DRGANIA UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY
|
|
- Marian Michalik
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 .. Cel ćwiczeia Ćwiczeie DRGANIA UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY Celem ćwiczeia jest obserwacja zjawiska drgań swobodych i wymuszoych liiowego układu mechaiczego o jedym stopiu swobody oraz doświadczale wyzaczeie częstości drgań własych układu, a także zazajomieie się z czujikami i przyrządami elektroiczymi stosowaymi w pomiarach wielkości dyamiczych... Wprowadzeie Drgaiami układu mechaiczego, iaczej drgaiami mechaiczymi, azywamy iewielkie ruchy wokół stateczego położeia rówowagi układu. Układ, w którym pojawia się siła zwrota proporcjoala do wychyleia będzie drgał, wykoując ruch harmoiczy. W szczególości każdy sprężysty układ podlegający prawu Hooke a (a przykład ciało zawieszoe a sprężyie, giętka belka, rozciągliwy drut) może wykoywać tego rodzaju prosty ruch. Umiejętość aalizy drgań rozmaitych układów ma ogrome zaczeie praktycze. Ćwiczeie to dotyczy badaia drgań prostego liiowego układu mechaiczego składającego się z ciała zawieszoego a sprężyie śrubowej walcowej, której masa jest mała w porówaiu do masy ciała. Badae będą zarówo drgaia swobode ciała, jak i jego drgaia wymuszoe zmieą siłą. Pomiary wielkości charakteryzujących drgaia dokoywae są a drodze elektryczej. Rezultaty pomiarów będą zbierae w specjalej tabeli. Otrzymae a ich podstawie wartości częstości drgań będą porówae z wyikami uzyskiwaymi z prostego modelu teoretyczego..3. Teoretyczy opis zjawiska.3.. Drgaia swobode układu Na rysuku. jest przedstawioy układ składający się z ciała o masie m zawieszoego a ieważkiej sprężyie o współczyiku sztywości c. Rozważae są jedyie przemieszczeia pioowe ciała co ozacza, że aalizoway układ ma tylko jede stopień swobody. Rys... Ciało zawieszoe a sprężyie Autor ćwiczeia K. Jauszkiewicz, rysuki B. Miaowski
2 Ćwiczeie r Jeśli przez x ozaczyć wychyleie ciała odmierzae od jego położeia rówowagi trwałej, rówaie ruchu będzie miało postać d x m cx dt =, (.) lub po przekształceiu d x + x =, (.) dt gdzie c =. (.3) m To proste liiowe jedorode rówaie różiczkowe ma dwa iezależe rozwiązaia typusi t i cos t, zatem jego rozwiązaie ogóle przyjmuje wygląd: x = C si t + C cost. (.4) Ia forma wyrażeia (.4) może być astępująca x = a si( t + ϕ ), (.5) przy czym między stałymi zachodzą poiższe związki: a = +, (.6) tg C C C C ϕ =. (.7) Mamy więc do czyieia z ruchem harmoiczym, którego częstość (kołowa) jest określoa wzorem (.3), a poieważ między częstością drgań a ich okresem istieje zależość = π, (.8) T to okres tych drgań jest day wzorem m T = π. (.9) c W przypadku liiowego układu mechaiczego częstość drgań (a zatem i okres drgań T) są określoe jedyie przez parametry strukturale układu (bezwładość oraz sztywość) i ie zależą od waruków początkowych. Współczyik a azywa się amplitudą drgań, atomiast argumet ( t + ϕ) fukcji sius ich fazą. Wartość początkowa fazy ϕ jak i amplituda a zależą od waruków rozpoczęcia ruchu, tj. początkowego wychyleia x x() i początkowej prędkości x & x( & ). Niezerowa wartość przyajmiej jedej z tych wielkości jest iezbęda aby mógł wystąpić omawiay tu rodzaj drgań. Dla zadaego wychyleia początkowego x i prędkości początkowej x& wychyleie ciała w czasie opisuje astępująca zależość: gdzie x& x = x + si t x& tgϕ =. x.3.. Drgaia wymuszoe, zjawisko rezoasu ( + ϕ ), (.) W przypadku gdy a układ działa cały czas jakieś zaburzeie w postaci zmieej siły, albo zadaego ruchu wybraego puktu układu (p. puktu zaczepieia sprężyy) mamy wówczas do czyieia z drgaiami wymuszoymi
3 Drgaia układu o jedym stopiu swobody układu. Drgaia układu odbywają się z częstością wzbudzeia, która może mieć dowolą wartość iezależą od częstości własej układu. Rozważamy drgaia układu z rys.. pod wpływem harmoiczej siły wymuszającej, o częstości ν oraz amplitudzie P o. Aalizoway obecie układ jest przedstawioy a rys... Rys... Układ o jedym stopiu swobody wzbudzay siłą harmoiczą Rówaie ruchu ciała o masie m przyjmuje astępującą postać d x m = cx + Po siνt, (.) dt bądź po przekształceiach d x + x = Po si νt. (.) dt m Jest to liiowe rówaie różiczkowe iejedorode, którego rozwiązaie jest sumą rozwiązaia ogólego rówaia jedorodego (reprezetującego drgaia swobode) i całki szczególej rówaia iejedorodego (opisującego ustaloe drgaia wymuszoe). Zakładając całkę szczególą w postaci x = Asiνt, (.3) gdzie A ozacza stałą podlegającą wyzaczeiu, rozwiązaie rówaia (.) przedstawia się astępująco ( t + ϕ ) Asiνt x = asi +. (.4) Podstawiając (.4) do rówaia różiczkowego otrzymuje się współczyik A A = m P o ( ν ), (.5) albo po wykorzystaiu (.3) Po A =, (.6) c mν Stałe a oraz ϕ zależą od waruków rozpoczęcia ruchu. Rozwiązaie (.4) przestaje być słusze dla wartości częstości siły wymuszającej, przy której miaowik we wzorze (.6) będzie rówy zeru. Wówczas rozwiązaie przyjmuje ią postać, wobec ieozaczoości stałej A. Sta taki azywa się rezoasem, amplituda drgań rośie w im liiowo z czasem (dopóki drgaia ie przestaą być "małe") i zachodzi o gdy częstości siły wymuszającej jest rówa częstości własej układu. Waruek zerowaia się miaowika jest bowiem idetyczy z zależością (.3) c ν r = =, m gdzie: - częstość drgań własych układu przedstawioego a rysuku., ν - częstość rezoasowa siły wymuszającej układu z rysuku.. r 3
4 Przyjmując, że amplituda siły wymuszającej Sν Ćwiczeie r P = - gdzie S współczyik zależy od parametrów kostrukcyjych wibratora - wówczas amplituda wychyleń ustaloych drgań wymuszoych (wartość bezwzględa stałej A) jest astępująca: ν S A = S = W, (.7) ( ν ) m m gdzie: W - współczyik zwielokrotieia amplitudy wychyleia ν W =. (.8) ν Na rysuku.3 jest przedstawioa zależość współczyika zwielokrotieia W od stosuku częstości siły wymuszającej do częstości własej układu, tj. ν. Widzimy, że współczyik zwielokrotieia jest ieskończeie duży kiedy częstość wymuszeia rówa się częstości własej układu. Rys.3. Wykres rezoasowy drgań wymuszaych bezwładościowo Ruch ciała jest w fazie z siłą wzbudzająca dla częstości ν iższych od. Po przekroczeiu częstości rezoasowej wychyleie ciała odbywa się przeciwie do zwrotu siły wymuszającej. W dotychczasowych rozważaiach zakładay był brak tłumieia drgań. W przypadku obecości choćby iewielkiego tłumieia (w praktyce zawsze ma miejsce dyssypacja eergii mechaiczej poprzez tarcie lub też ie opory) amplituda drgań swobodych z częstością zmiejsza się dość szybko z czasem i pozostają jedyie drgaia z częstością ν, tzw. ustaloe drgaia wymuszoe. Maksimum amplitudy tych drgań odpowiada częstości siły wymuszającej miimalie różiącej się od częstości drgań własych. Jeśli tylko tłumieie jest iewielkie w porówaiu do jego wartości krytyczej (która to reprezetuje graicę między występowaiem i ie występowaiem oscylacji) moża zaiedbać tłumieie w obliczeiach częstości własej. Poadto, w całym zakresie częstości siły wymuszającej wychyleie ciała spóźia się o pewie kąt fazowy wzglądem siły wymuszającej..4. Opis staowiska badawczego.4.. Baday obiekt Widok staowiska badawczego przedstawioo a rys..4. Staowisko składa się z ramy (), sprężyy (), zawieszoego a iej ciała (3) (wibratora bezwładościowego), dwóch prowadic (4) zapewiających pioowy ruch wibratora oraz bezdotykowy czujika przemieszczeń (5) rejestrującego drgaia ciała. 4
5 Drgaia układu o jedym stopiu swobody Rys..4. Staowisko badawcze Ciało (3) może być wprawioe w pioowy ruch drgający w dwojaki sposób: poprzez wychyleie ciała z położeia rówowagi statyczej i gwałtowe zwolieie, wskutek działaie a iego harmoicze zmieej pioowej siły wymuszającej (uzyskaej po włączeiu silika wibratora, którego widok pokazao a rys..5). Rys..5. Widok wibratora bezwładościowego Silik prądu stałego () o płyej regulacji obrotów apędza, poprzez przekładię pasową (), lekkie koło zębate (4) współpracujące z idetyczym kołem (5). Na obu kołach, mających po 35 zębów, są umocowae w idetyczy sposób (symetryczie względem środkowej płaszczyzy wibratora) jedakowe ciężarki (6) o masie m c = 9 gramów bardzo małej w porówaiu do masy m = 6 gramów całego wibratora. Udział masy m c w aalizie drgań układu pomijamy w tym sesie, że przypisuje się jej tylko zaczeie źródła siły odśrodkowej. Ciężarki i zaczep sprężyy śrubowej leżą w pioowej płaszczyźie wyzaczoej przez osie prowadic, w której zajduje się rówież środek ciężkości całego wibratora. Dzięki temu zasadiczym ruchem układu są jego przemieszczeia pioowe. 5
6 W wyiku przeciwbieżego ruchu kół powstają dwie idetycze siły odśrodkowe. Rys..6. Harmoicza siła o amplitudzie proporcjoalej do kwadratu częstości Ćwiczeie r Składowe poziome sił odśrodkowych wzajemie się zoszą. Suma składowych pioowych obydwu sił odśrodkowych opisaa jest astępującą zależością P = m rν si νt = P si ν, (.9) gdzie: ( ) P = m rν Sν - amplituda siły wymuszającej, o c = ( ) t mc - masa ciężarka umocowaego mimośrodowo a kole zębatym, r - odległość ciężarka od osi obrotu koła, ν - prędkość kątowa (ustaloa) koła zębatego. Siła wymuszająca ma zatem kieruek pioowy, a jej wartość jest harmoiczą fukcją czasu..4.. Przyrządy pomiarowe i sposób wykoywaia pomiarów c Pomiary wielkości charakterystyczych dla badaego zjawiska dokouje się z wykorzystaiem przyrządów elektryczych, takich jak czujiki obrotu i przemieszczeń, liczik uiwersaly KZ-5, częstościomierz oraz oscyloskop. Schemat ideowy liii pomiarowej jest przedstawioy a rys..7. Rys..7. Schemat blokowo-ideowy liii pomiarowej Okres drgań ciała jest mierzoa za pomocą liczika uiwersalego, który otrzymuje impulsy (sterujące jego bramką) z kowertora sygału bezdotykowego czujika przemieszczeń (pojemościowy czujik firmy DISA). Sy- o 6
7 Drgaia układu o jedym stopiu swobody gał z kowertora jest podaway także a wejście oscyloskopu. Umożliwia to obserwację a jego ekraie przebiegu czasowego wychyleń drgającego ciała. Częstość siły wymuszającej jest określaa a podstawie pomiaru szybkości obrotu kół zębatych (regulowaej płyie specjalym potecjometrem). Do pomiaru tej szybkości służy fotoelektryczego czujika obrotów (7) (zobacz rys..5) podający sygał a wejście częstościomierza bądź liczika uiwersalego. Liię optyczą czujika obrotów przegradza kolejo każdy ząb koła, zatem czujik wytwarza 35 impulsów a jede pełe obrót koła zębatego. Do ramki wibratora jest także przymocoway fotoelektryczy zaczik fazy (3), który podaje sygał a wejście oscyloskopu (powodujący wygaszeie plamki) w momecie, kiedy ciężarki (6) zajdują się w górym położeiu, co ozacza że siła wymuszająca P osiąga ajwiększą wartość i jest zwrócoa w górę. Dzięki temu możliwa jest obserwacja a ekraie fazowego przesuięcia przemieszczeia ciała i siły wymuszającej (lokalizując położeie przerwy a przebiegu czasowym)..5. Przebieg pomiarów Wyzaczeie częstości (okresu) drgań własych badaego układu jest dokoywae w pierwszej kolejości metodą impulsową, czyli przez wychyleie ciała z położeia rówowagi i agłe jego zwolieie, astępie zaś metodą rezoasową, tz. przez zalezieie takiej częstości siły wymuszającej, dla której wystąpi ajwiększa amplituda drgań. Dae pomiarowe ależy zapisywać w odpowiedich kolumach tabeli.. Uwaga: Podczas pomiarów uważać, aby ciało ie uderzyło w elektrodę czujika. Włączaia i przestrajaia oscyloskopu, kowertora i liczika moża dokoywać tylko w obecości osoby adzorującej ćwiczeie..5.. Pomiar okresu drgań metodą impulsową. Włączyć oscyloskop, liczik uiwersaly KZ-5, kowertor (górego czujika) i odczekać kilka miut (celem agrzaia się aparatury).. Nastawić liczik a pomiar automatyczy (pokrętło LEVEL w położeiu AUTO) jedego okresu (wciśięty przycisk PERIOD C oraz przycisk ) z włączoą pamięcią (przełączik a tylej ściaie obudowy). 3. Oscyloskop ależy ustawić a pracę jedokaałową - wybrać kaał drugi (suwak w położeiu C) z polaryzacją odwrócoą (przycisk CINV wciśięty) z automatyczie wyzwalaą podstawą czasu (suwak TRIGGER MODE w położeiu AUTO); przebieg plamki powiie zajdować się w połowie wysokości ekrau. 4. Naciskając dwoma palcami a górą pokrywę wibratora w okolicach zaczepu sprężyy wychylić ciało do dołu około cm (w żadym wypadku ie wolo uderzyć w elektrodę czujika drgań), zwolić acisk i obserwować: ruch ciała, przebieg czasowy a ekraie oscyloskopu, wyświetlacz liczika. Zapisać trzecie albo czwarte wskazaie liczika w drugiej kolumie tabeli.. Uwaga! Należy wybrać stosowe astawy dla odchylaia pioowego i podstawy czasu zapewiające dobrą widoczość kilku okresów a przebiegu. 5. Powtórzyć powyższy pomiar kilkakrotie. 6. Przestawić liczik a pomiar średiej z okresów (wciśięty przycisk P. A. C oraz przycisk ). Następie w podoby jak opisao poprzedio sposób dokoać kolejych pomiarów, zapisując ich wyiki w trzeciej kolumie tabeli.. Nie wyłączać przyrządów. 7
8 .5.. Pomiar częstości rezoasowej drgań Ćwiczeie r. Włączyć dodatkowo zasilacz reguloway silika oraz zasilacz czujików obrotu i fazy, jak rówież częstościomierz siły.. Oscyloskop przestawić a pracę z podstawą czasu wyzwalaą impulsem (suwak TRIGGER MODE w położeiu NORMA) pochodzącym z zewętrz - w tym przypadku ze zaczika fazy (suwak SOURCE w położeiu EXT). 3. Obracając powoli w prawo pokrętło potecjometru zasilacza silika wibratora zwiększać obroty kół celem zalezieia rezoasu. Należy jedocześie obserwować: ruch ciała, przebieg czasowy a ekraie oscyloskopu, wskazaia częstościomierza (i ewetualie liczika). O tym, że układ zajduje się w rezoasie świadczyć będą: położeie zaciemieia (przerwy) przebiegu czasowego w pobliżu jego poziomej osi symetrii, ajwiększa wysokość tego przebiegu, Wówczas ależy dokoać pomiaru częstości siły wymuszającej. Wskazaia częstościomierza siły zapisywać w czwartej kolumie tabeli.. Uwaga: Nie utrzymywać układu zbyt długo w rezoasie, aby ie uszkodzić sprężyy oraz czujika drgań. 4. Powtórzyć powyższy pomiar kilkakrotie. W tym celu ależy obrócić iezaczie (w prawo albo w lewo) pokrętło potecjometru zasilacza silika, (aby odstroić układ - wyjść z rezoasu) i astępie dostroić go poowie. 5. Zatrzymać silik (poprzez obrót w lewo pokrętła potecjometru), wyłączyć wszystkie przyrządy pomiarowe i zasilacze oraz uporządkować staowisko pomiarowe..6. Opracowaie wyików pomiarów i sprawozdaie.6.. Obliczeia pomocicze Po zakończeiu pomiarów ależy przystąpić do wykoywaia obliczeń iezbędych do wypełieia wszystkich rubryk tabeli. oraz określeia iepewości pomiarów. Potrzebe do obliczeń wartości masy m, stałej sprężyy c dostępe są w dokumetacji stoiska. Wszelkie wyiki obliczeń zaokrąglić biorąc pod uwagę iedoskoałość doświadczeia. Należy pamiętać, że ie ma potrzeby być bardzo dokładym, opisując własą iedokładość. W szczególości iepewości i różice procetowe obliczać z dokładością do jedej lub ajwyżej dwóch cyfr zaczących. Wyik końcowy wiie być tak zaokrągloy, aby rząd jego ostatiej cyfry zaczącej był taki sam, jak rząd iepewości. (Niepewość ie może być wyzaczoa z większą dokładością iż sama wielkość, której oa dotyczy)..6.. Niepewości pomiarów Należy określić iepewości przypadkowe stadardowe pomiaru okresu drgań oraz częstości własej. Do obliczeia iepewości stosuje się astępujące wzory. Niepewość pojedyczego pomiaru: ( Ti T ) i= u( T ) = gdzie wartość średia jest określoa zależością T = Niepewość wartości średiej T i i= albo albo u( T ) u( T ) = albo Niepewości częstości własej oblicza się ze wzoru: u ( f ) = f u ( f i = = ) (f i f u ) i = ( f f ), (.) i. (.) =. (.) 8
9 Drgaia układu o jedym stopiu swobody u( ) = π u( T ) albo u ( ) = π u ( f ), (.3) T gdzie wartość liczby π ależy przyjąć z dokładością o jede rząd większą iż iepewość okresu Sprawozdaie Sprawozdaie, które musi być sporządzoe w sposób staray i bezwzględie oddae a zakończeie zajęć ma zawierać: a) temat i cel ćwiczeia, b) wypełioą tabelę., c) obliczeia iepewości pomiarów okresu i częstości, d) wyiki pomiaru okresu drgań zapisae w postaci : ( T ± u( ) ) [jedostka], T e) wyiki pomiaru częstości własej zapisae w postaci: ( ± u( ) ) [jedostka], f) obserwacje i wioski..7. Pytaia sprawdzające. Opisać prosty ruch harmoiczy: podać kilka przykładów, wyjaśić jego azwę.. Drgaia, fale objaśić te zjawiska; wymieić podstawowe wielkości je charakteryzujące. 3. Objaśić pojęcia: drgaia swobode, drgaia wymuszoe, drgaia tłumioe. 4. Podać praktycze powody, dla których waża jest zajomość częstości własych układu. 5. Ułożyć rówaie drgań wymuszoych oscylatora harmoiczego o jedym stopiu swobody. 6. Objaśić zjawisko rezoasu. 7. Narysować i opisać charakterystykę amplitudowo-czestościową (krzywą rezoasową) układu liiowego o jedym stopiu swobody wzbudzaego bezwładościowo. 9
10 Tabela.. Wyiki pomiarów i obliczeń Masa ciała m =... kg stała sprężyy c =... N/mm Pomiary: Numer pomiaru Metoda impulsowa Metoda rezoasowa Ćwiczeie r Pojedyczy Średia z Wskazaie Częstotliwość siły okres okresów częstościomierza wymuszającej i T i T i N i f ι = N i / s s khz Hz 3... Obliczeia: Średia arytmetycza T [s] Niepewość średiej u(t) [s] (wzór.) Częstość własa doświadczala π = [rad/s] T 6 Niepewość średiej częstości u() [rad/s] (wzór.3) Częstość własa teoretycza [rad/s] (wzór.3) Względa różica częstości teoretyczej oraz doświadczalej = [%] tłumioe ietłumioe,97,5 h h krytycze Wpływ tłumieia wiskotyczego a częstość drgań swobodych Średia arytmetycza f [Hz] Niepewość średiej u(f) [Hz] (wzór.) Częstość własa doświadczala = π f [rad/s] Niepewość średiej częstości u() [rad/s] (wzór.3) Względa różica częstości teoretyczej oraz doświadczalej = [%] Wykres rezoasowy układu jedomasowego Przesuięcie fazowe względem siły (wymuszeie bezwładościowe): wymuszającej: drgaia ietłumioe, drgaia z tłumieiem wiskotyczym
BADANIE DRGAŃ WYMUSZONYCH PRZY POMOCY WAHADŁA POHLA
I PRACOWNIA FIZYCZNA, INSTYTUT FIZYKI UMK, TORUŃ Istrukcja do ćwiczeia r 3 BADANIE DRGAŃ WYMUSZONYCH PRZY POMOCY WAHADŁA POHLA. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest pozaie szeregu zjawisk związaych z drgaiami
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoGalwanometr lusterkowy, stabilizowany zasilacz prądu, płytka z oporami, stoper (wypożyczyć pod zastaw legitymacji w pok. 619).
Ćwiczeie Nr 5 emat: Badaie drgań tłmioych cewki galwaometr lsterkowego I. LIERUR. R.Resick, D.Halliday Fizyka, t. I i II, PWN, W-wa.. Ćwiczeia laboratoryje z fizyki w politechice, praca zbiorowa pod red..rewaja,
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowo1. Wyznaczanie charakterystyk statycznych prądnicy tachometrycznej prądu stałego.
ĆWICZENIE 5 Pomiary prędkości CEL ĆWICZENIA. Celem ćwiczeia jest pozaie możliwości pomiaru prędkości obrotowej. Ćwiczeie obejmuje: wyzaczeie własości statyczych prądic tachometryczych i oceę możliwości
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz
Bardziej szczegółowou t 1 v u(x,t) - odkształcenie, v - prędkość rozchodzenia się odkształceń (charakterystyczna dla danego ośrodka) Drgania sieci krystalicznej FONONY
Drgaia sieci krystaliczej FONONY 1. model klasyczy (iekwatowy) a) model ośrodka ciągłego (model Debye a) - przypadek jedowymiarowy - drgaia struy drgaia mogą być podłuże (guma, sprężya) i dwie prostopadłe
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIE- TRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ
Ć w i c z e i e 6 WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIE- TRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ 6.1 Opis teoretyczy W ośrodkach sprężystych wytrąceie pewego obszaru z położeia rówowagi powoduje drgaia wokół tego położeia.
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,,
PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA Ruch cząstki ieograiczoy z klasyczego puktu widzeia W tym przypadku V = cost, przejmiemy V ( x ) = 0, cząstka porusza się wzdłuż osi x. Rozwiązujemy
Bardziej szczegółowoTRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET
POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 5
Wydział Elektryczy Zespół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie 5 ANALIZA WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH WYBRANEGO OBIEKTU FIZYCZNEGO 1. Opis właściwości dyamiczych obiektu Typowym
Bardziej szczegółowoProjekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA, WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY, INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI. Wykresy w Excelu TOMASZ ADRIKOWSKI GLIWICE,
POLITECHNIKA ŚLĄSKA, WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY, INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI Wykresy w Excelu TOMASZ ADRIKOWSKI GLIWICE, -- EXCEL Wykresy. Kolumę A, B wypełić serią daych: miesiąc, średia temperatura.
Bardziej szczegółowoPomiary drgań rezonansowych wywołanych niewyważeniem wirnika
Pomiary drgań rezoasowych wywołaych iewyważeiem wirika Zakres ćwiczeia 1) Idetyfikacja drgań wywołaych: a iewyważeiem statyczym wirika maszyy elektryczej, b - iewyważeiem dyamiczym wirika maszyy elektryczej,
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ
LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu
Bardziej szczegółowoOpracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej
Opracowaie daych pomiarowych dla studetów realizujących program Pracowi Fizyczej Pomiar Działaie mające a celu wyzaczeie wielkości mierzoej.. Do pomiarów stosuje się przyrządy pomiarowe proste lub złożoe.
Bardziej szczegółowoKATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI. Laboratorium. Mechaniki Technicznej
KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI Laboratoriu Mechaiki Techiczej Ćwiczeie 5 Badaie drgań liiowych o jedy stopiu swobody Cel ćwiczeia Cele ćwiczeia jest pozaie podstawowych pojęć związaych
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW
Wydział Elektryczy Zespół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW I. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest zapozaie
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest
Bardziej szczegółowo2. Schemat ideowy układu pomiarowego
1. Wiadomości ogóle o prostowikach sterowaych Układy prostowikowe sterowae są przekształtikami sterowaymi fazowo. UmoŜliwiają płya regulację średiej wartości apięcia wyprostowaego, a tym samym średiej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoKATEDRA ENERGOELEKTRONIKI I ELEKTROENERGETYKI
KATEDRA ENERGOELEKTRONIKI I ELEKTROENERGETYKI Grupa: 1. 2. 3. 4. 5. LABORATORIUM ELEKTROENERGETYKI Data: Ocea: ĆWICZENIE 3 BADANIE WYŁĄCZNIKÓW RÓŻNICOWOPRĄDOWYCH 3.1. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest:
Bardziej szczegółowoWYZNACZENIE CHARAKTERYSTYK STATYCZNYCH PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH
Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h i k a P o z ańska ul. Jaa Pawła II 4 60-96 POZNAŃ (budyek Cetrum Mechatroiki, Biomechaiki i Naoiżerii) www.zmisp.mt.put.poza.pl tel. +48 6 66 3
Bardziej szczegółowoLaboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1
1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowo(opracował Leszek Szczepaniak)
ĆWICZENIE NR 3 POMIARY POŁOśENIA I PRZEMIESZCZEŃ LINIOWYCH I KĄTOWYCH (opracował Leszek Szczepaiak) Cel i zakres ćwiczeia Celem ćwiczeia jest praktycze zapozaie się z metodami pomiarowymi i czujikami do
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 7. BADANIE SILNIKÓW INDUKCYJNYCH STANOWISKO I. Badanie silnika przy stałej częstotliwości (50 Hz)
4 Laboratorium elektrotechiki Ćwiczeie 7. BADANIE SILNIKÓW INDUKCYJNYCH STANOWISKO I. Badaie silika przy stałej częstotliwości (5 Hz) EN L L L Łączik tablicowy E T S R R S T E Trasformatorowy zasilacz
Bardziej szczegółowoI. Cel ćwiczenia. II. Program ćwiczenia SPRAWDZANIE LICZNIKÓW ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Politechika Rzeszowska Zakład Metrologii i Systemów Diagostyczych Laboratorium Metrologii II SPRAWDZANIE LICZNIKÓW ENERGII ELEKTRYCZNEJ Grupa L.../Z... 1... kierowik Nr ćwicz. 9 2... 3... 4... Data Ocea
Bardziej szczegółowoI PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO
I PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ Istrukcja do ćwiczeia r WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO Istrukcję wykoał Mariusz Piwiński I. Cel ćwiczeia. pozaie ruchu harmoiczeo oraz
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoChemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Bardziej szczegółowoĆ wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI
Ć wiczeie 7 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z RZEIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Wiadomości ogóle Rozwój apędów elektryczych jest ściśle związay z rozwojem eergoelektroiki Współcześie a ogół
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO
Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoBADANIE PRĄDNIC TACHOMETRYCZNYCH
Politechika Warszawska Istytut Maszy Elektryczych Laboratorium Maszy Elektryczych Malej Mocy BADANIE PRĄDNIC TACHOMETRYCZNYCH Warszawa 2003 1. STANOWISKO POMIAROWE. Badaia przeprowadza się a specjalym
Bardziej szczegółowoRysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi
Aaliza fal złożoych Autorzy: Zbigiew Kąkol, Bartek Wiedlocha Przyjrzyjmy się drgaiu poprzeczemu struy. Jeżeli strua zamocowaa a obu końcach zostaie ajpierw wygięta, a astępie puszczoa, to wzdłuż struy
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU
Bardziej szczegółowoEA3 Silnik komutatorowy uniwersalny
Akademia Góriczo-Huticza im.s.staszica w Krakowie KAEDRA MASZYN ELEKRYCZNYCH EA3 Silik komutatorowy uiwersaly Program ćwiczeia 1. Oględziy zewętrze 2. Pomiar charakterystyk mechaiczych przy zasilaiu: a
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoPOMIARY KIERUNKÓW I WYZNACZENIE KĄTÓW POZIOMYCH
POMIARY KIERUNKÓW I WYZNACZENIE KĄTÓW POZIOMYCH KĄT POZIOMY Defiicja kąt poziomy wyzaczay jest przez ślady przecięcia dwóch płaszczyz pioowych przechodzących przez oś celową i obserwowae pukty z poziomą
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoOBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD
OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoWpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika
POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Budowy i Eksploatacji Maszy Istrukcja do zajęć laboratoryjych z przedmiotu: EKSPLOATACJA MASZYN Wpływ waruków eksploatacji pojazdu a charakterystyki
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowoBłędy kwantyzacji, zakres dynamiki przetwornika A/C
Błędy kwatyzacji, zakres dyamiki przetworika /C Celem ćwiczeia jest pozaie wpływu rozdzielczości przetworika /C a błąd kwatowaia oraz ocea dyamiki układu kwatującego. Kwatowaie przyporządkowaie kolejym
Bardziej szczegółowoVII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.
KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI
CHARAKERYSYKI CZĘSOLIWOŚCIOWE PODSAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUOMAYKI Do podstawowych form opisu dyamii elemetów automatyi (oprócz rówań różiczowych zaliczamy trasmitację operatorową s oraz trasmitację
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoFundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -
TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary
Bardziej szczegółowoZastosowanie czujników piezoelektrycznych do monitorowania procesów drganiowych w konstrukcjach prętowych
SEMINARIUM MONIT 18 LISTOPADA 010 Zastosowaie czujików piezoelektryczych do moitorowaia procesów drgaiowych w kostrukcjach prętowych Adrzej TYLIKOWSKI, Marek PIETRZAKOWSKI, Ja FREUNDLICH Politechika Warszawska
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM INŻYNIERII CHEMICZNEJ, PROCESOWEJ I BIOPROCESOWEJ. Ćwiczenie nr 16
KATEDRA INŻYNIERII CHEMICZNEJ I ROCESOWEJ INSTRUKCJE DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH LABORATORIUM INŻYNIERII CHEMICZNEJ, ROCESOWEJ I BIOROCESOWEJ Ćwiczeie r 16 Mieszaie Osoba odpowiedziala: Iwoa Hołowacz Gdańsk,
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoPodstawy działania laserów
Prof. Dr Halia Abramczyk Techical Uiversity of Lodz, Faculty of Chemistry Istitute of Applied Radiatio Chemistry Polad, 93-59 Lodz, Wroblewskiego 15 Phoe:(+ 48 4) 631-31-88; fax:(+ 48 4) 684 43 E-mail:abramczy@mitr.p.lodz.pl,
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoSprawozdanie z laboratorium proekologicznych źródeł energii
P O L I T E C H N I K A G D A Ń S K A Sprawozdaie z laboratorium proekologiczych źródeł eergii Temat: Wyzaczaie współczyika efektywości i sprawości pompy ciepła. Michał Stobiecki, Michał Ryms Grupa 5;
Bardziej szczegółowoNumeryczny opis zjawiska zaniku
FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej
Bardziej szczegółowoOBWODY LINIOWE PRĄDU STAŁEGO
Politechika Gdańska Wydział Elektrotechiki i Automatyki 1. Wstęp st. stacjoare I st. iżyierskie, Eergetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechiki i Elektroiki Ćwiczeie r 1 OBWODY LINIOWE PRĄDU STAŁEGO Obwód
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoOdbicie fali od granicy ośrodków
FOTON 8, Jesień 0 33 Odbicie fali od graicy ośrodków Jerzy Giter Uiwersytet Warszawski Kiedy światło się odbija? Zamy doskoale zjawisko załamaia światła a graicy dwóch ośrodków o różych współczyikach załamaia.
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoPolitechnika Poznańska
Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoKATEDRA TECHNIK WYTWARZANIA I AUTOMATYZACJI. Obróbka skrawaniem i narzędzia
KATEDRA TECHNIK WYTWARZANIA I AUTOMATYZACJI Przedmiot: Temat ćwiczeia: Obróbka skrawaiem i arzędzia Frezowaie Numer ćwiczeia: 5 1. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest pozaie odmia frezowaia, parametrów skrawaia,
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoModele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assigmet Problem) Bliskim "krewiakiem" ZT (w sesie podobieństwa modelu decyzyjego) jest zagadieie
Bardziej szczegółowoJak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?
Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań
Bardziej szczegółowoO2. POMIARY KĄTA BREWSTERA
O. POMIARY KĄTA BREWSTERA tekst opracowała: Bożea Jaowska-Dmoch Polaryzacja światła jest zjawiskiem, które potwierdza falową aturę światła. Światło jest falą elektromagetyczą, w której cyklicze zmiay pól
Bardziej szczegółowo