Dodatkowe zagadnienia (dla zainteresowanych)

Transkrypt

1 Dodatowe zagadnienia (dla zainteesowanych)

2 Elementy ystalogafii

3 Kyształy Kyształ- obiet wieloatomowy mający symetię tanslacyjną. Symetia tanslacyjna polega na tym że istnieją taie wetoy a, a, a3 zwane wetoami podstawowymi sieci ( długości tych wetoów to stałe sieci) iż własności yształu w danym puncie opisanym wetoem wodzącym i puncie oeślonym wetoem + na + na + n3a3 (n, n, n 3 liczby całowite) są taie same. Kyształ można zbudować umieszczając w ażdym węźle sieci ystalicznej czyli w puntach w pzestzeni, tóych położenie oeślają wetoy (tanslacji) sieci postej = n pojedyncze jednaowe atomy (stutua ystalogaficzna a + na + n3a3 posta) lub też umieszczając gupę nieoniecznie jednaowych atomów z tóych jeden znajduje się w węźle sieci postej, zaś położenie pozostałych oeślają wetoy bazy ρ i oeślające położenie tych atomów względem węzłów sieci postej (stutua ystalogaficzna z bazą ). W pzestzeni tójwymiaowej wyóżniamy 4 typów sieci postych (sieci Bavais) T

4 Wybane stutuy ystalogaficzne poste ) Stutua opata na sieci sześciennej postej (sc) atomy ustawione w naożach sześcianu ) Stutua opata na sieci sześciennej pzestzennie centowanej (bcc)- dodatowy atom znajduje się w śodu sześcianu (lit,chom, molibden) 3) Stutua opata na sieci sześciennej powiezchniowo centowanej (fcc)- dodatowe atomy znajdują się na śodu ażdej ze ścian sześcianu (np. Ag, Al, Au, Cu) 4) Stutua opata na sieci hesagonalnej atomy znajdują się w wiezchołach i śodu podstawy c ganiastosłupa o podstawie w ształcie sześcioąta foemnego a Stutua 3) jest pzyładem stutuy gęstego upaowania (atomy zajmują najmniejszą objętość w pzestzeni)

5 Wybane stutuy ystalogaficzne złożone -sieci z bazą a) Stutua soli uchennej złożenie dwóch sieci fcc o awędzi sześcianu ównej a pzesuniętych względem siebie o weto a a a ρ =,,, wypełnionych pzez óżne atomy (np. Na i Cl w pzypadu yształu soli uchennej NaCl), można też powiedziećże weto a a a ρ =,, wsazuje położenie dodatowych atomów bazy w pojedynczej sieci fcc względem położenia węzłów sieci. W stutuze tej ystalizuje np. taże LiF, KCl, AgCl. b) Stutua blendy cynowej złożenie dwóch sieci fcc o pzesuniętych względem siebie o weto a a ρ =,, 4 4 wypełnionych pzez óżne atomy. W stutuze tej ystalizuje np. GaAs, CdTe,ZnS. c) Stutua diamentu złożenie dwóch sieci fcc pzesuniętych względem siebie o weto a a a ρ =,, wypełnionych pzez te same atomy W cieci tej ystalizuje np. węgiel w postaci diamentu, zem, geman. a 4

6 d) Stutua chlou cezu złożenie dwóch sieci sc o pzesuniętych względem siebie o weto a a a ρ =,, wypełnionych pzez óżne atomy. W stutuze tej ystalizuje szeeg mateiałów taich ja np. CsCl, CsB. e) Stutua hexagonalna gęsto upaowana złożenie dwóch sieci hexagonalnych pzesuniętych względem siebie W stutuze tej ystalizuje szeeg mateiałów taich ja np. Be,Cd, Mn.

7 Komóa posta i elementana Komóa elementana to część yształu, z tóej popzez jej pzemieszczanie (tanslacje) o wetoy T = na + na + n3a3 można utwozyć cały yształ. Na jedną omóę elementaną pzypada jeden węzeł sieci ystalogaficznej. Pzyłady wybou omói elementanej a) omóa posta, tóej 3 awędzie są oeślone pzez wetoy podstawowe (bazowe) sieci a, a, a3 zaś pozostałe awędzie są do nich ównoległe. b) omóa Wignea-Seitza - jej ściany utwozone są pzez płaszczyzny postopadłe do wetoów łączących dany węzeł sieci z jego najbliższymi sąsiadami, pzy czym płaszczyzny te leżą w połowie odległości między węzłami

8 Pzyład wybou wetoów podstawowych sieci dla sieci bcc Pzyład wybou wetoów podstawowych sieci oaz omói elementanej będącej omóą postą dla sieci fcc Komói w ształcie sześcianu nie są omóami elementanymi, gdyż na ażdą z nich pzypada więcej niż jeden węzeł, często oeślamy je mianem omóe umownych Komóa Wignea-Seitza dla sieci bcc

9 Sieć odwotna Sieć odwotna utwozona z węzłów, tóych położenie względem ustalonego puntu w pzestzeni odwotnej oeślają wetoy spełniające wauni G T G = πp p liczba całowita, T -dowolny weto sieci postej Dowolny weto sieci odwotnej można pzedstawić w postaci G = m g + mg + m3g3 gdzie wetoy podstawowe sieci odwotnej spełniają elację a i g j = πδ ij gdzie a i -wetoy podstawowe sieci postej Można je wybać w postaci a a 3 g = π a3 a a a g = π a( a a3 ) g3 = π a a a a a a ( ) 3 g j ( ) Siecią odwotną do sieci fcc jest sieć bcc, zaś sieci bcc sieć fcc o awędzi sześcianu ównej (a-długość awędzi sześcianu w sieci postej) 4π / a m,m,m 3 liczby całowite Siecią odwotną do sieci sc jest sieć sc o awędzi sześcianu ównej π / 3 a

10 Fonony

11 Dgania temiczne atomów Fale opisującą dgania atomów o częstości ołowej i amplitudzie A i ozchodzące się w ysztale można opisać wzoem, tóego część zeczywista lub uojona może opisywać wychylenie z położenia ównowagi atomów znajdujących się w położeniu R n R q ( R ) = A e exp( i( q R ωt ) n i i e n -weto falowy, -weso oeślający ieune dgań i Sładowe wetoa falowego są wielościami o quasi-ciągłym zbioze watości, jednaże liczba dozwolonych wetoów falowych opisujących możliwe odzaje fal jest ówna liczbie omóe elementanych w ysztale ( q pzy oganiczeniu wetoa do piewszej stefy Billouina=omói Wignea- Seitza dla sieci odwotnej). W ysztale o s atomach w omóce elementanej dgania o oeślonym wetoze falowym można pzedstawić ponadto jao złożenie 3s modów dgań zachodzących w tzech postopadłych ieunach: s modów ównoległych do ieunu ozchodzenia się fali (dgania podłużne) i s modów o dganiach zachodzących w ieunach postopadłych do ieunu ozchodzenia się fali (dgania popzeczne). Można dowolne dganie w ysztale opisać więc jao złożenie tzw. 3N dgań nomalnych schaateyzowanych m.in. pzez częstość ołową i weto falowy (N-liczba atomów w ysztale). ω

12 Analizując zależność częstości ołowej dgań od wetoa falowego można oganiczyć się do wetoów q leżących w zaesie tzw. piewszej stefy Billouina (omói Wignea-Seitza w sieci odwotnej). Dla yształu jednowymiaowego jednoatomowego o stałej sieci a możemy pzyjąć iż π π < q < a a Oganiczenie zaesu zmian weto falowego Dla taiego yształu fala opisująca dgania może być opisana wzoem ( x = na, q) = A exp( i( qna t) ) x n ω π Zamiana wetoa falowego q q + nie zmienia postaci fali opisującej a dgania π x xn = na, q + = Aexp ω a ( i( qna ωt + πn) ) = Aexp( i( qna t) ) co uzasadnia możliwość oganiczenia zaesu zmian q do pzedziału π π < q < a a q

13 Dla opisu dgań istotne jest wyznaczenie zależności częstości ołowej dgań od wetoa falowego ω(q ). W pzypadu analizy zależności ω(q ) dla yształu zawieającego s atomów w omóce elementanej wyóżniamy 3 gałęzie austyczne (jedną gałąź w pzypadu yształu jednowymiaowego) dla tóych limω( q) = 0 oaz 3s-3 gałęzie q 0 optyczne (s- w pzypadu yształu jednowymiaowego) dla tóych limω( q) 0 q 0 chaateyzujące się słabą zależnością od wetoa falowego. W yształach bez bazy zawieających atom w omóce elementanej nie ma gałęzi optycznych. W pzypadu dgań z gałęzi austycznej dla q 0 sąsiednie atomy dgają w fazie, zaś dla dgań z gałęzi optycznej w pzeciwfazie i może im towazyszyć powstanie zmiennego w czasie dipolowego momentu eletycznego, pzez co mogą oddziaływać z pomieniowaniem eletomagnetycznym. ω Dgania austyczne i optyczne Zależność częstości dgań od wetoa falowego w pzypadu yształu jednowymiaowego zawieającego dwa atomy w omóce elementanej gałąź optyczna dgania austyczne gałąź austyczna dgania optyczne q

14 Fonony-wanty enegii dgań sieci Enegie związaną z dganiami atomów w ysztale można zapisać jao sumę enegii tzw. dgań nomalnych epezentujących oletywne dgania wszystich atomów w ysztale opisywanych pzez omawiane popzednio fale. Do oeślenia enegii dgania nomalnego wyozystujemy wzó na enegie dgań wantowego oscylatoa hamonicznego U = i n, q hω ( q) n q, i + gdzie q i oeśla stopień wzbudzenia danego dgania, ówny ilości quasi-cząste zwanych fononami, będących bezspinowymi bozonami o enegii E fon =hω i quasi-pędzie p fon = hq Sumowanie po i dotyczy sumowania po óżnych modach dgań opisanych pzez ten sam weto falowy q Funcja gęstości stanów dla fononów Dla fononów można wpowadzić funcję gęstości stanów D(ω) oeślającą ilość dgań nomalnych o częstości ołowej z zaesu ω, ω + dω w ysztale ( )

15 W najpostszym pzybliżeniu załadając iż zachodzi zależność ω = V q (V- pędość ozchodzenia się fal opisujących dgania atomów) obowiązująca w zeczywistości dla fononów austycznych dla małych q funcja gęstości stanów wyaża się dla ω<ω max wzoem D 3ω ( ω ) = V V ob -objętość yształu ob π V 3 N-liczba atomów ωmax w ysztale pzy czym ωmax wyznaczamy z waunu D( ω) dω = 3N co powadzi do wniosu iż Ponieważ fonony można tatować jao bozony o potencjale chemicznym µ=0 to śednią enegię związaną z dganiami atomów możemy wyznaczyć z ównania (pomijamy enegie dgań zeowych) ωmax gdzie N( ω) = hω - wzó wyniający z ozładu exp B T 3 3 max 6π NV / Vob ω = Wyznaczenie śedniej enegii temicznej dgań i ciepła molowego Bosego-Einsteina oeślający śednią liczbę fononów w tempeatuze T w onetnym stanie o enegii, B -stała Boltzmanna hω 0 U = 0 hωd ( ω) N( ω) dω

16 ω max 3ω U = hω V 3 0b dω π V 0 hω exp BT BT hω hω exp BT ωmax 3 3BTVob BTVob 3 BTVob 6π NV U = d 3NBT 3 3 max 3 V ω ω = ω = = π π V π V V W ganicy wysoich tempeatu można pzyjąć iż i wówczas można poazać iż 0 A zatem zgodnie z zasadą ewipatycji enegii ciepło molowe ( pojemność cieplna du C mola) pzy stałej objętości v = dt jest niezależne od tempeatuy i ówne ob C = 3 v B N A N A -liczba Avogado W nisich tempeatuach T << θ można pzy liczeniu U zastąpić pzez i wówczas można poazać iż 3 4 T hω Cv = π BN A gdzie θ = max tempeatua Debye a 5 θ B ω max

17 Dodate-Wyznaczenie funcji gęstości stanów dla fononów austycznych pzy założeniu liniowej elacji dyspesji ω = Vq Po zóżniczowaniu obustonnym powyższej zależności otzymujemy elację: d ω = Vdq Liczba dgań nomalnych o enegiach o częstościach z zaesu jest popocjonalna do objętości cieniej wastwy ulistej w pzestzeni ω wetoów falowych o pomieniu q = i gubości dq = dω V V Objętość tej wastwy jest ówna 4π ω 4πq dq = 3 V W celu obliczenia liczby dgań nomalnych tzeba podzielić tą objętość pzez objętość pzypadającą na jeden weto falowy w ozważanej 3 pzestzeni ówną ~ ( π ) V q = Vob i pomnożyć pzez 3 ze względu na to iż załadamy iż ażdemu wetoowi mogą odpowiadać 3 mody dgań 4π ω Vob 3ω D( ω ) = 3 = V Ostatecznie otzymujemy ob V 8π π V dω ( ω, ω + dω)

18 Eleton w ysztale

19 Funcja falowa eletonów w ysztale Wewnątz yształu eletony pouszają się w potencjale peiodycznym wytwozonym pzez jada atomowe i pozostałe eletony. Funcje falową eletonu w ysztale o efetywnym potencjale peiodycznym V ( ) = V ( + T ) można zapisać w postaci (funcja Blocha) ψ ( ) = exp( i ) u ( ) gdzie funcja ( ) jest funcją peiodyczną u u ( + T ) = u ( ) W pzypadu gdy założymy iż V ( ) = const to tzeba pzyjąć iż u ( ) = const Wówczas funcja (*) opisuje eleton swobodny. Sładowe wetoa falowego w funcji (*) w ogólności muszą być liczbami zeczywistymi co wynia z fatu iż wielości opisujące własności fizyczne eletonu taie w szczególności ja gęstość pawdopodobieństwa znalezienia eletonu ( ) () ρ = ψ muszą być opisane funcją peiodyczną o własności ρ ( + T ) = ρ ( ). Gdy jest zeczywisty to ρ ( ) = u ( ) (*)

20

21 ) Własności funcji Blocha. Oganiczenie zaesu zmian ( + T ) = exp( i T ) ψ ( ) ψ Dowód ( ( ) ψ ( + T) = exp i + T u( + T) = exp( i T)exp( i ) u( ) = exp( i T) ψ ( ) ) ψ ( + T ) = ( + T ) ψ + G ψ Dowód ( T ) exp( i T )exp( ig T ) ( ) exp( i T ) ( ) ( T ) + = ψ = ψ = ψ + + G Wniose: Własności tanslacyjne funcji falowej nie ulegają zmianie po zamianie + G, czyli weto oeślający funcję falową wyznaczamy z doładnością do wetoa sieci odwotnej. Pzy poszuiwaniu funcji falowych eletonu można oganiczyć się do wetoów falowych leżących w tzw. stefie Billouina. Stefę tę stanowi omóa Wignea Seitza w sieci odwotnej. W pzypadu yształu jednowymiaowego j o stałej sieci a zaes zmian oganiczamy do pzedziału π π, a a

22 Wauni Bona Kamana Sończone ozmiay yształu wpowadzają dodatowe oganiczenia na dozwolone watości wetoa falowego. Zwyle gdy nie inteesują nas własności yształu związane z jego powiezchnią pzyjmujemy tzw. wauni Bona-Kamana, załadając iż badany uład słada się z wielu identycznych yształów, pzy czym ażdy zajmuje wnętze sześcianu o awędzi o długości L. Wówczas na funcje falową naładamy wauni ( ) ψ ( x + L, y + L, z + L) = ψ x, y, z Z uwagi na to że ozmiay yształu są znacznie więsze od długości stałych sieci yształu to można dla uposzczenia pzyjąć iż u ( x + L, y + L, z + L) = u ( x, y, z) a wówczas musi zachodzić elacja exp( ixl)exp( i yl) exp( izl) = wpowadzająca oganiczenie na dozwolone watości x, y, z x π π π = nx; y = ny; z = n L L L z n x,n y, n z -liczby całowite Sładowe wetoa falowego pzyjmują dysetne watości ale w ganicy L óżnice dozwolonych watości tych sładowych dążą do zea. Natomiast liczba dozwolonych watości pozostaje stała (choć badzo duża). Można poazać iż liczba óżnych wetoów falowych w piewszej stefie Billouina jest ówna liczbie omóe elementanych w ysztale.

23 Eletonowa stutua pasmowa Wyznaczenie eletonowej stutuy pasmowej yształu polega na wyznaczeniu dozwolonych enegii eletonów pouszających się w ysztale ( pochodzących z wysoo leżących w sali enegii powło eletonowych atomów twozących yształ) popzez wyznaczenie watości własnych opeatoa Hamiltona opisującego pojedynczy eleton z pewnym efetywnym potencjałem peiodycznym Vef ( ) = Vef ( + T ) i funcją falową opisującą eleton pzyjętą w postaci funcji Blocha. ˆ Hψ ( ) = n E n ψ n ( ) p H ˆ = + ˆ m Danemu wetoowi odpowiada zwyle wiele dozwolonych poziomów enegetycznych numeowanych liczbą n, pzy czym zaes zmian oganiczamy do tzw. I stefy Billouina, w obębie tóej można znaleźć wszystie wetoy falowe niezbędne do opisu własności funcji falowej eletonu. Postać otzymanego ozwiązania sugeuje gupowanie się tych poziomów (otzymanych dla jednaowych i óżnych wetoów służących do opisu funcji falowej yształu) w pasma enegetyczne czyli zaesy enegii dozwolone dla eletonów ozdzielonych pzez pzewy enegetyczne wyznaczające zaes enegii niedozwolony dla eletonów. V ef

24 Stutua pasmowa asenu galu GaAs Punt Γ = [ 0,0,0] Punt Γ Punt X Punt X = [,0, 0] Punt LL = [,, ]

25 Pzewa posta Pzewa sośna GaAs,CdS,CdSe S,Ge W pzypadu pzewy postej istnieje możliwość pzenoszenia eletonów pomiędzy pasmami na dodze zwyczajnej absopcji lub emisji fotonów pomieniowania eletomagnetycznego. W innym pzypadu wymagany jest udział w pocesie dodatowych obietów ( np. fononów wantów dgań sieci), tóe są potzebne z celu spełnienia zasady zachowania pędu. Półpzewodnii z pzewa posta oddzielająca pasma obsadzone pzez eletony od nieobsadzonych w T=0K wyozystuje się w zastosowaniach optycznych np. do wytwozenia laseów

26 Mechanizm powstawania pasm enegetycznych model ciasnego wiązania U pzyczyn powstania pasm eletonowych leży ozszczepienie atomowych poziomów enegetycznych. W pzypadu cząsteczi złożonej z atomów ażdy poziom ulega ozszczepieniu na dwa poziomy. W pzypadu yształu złożonego z N atomów następuje N-otne ozszczepienie poziomu enegetycznego. Stany powstałe pzez ozszczepienie pojedynczego poziomu twozą pasmo złożone z N stanów. Można poazać iż szeoość pasma nie zależy od ilości atomów w ysztale, natomiast w zasadzie ośnie ze wzostem enegii stanu z tóego pasmo powstaje (najszesze pasma odpowiadają poziomom zajmowanym pzez eletony walencyjne). Często obsewuje się dodatowo naładanie ilu pasm utwozonych z sąsiednich poziomów enegetycznych, tóe twozą wspólne pasma eletonowe.

27 V ( x) Mechanizm powstawania pasm enegetycznych model V(x) Koniga-Penneya Potencjał opisujący yształ pzybliżamy pzez uład złożony z postoątnych studni i baie potencjału opisanych potencjałem 0 = V 0 dla dla a + n( a + b) < ( a + b) n < x < ( a + b) n x < ( a + b) n + b (w obszaze studni) (w obszaze baie) Funcja falowa opisująca eleton pouszający się w ysztale ma postać a) W obszaze studni -a<x<0 ψ =ψ x = Aexp ix + B gdzie me h b) W obszaze baiey 0<x<b ψ x = ψ x = C exp κx + D exp gdzie m( V0 E) κ = h c) W pozostałych obszaach może być oeślona w opaciu o wyniającą z ównania Blocha elację ψ ( x) =ψ ( x T ) exp( it ) T = a + b W szczególności w obszaze b<x<a+b ψ ( ) ( ) ( ) ( i x) x exp = ( ) ( ) ( ) ( κx) ( x) =ψ ( x) = ( i( a + b) )[ Aexp( i ( x a b) ) + B exp( i ( x a ))] 3 exp b Wiadomo ponadto iż u ( x) = exp( ix) ψ ( x) V 0 -a b a+b x

28 Z ciągłości funcji falowej i jej pochodnej na ganicy x=0 wyniają elację ( x = 0) = ( x = 0) A + B = C + D ψ dψ ( x = 0) dx ψ = dψ dx ( x = 0) i ( A B) = κ ( C D) Z ciągłości funcji falowej i jej pochodnej na ganicy x=b wyniają elację ψ ( x C exp dψ dx κ = b) = ψ ( x = b) ( κb) + D exp( κb) = exp( i( a + b) )[ Aexp( i a) + B exp( i a) ] ( x = b) = 3 dψ 3 dx ( x = b) ( C exp( κb) D exp( κb) ) = ( i )exp( i( a + b) )[ Aexp( i a) B exp( i a) ] Znaleziony uład ównań stanowi uład 4 ównań jednoodnych na współczynnii A,B,C,D. C κ A + B C D = 0 ( C D) 0 i ( A B) κ = exp( κb) + D exp( κb) exp( i( a + b) )[ Aexp( ia) + B exp( ia) ] = 0 ( C exp( κb) D exp( κb) ) ( i )exp( i( a + b) )[ Aexp( i a) B exp( i a) ] = 0

29 Ma on niezeowe ozwiązanie gdy znia wyznaczni utwozony z wyazów stojących pzy tych współczynniach Waune na znianie wyznacznia powadzi do ównania κ κ sinh ( κb) sin( a) + cosh( κb) cos( a) = cos( ( a + b) ) W celu łatwiejszej intepetacji ównania załadamy dalej iż wysoości baie dążą do niesończoności V0, a ich szeoości do zea b 0 ta że ich iloczyn pozostaje sończony. Doładniej załadamy iż κb 0 κ b pozostaje sończone. Wówczas cosh( κb) ; sinh( κb) κb a ównanie pzyjmuje postać cos ( ( a + b) ) cos( a) a sin P gdzie ( a) + cos = a P = κ ( ) ( a) cos( a) ab V0mab h = κ = m me h ( V E) h 0

30 f sin P f ( a) + cos = a ( a) cos( a) ( a) = ( a) cos( a) P=3 gdzie ( a) sin ( ) = P + cos a ( a) f a = me h Dla zeczywistego pawa stona powyższego ównania może pzyjmować watości z zaesu (-,), co nazucona waune na dozwolone watości a, a zatem i enegie eletonu, tóa może pzyjmować watości z oeślonych pzedziałów. Szeoość dozwolonych pasm enegetycznych ośnie ze wzostem enegii.

31 Podstawowe cechy stutuy pasmowej W pzybliżeniu gdy zmiany potencjału efetywnego nie są zbyt duże w obębie yształu to zależność E od jest opisana funcją wadatową podobnie ja w pzypadu eletonów swobodnych za wyjątiem wetoów leżących bliso ganicy stefy Billouina, ± G / dla tóych powstaje pzewa enegetyczna na sute onstutywnej intefeencji fal eletonowych o wetoach falowych óżniących się o weto G π Dla yształu jednowymiaowego G = m (m-liczba całowita) a A zatem pzewa enegetyczna powstająca dla wetoa falowego z π ganicy stefy Billouina występuje dla = ± a Dla wetoów leżących daleo od ganicy stefy Billouina zależność E() ma często podobny chaate ja dla eletonu swobodnego

32 G G π < < < a π a Jeżeli chcemy oganiczyć zaes zmian wetoa falowego do stefy Billouina to stutua pasmowa yształu jednowymiaowego w tym pzybliżeniu będzie miała postać

33 G/ 0 G / Masa efetywna Zależność enegii od wetoa falowego woół puntów =0 można opisać dla danego pasma pzybliżonym wzoem E E = E( = 0) + ( = 0) + E E( = 0) + * E h gdzie m = -masa efetywna Analogicznie można postąpić dla G puntów = ± po doonaniu zamiany G m E ( = 0) h m ( = 0) = E( = 0) + * = Analogicznie można postąpić ównież dla położonych woół innych puntów w tóych E() osiąga estemum Opeacje taą pzepowadza się ównież dla yształu tójwymiaowego, z tym że w taim pzypadu gdy zależność E od nie jest sfeycznie symetyczna to masa efetywna jest tensoem i może pzyjmować inne watości pzy ozpatywaniu zależności E od dla óżnych ieunów wetoa

34 W zasadzie można wpowadzić masę efetywną dla dowolnego wetoa falowego = 0 w I stefie Billouina w opaciu o wzó m * = h E = 0 W puntach w tóych ( ) osiąga masimum (w amach danego pasma eletonowego ) masa efetywna staję się ujemna. Zwyle dla ustalonego masa efetywna jest mniejsza w pasmach szeszych ( o więszym zaesie zmian enegii pzy zmianach ) niż w węższych E

35 Tanspot eletonowy w yształach Pzepływ pądu w ysztale jest możliwe po pzyłożeniu do niego pola eletycznego. Gdy pzepływ pądu jest związany z uchem eletonów to jest on możliwy wówczas gdy liczba cząste (np. eletonów) o dodatniej sładowej wetoa falowego w ieunu pzeciwnym do ieunu wetoa natężenia pola E jest wyższa niż eletonów o pzeciwnej sładowej wetoa falowego. Dlatego nie jest on możliwy gdy najwyżej zapełnione pasmo jest całowicie zapełnione eletonami, a enegia jaą może uzysać eleton na dodze pzyspieszenia w polu eletycznym w chwilach pomiędzy zdezeniami nie jest wystaczająca do tego żeby pzeszedł on do pasma o wyższej enegii Pzewodność właściwą yształu w tóym tanspot pądu jest związany z uchem eletonów można wyznaczyć ze wzou σ = n e µ n- oncentacja eletonów bioących udział w tanspocie V d eτ µ µ = = * -uchliwość nośniów tóą można wyznaczyć ze wzou E m V d zwana pędością dyfu oeśla śednią pędość nośnia w ieunu pzeciwnym do ieunu wetoa E jaą nabywa on między atami ozpaszania zachodzącymi na defetach sieci i dganiach sieci (fononach)śednio w odstępie czasu oeślonym pzez czas elasacji τ. Eleton pouszający się w sieci dosonale peiodycznej złożonej z nieuchomych atomów nie ulega ozposzeniu. Częstość ozpaszania na fononach ośnie ze wzostem tempeatuy co powadzi zwyle do spadu uchliwości ze wzostem tempeatuy. Ruchliwość ta zależy też silnie od masy efetywnej eletonów

36 Wpływ eletonowej stutuy pasmowej na własności eletyczne mateiałów. a)metale twozą je yształy w tóych pasmo enegetyczne o najwyższych enegiach jest częściowo zapełnione eletonami. Poziom Femiego metali znajduje się w obszaze najwyższego częściowo obsadzonego pasma dozwolonego i oddziela stany obsadzone od nieobsadzonych pzez eletony w stanie ównowagi. W tanspocie uczestniczą eletony znajdujące się w stanach blisich poziomowi Femiego, tóe na sute wzostu enegii w polu eletycznym mogą pzejść do stanów o enegiach nieco wyższych od enegii Femiego o właściwym ieunu wetoa falowego i uczestniczyć w tanspocie. Ich oncentacja nie zależy od tempeatuy Poziom Femiego

37 Wpływ stutuy pasmowej na własności eletyczne mateiałów. b) izolatoy twozą je yształy w tóych pasmo enegetyczne o najwyższej enegii jest całowicie zapełnione eletonami. Eletony z tego pasma nie uczestniczą w tanspocie eletonowym Kolejne pasmo enegetyczne jest położone w znacznej odległości (>5 ev) w sali enegii powyżej pasma zapełnionego ta iż w tempeatuach poojowych patycznie eleton nie może zysać odpowiednio wysoiej enegii by pzejść do tego pasma i w zasadzie wszystie stany w tym pasmie są nieobsadzone. Odległość pomiędzy pasmem zapełnionym i pustym oeśla się mianem pzewy enegetycznej. Dla typowego izolatoa jaim jest diament szeoość pzewy wynosi E g =7 ev. Izolatoy chaateyzują się badzo wysoą watością oponości właściwej. ρ = σ Ωm 0 Ωm

38 Wpływ stutuy pasmowej na własności eletyczne mateiałów. c) półpzewodnii twozą je yształy o stutuze pasmowej podobnej do stutuy izolatoów w tóych jednaże szeoość pzewy enegetycznej (odległość między pasmem walencyjnym i pzewodnictwa w tempeatuze T=0K) jest nieduża E g 4 ev. Opó właściwy półpzewodniów waha się zwyle w zaesie 8 9 ρ 0 Ωm 0 Ωm (dla metali jest zwyle zędu ρ 0 Ωm ) Poziom Femiego leży w pzewie enegetycznej (w pzybliżeniu w jednaowej odległości od obu pasm). W tempeatuach odpowiednio wysoich (w tym w szczególności w tempeatuze poojowej) znaczna część eletonów może na sute wzbudzeń temicznych zysać na tyle wysoą enegię by pzejść do nieobsadzonego w T=0K pasma o wyższej enegii (pasma pzewodnictwa) z obsadzonego pasma walencyjnego. Eletony te (z pobliża dna pasma pzewodnictwa) mogą uczestniczyć w pzewodzeniu pądu eletycznego. Również eletony z pobliża wiezchoła pasma walencyjnego mogą uczestniczyć w tanspocie pądu. Opis tanspotu eletonowego w paśmie walencyjnym znacznie ułatwia wpowadzenie pojęcia dziu.

39 Dziuy Dziua-puste miejsce po eletonie w paśmie walencyjnym Tanspot eletonowy w paśmie pawie całowicie zapełnionym można opisać pościej pzyjmując iż jest ealizowany pzez dziuy Można poazać iż wielości, tóe należy pzypisać dziuze można powiązać z własnościami eletonu, tóy zajmował by stan nieobsadzony * * W szczególności h = e mh = m e Masy dziu są dodatnie gdyż masy eletonów w stanach leżących bliso wiezchoła pasma są ujemne. Dziuy zachowują się ja cząsti obdazone dodatnim ładuniem eletycznym ównym co modułu ładunowi eletonu. Pouszają się one w pzeciwnym ieunu niż eletony z dna pasma pzewodnictwa. Wzó pzewodność właściwą półpzewodnia z dziuami należy zmodyfiować w ten sposób by uwzględnić ich wład do pądu eletycznego σ = n e µ + p e µ e n -oncentacja eletonów w paśmie pzewodnictwa p -oncentacja dziu w paśmie walencyjnym -uchliwość eletonów -uchliwość dziu µ e µ p h

40 Zależność oncentacji eletonów i dziu w półpzewodniu samoistnym od tempeatuy n = p = BT πh 3/ E ( * * m m ) 3/ 4 g e h exp BT E g = E E - szeoość pzewy enegetycznej c V T- tempeatua m e (m h ) masy efetywne eletonów i dziu B -stała Boltzmanna Liczba eletonów w paśmie pzewodnictwa i dziu w paśmie walencyjnym maleje wyładniczo ze wzostem szeoości pzewy enegetycznej i ośnie wyładniczo ze wzostem tempeatuy. Zależność od tempeatuy ilości nośniów w półpzewodniu jest silniejsza od zależności uchliwości eletonów i dziu od tempeatuy i decyduje o wyładniczym wzoście pzewodności półpzewodnia pzy wzoście tempeatuy

41 Pzewodnii domieszowe. Półpzewodni typu n powstaje po zastąpieniu w półpzewodniu pewnej liczby atomów maciezystych (np. zemu Si, gemanu Ge) pzez atomy domieszowe o watościowości wyższej o jeden (donoy) (np. fosfou P w Si, asenu As w Ge). Dodatowy eleton walencyjny nie bieze udział w wiązaniu z sąsiednimi atomami i jest badzo słabo związany z atomem. W teoii pasmowej oznacza to powstanie poziomu zloalizowanego donoowego w odległości E d poniżej dna pasma pzewodnictwa (dla P w Si E d =45meV). Eletony z poziomu donoowego mogą łatwo pzechodzić do pasma pzewodnictwa (w tempeatuach niższych niż te z pasma walencyjnego) i bać udział w tanspocie ładunu. Ich liczbę w odpowiednio nisich tempeatuach opisuje wzó (N d - oncentacja donoów) n d N D E d exp BT

42 Półpzewodni typu p powstaje po zastąpieniu w półpzewodniu pewnej liczby atomów maciezystych (np. zemu Si, gemanu Ge) pzez atomy domieszowe o watościowości mniejszej o jeden (aceptoy) (np. bo B w SI, ind In w Ge). Ba eletonu walencyjnego do utwozenia wiązania z innymi atomami powoduje możliwość łatwego pzyjęcia potzebnego eletonu z innego wiązania. W teoii pasmowej oznacza to powstanie pustego poziomu zloalizowanego aceptoowego w odległości E a powyżej wiezchoła pasma walencyjnego. (dla B w Si E a =45meV). Eletony z pasma walencyjnego mogą łatwo pzechodzić na poziom aceptoowy (w tempeatuach niższych niż do pasma pzewodnictwa) i pozostawiać w paśmie walencyjnym dziuy bioące udział w tanspocie ładunu. Ich liczbę w odpowiednio nisich tempeatuach opisuje wzó (N a - oncentacja aceptoów) p a N A E a exp BT