Elektrodynamika. Część 9. Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie. Ryszard Tanaś

Transkrypt

1 Elektrodynamika Część 9 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

2 Spis treści 10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie Wprowadzenie potencjałów Rozkłady ciągłe

3 10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie 10.1 Wprowadzenie potencjałów Potencjały skalarny i wektorowy (i E = 1 ɛ 0 ρ, (iii E = B, (ii B = 0, (iv B = µ 0 J + µ 0 ɛ 0 E, równania Maxwella

4 10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie 10.1 Wprowadzenie potencjałów Potencjały skalarny i wektorowy (i E = 1 ɛ 0 ρ, (iii E = B, (ii B = 0, (iv B = µ 0 J + µ 0 ɛ 0 E, równania Maxwella Jakie są pola E(r, t i B(r, t jeśli znamy ρ(r, t i J(r, t?

5 10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie 10.1 Wprowadzenie potencjałów Potencjały skalarny i wektorowy (i E = 1 ɛ 0 ρ, (iii E = B, (ii B = 0, (iv B = µ 0 J + µ 0 ɛ 0 E, równania Maxwella Jakie są pola E(r, t i B(r, t jeśli znamy ρ(r, t i J(r, t? B = A

6 10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie 10.1 Wprowadzenie potencjałów Potencjały skalarny i wektorowy (i E = 1 ɛ 0 ρ, (iii E = B, (ii B = 0, (iv B = µ 0 J + µ 0 ɛ 0 E, równania Maxwella Jakie są pola E(r, t i B(r, t jeśli znamy ρ(r, t i J(r, t? B = A E = ( A z prawa Faradaya

7 ( E + A = 0

8 ( E + A = 0 E + A = V

9 ( E + A = 0 E + A = V E = V A

10 ( E + A = 0 E + A = V E = V A V + ( A = 1 ɛ 0 ρ z (i

11 ( E + A = 0 E + A = V E = V A V + ( A = 1 ɛ 0 ρ z (i ( A = µ 0 J µ 0 ɛ 0 ( V µ 0 ɛ 0 2 A 2 z (iv

12 ( E + A = 0 E + A = V E = V A V + ( A = 1 ɛ 0 ρ z (i ( A = µ 0 J µ 0 ɛ 0 ( V µ 0 ɛ 0 2 A 2 z (iv ( A = ( A A tożsamość wektorowa

13 ( A µ 0 ɛ 0 2 A 2 ( A + µ 0 ɛ 0 V = µ 0 J Przekształcenia cechowania Możemy narzucić dodatkowe warunki na potencjały, które nie zmienią pól E i B.

14 ( A µ 0 ɛ 0 2 A 2 ( A + µ 0 ɛ 0 V = µ 0 J Przekształcenia cechowania Możemy narzucić dodatkowe warunki na potencjały, które nie zmienią pól E i B. A = A + α, V = V + β zmieniamy potencjały

15 ( A µ 0 ɛ 0 2 A 2 ( A + µ 0 ɛ 0 V = µ 0 J Przekształcenia cechowania Możemy narzucić dodatkowe warunki na potencjały, które nie zmienią pól E i B. A = A + α, V = V + β zmieniamy potencjały α = 0 α = λ

16 ( A µ 0 ɛ 0 2 A 2 ( A + µ 0 ɛ 0 V = µ 0 J Przekształcenia cechowania Możemy narzucić dodatkowe warunki na potencjały, które nie zmienią pól E i B. A = A + α, V = V + β zmieniamy potencjały α = 0 α = λ β + α = 0 ( β + λ = 0 nawias nie zależy od położenia

17 β = λ + k(t, k(t można włączyć do λ

18 β = λ + k(t, A = A + λ V = V λ k(t można włączyć do λ przekształcenia cechowania

19 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza A = 0 cechowanie Coulomba

20 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza A = 0 cechowanie Coulomba V = 1 ɛ 0 ρ równanie Poissona

21 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza A = 0 cechowanie Coulomba V = 1 ɛ 0 ρ równanie Poissona V (r, t = 1 4πɛ 0 ρ(r, t R dτ rozwiązanie gdy V = 0 w nieskończoności

22 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza A = 0 cechowanie Coulomba V = 1 ɛ 0 ρ równanie Poissona V (r, t = 1 4πɛ 0 A µ 0 ɛ 0 2 A 2 ρ(r, t R dτ rozwiązanie gdy V = 0 w nieskończoności = µ 0J + µ 0 ɛ 0 ( V

23 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza A = 0 cechowanie Coulomba V = 1 ɛ 0 ρ równanie Poissona V (r, t = 1 4πɛ 0 A µ 0 ɛ 0 2 A 2 ρ(r, t R dτ rozwiązanie gdy V = 0 w nieskończoności = µ 0J + µ 0 ɛ 0 ( V Samo V (r, t nie wystarcza do wyznaczenia pola E(r, t!

24 A = µ 0 ɛ 0 V cechowanie Lorentza

25 A = µ 0 ɛ 0 V cechowanie Lorentza A µ 0 ɛ 0 2 A 2 = µ 0J

26 A = µ 0 ɛ 0 V cechowanie Lorentza A µ 0 ɛ 0 2 A 2 = µ 0J V µ 0 ɛ 0 2 V 2 = 1 ɛ 0 ρ

27 A = µ 0 ɛ 0 V cechowanie Lorentza A µ 0 ɛ 0 2 A 2 V µ 0 ɛ 0 2 V 2 = µ 0J = 1 ɛ 0 ρ µ 0 ɛ dalambercjan

28 A = µ 0 ɛ 0 V cechowanie Lorentza A µ 0 ɛ 0 2 A 2 V µ 0 ɛ 0 2 V 2 = µ 0J = 1 ɛ 0 ρ µ 0 ɛ dalambercjan (i (ii V = 1 ɛ 0 ρ A = µ 0 J niejednorodne równania falowe

29 10.2 Rozkłady ciągłe Potencjały opóźnione dτ R P r θ r V = 1 ɛ 0 ρ, A = µ 0 J dla pól statycznych

30 10.2 Rozkłady ciągłe Potencjały opóźnione dτ R P r θ r V = 1 ɛ 0 ρ, A = µ 0 J dla pól statycznych V (r = 1 4πɛ 0 ρ(r R dτ, A(r = µ 0 4π J(r R dτ

31 Wieści elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła! t r t R c czas opóźniony

32 Wieści elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła! t r t R c czas opóźniony V (r, t = 1 4πɛ 0 A(r, t = µ 0 4π ρ(r, t r R dτ J(r, t r R dτ potencjały opóźnione

33 Wieści elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła! t r t R c czas opóźniony V (r, t = 1 4πɛ 0 A(r, t = µ 0 4π ρ(r, t r R dτ J(r, t r R dτ potencjały opóźnione Czy wzory te są poprawne?

34 Wieści elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła! t r t R c czas opóźniony V (r, t = 1 4πɛ 0 A(r, t = µ 0 4π ρ(r, t r R dτ J(r, t r R dτ potencjały opóźnione Czy wzory te są poprawne? V = 1 4πɛ 0 [ ( ρ 1 R + ρ ( 1 R ] dτ

35 1 ρ = ρ tr = ρ R c

36 ρ = ρ t r = 1 c ρ R R = ˆR, ( 1 R = ˆR R 2

37 ρ = ρ t r = 1 c ρ R R = ˆR, V = 1 4πɛ 0 [ ρ c ( 1 R = ˆR R 2 ˆR R ρ ˆR ] R 2 dτ

38 ρ = ρ t r = 1 c ρ R R = ˆR, V = 1 4πɛ 0 [ ρ c ( 1 R = ˆR R 2 ˆR R ρ ˆR ] R 2 dτ V = 1 4πɛ 0 1 c ˆR R ( ρ + ρ ˆR ( ρ + ρ R2 ( ˆR R ( ˆR R 2 dτ

39 ρ = 1 c ρ R = 1 c ρ ˆR

40 ρ = 1 c ρ R = 1 c ρ ˆR ( ˆR R = 1 ( ˆR R 2, R 2 = 4πδ 3 (R

41 ρ = 1 c ρ R = 1 c ρ ˆR ( ˆR R = 1 ( ˆR R 2, R 2 = 4πδ 3 (R V = 1 4πɛ 0 [ ] 1 ρ c 2 R 4πρδ3 (R dτ = 1 c 2 2 V 2 1 ɛ 0 ρ(r, t

42 ρ = 1 c ρ R = 1 c ρ ˆR ( ˆR R = 1 ( ˆR R 2, R 2 = 4πδ 3 (R V = 1 4πɛ 0 [ ] 1 ρ c 2 R 4πρδ3 (R dτ = 1 c 2 2 V 2 1 ɛ 0 ρ(r, t V 1 c 2 2 V 2 = 1 ɛ 0 ρ(r, t

43 ρ = 1 c ρ R = 1 c ρ ˆR ( ˆR R = 1 ( ˆR R 2, R 2 = 4πδ 3 (R V = 1 4πɛ 0 [ ] 1 ρ c 2 R 4πρδ3 (R dτ = 1 c 2 2 V 2 1 ɛ 0 ρ(r, t V 1 c 2 2 V 2 = 1 ɛ 0 ρ(r, t Potencjał opóźniony spełnia niejednorodne równanie falowe.