EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 008 Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdajcego. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 9 stron (zadania ). Ewentualny brak zgo przewodniczcemu zespou nadzorujcego egzamin.. Rozwizania zada i odpowiedzi zamie w miejscu na to przeznaczonym. 3. W rozwizaniach zada przedstaw tok rozumowania prowadzcy do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. Uywaj dugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie uywaj korektora, a bdne zapisy przekrel. 6. Pamitaj, e zapisy w brudnopisie nie podlegaj ocenie. 7. Obok kadego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, któr moesz uzyska za jego poprawne rozwizanie. 8. Moesz korzysta z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 9. Na karcie odpowiedzi wpisz swoj dat urodzenia i PESEL. Nie wpisuj adnych znaków w czci przeznaczonej dla egzaminatora. Za rozwizanie wszystkich zada mona otrzyma cznie 50 punktów yczymy powodzenia! Wypenia zdajcy przed rozpoczciem pracy PESEL ZDAJCEGO KOD ZDAJCEGO

2 Zadanie. (4 pkt) Na poniszym rysunku przedstawiono aman ABCD, która jest wykresem funkcji y f. y 3 C D A B 4 Korzystajc z tego wykresu: a) zapisz w postaci przedziau zbiór wartoci funkcji f, b) podaj warto funkcji f dla argumentu 0, c) wyznacz równanie prostej BC, d) oblicz dugo odcinka BC. a) Zbiór wartoci funkcji f odczytuj z wykresu. Jest nim przedzia 4, 3. b) Zauwaam, e 3 0. Z wykresu odczytuj, e w przedziale 3, funkcja f jest staa i dla kadego argumentu z tego przedziau przyjmuje warto 4, zatem wartoci funkcji f dla argumentu 0 jest 4 f 0 4., co mona zapisa c) Wyznaczam równanie prostej przechodzcej przez punkty B, i C,3 : y 3 std 7 y. 4 Obliczam dugo odcinka BC: BC

3 3 Zadanie. (4 pkt) Liczba przektnych wielokta wypukego, w którym jest n boków i n 3 wyraa si wzorem nn 3 P n. Wykorzystujc ten wzór: a) oblicz liczb przektnych w dwudziestokcie wypukym. b) oblicz, ile boków ma wielokt wypuky, w którym liczba przektnych jest pi razy wiksza od liczby boków. c) sprawd, czy jest prawdziwe nastpujce stwierdzenie: Kady wielokt wypuky o parzystej liczbie boków ma parzyst liczb przektnych. Odpowied uzasadnij. a) Do podanego wzoru podstawiam 0 n i otrzymuj P W dwudziestokcie wypukym jest 70 przektnych. b) Zapisuj równanie uwzgldniajce tre tego podpunktu: Jest ono równowane równaniu kwadratowemu rozwizaniem s liczby n 0 lub n 3. n n n 3 5n. 3n 0, którego Biorc pod uwag zaoenie, e n 3 formuuj odpowied: Wieloktem wypukym, który ma 5 razy wicej przektnych ni boków jest trzynastokt. c) Powysze stwierdzenie nie jest prawdziwe, poniewa szeciokt wypuky ma 9 przektnych, czyli P6 9.

4 4 Zadanie 3. (4 pkt) Rozwi równanie Zapisz rozwizanie tego równania w postaci k, gdzie k jest liczb cakowit. Wszystkie liczby wystpujce w równaniu zapisuj w postaci potgi o podstawie : Po lewej stronie równania wyczam wspólny czynnik przed nawias, a po prawej stronie wykonuj mnoenie: dziel obie strony równania przez : Rozwizaniem równania jest liczba 45 i otrzymuj: 3.

5 5 Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosi dwukrotnie w jednym tygodniu cen benzyny, pierwszy raz o 0%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwykach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez ten koncern, kosztuje 4,6 z. Oblicz cen jednego litra benzyny przed omawianymi podwykami. Oznaczam liter cen jednego litra benzyny przed podwykami;, cena jednego litra benzyny po pierwszej podwyce;,05, cena jednego litra benzyny po obu podwykach. Zapisuj równanie:,05, 4,6,55 4,6 Rozwizaniem równania jest 4; Cena jednego litra benzyny przed podwykami bya równa 4 z.

6 6 Zadanie 5. (5 pkt) Nieskoczony cig liczbowy a jest okrelony wzorem a) Oblicz, ile wyrazów cigu a n jest mniejszych od,975. b) Dla pewnej liczby trzywyrazowy cig,, n 7 a n, n,, 3,.... n a a jest arytmetyczny. Oblicz. a) Rozwizuj nierówno,975. n Przeksztacam j do postaci równowanej 0,05 n. Nierówno t zapisuj w postaci. Jest ona speniona gdy: 40 n 40 n. Poniewa n jest liczb naturaln, wic odpowied jest nastpujca: 39 wyrazów danego cigu to liczby mniejsze od,975. b) Korzystam ze zwizku midzy ssiednimi wyrazami w cigu arytmetycznym a i zapisuj równanie: a, czyli a a Obliczam potrzebne wyrazy: a, a. 7 7 Wstawiam obliczone wartoci do równania i otrzymuj Odpowied: Trzywyrazowy cig a, a, jest arytmetyczny dla

7 7 Zadanie 6. (5 pkt) Prosta o równaniu 5 4y 0 0 przecina o O ukadu wspórzdnych w punkcie A oraz o Oy w punkcie B. Oblicz wspórzdne wszystkich punktów C lecych na osi O i takich, e trójkt ABC ma pole równe 35. Wyznaczam wspórzdne punktów A i B: A,0 oraz y 5 B 0,. B C O A C Punkt C moe lee z lewej lub z prawej strony punktu A. Przyjmujc, e w obu przypadkach wysokoci trójkta ABC jest odcinek BO, którego dugo jest równa 5 i korzystajc z faktu, e pole trójkta ABC równa si 35 zapisuj równanie: AC BO 5 AC 35 AC 8. Poniewa punkt A, 0, wic C 30,0 lub 6,0 35 Zadanie ma zatem dwa rozwizania. C.

8 8 Zadanie 7. (4 pkt) Dany jest trapez, w którym podstawy maj dugo 4 cm i 0 cm oraz ramiona tworz z dusz podstaw kty o miarach 30 i 45. Oblicz wysoko tego trapezu. D C A 45 h h.. E F 30 B Trójkt AED jest trójktem prostoktnym i równoramiennym ( DAE EDA 45 ), wic AE ED h. Korzystam z wasnoci trójkta prostoktnego BFC i zapisuj zaleno midzy przyprostoktnymi CF FB tg30, std FB CF 3, FB h 3. EF DC 4, wic otrzymuj równanie: AE 4 FB 0, z którego po podstawieniu wyznaczonych wielkoci otrzymuj: h 4 h 3 0. Obliczam wysoko trapezu: h h 3 6 h h Odpowied: Wysoko trapezu jest równa 3 3 cm.

9 9 Zadanie 8. (4 pkt) 3 Dany jest wielomian W a) Sprawd, czy punkt A, 30 naley do wykresu tego wielomianu. b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego. a) Obliczam W : 3 W W 30 Otrzymany wynik oznacza, e punkt A nie naley do wykresu wielomianu W. b) Rozkadam wielomian na czynniki: 3 W Odpowied: W

10 0 Zadanie 9. (5 pkt) Oblicz najmniejsz i najwiksz warto funkcji kwadratowej f w przedziale,. f 3. Zapisuj wzór funkcji w postaci ogólnej Wyznaczam odcit wierzchoka paraboli: w b 3. a 4 Pierwsza wspórzdna wierzchoka paraboli naley do przedziau,, wic najmniejsz wartoci funkcji f w tym przedziale jest druga wspórzdna wierzchoka: y w 5. 4a 8 Obliczam wartoci funkcji na kocach przedziau: f, f 0. Najwiksz wartoci funkcji f w podanym przedziale jest f. Odpowied: Najmniejsz wartoci funkcji w podanym przedziale jest w 5 8 y, a najwiksz f.

11 Zadanie 0. (3 pkt) Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h, okrelonej wzorem Wiadomo, e do wykresu funkcji h naley punkt P,5. a) Oblicz warto wspóczynnika a. h h jest dodatnia czy ujemna. b) Ustal, czy liczba c) Rozwi nierówno h 5. h a dla 0. y P,5 a) Korzystam z faktu, e punkt P,5 naley do wykresu funkcji h i wyznaczam wspóczynnik a: 5 Funkcja h jest dana wzorem: h a std a=0. 0. b) Z wykresu odczytuj, e h 0, natomiast 0 h h jest liczb dodatni. h. Std wynika, e Z informacji podanej w zadaniu wiem, e wykres funkcji h przechodzi przez punkt P,5. Odczytuj rozwizanie nierównoci h 5 z wykresu: jest to przedzia 0,.

12 Zadanie. (5 pkt) a 5 Pole powierzchni bocznej ostrosupa prawidowego trójktnego równa si, gdzie 4 a oznacza dugo krawdzi podstawy tego ostrosupa. Zaznacz na poniszym rysunku kt nachylenia ciany bocznej ostrosupa do paszczyzny jego podstawy. Miar tego kta oznacz symbolem. Oblicz cos i korzystajc z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj przyblion warto z dokadnoci do. S h C O D A a B Na rysunku zaznaczam kt nachylenia ciany bocznej ostrosupa do paszczyzny podstawy (punkt D jest rodkiem odcinka BC).

13 3 Wprowadzam oznaczenie: h wysoko ciany bocznej. Zapisuj równanie opisujce pole powierzchni bocznej ostrosupa: 5 a 3 a h, z którego wyznaczam wysoko ciany bocznej ostrosupa 4 a 5 h. 6 Z trójkta prostoktnego SOD, w którym a 3 OD dugo promienia 6 okrgu wpisanego w podstaw ostrosupa otrzymuj: cos. h a cos 0,447 h a Z tablicy wartoci funkcji trygonometrycznych odczytuj miar kta: 63.

14 4 Zadanie. (4 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczn szecienn kostk do gry. Oblicz prawdopodobiestwo kadego z nastpujcych zdarze: a) A w kadym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek. b) B suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczb wiksz od 9. c) C suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczb nieparzyst i wiksz od 9. dla tego dowiadczenia jest zbiorem wszystkich uporzdkowanych par, których wyrazy mog si powtarza i kady z tych wyrazów moe by jedn z liczb:,, 3, 4, 5, 6. Mona ten zbiór opisa w tabelce: (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) 3 (3,) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Zdarzeniu A sprzyja 9 zdarze elementarnych:,,,3,5, 3,, 3,3, 3,5, 5,, 5,3, 5,5. Obliczam prawdopodobiestwo zdarzenia A: 9 P A Zdarzeniu B sprzyja 6 zdarze elementarnych. atwo je wypisa: 6,6, 6,5, 6,4, 5,6, 5,5, 4,6. Obliczam prawdopodobiestwo zdarzenia B: 6 P B Zdarzeniu C sprzyjaj dwa zdarzenia elementarne: 6,5, 5,6 Obliczam prawdopodobiestwo zdarzenia C: P C. 36 8

15 BRUDNOPIS 5