jako złożenie dwóch przypadków zginania prostego i rozciągania osiowego, naprężenia normalne można zapisać w następującej postaci: σ x = σ N x + σ Mz x + σ My x = N A ± M z I z y ± M y I y z Znak przed składnikami naprężenia zależnymi od momentów zginających ustala się przeprowadzając następującą analizę: Załóżmy, że moment M z jest dodatni. Reguła śruby prawoskrętnej mówi, że taki moment powoduje ściskanie włókien o dodatniej współrzędnej y. Oznacza to, że dla M z > 0 i y > 0 naprężenie σx Mz jest ujemne. Ponieważ moment bezwładności I z jest zawsze większy od zera naprężenie normalne zależne od momentu M z musi być więc opisane wzorem: σ Mz x = M z I z y 7

8 Analogicznie określamy znak we wzorze na naprężenie normalne zależne od momentu M y : Załóżmy, że moment M y jest dodatni. Reguła śruby prawoskrętnej mówi, że taki moment powoduje rozciąganie włókien o dodatniej współrzędnej z. Oznacza to, że dla M y > 0 i z > 0 naprężenie σx My jest dodatnie. Ponieważ moment bezwładności I y jest zawsze większy od zera naprężenie normalne zależne od momentu M z musi być opisane wzorem: σ My x = + M y I y z Stąd ostatecznie: σ x = σ N x + σ Mz x + σ My x = N A M z I z y + M y I y z 7.A. Wyznaczenie osi obojętnej Oś obojętną wyznaczamy wiedząc, że naprężenia na niej panujące są równe zero, stąd: σ x = 0 = N A M z I z y + M y I y z = 0 = = P 43,4 5,051P 1768 y +,79P 713, z = 0 = =, P, P y 3, P z = 0 Aby obliczyć współrzędne przecięcia osi głównych centralnych Y i Z przez szukaną oś obojętną należy przekształcić powyższe równanie prostej na postać odcinkową. Przy czym y a y + z a z = 1, a y = = 8,066 cm, , a z = = 5,886 cm 3, Tak więc równanie osi obojętnej ma postać: σ x = 0 = y 8,066 + z 5,886 = 1 Z powyższych przekształceń wynika, że oś obojętna przechodzi przez punkty (5,886 cm;0) i (0;8,066 cm). 8

9 Z 1 C Y 8.A. Wyznaczenie naprężeń w punktach przekroju najbardziej oddalonych od osi obojętnej Najbardziej oddalone od osi obojętnej punkty przekroju oznaczono jako 1 i. Współrzędne tych punktów w układzie Y c CZ c wynoszą odpowiednio: yc 1 =, ,8 = 0,834 cm zc 1 = 5, = 11,389 cm y c =, = 7,934 cm zc = 5, = 11,611 cm zaś ich współrzędne w układzie Y CZ obliczam wykorzystując wzór ( ) wyprowadzony w podrozdziale 4.A.: y 1 = 0,7649 0, ,6441 ( 11,389) = 6,698 cm z 1 = 0,6441 0, ,7649 ( 11,389) = 9,904 cm y = 0,7649 7, ,6441 ( 11,611) = 9,49 cm z = 0,6441 7, ,7649 ( 11,611) = 3,006 cm 9

10 Podstawiając otrzymane współrzędne do wzoru na naprężenia, otrzymujemy maksymalne i minimalne wartości naprężeń w przekroju złożonym. σ 1 x = σ x ( 6,698 cm; 9,904 cm) = =, P, P ( 6,698) 3, P ( 9,904) = = 7, P = σ max σx = σ x ( 9,49 cm; 3,006 cm) = =, P, P ( 9,49) 3, P 3,006 = =, P = σ min W ten sposób obliczone zostały interesujące nas ekstremalne wartości naprężeń normalnych. oś obojętna 7,838 σ [10- P/cm ] -,558 9.A. Obliczenie dopuszczalnej siły P Dopuszczalną wartość siły P obliczymy porównując największe, niezależnie od znaku, naprężenie w przekroju z naprężeniem dopuszczalnym. Ponieważ obliczeń dokonywaliśmy w centymetrach musimy przekształcić wartość σ dop. σ dop = 15 MPa = kn kn kn = = 1,5 m 10 4 cm cm 10

11 max ( σx 1 ; σ x ) = σx 1 = 7, P σ dop = 1,5 kn cm = 1,5 = P = 74,3 kn 7, Tak więc ostatecznie P dop = 74,3 kn Te same wyniki otrzymać można stosując obliczenia względem osi centralnych, tj. w rozpatrywanym przypadku osi Y c i Z c. SPOSÓB B - obliczenia przy użyciu wzorów określonych dla osi centralnych 3.B. Obliczenie mimośrodów siły Współrzędne punktu P przyłożenia obciążenia w układzie Y c CZ c mają wartość: y P c z P c =,066 cm = 5,389 cm 4.B. Obliczenie sił przekrojowych Niezmieniając opisanych w punkcie 5.A. założeń dotyczących znaków sił wewnętrznych można zapisać wartości sił przekrojowych: N = P M yc = 5,389 P M zc =,066 P 5.B. Wyznaczenie wzoru na naprężenia normalne Wzór na naprężenia normalne w rozpatrywanym układzie współrzędnych ma postać: σ x = N A + J y cz c M yc + J yc M zc J y cz c J yc J zc y J yczcm zc + J zcm yc z Jy cz c J yc J zc 11

12 Podstawiając znane wartości sił i momentów bezwładności otrzymujemy: σ x = P 519,8 ( P 5,389) P,066 + y + 43,4 519, ,8 P, ( P 5,389) z = 519, = P 43,4 + 44, P y z = =, P + 3, P y 4, P z 6.B. Wyznaczenie osi obojętnej W celu wyznaczenia równania osi obojętnej należy przyrównać wzór na naprężenia normalne do zera. Niezerowe współrzędne punktów przecięcia osi współrzędnych z osią obojętną mają wartości:, a yc = = 68,51 cm 3, , a zc = = 4,766 cm 4, oś obojętna 1 C Z c Y c 1

13 7.B. Wyznaczenie naprężeń w punktach przekroju najbardziej oddalonych od osi obojętnej Z zamieszczonego na poprzedniej stronie rysunku widać, że najbardziej oddalonymi od osi obojętnej punktami są punkty 1 i, których współrzędne wynoszą: y 1 =,066 cm +,9 cm = 0,8345 cm z 1 = 5,389 cm 6 cm = 11,389 cm y =,066 cm + 10 cm = 7,934 cm z = 5,389 cm + 6 cm + 10 cm = 10,61 cm Podstawiając obliczone współrzędne do wzoru na naprężenia otrzymujemy naprężenia ekstremalne. σ 1 x = σ x (0,8345 cm; 11,389 cm) = =, P + 3, P 0,8345 4, P ( 11,389) = = 7, P = σ max σ x = σ x (7,934 cm; 10,61 cm) = =, P + 3, P 7,934 4, P 10,61 = =, P = σ min oś obojętna 7,838 σ [10- P/cm ] -,558 13

14 8.B. Obliczenie dopuszczalnej siły P Sprawdzenie warunku nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne prowadzi do obliczenia dopuszczalnej wartości siły P. max (σ max ; σ min ) σ dop = = 7, cm P 15 MPa = kn kn = 1,5 = 10 4 cm cm = P 74,3 kn = P dop = 74,3 kn Jak łatwo zauważyć zastosowanie ogólniejszego wzoru (obowiązującego w układzie współrzędnych nie będących głównymi) nie wymaga wyznaczania współrzędnych punktu w obróconym układzie współrzędnych oraz obliczania charakterystyk przekroju w osiach głównych. Tak więc zastosowanie sposobu B w rozpatrywanym przypadku jest bardziej racjonalne ze względu na nakład obliczeń. 14

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

9. Mimośrodowe działanie siły

9. Mimośrodowe działanie siły 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 1 9. 9. Mimośrodowe działanie siły 9.1 Podstawowe wiadomości Mimośrodowe działanie siły polega na jednoczesnym działaniu w przekroju pręta siły normalnej oraz dwóc momentów zginającyc.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć: adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,

Bardziej szczegółowo

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie

Bardziej szczegółowo

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr

Bardziej szczegółowo

Zadanie : Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty bezwładności Strona :1

Zadanie : Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty bezwładności Strona :1 Zadanie : Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty bezwładności * Rozwiązanie zadania * Oznaczenia : A [cm²] - pole powierzchni figury Xo [cm] - współrzędna

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn

Mechanika i Budowa Maszyn Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Bardziej szczegółowo

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu rysunek jest w skali True 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych bez pisania funkcji Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu domniemany globalny układ współrzędnych ze zwrotem osi jak na rysunku (nawet jeśli

Bardziej szczegółowo

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU PROGRAM PROP3 (06.91) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do wyznaczania charakterystyki geometryczno-wytrzymałościowej przekroju złożonego z kształtowników walcowanych oraz elementów o

Bardziej szczegółowo

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych

Bardziej szczegółowo

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami

Bardziej szczegółowo

1. Połączenia spawane

1. Połączenia spawane 1. Połączenia spawane Przykład 1a. Sprawdzić nośność spawanego połączenia pachwinowego zakładając osiową pracę spoiny. Rysunek 1. Przykład zakładkowego połączenia pachwinowego Dane: geometria połączenia

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH ZGINNIE PŁSKIE EEK PROSTYCH WYKRESY SIŁ POPRZECZNYCH I OENTÓW ZGINJĄCYCH Zginanie płaskie: wszystkie siły zewnętrzne czynne (obciążenia) i bierne (reakcje) leżą w jednej wspólnej płaszczyźnie przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano) 23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],

Bardziej szczegółowo

700 [kg/m 3 ] * 0,012 [m] = 8,4. Suma (g): 0,138 Ze względu na ciężar wykończenia obciążenie stałe powiększono o 1%:

700 [kg/m 3 ] * 0,012 [m] = 8,4. Suma (g): 0,138 Ze względu na ciężar wykończenia obciążenie stałe powiększono o 1%: Producent: Ryterna modul Typ: Moduł kontenerowy PB1 (długość: 6058 mm, szerokość: 2438 mm, wysokość: 2800 mm) Autor opracowania: inż. Radosław Noga (na podstawie opracowań producenta) 1. Stan graniczny

Bardziej szczegółowo

5.1. Kratownice płaskie

5.1. Kratownice płaskie .. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE

KONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WBiIŚ KATEDRA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAJĘCIA 5 KONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE Mgr inż. Julita Krassowska 1 CHARAKTERYSTYKI MATERIAŁOWE drewno lite sosnowe klasy C35: - f m,k =

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.

Bardziej szczegółowo

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE WIADOMOŚCI OGÓLNE O zginaniu mówimy wówczas, gdy prosta początkowo oś pręta ulega pod wpływem obciążenia zakrzywieniu, przy czym włókna pręta od strony wypukłej ulegają wydłużeniu, a od strony wklęsłej

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 1 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 Z1/7.1 Zadanie 3 Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/7.1. Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

NOŚNOŚĆ GRANICZNA

NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie Wytrzymałość Materiałów II 2016 1 Przykładowe tematy egzaminacyjne kursu Wytrzymałość Materiałów II Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie 1. Dany jest pręt obciążony mimośrodowo siłą P. Oblicz naprężenia

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram. Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram

ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram. Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram Wykresy N i Q Wykres sił dodatnich może być narysowany zarówno po górnej jak i dolnej stronie

Bardziej szczegółowo

Moduł. Profile stalowe

Moduł. Profile stalowe Moduł Profile stalowe 400-1 Spis treści 400. PROFILE STALOWE...3 400.1. WIADOMOŚCI OGÓLNE...3 400.1.1. Opis programu...3 400.1.2. Zakres programu...3 400.1. 3. Opis podstawowych funkcji programu...4 400.2.

Bardziej szczegółowo

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności Informacje ogólne Założenia dotyczące stanu granicznego nośności przekroju obciążonego momentem zginającym i siłą podłużną, przyjęte w PN-EN 1992-1-1, pozwalają na ujednolicenie procedur obliczeniowych,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

POŁĄCZENIA ŚRUBOWE I SPAWANE Dane wstępne: Stal S235: f y := 215MPa, f u := 360MPa, E:= 210GPa, G:=

POŁĄCZENIA ŚRUBOWE I SPAWANE Dane wstępne: Stal S235: f y := 215MPa, f u := 360MPa, E:= 210GPa, G:= POŁĄCZENIA ŚRUBOWE I SPAWANE Dane wstępne: Stal S235: f y : 25MPa, f u : 360MPa, E: 20GPa, G: 8GPa Współczynniki częściowe: γ M0 :.0, :.25 A. POŁĄCZENIE ŻEBRA Z PODCIĄGIEM - DOCZOŁOWE POŁĄCZENIE KATEGORII

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN-1995

Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN-1995 Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN-1995 Jerzy Bobiński Gdańsk, wersja 0.32 (2014)

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną

Bardziej szczegółowo

1 Geometria analityczna

1 Geometria analityczna 1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,

Bardziej szczegółowo

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody

Bardziej szczegółowo

Wyboczenie ściskanego pręta

Wyboczenie ściskanego pręta Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia

Bardziej szczegółowo

Belka - podciąg EN :2006

Belka - podciąg EN :2006 Biuro Inwestor Nazwa projektu Projektował Sprawdził BeamGirder v. 0.9.9.22 Belka - podciąg EN 1991-1-8:2006 Wytężenie: 0.76 Dane Podciąg IPE360 h p b fp t fp t wp R p 360.00[mm] 170.00[mm] 12.70[mm] 8.00[mm]

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną

Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną Analizując równowagę układu w stanie granicznym wyznaczyć obciąŝenie graniczne dla zadanych wartości

Bardziej szczegółowo

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w

Bardziej szczegółowo

Charakterystyki geometryczne figur płaskich. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji

Charakterystyki geometryczne figur płaskich. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji Charakterstki geometrczne figur płaskich dr hab. inż. Tadeusz Chż Katedra Mechaniki Konstrukcji Wielkości geometrczne charakterzujące przekrój pod względem wtrzmałościowm to: pole przekroju (A), (ang.

Bardziej szczegółowo

Dane. Biuro Inwestor Nazwa projektu Projektował Sprawdził. Pręt - blacha węzłowa. Wytężenie: TrussBar v

Dane. Biuro Inwestor Nazwa projektu Projektował Sprawdził. Pręt - blacha węzłowa. Wytężenie: TrussBar v Biuro Inwestor Nazwa projektu Projektował Sprawdził TrussBar v. 0.9.9.22 Pręt - blacha węzłowa PN-90/B-03200 Wytężenie: 2.61 Dane Pręt L120x80x12 h b f t f t w R 120.00[mm] 80.00[mm] 12.00[mm] 12.00[mm]

Bardziej szczegółowo

10.1 Płyta wspornikowa schodów górnych wspornikowych w płaszczyźnie prostopadłej.

10.1 Płyta wspornikowa schodów górnych wspornikowych w płaszczyźnie prostopadłej. 10.1 Płyta wspornikowa schodów górnych wspornikowych w płaszczyźnie prostopadłej. OBCIĄŻENIA: 6,00 6,00 4,11 4,11 1 OBCIĄŻENIA: ([kn],[knm],[kn/m]) Pręt: Rodzaj: Kąt: P1(Tg): P2(Td): a[m]: b[m]: Grupa:

Bardziej szczegółowo

Rysunek Łuk trójprzegubowy, kołowy, obciążony ciężarem własnym na prawym odcinku łuku..

Rysunek Łuk trójprzegubowy, kołowy, obciążony ciężarem własnym na prawym odcinku łuku.. rzykład 10.. Łuk obciążony ciężarem przęsła. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, którego oś ma kształt części półokręgu. Łuk obciążony jest ciężarem własnym. Zakładamy, że prawe przęsło łuku jest nieporównanie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

1. Projekt techniczny Podciągu

1. Projekt techniczny Podciągu 1. Projekt techniczny Podciągu Podciąg jako belka teowa stanowi bezpośrednie podparcie dla żeber. Jest to główny element stropu najczęściej ślinie bądź średnio obciążony ciężarem własnym oraz reakcjami

Bardziej szczegółowo

1. Projekt techniczny żebra

1. Projekt techniczny żebra 1. Projekt techniczny żebra Żebro stropowe jako belka teowa stanowi bezpośrednie podparcie dla płyty. Jest to element słabo bądź średnio obciążony siłą równomiernie obciążoną składającą się z obciążenia

Bardziej szczegółowo

Redukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci

Redukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci Redukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci Twierdzenie o redukcji: Każdy układ wektorów równoważny jest układowi złożonemu ze sumy o początku w dowolnym punkcie

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

9.0. Wspornik podtrzymujący schody górne płytowe

9.0. Wspornik podtrzymujący schody górne płytowe 9.0. Wspornik podtrzymujący schody górne płytowe OBCIĄŻENIA: 55,00 55,00 OBCIĄŻENIA: ([kn],[knm],[kn/m]) Pręt: Rodzaj: Kąt: P(Tg): P2(Td): a[m]: b[m]: Grupa: A "" Zmienne γf=,0 Liniowe 0,0 55,00 55,00

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli

Bardziej szczegółowo

4. Czyste zginanie. 4.1 Podstawowe definicje M P. Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu.

4. Czyste zginanie. 4.1 Podstawowe definicje M P. Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu. 4. CZYSTE ZGINNIE 1 4. 4. Czyste zginanie 4.1 odstawowe definicje Momentem M siły względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r oraz wektora siły. M= r. (4.1) Wektor r jest promieniem

Bardziej szczegółowo

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI Katedra Mechaniki Konstrukcji Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Politechniki Białostockiej... (imię i nazwisko)... (grupa, semestr, rok akademicki) ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR Z MECHANIKI BUDOWLI

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 6 Kratownice

ĆWICZENIE 6 Kratownice ĆWICZENIE 6 Kratownice definicja konstrukcja składająca się z prętów prostych połączonych przegubowo w węzłach, dla której jedynymi obciążeniami są siły skupione przyłożone w węzłach. Umowa: jeśli konstrukcja

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1 10. 10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 10.1. Zastosowanie funkcji Airy'ego =0 (10.1) Zakładamy, że istnieje funkcja F(x,y) spełniająca następujące

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU PROGRAM ZESP1 (12.91) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do analizy wytrzymałościowej belek stalowych współpracujących z płytą żelbetową. PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU Program służy do

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA

OBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA POLECHNA POZNAŃSA WYDZAŁ BUDOWNCWA NŻYNER ŚRODOWSA NSYU ONSRUCJ BUDOWLANYCH ZAŁAD ECHAN BUDOWL OBLCZANE RA EODĄ PRZEESZCZEŃ WERSJA OPUEROWA Ćwiczenie projektowe nr z echani budowli Wykonał: aciej BYCZYŃS

Bardziej szczegółowo

1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25.

1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25. 1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25. A Najłatwiejszym sposobem jest rozpatrzenie wszystkich odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE Część 2 8. MECHNIK ELEMENTÓW PRĘTOWYCH WIDOMOŚCI WSTĘPNE 1 8. WIDOMOŚCI WSTĘPNE 8.1. KLSYFIKCJ ZSDNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI Podstawą klasyfikacji zasadniczych elementów konstrukcji jest kształt geometryczny

Bardziej szczegółowo

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Definicja 1 Jednomianem stopnia drugiego nazywamy funkcję postaci: i a 0. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Widok ogólny podział na elementy skończone

Widok ogólny podział na elementy skończone MODEL OBLICZENIOWY KŁADKI Widok ogólny podział na elementy skończone Widok ogólny podział na elementy skończone 1 FAZA I odkształcenia od ciężaru własnego konstrukcji stalowej (odkształcenia powiększone

Bardziej szczegółowo

7.0. Fundament pod słupami od stropu nad piwnicą. Rzut fundamentu. Wymiary:

7.0. Fundament pod słupami od stropu nad piwnicą. Rzut fundamentu. Wymiary: 7.0. Fundament pod słupami od stropu nad piwnicą. Rzut fundamentu Wymiary: B=1,2m L=4,42m H=0,4m Stan graniczny I Stan graniczny II Obciążenie fundamentu odporem gruntu OBCIĄŻENIA: 221,02 221,02 221,02

Bardziej szczegółowo

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Raport wymiarowania stali do programu Rama3D/2D:

Raport wymiarowania stali do programu Rama3D/2D: 2. Element poprzeczny podestu: RK 60x40x3 Rozpiętość leff=1,0m Belka wolnopodparta 1- Obciążenie ciągłe g=3,5kn/mb; 2- Ciężar własny Numer strony: 2 Typ obciążenia: Suma grup: Ciężar własny, Stałe Rodzaj

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA OGÓLNA wykład 4

MECHANIKA OGÓLNA wykład 4 MECHNIK OGÓLN wykład 4 D R I N Ż. G T M R Y N I K Obliczanie sił wewnętrznych w układach prętowych. K R T O W N I C E KRTOWNIC UKŁD PRĘTÓW PROSTOLINIOWYCH Przegubowe połączenia w węzłach Obciążenie węzłowe

Bardziej szczegółowo

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn. Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości

Mechanika i Budowa Maszyn. Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do laboratorium Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości Środek ciężkości Moment bezwładności Wskaźnik wytrzymałości na zginanie Naprężenia

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej 1. Wstęp Pojemność kondensatora można obliczyć w prosty sposób znając wartości zgromadzonego na nim ładunku i napięcia między okładkami: Q

Bardziej szczegółowo

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych. metodą sił

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych. metodą sił Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład echaniki Budowli Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Rama Dla układu pokazanego poniŝej naleŝy: - Oblicz i wykonać

Bardziej szczegółowo