KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

Transkrypt

1 Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

2

3 Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartoci funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli bezbdnie uzupeni tabel. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli poprawnie zapisze tylko wartoci funkcji dla argumentów oraz albo wyznaczy tylko miejsce zerowe funkcji. Poprawna odpowied: x,5 f x 9 0 b) Rysowanie wykresu funkcji. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli bezbdnie narysuje wykres funkcji f. Poprawna odpowied: y x c) Odczytywanie wasnoci funkcji liniowej. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli rozwie nierówno f x 6. Poprawna odpowied: x. Wyznaczanie liczb cakowitych nalecych Wiadomoci i rozumienie do danego przedziau liczbowego. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli wypisze wszystkie cakowite argumenty funkcji f speniajce nierówno f x 6. Poprawna odpowied:, 0,,,,.

4 Zadanie. pobrano z Matematyka poziom podstawowy Podawanie opisu matematycznego sytuacji przedstawionej w zadaniu w postaci ukadu równa. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli zapisze ukad równa opisujcy warunki zadania, np. m n 0. m 5n 980 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze jedno z równa, które opisuje warunki zadania, np. 7m n 980 albo m 5n 980 albo 6m 8n. Rozwizywanie ukadu równa liniowych. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli rozwie ukad równa i poda liczby detali do wykonania przez kadego z rzemielników. Poprawna odpowied: m 80 i n 60. Zadanie. a) Rozwizywanie nierównoci kwadratowej zapisanej na podstawie tekstu zadania. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli przeksztaci nierówno f x 5 x do postaci nierównoci kwadratowej, np. x x 5 0 i rozwie j. 5 Poprawna odpowied: x,,. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli przeksztaci nierówno 5 f x x do postaci nierównoci kwadratowej i na tym poprzestanie lub popeni bdy w rozwizaniu tej nierównoci. b) Podawanie zbioru wartoci funkcji. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli poda zbiór wartoci funkcji g. Poprawna odpowied:, 8. c) Przeksztacanie wzoru funkcji do innej postaci. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy wspóczynniki b i c. Poprawna odpowied: b, c 0. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli poprawnie obliczy tylko jeden ze wspóczynników albo zapisze poprawnie warunki pozwalajce na obliczenie wspóczynników b i c, ale popeni bd przy obliczaniu tych wspóczynników.

5 Zadanie. Matematyka poziom podstawowy Stosowanie praw dziaa na potgach o wykadniku naturalnym. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli poprawnie zastosuje prawa dziaa na potgach i zapisze 5 7x. równanie w postaci umoliwiajcej obliczenie niewiadomej, np. 7 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze liczby, 8, 9 w postaci potg liczby i na tym poprzestanie lub w dalszej czci rozwizania popeni bdy. Wiadomoci i rozumienie Rozwizanie równania liniowego. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli wykae, e liczba 5 7 x std Zadanie 5. a) 5 7x 7, wic 5 x. 5 x jest rozwizaniem równania, np. Zapisywanie warunków wynikajcych z równoci wielomianów. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze wszystkie zalenoci wynikajce z równoci wielomianów a a i a b c, i b. Rozwizywanie ukadu równa liniowych. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy wspóczynniki a i c. Poprawna odpowied: a i c 0. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy poprawnie tylko jeden ze wspóczynników. b) Rozkadanie wielomianu na czynniki. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli rozoy wielomian na czynniki liniowe. W ( x) x x x. Poprawna odpowied: Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze wielomian w postaci iloczynu wielomianów, W ( x) x x x W ( x) x x x, lub z których jeden jest stopnia drugiego lub W ( x) x x x i na tym poprzestanie lub dalej popeni bdy. 0 5

6 Zadanie 6. a) Matematyka poziom podstawowy Zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznych do rozwizania problemu. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli skorzysta z definicji trygonometrycznych kta a b c w trójkcie prostoktnym i przeksztaci wyraenie sin tg do postaci, gdzie bc a i b s odpowiednimi dugociami przyprostoktnych trójkta prostoktnego, za c jest dugoci przeciwprostoktnej. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli skorzysta z definicji funkcji trygonometrycznych kta a a ostrego w trójkcie prostoktnym i zapisze: sin, tg i na tym poprzestanie. c b Uzasadnienie nierównoci. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli uzasadni nierówno sin tg 0 powoujc si, np. na znak rónicy b c 0. b) Stosowanie zwizków midzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kta do przeksztacania tosamoci trygonometrycznych. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy warto wyraenia Poprawna odpowied:. cos cos sin. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli tylko obliczy warto funkcji cos i na tym zakoczy rozwizanie. Poprawna odpowied: cos. Zadanie 7. a) Stosowanie wzoru na n-ty wyraz cigu arytmetycznego. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy rónic r cigu ( a n ) oraz jego pierwszy wyraz. Poprawna odpowied: r, a. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy tylko rónic cigu i na tym zakoczy rozwizanie lub w dalszych obliczeniach popeni bd. b) Stosowanie wzoru na n-ty wyraz cigu arytmetycznego. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy wyraz a

7 Poprawna odpowied: a8. Wiadomoci i rozumienie Matematyka poziom podstawowy Sprawdzanie z definicji, czy dany cig jest geometryczny. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli uzasadni, e cig a7, a8, a jest cigiem geometrycznym. c) Stosowanie definicji na sum n pocztkowych Wiadomoci i rozumienie 0 wyrazów cigu arytmetycznego. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze wzór na sum n pocztkowych wyrazów cigu ( a n ). Poprawna odpowied: S n n n, n. 0 Wykorzystanie wasnoci funkcji kwadratowej. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli wyznaczy liczb n, dla której najmniejsz. Poprawna odpowied: n 6. S n osiga warto Zadanie 8. Dobieranie odpowiedniego algorytmu do rozwizania zadania. 0 D 8 C 5 5 A B Zdajcy otrzymuje punkty, jeli wykorzysta podobiestwo trójktów ABD oraz BDC i obliczy dugo przektnej BD oraz podstawy AB. Poprawna odpowied: BD 0, AB 50. Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy dugo odcinka BD wykorzystujc przy tym podobiestwo trójktów ABD oraz BDC. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli uzasadni, e trójkty ABD i BDC s podobne i na tym zakoczy rozwizanie lub popeni bdy. Wiadomoci i rozumienie Stosowanie zwizków miarowych w figurach paskich. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy obwód trapezu (pod warunkiem, e poprawnie obliczy dugo podstawy AB). Poprawna odpowied: 08. 7

8 Zadanie 9. pobrano z Matematyka poziom podstawowy Wyznaczenie równania prostej speniajcej warunki zadania. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli zapisze równanie prostej AB prostopadej do prostej OA. Poprawna odpowied: y x 0. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli wyznaczy tylko wspóczynnik kierunkowy prostej AB i na tym poprzestanie. Poprawna odpowied: ( ). y 0 B=(0,0) A=(,) x Obliczenie wspórzdnych punktu przecicia dwóch prostych. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy wspórzdne punktu A. A,. Poprawna odpowied: Wiadomoci i rozumienie Wykorzystanie pojcia odlegoci na paszczynie kartezjaskiej. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy dugo przyprostoktnej OA. Poprawna odpowied: OA 5. Zadanie 0. a) Obliczanie redniej arytmetycznej. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy redni liczb bdów i zapisze wynik w zaokrgleniu do caoci. 57 Poprawna odpowied: x,9. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli poprawnie zastosuje wzór na redni arytmetyczn i na tym poprzestanie lub popeni bd w obliczaniu redniej, albo le zaokrgli wynik. 8

9 Matematyka poziom podstawowy b) Obliczanie prawdopodobiestwa zdarze. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy prawdopodobiestwo zdarzenia A i zapisze wynik w postaci uamka nieskracalnego. 6 Poprawna odpowied: P( A). 5 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy moc zbioru i moc zbioru A w tym samym modelu i na tym poprzestanie lub popeni bd w obliczeniach, albo nie poda prawdopodobiestwa w postaci uamka nieskracalnego. 0 9 Poprawna odpowied: 5 i A 9 89 lub 0 9 i A 9. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli poprawnie policzy moc zbioru. Zadanie. a) Stosowanie zwizków miarowych w bryach z uyciem trygonometrii. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy objto walca. 5 Poprawna odpowied: V. Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy pole powierzchni bocznej walca i promie jego podstawy i na tym zakoczy lub popeni bd w obliczaniu objtoci walca. Poprawna odpowied: Pb 6, r. Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy pole powierzchni bocznej walca albo wysoko walca i promie jego podstawy i nie kontynuuje rozwizania. Poprawna odpowied: Pb 6 albo h 6 i r. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy dugo jednego z boków prostokta, który jest powierzchni boczn walca: h lub r. Poprawna odpowied: h 6 lub r 6. Wiadomoci i rozumienie Szacowanie wartoci liczbowej. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli uzasadni, e objto walca jest mniejsza od 8. Za prawidowe rozwizanie kadego z zada inn metod ni przedstawiona w kluczu punktowania przyznajemy maksymaln liczb punktów. 9

10

11 Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

12

13 Zadanie. a) Wiadomoci i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojcia wartoci argumentu i wartoci funkcji. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy warto funkcji f dla x 009. f Poprawna odpowied: Interpretowanie otrzymanych wyników. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze wniosek. Poprawna odpowied: Punkt P naley do wykresu funkcji f. b) Rysowanie w ukadzie wspórzdnych zbioru opisanego ukadem warunków. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli narysuje bezbdnie zbiór opisany w zadaniu. Poprawna odpowied: y 0 x Zdajcy otrzymuje punkt, jeli narysuje proste o równaniach y x, i na tym zakoczy lub popeni bdy w zaznaczaniu opisanego zbioru. y x Zadanie. Zapisanie wielomianu, który przy dzieleniu przez dany dwumian daje wskazany iloraz i dan reszt. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze wielomian zadania. Poprawna odpowied: W ( x) ( x )(8x x ) 5 0 W x w postaci wynikajcej z warunków

14 Matematyka poziom rozszerzony Wiadomoci i rozumienie Wykonywanie dziaa na wielomianach. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli uporzdkuje wielomian Poprawna odpowied: x 8x x 8x 9 W. W x. Wyznaczanie pierwiastków wielomianu. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy pierwiastki wielomianu Poprawna odpowied: x,5, x 0,5, x,5. W x. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze wielomian W w postaci iloczynu czynnika stopnia pierwszego i czynnika stopnia drugiego, np. W x (x )(x 9) rozwizanie lub popeni bdy w wyznaczaniu pierwiastków wielomianu. x i na tym zakoczy Zadanie. a) Wiadomoci i rozumienie Wykorzystanie definicji funkcji wykadniczej. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy warto podstawy a. Poprawna odpowied: a. b) Rysowanie wykresu funkcji typu y f x b. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli narysuje wykres funkcji x f x Poprawna odpowied: y g. 5 gx y= x Zdajcy otrzymuje punkt, jeli narysuje tylko wykres funkcji y f ( x) i na tym poprzestanie lub popeni bdy przy dalszym przeksztacaniu wykresu. Interpretowanie liczby rozwiza równania z parametrem. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli poda wszystkie wartoci parametru m, dla których równanie g( x) m ma dokadnie jedno rozwizanie. Poprawna odpowied: 0, m.

15 Zadanie. Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie definicji cigu arytmetycznego. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli rozpozna, e cig liczb monet wkadanych do skarbca przez kolejne dni przez skarbnika jest arytmetyczny. Poprawna odpowied: Liczby monet wkadanych przez kolejne dni przez skarbnika tworz cig arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym 5 i rónicy równej. Zdajcy podaje opis matematyczny sytuacji w postaci funkcji. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze wzór na po poudniu. 5 Poprawna odpowied: 5 n M n k n 50n n 6n k. 0 M n liczb monet w n tym dniu Formuowanie wniosków wynikajcych z postaci badanego wyraenia. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli zapisze warunek wystarczajcy na to, aby w skarbcu zawsze byy monety i wyznaczy najmniejsz liczb k. Poprawna odpowied: np. M n n k 69 0, wic najmniejsz liczb k jest 70 albo 0 (bo n w N ) czyli 6 k 0, std k 69, wic najmniejsz liczb k jest 70. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze tylko warunek wystarczajcy na to, aby w skarbcu zawsze byy monety i na tym zakoczy rozwizanie lub popeni bdy przy wyznaczaniu najmniejszej liczby k. Poprawna odpowied: np. 6 k 0. M n n k 69 0 lub 0, bo n w N, std Posugiwanie si definicj i wasnociami funkcji kwadratowej. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy, w którym dniu w skarbcu bya najmniejsza liczba monet. Poprawna odpowied: n. Zadanie 5. Wykonywanie dziaa na potgach o wykadnikach rzeczywistych. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli wykae równo B 9 A. Zdajcy otrzymuje punkty, jeli poprawnie zastosuje wzór na iloczyn potg o tych samych podstawach i wzór na potg potgi i na tym zakoczy. Poprawna odpowied: B, o ile dowód równoci jest prowadzony od jej lewej strony do prawej albo 5

16 9 A do lewej. Matematyka poziom rozszerzony, o ile dowód równoci jest prowadzony od jej prawej strony Zdajcy otrzymuje punkt, jeli poprawnie zastosuje jedynie wzór na iloczyn potg o tych samych podstawach albo tylko wzór na potg potgi i na tym zakoczy. Poprawna odpowied: B lub B...,o ile dowód równoci jest prowadzony od jej lewej strony do prawej albo 9 9 A... równoci jest prowadzony od jej prawej strony do lewej. A lub, o ile dowód Zadanie 6. Posugiwanie si definicj logarytmu. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli wykorzysta definicj logarytmu i zapisze wszystkie warunki okrelajce dziedzin funkcji f. Poprawna odpowied: 9 x 0, cos x 0, cos x. Wiadomoci i rozumienie Rozwizywanie nierównoci kwadratowej. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli rozwie nierówno kwadratow. x,. Poprawna odpowied: Odczytywanie z wykresu odpowiedniej funkcji zbioru rozwiza nierównoci trygonometrycznej w przedziale ograniczonym. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli poda zbiór rozwiza nierównoci cos x 0 i w przedziale,. cos x y 0 x Poprawna odpowied: x, i x i x. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli poda zbiór rozwiza tylko jednej z nierównoci. 6

17 Matematyka poziom rozszerzony Zapisanie czci wspólnej zbiorów w postaci sumy przedziaów liczbowych. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze dziedzin funkcji f. Poprawna odpowied: D f,,,. 0 Zadanie 7. Stosowanie wasnoci cigu geometrycznego. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli wykorzysta wasno cigu geometrycznego i zapisze równanie opisujce warunki zadania. Poprawna odpowied: x 6 x x. Wiadomoci i rozumienie Rozwizywanie równania kwadratowego. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli rozwie równanie kwadratowe. Poprawna odpowied: x lub x 5. 5 Wybór cigu speniajcego warunki zadania. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli wybierze odpowiedni warto x, tak aby wszystkie wyrazy cigu byy dodatnie. Poprawna odpowied: x 5. Stosowanie definicji cigu geometrycznego. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy iloraz cigu. Poprawna odpowied: q. Oszacowanie ilorazu sumy 9-tu przez sum 0-tu pocztkowych wyrazów cigu geometrycznego. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli oszacuje iloraz. 9 Poprawna odpowied: np. Przeksztacajc równowanie nierówno dostaje kolejno:,, 0, co jest prawd. To koczy dowód. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli wykorzysta wzór na sum n pocztkowych wyrazów cigu S9 geometrycznego i zapisze iloraz w postaci umoliwiajcej oszacowanie. S Poprawna odpowied: S S

18 Zadanie 8. pobrano z Matematyka poziom rozszerzony Podanie opisu matematycznego danej sytuacji problemowej. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli zapisze zaleno midzy promieniami okrgów. Poprawna odpowied: R r R r. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze dugo przeciwprostoktnej trójkta prostoktnego równoramiennego ABC w zalenoci od R i r i na tym zakoczy rozwizanie lub w dalszej czci popeni bdy. B R R r A r. C Poprawna odpowied: AB R r. Przetwarzanie informacji do postaci uatwiajcej rozwizanie problemu. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy stosunek promieni wikszego i mniejszego okrgu. R Poprawna odpowied:. r R r R r do postaci Zdajcy otrzymuje punkt, jeli przeksztaci zaleno umoliwiajcej obliczenie stosunku promieni i na tym zakoczy rozwizanie. R R Poprawna odpowied: np. r R lub, r r r r lub. R R 8

19 Zadanie 9. Matematyka poziom rozszerzony Wiadomoci i rozumienie Wyznaczanie rodka i promienia okrgu. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli narysuje w ukadzie wspórzdnych opisany w zadaniu okrg i zaznaczy dany punkt A. y 5 0 A x Wyznaczanie równania rodziny prostych (nierównolegych do osi Oy) przechodzcych przez dany punkt. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze równanie szukanej rodziny stycznych. Poprawna odpowied: y ax lub ax y 0. Analizowanie wzajemnego pooenia prostej i okrgu. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze warunek stycznoci prostej k o równaniu y ax i danego okrgu. Poprawna odpowied: Odlego rodka okrgu S od prostej k jest równa promieniowi okrgu. Stosowanie wzoru na odlego punktu od prostej. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze równanie z niewiadom a. a Poprawna odpowied:. a Wyciganie wniosku i zapisanie równania prostej. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze równanie szukanej stycznej. Poprawna odpowied: y x. 9

20 Zadanie 0. pobrano z Matematyka poziom rozszerzony Analizowanie sytuacji i budowanie jej modelu matematycznego. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli zapisze liczb wszystkich zdarze elementarnych oraz liczby zdarze elementarnych sprzyjajcych zdarzeniu A w tym samym modelu. n nn Poprawna odpowied: nn, A nn lub n n, A n n gdzie n liczba kul czarnych, n liczba kul biaych, dla n. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze tylko liczb wszystkich zdarze elementarnych i na tym zakoczy rozwizanie. Obliczanie prawdopodobiestwa. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zapisze prawdopodobiestwo zdarzenia A w postaci wyraenia wymiernego. n Poprawna odpowied: P A. n Analizowanie sytuacji i budowanie jej modelu matematycznego. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli rozwie nierówno w urnie. Poprawna odpowied: W urnie s kule albo jest 8 kul. n 9 n i poda liczb kul Zadanie. Wykorzystanie funkcji trygonometrycznych w trójkcie prostoktnym. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy cosinusa kta midzy krawdzi boczn a krawdzi podstawy ostrosupa. Poprawna odpowied: cos. Narysowanie przekroju ostrosupa paszczyzn. 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zaznaczy waciwy przekrój na rysunku. 0 0

21 Poprawna odpowied: Matematyka poziom rozszerzony S F C A E O B D Zastosowanie twierdzenia cosinusów. 0 Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy wysoko opuszczon na podstaw AB w trójkcie równoramiennym ABF (szukanym przekroju). a 5 Poprawna odpowied: hp. Zdajcy otrzymuje punkty, jeli obliczy dugo ramienia trójkta równoramiennego ABF i na tym zakoczy rozwizanie. a 6 Poprawna odpowied: AF BF. Zdajcy otrzymuje punkt, jeli zastosuje twierdzenie cosinusów i zapisze równanie z niewiadom x, gdzie x BF i na tym zakoczy rozwizanie lub w dalszej czci popeni bdy. Poprawna odpowied: x a a a a. Obliczanie pola przekroju ostrosupa 0 Zdajcy otrzymuje punkt, jeli obliczy pole przekroju. a 5 Poprawna odpowied: Pp. Za prawidowe rozwizanie kadego z zada inn metod ni przedstawiona w kluczu punktowania przyznajemy maksymaln liczb punktów.