Rozkłady statystyczne w fizyce jądrowej

Transkrypt

1 UNIWERSYTET SZCZECIŃSKI INSTYTUT FIZYKI ZAKŁAD FIZYKI CIAŁA STAŁEGO Ćwczene laboratoryjne Rozłady statystyczne w fzyce jądrowej SZCZECIN 005

2 WSTĘP Różne neontrolowane zaburzena zewnętrzne (wahana temperatury, cśnena, natężena prądu td.) powodują, że wyn pomarów dowolnej marosopowej welośc są obarczone błędam losowym. A zatem wsute zewnętrznych zaburzeń oraz nedosonałośc urządzeń pomarowych lczbowe wartośc merzonej welośc będą nne przy powtórnych pomarach flutuują doooła netórej średnej wartośc, tóra sama jest weloścą losową. Flutuacj rejestrowanych welośc można opsać za pomocą cągłego rozładu. Zwyle to jest rozład Gaussa. Losowy rozrzut merzonych welośc, zwązany z zewnętrznym zaburzenam oraz z nedosonałoścą urządzeń pomarowych można zmnejszyć ulepszając metodyę pomaru oraz zmnejszając wpływ zewnętrznych zaburzeń. Przy tym średna wartość merzonej welośc staje sę blżej wartośc rzeczywstej, czyl wartośc neobarczonej błędam aparaturowym. Inna sytuacja ma mejsce w fzyce jądrowej, gdze flutuacj rejestrowanych welośc są zwązane ne tylo z zaburzenam z zewnątrz z nedosonałoścą urządzeń pomarowych. Jeżel na przyład merzymy lczbę rozpadów jąder promenotwórczych za jaś oreślony czas, to wsute losowego charateru rozpadu flutuuje sama wartość lczby rozpadów. W tym przypadu można w dobrym przyblżenu założyć, że urządzene pomarowe jest dealnym a wpływ zewnętrznych zaburzeń jest znomo mały. Flutuacje merzonej welośc fzycznej (lczby rozpadów) są teraz dysretne, a ne cągłe. Rozład tach rozpadów opsuje rozład Possona albo nawet rozład dwumanowy. W mrofzyce podejśce statystyczne odgrywa węszą rolę nż w marofzyce. Statystya stosuje sę tutaj ne tylo przy opracowanu danych pomarowych ale równeż przy badanu natury samego zjawsa mrosopowego. Na przyład przy badanu promen osmcznych za pomocą omory Wlsona było zaobserwowano, że rozład lczby rejestrowanych cząste ne porywa sę z rozładem Possona. Ta obserwacja stała puntem wyjścowym dla odryca badana strumen cząste osmcznych. Błędy, zwązane z metodą pomaru nazywamy systematycznym. Na przyład, detetory promenowana jonzującego oraz lczn mpulsów mają sończony ta zwany martwy czas τ. Jeżel w cągu tego czasu w rejestrujące urządzene wpadne lu cząste, to lczn polczy te cząst jao jedną cząstę. Tae błędy, chocaż powstają wsute chaotycznośc zjawsa rozpadu jąder, doprowadzają do błędów systematycznych, tóre zależą od prędośc lczena oraz parametrów uładu rejestracj mpulsów.

3 Celem nnejszego ćwczena jest - ) zapoznane sę z rozładam statystycznym, tóre są stosowane w fzyce jądrowej; ) zapoznane sę z podstawam testowana hpotez statystycznych; 3) wyonane pomarów rozładów rozpadów jąder promenotwórczych zastosowane statysty przy opracowanu otrzymanych danych. ROZKŁAD POISSONA Poneważ zjawso rozpadu jąder oraz trafene tej albo nnej cząst jonzującej w lczn są zderzenam losowym, lczn w cągu równych odstępów czasu będze rejestrował różną lczbę cząste. Prawdopodobeństwo p tego, że w cągu czasu t lczn zarejestruje cząste oreśla rozład Possona p (n t)! nt = e, () gdze n strumeń cząste, sens fzyczny tórego będze omówony nżej. Rozład () można nterpretować dwojao. Wyobraźmy sobe bardzo dużo całowce dentycznych urządzeń pomarowych. Nech w cąg czasu t lczn z perwszego urządzena pomarowego zarejestrował cząste, lczn z drugego urządzena pomarowego zarejestrował cząste td. Wtedy welośc,,... są rozłożone zgodne z rozładem (). Rozważmy teraz tylo jedno urządzene pomarowe nech,,... to są lczby zarejestrowanych cząste w bardo dużej lczbe równych mędzy sobą czasowych nterwałach t. Jeżel strumeń cząste pozostaje stałym, to welośc,,... są też rozłożone zgodne z rozładem Possona. Średną lczbę zarejestrowanych cząste oreśla wzór = 0 =. () p Po podstawenu () do () otrzymujemy nt = e (nt) = (nt) = n t ( )!. (3) Ze wzoru (3) wyna, że n ma sens średnej lczby cząste zarejestrowanych przez detetor plus lczn w cągu jednost czasu. Z uwzględnenem (3) wzór () możemy zapsać w postac 3

4 p ()! = e, (4) A zatem rozład Possona jest całowce oreślony tylo przez jeden parametr -. Ze wzoru (4) wyna, że p + p () () = +. A węc jeżel <<, to ze wzrostem funcja p maleje monotonczne. Jedna, jeżel >, to p na początu rośne osągając masma przy monotonczne., a potem zaczyna maleć Rys.. Zależność p od. Zależność p od dla różnych jest przedstawona na rys.. Wdać, że dla małych rozład Possona jest asymetryczny. Gdy wzrasta rozład p staje sę ostrzejszy boleje symetryczny względem =. Ze wzoru (4) wyna, że dla dowolnej wartośc jest możlwa rejestracja dowolnej lczby cząste. Jedna ne wszyste zdarzena spotyają sę jednaowo często. Jeśl welość jest zblżona do, to prawdopodobeństwo p jest węsze. Marą odchylena losowej welośc od jej średnej wartośc (marą flutuacj) jest warancja (dyspersja), tórą oreśla wzór D ( ) =. (5) 4

5 Perwaste wadratowy z warancj = D nazywamy odchylenem standardowym (lub odchylenem średnm lub bezwzględną flutuacją) losowej zmennej. Welość δ = / = D / nazywamy średnm odchylenem wadratowym (lub względną flutuacją). Dla rozładu Possona D =, (6) =, (7) δ =. (8) Wzory (6) (8) odgrywają ważną rolę we wszystch zastosowanach rozładu Possona. Z tych wzorów wyna, że jeżel będzemy rejestrować cząst w dużej lczbe równych czasowych nterwałów, to w najwęszej częśc nterwałów będze różnć sę od ne węcej nż na. Bezwzględna flutuacja (7) rośne ze wzrostem, jedna przy tym względna flutuacja (8) zmnejsza sę. Stąd można znaleźć lczbę średną cząste, tórą musmy zarejestrować aby osągnąć oreślony względny błąd δ =. (9) δ A zatem dla tego, żeby zmerzyć średną lczbę cząste ze statystycznym błędem 0% musmy zarejestrować 0 cząste. Dla tego, żeby statystyczny błąd był równy % musmy zarejestrować 0 4 cząste td. ZWIĄZEK ROZKŁADU POISSONA Z ROZKŁADEM GAUSSA Wyżej mówlśmy, że przy wzrośce rozład Possona staje sę boleje symetrycznym względne =. Jeżel jest spełnony warune >> (0) 5

6 (pratyczne ten warune jest spełnony gdy 0 ), to rozład Possona jest prawe symetryczny. Oprócz tego, różnca mędzy weloścam prawdopodobeństwa dla zblżonych oazuje sę bardzo małą. Na przyład, łatwo sprawdzć, że przy = 000 p p p = 0.0. () W tym przypadu ( >> ) zamast dysretnego rozładu prawdopodobeństwa p możemy stosować cągły rozład prawdopodobeństwa p (). Tu p () d jest prawdopodobeństwem tego, że lczba zarejestrowanych cząste znajduje sę w nesończene małym przedzale od do + d. Przy tym przedzał d może zawerać lu jednoste, ale on zawsze jest małym w porównanu ze średną weloścą. Można udowodnć, że w tym przypadu rozład prawdopodobeństwa Possona przechodz w rozład Gaussa p() = ep π ( ). () Korzystając ze wzoru () można znaleźć prawdopodobeństwo tego, że welość y = znajduje sę w zarese od y = y do y = y y y p (y = y y ) ep dy. (3) π y Wprowadzając nową zmenną y = z otrzymujemy y / z p(y y y ) = ep dz = Φ(y / ) Φ(y / ), (4) π y / gdze cała z Φ( ) = ep dz (5) π 0 6

7 nos nazwę cał prawdopodobeństwa. Wartośc cał prawdopodobeństwa są przedstawone prawe w ażdym poradnu matematycznym. Za pomocą tabel całe prawdopodobeństwa można znaleźć prawdopodobeństwo tego, że odchylene od średnego ne przewyższa po modułu wartośc bezwzględnego błędu p ( y ) = Φ() = (6) W podobny sposób znajdujemy, że p ( y ) = Φ() = 0.954, (7) p ( y 3 ) = Φ(3) = (8) Ze wzorów (6) (8) wyna, że gdy rejestrujemy wsazana lczna rozpadów jąder promenotwórczych w ser dużej lczby równych odstępów czasowych, to przy spełnenu warunu (0), w 68.% przypadów różnca lczby zarejestrowanych rozpadów od będze ne węsza nż ; w 95.4% ta różnca będze mnej nż a w 99.7% 3 td. Wyn pomaru lczby rozpadów przedstawają zawsze razem z bezwzględnym błędem (zawsze to jest ), tóry oreśla statystyczny błąd pomarowy. Rozład () jest szczególnym przypadem rozładu Gaussa ( ) = p () ep, (9) σ π σ tóry zależy od dwóch parametrów - σ. Często rozład Gaussa przedstawają jao funcję zmennej u = ( ) σ p(u) = u ep π. (0) Rozład (0) ma średną wartość u = 0, a odchylene standardowe - u = σ = u. 7

8 Rozład Gaussa dobrze opsuje welu statystycznych zjaws. W fzyce jądrowej rozład (9) opsuje, na przyład, rozład ątów sprężystego rozpraszana naładowanych cząste przechodzących przez substancję; rozład przebegów cężch naładowanych cząste w cele stałym; rozład pędów po ampltudom przy rejestracj naładowanych cząste za pomocą półprzewodnowych scyntylacyjnych detetorów td. Rozład Gaussa często stosuje sę też przy analze błędów pomarowych. Szeroe zastosowane rozładu Gaussa (rozładu normalnego) w teor opracowań danych dośwadczalnych jest zwązane z tym, że rozład welośc losowej, tóra słada sę z dużej lczby nezależnych od sebe losowych welośc z dowolną funcją rozładu (na przyład ( + + ) / n = ), jest funcją Gaussa. W teor prawdopodobeństwa to twerdzene + n nos nazwę centralnego twerdzena grancznego. ROZKŁAD Rozład (ch -wadrat) znajduje szeroe zastosowane przy testowanu prawdzwośc hpotez statystycznych, wylczanu przedzałów ufnośc dla parametrów statystycznych, testowanu statystycznej nezależnośc zmennych td. Nech - zbór m losowych welośc, ażda z tórych jest rozłożona,,, m zgodne z rozładem normalnym ze swoją wartoścą oczewaną (średną) σ. Wsute przypadowośc wartośc welośc ( ) u / oraz warancją = σ oraz ch suma ( ) m m = = = = σ u. () będą równeż weloścam losowym. Parametr = m w () nos nazwę lczby stopn swobody. Poneważ welośc u mają wartośc oczewane u = 0 warancj równe, rozład gęstośc prawdopodobeństwa losowej welośc mus zależeć tylo od jednego parametru, a manowce od lczby stopn swobody. Jeżel ne wszyste z m welośc losowych są nezależne, to lczba stopn swobody będze mnejsza od o lczbę dodatowych węz oreślających zwąz mędzy zależnym losowym zmennym. Gęstość rozładu prawdopodobeństwa ch-wadrat oreśla wzór 8

9 p( ) = / ( / )! ( / ) ( ) ep, 0 < < () Łatwo udowodnć, że = p( )d( ) =, (3) 0 D = ( ) p( )d( ) =. (4) 0 W zastosowanach ważną rolę odgrywa funcja ( ) < = P p( )d( ), (5) 0 wartośc tórej są przedstawone prawe we wszystch poradnach po matematyce statystyce. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH. TEST Celem welu esperymentów jest ustalene rozładu statystycznego merzonej losowej welośc fzycznej. Na przyład w fzyce jądrowej to może być rozład rozpraszana ątowego neutronów na jądrach oreślonego perwasta. Znalezene doładnego rozładu losowej welośc () ne jest możlwe, poneważ to wymaga przeprowadzena nesończonej lczby pomarów dla tego żeby wedzeć cały zbór możlwych próbe {,, }. A zatem dośwadczene ne udowadna słuszność hpotetycznego rozładu a tylo daje możlwość wywnosować, że proponowany hpotetyczny rozład ne jest sprzeczny z danym esperymentu. Zwyle przed przeprowadzenem dośwadczena, operając na dane teor albo poprzedne esperymenty, już możemy wysunąć jedną albo lu hpotez oreślających, że nteresujące nas zjawso rządzone jest przez dany rozład. Poneważ merzona losowa welość zawera błędy, to nawet, jeżel rozład tej welośc został wybrany prawdłowo, zawsze będą obserwowane odchylena dośwadczalnych danych od danych wylczonych za pomocą hpotetycznego rozładu. Powstaje pytane czy obserwowane odchylena dośwadczalnych danych od odpowednch welośc, wynających z wysunętego rozładu są przypadowe (losowe), czy te odchylena są systematyczne, co wsazuje na to że wybrany rozład jest błędny. 9

10 Kryterum zgody nos nazwę rytera weryfacj hpotezy o wnosowanym rozładze. Za pomocą odpowednego ryterum, orzystając z ta zwanego prawdopodobeństwa ufnośc, można upewnć sę czy zgadza sę hpotetyczny rozład z danym dośwadczalnym czy ne zgadza sę. Na pratyce często stosuje sę ryterum zgody. Rozważmy ten ryterum szczegółowo. Załóżmy, że musmy sprawdzć hpotezę dotyczącą rozładu p () welośc losowej X. Rozważmy dośwadczene w tórym wyonano ( n ) nezależnych pomarów X. Podzelmy cały zares zman X na m nterwałów polczmy lośc n obserwacj X znajdujących sę w ażdym tym nterwale. Poneważ załadamy, że rozład teoretyczny p () jest wadomy, możemy polczyć teoretyczne wartośc lczby obserwacj X w - tym nterwale - np, gdze p jest prawdopodobeństwo znalezena losowej welośc X w tym nterwale. Jeżel różnca mędzy n oraz np jest duża, musmy odrzucć wysunętą hpotezę. Kryterum daje właśne możlwość lczbowo wyrazć stopeń zgody mędzy teoretycznym rozładem dośwadczalnym danym. Kryterum opera sę na face, że gdy n, to rozład ażdej losowej welośc n jest rozładem Gaussa (centralne twerdzene granczne), a rozład welośc m n = ( n np ) = lm. (6) np jest rozładem o = (m - ) stopnach swobody. W pratyce jest wystarczającym aby wszyste n byłe węsze nż 5. Jeżel w n < 5, to zwęszają nterwały. Przy tym nterwały mogą ne być nawet równe sobe. Kryterum stosują w następujący sposób. Najperw lczymy welość = m = ( n np ) np. (7) Potem wyberając prawdopodobeństwo p ufnośc (albo pozom α = p stotnośc hpotezy) znajdujemy za pomocą tabel 3, przedstawonej na ońcu danej nstrucj, wartość α,. Tu jest lczbą stopn swobody, = m t a t lczba dodatowych węz nałożonych na losowe 0

11 zmenne. Jeżel dla oreślonego α otrzymujemy, że > α,, to stwerdzamy że teora ne jest zgodna z esperymentem. Natomast, jeżel < α,, to mówmy, że zaproponowany rozład zgadza sę z dośwadczenem. Z tabel możemy znaleźć równeż prawdopodobeństwo ufnośc p, przy tórym <. Rozważmy przyład zastosowana rytera. W próbe o lczebnośc n = 00 lośc n obserwacj welośc losowej X w m = 7 wybranych nterwałach wynoszą Tabela. Dośwadczalne n oraz teoretyczny np lośc obserwacj welośc losowej X Razem n m = np Chcemy sprawdzć hpotezę, że otrzymane welośc spełnają rozład Possona p() ()! = p = e. (8) Zgodne z (8) musmy najperw znaleźć 6 = 0 = 6 n = 0 n = = = 0.6. (9) Wtedy dla teoretycznych welośc m = np otrzymujemy wzór m (0.6)! 0.6 = np = 00 e. (30) Dane m są przedstawone w tabel. Poneważ oczewane welośc m = np dla > są małe, zgrupujemy ostatne cztery nterwały w jedyny nterwał. Wtedy zamast tabel będzemy mel tabel. Dla sprawdzana wysunętej hpotezy, zgodne z (7), musmy znaleźć ( n np ) (0.3) (.3) (.8) ( 0.8) = = = 0.3. (3) np =

12 Tabel. Dośwadczalne n oraz teoretyczny np lośc obserwacj welośc losowej X 0 3 n m = np Dla oszacowana stosowalśmy jeden warune (9). A zatem lczba stopn swobody wynos = 4 =, a welość mus meć rozład. Sprawdźmy teraz czy otrzymana wartość = 0. 3 jest zgodna z hpotezą o rozładze Possona danych dośwadczalnych. Z tabel 3 (przedstawonej na ońcu danej nstrucj) znajdujemy, że prawdopodobeństwu ufnośc p = (albo pozomow α = p = stotnośc hpotezy) odpowada 5. 99, czyl wartość 0.05; = mus znajdować sę w grancach od = 0 do = 6. Poneważ znalezona wartość = 0. 3 znajduje sę w tym zarese, hpoteza testowana o rozładze Possona danych dośwadczalnych zostaje zaaceptowana. Jeżelby otrzymalśmy, że > 6 wtedy testowaną hpotezę należałoby odrzucć. PREBIEG ĆWICZENIA Schemat urządzena pomarowego jest poazany na rys.. Urządzene zawera detetor promenowana (), źródło wysoego napęca () lczna (3). Detetor rejestruje promenowana jonzujące od źródła (s). Jao detetor można stosować lczn Gegera- Müllera (GM) albo scyntylacyjny lczn. Rys.. Schemat ćwczena.

13 Celem dośwadczalnej częśc nnejszego ćwczena jest rejestracja ntensywnośc promenowana jonzującego w różnych nterwałach czasowych oraz sprawdzane wybór jednej z dwóch hpotez: hpoteza - otrzymane dane dośwadczalne są zgodne z rozładem Possona; hpoteza - otrzymane dane dośwadczalne są zgodne z rozładem Gaussa. Zadane. Napęce zaslana lczna należy ustawć na wcześnej wyznaczony punt pracy. Podstawę czasu należy obrać małą ta aby lczn rejestrował w średnm od do 4 mpulsów. Pomar polega na welorotnym notowanu lczby zlczeń na jednostę czasu rejestrowanych przez detetor. Należy doonać ooło 500 rejestracj tach zlczeń. Zadane. Po wyonanu perwszego zadana należy podstawę czasu obrać ta aby lczn rejestrował w średnm od 5 do 5 mpulsów. Dla wybranego nterwału czasowego wyonać ooło 500 rejestracj zlczeń lczna. Zadane 3. Wyn dośwadczalne przedstawć w postac dwóch hstogramów p (), gdze p jest częstoścą występowana mpulsów w jednostce czasu. Dla obu wyresów należy zweryfować hpotezę, czy przedstawone rozłady są rozładem Possona czy Gaussa. Uazać statystyczną stotność otrzymanych wynów. Na wyresach c dośwadczalnym hstogramam przedstawć teoretyczne hstogramy. Dośwadczalne teoretyczne hstogramy muszą być unormowane na całowtą lczbę pomarów. Korzystając z hstogramy odpowadającej zadanu sprawdzć, że ooło 68% pomarów ne różn sę od wartośc średnej węcej nż na. SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA MUSI ZAWIERAĆ:. Krót teoretyczny ops podstawowych pojęć.. Cel prowadzonego badana. 3. Ops dośwadczalnej aparatury oraz metody pomarowej; 4. Wyresy tabel wynów pomarowych; 5. Wnos przeprowadzć dysusję otrzymanych wynów. 6. Sps wyorzystanej lteratury. WYMAGANIA DO KOLOKWIUM. Oreślene wartośc oczewana (średnej), warancj, odchylena średnego (flutuacj względnej bezwzględnej). 3

14 . Rozład Possona (wyprowadzene rozładu). Warancja rozładu Possona (wyprowadzene). Przejśce rozładu Possona w rozład Gaussa (warun, wyprowadzene). 3. Centralne twerdzene granczne a rozład Gaussa. 4. Względna bezwzględna flutuacja dla rozładu Gaussa. 5. Rozład. Testowane hpotez za pomocą ryterum α,. LITERATURA. T.Hlczer, Ćwczena z pracown jądrowej, UAM, Poznań, Ćwczena laboratoryjne z fzy, Pod red. F.Kaczmara, PWN, Warszawa, J. Aramnowcz, K. Małuszyńsa, M. Przytuła, "Laboratorum fzy jądrowej" PWN Warszawa J. R. Taylor, "Wstęp do analzy błędu pomarowego" PWN Warszawa J. L. Kacpers, "Opracowane danych pomarowych" Wyd. Unwersytetu Łódzego 997 4

15 Tabela 3. Wartośc α, dla różnych P w zależnośc od lczby stopnej swobody pozomu stotnośc hpotezy α = p (perwszy górny wersz).