EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

Transkrypt

1 pobrano z wwwsqlmediapl entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0

2 pobrano z wwwsqlmediapl Zadanie (0 ) Obszar standardów Opis wymaga pojcia wartoci bezwzgldnej i jej interpretacji geometrycznej do wskazania zbioru rozwiza nierównoci typu x a b (IIf) Poprawna odpowied ( p) Wersja arkusza Wersja arkusza D Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne Zastosowanie pojcia procentu (IIId) Zadanie (0 ) i tworzenie informacji Wykonanie oblicze z zastosowaniem wzorów na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potgi o wykadniku naturalnym (Ih) Zadanie 4 (0 ) i tworzenie informacji Rozwizanie ukadu równa liniowych (Ic) Zadanie (0 ) interpretacji wspóczynników we wzorze funkcji liniowej (II4g) D Zadanie 6 (0 ) Odczytanie ze wzoru funkcji kwadratowej wspórzdnych wierzchoka paraboli (II4b) D Zadanie 7 (0 ) i tworzenie informacji Posugiwanie si wzorami skróconego mnoenia (Ia)

3 pobrano z wwwsqlmediapl Zadanie 8 (0 ) adanie prostopadoci prostych na podstawie ich równa kierunkowych (II8c) D Zadanie 9 (0 ) wspóczynników we wzorze funkcji liniowej do okrelenia pooenia prostej w ukadzie wspórzdnych (II4g) Zadanie 0 (0 ) i tworzenie informacji Rozwizanie nierównoci liniowej i wskazanie najmniejszej liczby speniajcej t nierówno (I) Zadanie (0 ) i tworzenie informacji wykresu funkcji y f x do wskazania wykresu funkcji typu y f x a, y f x a y f x, y f x (I4d), Zadanie (0 ) wasnoci cigu geometrycznego (IIc) Zadanie (0 ) wasnoci cigu arytmetycznego (IIc) Zadanie 4 (0 ) Zastosowanie prostych zwizków midzy funkcjami trygonometrycznymi kta ostrego do obliczenia wartoci wyraenia (II6c) D Zadanie (0 ) i tworzenie informacji zwizków midzy ktem wpisanym i rodkowym (I7a) D Zadanie 6 (0 ) i tworzenie informacji Rozwizanie równania wielomianowego (Id)

4 4 pobrano z wwwsqlmediapl Zadanie 7 (0 ) Zadanie 8 (0 ) Obliczanie odlegoci punktów na paszczynie i obwodu rombu (II8e) wspórzdnych rodka odcinka do wyznaczenia jednego z koców tego odcinka (II8f) D D Zadanie 9 (0 ) Posugiwanie si równaniem okrgu x a y b r (II8g) Zadanie 0 (0 ) i tworzenie informacji Wyznaczanie zwizków miarowych w wielocianie (I9b) Zadanie (0 ) Wyznaczanie zwizków miarowych w bryach obrotowych (II9b) Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne Stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobiestwa do obliczania prawdopodobiestw zdarze (III0d) Zadanie (0 ) i tworzenie informacji Wykonywanie oblicze na liczbach rzeczywistych, w tym oblicze na pierwiastkach (Ia) Zadanie 4 (0 ) Obliczanie mediany uporzdkowanego zestawu danych (II0a) D Zadanie (0 ) zwizków miarowych w graniastosupie do obliczenia jego objtoci (II9b)

5 pobrano z wwwsqlmediapl Schemat oceniania do zada otwartych Zadanie 6 (0 ) Rozwi równanie x x x i interpretowanie reprezentacji Rozwizanie równania wielomianowego metod rozkadu na czynniki (IId) I sposób rozwizania (metoda grupowania) Przedstawiamy lew stron równania w postaci iloczynu stosujc metod grupowania wyrazów: x x 8 x 8 0 x x 8 x 0 x x lub 8 0 Std x lub x 8 lub x 8 Schemat oceniania I sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje pkt x x 8, gdy zapisze lew stron równania w postaci iloczynu, np: x x 8 x 8, przy czym posta ta musi by otrzymana w sposób poprawny i na tym poprzestanie lub dalej popeni bdy Zdajcy otrzymuje pkt gdy wyznaczy bezbdnie wszystkie rozwizania równania: x, x 8, x 8 II sposób rozwizania (metoda dzielenia) Stwierdzamy, e liczba jest pierwiastkiem wielomianu wielomian x x 8x Dzielimy x 8 x x x przez dwumian x Otrzymujemy iloraz Zapisujemy równanie w postaci x x 8 0 x x x i x lub x 8 lub x Std Schemat oceniania II sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje pkt gdy podzieli wielomian x x 8x 6 x 8 i na tym poprzestanie lub dalej popeni bdy przez dwumian x, otrzyma iloraz Zdajcy otrzymuje pkt gdy wyznaczy bezbdnie wszystkie rozwizania równania: x, x 8, x 8

6 6 pobrano z wwwsqlmediapl Zadanie 7 (0 ) Kt jest ostry i sin i interpretowanie reprezentacji Oblicz warto wyraenia sin cos Zastosowanie prostych zwizków midzy funkcjami trygonometrycznymi kta ostrego do obliczenia wartoci wyraenia (II6c) I sposób rozwizania (wykorzystanie znanych wartoci funkcji trygonometrycznych) Poniewa jest ostry i sin, wic 60 Zatem cos cos 60 Std sin cos 0 Schemat oceniania I sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje pkt gdy zapisze warto cosinusa kta : cos i na tym poprzestanie lub dalej popeni bdy Zdajcy otrzymuje pkt gdy obliczy, e sin cos 0 II sposób rozwizania (wykorzystanie zwizków midzy funkcjami trygonometrycznymi) Obliczamy sin, nastpnie korzystajc z tosamoci sin cos 4 obliczamy cos, std sin cos 0 4 korzystajc z tosamoci sin cos, przeksztacamy wyraenie sin cos do postaci 4sin, a nastpnie obliczamy jego warto: 4sin 0 Schemat oceniania II sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje pkt gdy: obliczy cos 4 zapisze wyraenie w postaci sin sin i na tym poprzestanie lub dalej popeni bdy Zdajcy otrzymuje pkt gdy obliczy, e sin cos 0

7 pobrano z wwwsqlmediapl III sposób rozwizania (trójkt prostoktny) x x 7 b Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy b x x, wic b x Std x cos, wic x sin cos 0 Schemat oceniania III sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje pkt gdy: narysuje trójkt prostoktny o przyprostoktnej dugoci i przeciwprostoktnej dugoci (lub ich wielokrotnoci), obliczy dugo drugiej przyprostoktnej, zaznaczy w tym trójkcie poprawnie kt, obliczy cosinus tego kta i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy obliczy dugo przyprostoktnej trójkta prostoktnego o przyprostoktnej dugoci i przeciwprostoktnej dugoci (lub ich wielokrotnoci) z bdem rachunkowym, obliczy cosinus tego kta cos (o ile otrzymana warto jest dodatnia i mniejsza od ) i konsekwentnie obliczy warto wyraenia sin cos Zdajcy otrzymuje pkt gdy obliczy warto sin cos 0 Zadania 8 (0 ) Udowodnij, e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, e x y z 0, prawdziwa jest nierówno xy yz zx 0 x y z x y z xy xz yz Moesz skorzysta z tosamoci Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie prawdziwoci nierównoci algebraicznej (Vb) I sposób rozwizania Podnosimy obie strony równoci x y z 0 do kwadratu i otrzymujemy równo równowan Std x y z xy xz yz 0

8 8 pobrano z wwwsqlmediapl xy xz yz x y z Poniewa suma kwadratów liczb x, y, z jest nieujemna, wic xy yz zx 0, co koczy dowód 0 x y z, czyli Schemat oceniania I sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje pkt gdy podniesie obie strony równoci x y z 0 do kwadratu i zapisze np xy xz yz x y z lub xy xz yz x y z i na tym dowód zakoczy nie uzasadniajc znaku wyraenia x y z lub x y z Zdajcy otrzymuje pkt gdy przeprowadzi peny dowód II sposób rozwizania Z równoci x y z 0 wyznaczamy jedn z liczb, np z x y Wtedy otrzymujemy Wyraenie wyrónik jest równy xy xz yz xy x x y y x y xy x xy xy y x xy y x xy y x xy y traktujemy jak trójmian kwadratowy zmiennej x Wówczas jego y 4 y y 0 To, wraz z dodatnim znakiem wspóczynnika przy x, oznacza, e trójmian przyjmuje jedynie wartoci nieujemne, czyli x xy y 0 Std xy xz yz x xy y 0 4 Moemy równie zauway, e x xy y x y y Jest to suma dwóch liczb nieujemnych, a wic jest nieujemna Std xy xz yz x xy y 0 Moemy równie zauway, e x xy y x x y y Jest to suma trzech 0 liczb nieujemnych, a wic jest nieujemna Std xy xz yz x xy y To koczy dowód Schemat oceniania II sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje pkt gdy wyznaczy z równoci x y z 0 jedn z liczb i zapisze wyraenie xy xz yz w zalenoci od dwóch zmiennych, np zmiennych x i y: i na tym dowód zakoczy nie uzasadniajc znaku wyraenia xy xz yz x xy y x xy y Zdajcy otrzymuje pkt gdy przeprowadzi peny dowód

9 pobrano z wwwsqlmediapl Zadania 9 (0 ) Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f x okrelonej dla x 7, y x 9 Odczytaj z wykresu i zapisz: a) najwiksz warto funkcji f, b) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartoci ujemne Rozwizanie Odczytujemy z wykresu najwiksz warto funkcji f Jest ona równa 7 Podajemy zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartoci ujemne:, Schemat oceniania Zdajcy otrzymuje pkt gdy: i interpretowanie reprezentacji poda najwiksz warto funkcji: 7 i nie poda zbioru tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartoci ujemne poda zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartoci ujemne:, i nie poda najwikszej wartoci funkcji f Uwaga x, lub x lub x i x kceptujemy zapisy: lub x, x Odczytywanie z wykresu funkcji zbioru jej wartoci oraz przedziaów w których funkcja przyjmuje wartoci ujemne (II4b) Zdajcy otrzymuje pkt gdy poda najwiksz warto funkcji oraz poda zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartoci ujemne: 7,, Kryteria oceniania uwzgldniajce specyficzne trudnoci w uczeniu si matematyki,, x, W rozwizaniu podpunktu b) akceptujemy zapisy: x, x,

10 0 pobrano z wwwsqlmediapl Zadania 0 (0 ) Rozwi nierówno x 7x 0 i interpretowanie reprezentacji Rozwizanie Rozwizanie nierównoci kwadratowej skada si z dwóch etapów Pierwszy etap rozwizania: Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x 7x obliczamy wyrónik tego trójmianu: i std x oraz x 4 4 stosujemy wzory Viète a: x x oraz Rozwizanie nierównoci kwadratowej (IIa) 7 x x, std x oraz x podajemy je bezporednio, np zapisujc pierwiastki trójmianu lub posta iloczynow trójmianu lub zaznaczajc je na wykresie x, x lub x x Drugi etap rozwizania: y x - Podajemy zbiór rozwiza nierównoci:,, lub,, x lub ( x lub x ) Schemat oceniania Zdajcy otrzymuje pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwizania i na tym poprzestanie lub bdnie zapisze zbiór rozwiza nierównoci, np

11 pobrano z wwwsqlmediapl obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x, x i na tym poprzestanie lub bdnie zapisze zbiór rozwiza nierównoci, zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f ( x) x 7x i na tym poprzestanie lub bdnie zapisze zbiór rozwiza nierównoci, 0 4 rozoy trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np x x i na 4 4 tym poprzestanie lub bdnie rozwie nierówno, 7 zapisze nierówno x i na tym poprzestanie lub bdnie zapisze zbiór 4 4 rozwiza nierównoci, realizujc pierwszy etap popeni bd (ale otrzyma dwa róne pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwie nierówno, np popeni bd rachunkowy przy obliczaniu wyrónika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popenionego bdu rozwie nierówno, bdnie zapisze równania wynikajce ze wzorów Viète a, np: x x 7 x x i konsekwentnie do popenionego bdu rozwie nierówno, bdnie zapisze nierówno, np bdu rozwie nierówno oraz 7 x i konsekwentnie do popenionego 4 4 Zdajcy otrzymuje pkt gdy: poda zbiór rozwiza nierównoci:,, lub x,, lub ( x lub x ), sporzdzi ilustracj geometryczn (o liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiza nierównoci w postaci: x, x poda zbiór rozwiza nierównoci w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi kocami przedziaów x

12 pobrano z wwwsqlmediapl Kryteria oceniania uwzgldniajce specyficzne trudnoci w uczeniu si matematyki kceptujemy sytuacj, gdy zdajcy poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x, i zapisze, np x,,, popeniajc tym samym bd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwizanie otrzymuje punkty Jeli zdajcy pomyli porzdek liczb na osi liczbowej, np zapisze zbiór rozwiza nierównoci w postaci x,,, to otrzymuje punkty x Zadania (0 ) Wyka, e liczba jest podzielna przez 7 Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (Vg) Rozwizanie 98 Wyczamy wspólny czynnik przed nawias Schemat oceniania rozwizania Doprowadzamy do postaci Zdajcy otrzymuje pkt gdy zapisze liczb w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników jest potg 6 k 98, gdzie 80 k i na tym poprzestanie lub dalej popenia bdy, np Zdajcy otrzymuje pkt gdy zapisze liczb w postaci, w której wida podzielno przez 7 przeprowadzi rozumowanie uzasadniajce podzielno przez 7 Zadania (0 4) Punkt S jest rodkiem okrgu opisanego na trójkcie ostroktnym Kt S jest trzy razy wikszy od kta S, a kt S jest dwa razy wikszy od kta S Oblicz kty trójkta S Uycie i tworzenie strategii Wyznaczanie zwizków miarowych w figurach paskich (IV7c)

13 pobrano z wwwsqlmediapl I sposób rozwizania Poniewa trójkt jest ostroktny, wic rodek okrgu opisanego na tym trójkcie ley wewntrz tego trójkta Niech oznacza miar kta S Wówczas S i S Kady z trójktów S, S i S jest równoramienny, wic S S, S S, S S Miary któw trójkta s wic równe 4,, Suma miar któw trójkta jest równa 80, zatem 4 80, 80, Wic , 4, 7 Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania pkt Zapisanie miar któw S, S i S w zalenoci od jednej zmiennej, np: S, S i S wykorzystanie faktu, e co najmniej dwa sporód trójktów S, S i S s równoramienne, np: S S, S S, S S Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Zapisanie miar któw S, S i S w zalenoci od jednej zmiennej, np: S, S i S oraz wykorzystanie faktu, e co najmniej dwa sporód trójktów S, S i S s równoramienne, np: S S, S S, S S Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt S

14 4 pobrano z wwwsqlmediapl Zapisanie równania z jedn niewiadom pozwalajcego obliczy miary któw trójkta, np: 4 80 Rozwizanie pene 4 pkt Obliczenie miar któw trójkta : 60, 4, 7 II sposób rozwizania Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku z Poniewa trójkt jest ostroktny, wic rodek okrgu opisanego na tym trójkcie ley wewntrz tego trójkta Z twierdzenia o kcie rodkowym i wpisanym otrzymujemy S z, S x, S y Suma któw w kadym z trójktów S, S i S jest równa 80, wic otrzymujemy ukad równa y z 80 i z x 80i x y Poniewa i, wic ukad moemy zapisa w postaci x 80 y 6 z 80 i z x 80 i x y 4 80, 7 y z 80 i 4 x z 80 i 7 x y 80 Mnoc strony pierwszego równania przez, drugiego przez 4 otrzymujemy S 4 y 4z 60 i 6 8x 4z 70 i 7 x y 80 y Dodajc stronami otrzymujemy 9 9x 40, x 60, czyli 60 Zatem S 0 Trójkt S jest równoramienny, wic 0, czyli Std 4, S S 0, zatem

15 pobrano z wwwsqlmediapl Schemat oceniania II sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania pkt Zapisanie miar któw S, S i S w zalenoci od jednej zmiennej, np: S, S i S wykorzystanie zalenoci midzy ktami rodkowymi S, S i S oraz odpowiednimi ktami wpisanymi i zapisanie ukadu co najmniej trzech równa, np: y z 80 i z x 80i x y gdzie x 80, S, y S, z S, S, S Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Zapisanie miar któw S, S i S w zalenoci od jednej zmiennej, np: S, S i S oraz wykorzystanie zalenoci midzy ktami rodkowymi S, S, S oraz odpowiednimi ktami wpisanymi i zapisanie ukadu co najmniej trzech równa z czterema niewiadomymi, np: y 6 z 80 i z 4 y 80 i x y 4 80 Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Obliczenie miary kta : x 60 Rozwizanie pene 4 pkt Obliczenie miar któw trójkta : 60, 4, 7 Zadanie (0 4) Pole podstawy ostrosupa prawidowego czworoktnego jest równe 00 cm, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 60 cm Oblicz objto tego ostrosupa Uycie i tworzenie strategii Wyznaczanie zwizków miarowych w wielocianach (IV9b)

16 6 pobrano z wwwsqlmediapl Rozwizanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku S Pole podstawy ostrosupa jest równe 00, wic a 00 Std a 0 Pole powierzchni bocznej jest równe 60, wic 4 60 ah Std i z poprzedniego wyniku 0h 60, wic h Poniewa trójkt EOS jest prostoktny, wic a H h, H, H 44, H Objto ostrosupa jest zatem równa V Pp H Odpowied: Objto ostrosupa jest równa 400 cm D a Schemat oceniania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania pkt Zdajcy obliczy dugo krawdzi podstawy ostrosupa: a 0 Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Zdajcy obliczy wysoko ostrosupa: H Uwaga Jeeli zdajcy obliczy wysoko ciany bocznej h i nie traktuje jej jako wysokoci ostrosupa i na tym zakoczy, to otrzymuje punkty Jeeli natomiast przyjmuje, e obliczona wysoko ciany bocznej jest wysokoci ostrosupa, to otrzymuje co najwyej punkt za cae rozwizanie Rozwizanie pene 4 pkt Zdajcy obliczy objto ostrosupa: 400 V cm Uwagi Nie zwracamy uwagi na jednostki (zdajcy moe je pomin) Jeeli zdajcy przyjmie, e pole powierzchni bocznej ostrosupa jest polem powierzchni cakowitej, to moe otrzyma co najwyej punkt za cae rozwizanie H O h E

17 pobrano z wwwsqlmediapl Jeeli zdajcy przyjmie, e pole powierzchni bocznej ostrosupa jest polem jednej ciany bocznej i konsekwentnie do tego bdu obliczy objto ostrosupa, to moe otrzyma co najwyej punkty za cae rozwizanie Zadanie 4 (0 ) Dwa miasta czy linia kolejowa o dugoci 6 kilometrów Pierwszy pocig przeby t tras w czasie o 40 minut krótszym ni drugi pocig rednia prdko pierwszego pocigu na tej trasie bya o 9 km/h wiksza od redniej prdkoci drugiego pocigu Oblicz redni prdko kadego z tych pocigów na tej trasie 7 Modelowanie matematyczne Rozwizanie zadania, umieszczonego w kontekcie praktycznym, prowadzcego do równania kwadratowego (IIIb) Rozwizanie Niech v oznacza redni prdko (w km / h ) pierwszego pocigu na tej trasie, t - czas przejazdu (w godzinach) pierwszego pocigu na tej trasie Wtedy v 9 oznacza redni prdko drugiego pocigu na tej trasie, t - czas przejazdu drugiego pocigu na tej trasie Zapisujemy ukad równa v t 6 v 9t 6 6 Z pierwszego równania wyznaczamy t i podstawiamy do równania drugiego v Otrzymujemy równanie z niewiadom v, które przeksztacamy równowanie v v 6 v 9 6, v v, v (lub v 8v lub v Równanie to ma dwa rozwizania v 7, v 6 0 Drugie z tych rozwiza odrzucamy (prdko nie moe by ujemna) Gdy v 7, to wtedy v 9 6 9v 46 0 ) Odpowied: rednia prdko pierwszego pocigu jest równa 7 km / h, rednia prdko drugiego pocigu równa si 6 km / h

18 8 pobrano z wwwsqlmediapl Schemat oceniania W poniej zamieszczonym schemacie uywamy niewiadomych v, t oznaczajcych odpowiednio, prdko i czas Oczywicie w pracach maturalnych te niewiadome mog by oznaczane w inny sposób Nie wymagamy, aby te niewiadome byy wyranie opisane na pocztku rozwizania, o ile z postaci równa jasno wynika ich znaczenie Rozwizanie, w którym postp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do cakowitego rozwizania zadania pkt Zdajcy zapisze równanie, w którym co najmniej jedna z wielkoci (prdko, czas) jest uzaleniona od przyjtej niewiadomej, np: v 9t 6 v 9t 6 Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Zdajcy zapisze ukad równa z niewiadomymi v i t, np: vt 6 i v 9t 6 v t 6 i v 9 t 6 Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Zdajcy zapisze równanie z jedn niewiadom v lub t 6 v t 6 v t 6 v t 6 v t Uwaga Zdajcy nie musi zapisywa ukadu równa, moe bezporednio zapisa równanie z jedn niewiadom Rozwizanie zadania do koca, lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np drobne bdy rachunkowe lub wadliwe przepisanie) 4 pkt zdajcy rozwie równanie z niewiadom v lub t z bdem rachunkowym i konsekwentne do popenionego bdu zapisze prdkoci obu pocigów zdajcy rozwie równanie kwadratowe i zapisze prdko tylko jednego pocigu Rozwizanie pene pkt Zdajcy obliczy rednie prdkoci obu pocigów: rednia prdko pierwszego pocigu równa si 7 km / h, rednia prdko drugiego pocigu równa si 6 km / h Uwagi Oceniamy na 0 punktów rozwizania, w których uoone równania zawieraj niezgodno typu wielkoci po obu stronach: po jednej stronie prdko, po drugiej czas lub niezgodno jednostek: prdko w kilometrach na godzin, czas w minutach, o ile nie s zapisane jednostki Jeeli zdajcy oznaczy redni prdko pierwszego pocigu przez v (w km / h ), a przez t czas przejazdu pierwszego pocigu na tej trasie, a potem zapisze, e prdko rednia drugiego pocigu jest równa v 9 i czas przejazdu drugiego pocigu na tej trasie

19 pobrano z wwwsqlmediapl jest równy t, a nastpnie zapisze ukad równa vt 6 i v 9t 6 i doprowadzi go do równania z jedn niewiadom, to otrzymuje punkt Jeli rozwie to równanie, to otrzymuje punkty, a jeli doprowadzi rozwizanie zadania do koca konsekwentnie do uoonego ukadu równa lub przyjtych oznacze, to otrzymuje punkty (otrzymujc odpowiednio v 6 i v 9 7 v 6 i v 9 4 ) Kryteria oceniania uwzgldniajce specyficzne trudnoci w uczeniu si matematyki Przykad Jeli zdajcy przedstawi nastpujce rozwizanie: v - prdko pierwszego pocigu, t - czas pokonania caej trasy w godzinach przez pierwszy pocig 6 v 9 t 6 v t 6 v 9t i na tym zakoczy, to takie rozwizanie kwalifikujemy do kategorii Rozwizanie, w którym jest istotny postp i przyznajemy punkty, mimo e w drugim równaniu ukadu zdajcy nie 6 uj wyraenia t w nawias Zapis równania v 9 wskazuje na poprawn t interpretacj zalenoci midzy wielkociami Przykad Jeli zdajcy przedstawi nastpujce rozwizanie: v - prdko pierwszego pocigu, t - czas pokonania caej trasy w godzinach przez pierwszy pocig 6 v t 6 v t v 9 t t t i na tym zakoczy, to takie rozwizanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych 6 6 trudnoci zadania i przyznajemy punkty, mimo e w równaniu 9 zdajcy t t przestawi cyfry w zapisie liczby 6 i pomin liczb w mianowniku uamka 9 Przykad Jeli zdajcy otrzyma inne równanie kwadratowe, np v v 9v 46 0 zamiast równania 9v 46 0 (np w wyniku zego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak rozwie otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwizanie i pozostawi wynik,

20 0 pobrano z wwwsqlmediapl który moe by realn prdkoci jednego z pocigów, to takie rozwizanie kwalifikujemy do kategorii Rozwizanie pene i przyznajemy punktów