Materia wiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Transkrypt

1 Materia wiczeiowy z matematyki Marzec Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych POZIOM PODSTWOWY

2 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Klucz puktowaia do zada zamkitych Nr zad Odp. D C D C C D C C D Zadaie. ( pkt) Rozwi ierówo Schemat oceiaia do zada otwartych Rozwizaie Rozwizaie ierówoci kwadratowej skada si z dwóch etapów. Pierwszy etap moe by realizoway a sposoby: I sposób rozwizaia (realizacja pierwszego etapu) Zajdujemy pierwiastki trójmiau kwadratowego obliczamy wyróik tego trójmiau: i std, stosujemy wzory Viète a: oraz i std oraz 3 podajemy je bezporedio (eplicite lub zapisujc posta iloczyow trójmiau lub zazaczajc a wykresie), 3 lub 3 3 lub y 3

3 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec II sposób rozwizaia (realizacja pierwszego etapu) Wyzaczamy posta kaoicz trójmiau kwadratowego 7 3 a astpie przeksztacamy ierówo, tak by jej lewa stroa bya zapisaa w postaci iloczyowej Drugi etap rozwizaia: Podajemy zbiór rozwiza ierówoci 3,. Schemat oceiaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwizaia i a tym poprzestaie lub bdie zapisze zbiór rozwiza ierówoci, p. o obliczy lub poda pierwiastki trójmiau kwadratowego, 3 i a tym poprzestaie lub bdie zapisze zbiór rozwiza ierówoci o zazaczy a wykresie miejsca zerowe fukcji f i a tym poprzestaie lub bdie zapisze zbiór rozwiza ierówoci 3 3 i a o rozoy trójmia kwadratowy a czyiki liiowe, p. tym poprzestaie lub bdie rozwie ierówo realizujc pierwszy etap, popei bd (ale otrzyma dwa róe pierwiastki) i kosekwetie do tego rozwie ierówo, p. o popei bd rachukowy przy obliczaiu wyróika lub pierwiastków trójmiau kwadratowego i kosekwetie do popeioego bdu rozwie ierówo o bdie zapisze rówaia wyikajce ze wzorów Viète a: i i kosekwetie do tego rozwie ierówo Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiza ierówoci : 3, lub 3, lub 3 sporzdzi ilustracj geometrycz (o liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiza ierówoci w postaci 3, 3

4 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec poda zbiór rozwiza ierówoci w postaci graficzej z poprawie zazaczoymi kocami przedziaów 3 Uwagi. Jeeli zdajcy poprawie obliczy pierwiastki trójmiau 3 i i zapisze 3,, popeiajc tym samym bd przy przepisywaiu jedego z pierwiastków, to za takie rozwizaie otrzymuje pukty.. Jeeli bd zdajcego w obliczeiu pierwiastków trójmiau ie wyika z wykoywaych przez iego czyoci (zdajcy rozwizuje swoje zadaie ), to otrzymuje puktów za cae zadaie. Zadaie 3. ( pkt) Fukcja f jest okreloa wzorem Oblicz wspóczyik b. f b 9 dla 9. Poadto wiemy, e f. Rozwizaie Waruek f zapisujemy w postaci rówaia z iewiadom b: Rozwizujemy to rówaie i obliczamy wspóczyik b: b 3. Schemat oceiaia b. 9 Zdajcy otrzymuje... pkt b gdy poprawie zapisze rówaie z iewiadom b, p.. 9 Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy wspóczyik b 3.

5 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Zadaie. ( pkt) Podstawy trapezu prostoktego maj dugoci 6 i oraz tages kta ostrego jest rówy 3. Oblicz pole tego trapezu. Rozwizaie 6 h 6 Obliczamy wysoko trapezu h, korzystajc z faktu, e tages kta ostrego jest rówy 3: h 3, std h. Zatem pole trapezu jest rówe Schemat oceiaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: obliczy wysoko trapezu h i a tym poprzestaie lub bdie obliczy pole obliczy wysoko trapezu z bdem rachukowym i kosekwetie do popeioego bdu obliczy pole trapezu. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawie obliczy pole trapezu P 96. Zadaie. ( pkt) Trójkt C przedstawioy a poiszym rysuku jest rówoboczy, a pukty, C, N s wspóliiowe. Na boku C wybrao pukt M tak, e M CN. Wyka, e M MN. N C M

6 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec I sposób rozwizaia N C M D Rysujemy odciek MD rówolegy do odcika. Uzasadiamy, e trójkty DM i MCN s przystajce a podstawie cechy bkb: D CN, bo D M MD CM DM Zatem M, bo trójkt MDC jest rówoboczy MN. NCM Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy apisze, e trójkty DM i MCN s przystajce i wyprowadzi std wiosek, e M MN. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawie uzasadi, e trójkty DM i MCN s przystajce i wyprowadzi std wiosek, e M MN. Uwaga Zdajcy moe te dorysowa odciek MD C i aalogiczie pokaza, e trójkty MD i MNC s przystajce. II sposób rozwizaia Z twierdzeia cosiusów dla trójkta M obliczamy M M M cos 6 M M M M. M : 6

7 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Z twierdzeia cosiusów dla trójkta MCN obliczamy MN MC CN MC CN cos MC CN MC CN MC CN MC CN Poiewa M CN i MC M, wic MN M M M M MN : M M M M M Zatem M MN, czyli M MN. Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia M M. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy korzystajc z twierdzeia cosiusów, obliczy kwadraty dugoci odcików M i MN. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawie uzasadi, e M MN. Zadaie 6. ( pkt) Liczby 6,, s odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejcego cigu geometryczego. Oblicz pity wyraz tego cigu. I sposób rozwizaia Korzystajc ze wzoru a trzeci wyraz cigu geometryczego obliczamy q iloraz cigu: 6 q q 6 q lub q. Poiewa cig jest malejcy, to Obliczamy koleje wyrazy cigu: q. 6,6,,,, zatem pity wyraz cigu jest rówy. II sposób rozwizaia Z wasoci cigu geometryczego wyika, e 6. Std 6, czyli 6 lub 6. Poiewa cig geometryczy jest malejcy, to 6, a iloraz tego cigu q jest rówy. Obliczamy koleje wyrazy cigu: 6,6,,,, zatem pity wyraz cigu jest rówy. Uwaga Zdajcy moe obliczy pity wyraz cigu korzystajc ze wzoru:

8 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Schemat oceiaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy iloraz cigu: q. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy pity wyraz cigu: Zadaie 7. ( pkt) Uzasadij, e dla kadej dodatiej liczby cakowitej liczba wielokrotoci liczby. 3 3 jest Rozwizaie Liczb 3 3 przedstawiamy w postaci , gdzie k k jest liczb cakowit. 3 Zatem liczba 3 3 Schemat oceiaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy zapisze liczb 3 3 w postaci 3 i ie uzasadi, e liczba jest podziela przez. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pee rozumowaie, p.: przeksztaci liczb 3 3 k, gdzie k 3 jest liczb cakowit przeksztaci liczb 3 do postaci do postaci 3 i zapisze, e liczb cakowit zapisze liczb w postaci 3 i uzasadi, e jest podziela przez. Uwaga Jeli zdajcy zapisuje kolejo: i uzasadia, e 3 jest liczb podziel przez, to otrzymuje pukty. 3 jest 8

9 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Zadaie 8. ( pkt) Tabela przedstawia wyiki uzyskae a sprawdziaie przez ucziów klasy III. Ocey 6 3 Liczba ucziów 6 9 Oblicz redi arytmetycz i kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce. Rozwizaie Obliczamy redi arytmetycz oce uzyskaych przez ucziów klasy III: Obliczamy kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce: ,6 Schemat oceiaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy redi arytmetycz oce uzyskaych przez ucziów klasy III i a tym poprzestaie lub dalej popeia bdy lub obliczy redi arytmetycz oce uzyskaych przez ucziów klasy III z bdem rachukowym i kosekwetie do tego obliczy kwadrat odchyleia stadardowego. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy redi arytmetycz i kwadrat odchyleia stadardowego uzyskaych oce: odpowiedio 3 i,6. Zadaie 9. ( pkt) Rzucamy dwa razy symetrycz szecie kostk do gry. Oblicz prawdopodobiestwo zdarzeia polegajcego a tym, e liczba oczek w drugim rzucie jest o wiksza od liczby oczek w pierwszym rzucie. I sposób rozwizaia jest zbiorem wszystkich par a, b takich, e a, b,,3,,,6 w którym 36. Zdarzeiu sprzyjaj astpujce zdarzeia elemetare:,,,3, 3,,,,,6 Zatem i std P 36.. Mamy model klasyczy, 9

10 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy zapisze, e 36 i,,,3, 3,,,,,6. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobiestwa zdarzeia : P. 36 II sposób rozwizaia: metoda drzewa Rysujemy drzewo i pogrubiamy istote dla rozwizaia zadaia gazie tego drzewa. Zapisujemy prawdopodobiestwa tylko a tych gaziach Obliczamy prawdopodobiestwo zdarzeia : P Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy arysuje drzewo, zapisze prawdopodobiestwa a jego gaziach i wskae a drzewie waciwe gazie (p. pogrubieie gazi lub zapisaie prawdopodobiestw tylko a istotych gaziach) arysuje drzewo, zapisze prawdopodobiestwa a jego gaziach i ie wskazuje a drzewie odpowiedich gazi, ale z dalszych oblicze moa wywioskowa, e wybiera waciwe gazie. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobiestwa zdarzeia : P. 36

11 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec III sposób rozwizaia: metoda tabeli Rysujemy tabel i wybieramy zdarzeia elemetare sprzyjajce zdarzeiu. II kostka 3 6 X X I kostka 3 X X X 6 36 i, zatem P. 36 Schemat oceiaia III sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy arysuje tabel i wypisze wszystkie zdarzeia sprzyjajce lub zazaczy je w tabeli. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poda popraw odpowied: P. 36

12 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Zadaie 3. ( pkt) Podstaw ostrosupa CDS jest romb CD o boku dugoci. Kt C rombu ma miar oraz S CS i S DS. Oblicz sius kta achyleia krawdzi S do paszczyzy podstawy ostrosupa. I sposób rozwizaia S b D h c C D O a f e O C a a a Wprowadmy ozaczeia: a dugo boku rombu e, f dugoci przektych rombu h wysoko ostrosupa b S CS c S DS. Obliczamy dugoci przektych podstawy. Poiewa C, to trójkt D jest rówoboczy. Zatem mamy: f a 3 e D a i OC, f std e, 3. Korzystajc z twierdzeia Pitagorasa w trójkcie OS, obliczamy wysoko ostrosupa: h f b 3 88 h 88 Obliczamy dugo krawdzi boczej S: e c h 88 c 9 3

13 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Obliczamy sius kta achyleia krawdzi boczej S ostrosupa do paszczyzy podstawy: h 6 si c si,978. Schemat oceiaia Rozwizaie, w którym postp jest iewielki, ale koieczy a drodze do peego rozwizaia zadaia... pkt e Obliczeie dugoci przektych podstawy ostrosupa: e i f 3 (lub f i 3 ). Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Obliczeie wysokoci ostrosupa h. Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia... 3 pkt Obliczeie dugoci krótszej krawdzi boczej ostrosupa: c 3. Rozwizaie pee... pkt Obliczeie si. 3 II sposób rozwizaia S b D h c C D O a f e O C a a a Wprowadmy ozaczeia: a dugo boku rombu e, f dugoci przektych rombu h wysoko ostrosupa b S CS c S DS. 3

14 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Obliczamy dugoci przektych podstawy. Poiewa C, to trójkt D jest rówoboczy. Zatem mamy: a 3 e D a i f OC, std e, f 3. Korzystajc z twierdzeia Pitagorasa w trójkcie OS, obliczamy wysoko ostrosupa: f h b h. h 3 88, std 88 Obliczamy tages kta achyleia krótszej krawdzi boczej ostrosupa do paszczyzy podstawy: h tg e Obliczamy si korzystajc z tosamoci trygoometryczych: si si tg cos si si si si si 3si, zatemsi. 3 Uwaga Jeeli zdajcy, korzystajc z przyblioej wartoci tagesa kta ( tg,69 ), odczyta miar kta 78 i astpie zapisze si si 78,978, to za takie rozwizaie otrzymuje pukty. Schemat oceiaia Rozwizaie, w którym postp jest iewielki, ale koieczy a drodze do peego rozwizaia zadaia... pkt Obliczeie dugoci przektych podstawy ostrosupa: e i f 3 e f (lub i 3 ). Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Obliczeie wysokoci ostrosupa: h. Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia...3 pkt Obliczeie tagesa kta achyleia krótszej krawdzi boczej ostrosupa do paszczyzy podstawy tg. Rozwizaie pee... pkt Obliczeie si si si 78,978. 3

15 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Zadaie 3. ( pkt) Wyzacz rówaie okrgu przechodzcego przez pukt ukadu wspórzdych. Rozwa wszystkie przypadki. Rozwizaie y, i styczego do obu osi S, R R S r, r, Poiewa okrg jest styczy do obu osi ukadu wspórzdych i przechodzi przez pukt, lecy w I wiartce ukadu wspórzdych, to jego rodek rówie ley w I wiartce ukadu wspórzdych. Std rodek S tego okrgu ma wspórzde S r, r gdzie r jest promieiem tego okrgu. Rówaie okrgu ma zatem posta r yr r. Pukt, ley a tym okrgu, wic r r r r,. Std otrzymujemy 6r. Rozwizaiami tego rówaia s liczby: r, r. To ozacza, e s dwa okrgi speiajce waruki zadaia o rówaiach y i y. Schemat oceiaia Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Zapisaie wspórzdych rodka S szukaego okrgu w zaleoci od promieia r tego okrgu: S r, r lub zapisaie, e rodek okrgu ley a prostej o rówaiu y. Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia... pkt Zapisaie rówaia kwadratowego z jed iewiadom: r r r czyli r 6r. Rozwizaie zadaia do koca lecz z usterkami, które jedak ie przekrelaj poprawoci rozwizaia (p. bdy rachukowe)... 3 pkt Zadaie rozwizae do koca, ale w trakcie rozwizaia popeiao bdy rachukowe.

16 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Rozwizaie pee... pkt Zapisaie rówa obu okrgów: w postaci kaoiczej: y i y lub w postaci ogólej: i y y. y y Uwagi. Jeeli zdajcy zapisze rówaie jedego okrgu (ie wyprowadzajc go), to otrzymuje pukt.. Jeeli zdajcy zapisze rówaia obu okrgów (ie wyprowadzajc ich), to otrzymuje pukty. Zadaie 3. ( pkt) Z dwóch miast i, odlegych od siebie o 8 kilometrów, wyruszyli aprzeciw siebie dwaj turyci. Pierwszy turysta wyszed z miasta o jed godzi wczeiej i drugi z miasta. Oblicz prdko, z jak szed kady turysta, jeeli wiadomo, e po spotkaiu pierwszy turysta szed do miasta jeszcze, godziy, drugi za szed jeszcze godziy do miasta. Uwaga W poiej zamieszczoym schemacie uywamy iewiadomych v, v,, t ozaczajcych odpowiedio: prdko turysty z miasta, prdko turysty z miasta oraz drog i czas do mometu spotkaia. Oczywicie iewiadome mog by ozaczae w iy sposób. Nie wymagamy, by iewiadome byy wyraie opisae a pocztku rozwizaia, o ile z postaci rówa jaso wyika ich zaczeie. Rozwizaie Przyjmujemy ozaczeia, p.: v, v,, t prdko turysty z miasta, prdko turysty z miasta oraz droga i czas do mometu spotkaia. Zapisujemy zaleo midzy drog, prdkoci v i czasem t dla jedego z turystów, p.: 8 v (prdko do chwili spotkaia) i v (prdko od chwili spotkaia). t, Zapisujemy zaleo midzy drog, prdkoci v i czasem t dla drugiego z turysty (wychodzcego z miasta ), p.: (prdko od chwili spotkaia). v 8 (prdko do chwili spotkaia), t v Zapisujemy zaleo midzy drog a czasem w sytuacji opisaej w zadaiu za pomoc 8 ukadu rówa t, 8 t 6

17 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec Rozwizujc ukad rówa, doprowadzamy do rówaia z jed iewiadom, p.: Rozwizujemy rówaia otrzymujc kolejo: Z drugiego rówaia wyzaczamy 7 t i wstawiamy do pierwszego rówaia 7 7, 8 t t t 8 7t 7 8t8 t t t moymy obustroie przez t 88t t 8 t 7t 7 8t 8t8 dzielimy obustroie przez 8 t t 6 t 3 t t jest sprzecze z warukami zadaia 7 7 obliczamy, t 6 a astpie prdko z jak szed kady z turystów, p: v km/h t v 3km/h t Z pierwszego rówaia wyzaczamy 8t 8 t, i wstawiamy do drugiego rówaia 8t8 8t8 t 8 t, t, 8 t 8 t t t, t, moymy obustroie przez t, t t t t 8 8 7, 7 7 8t 8t8 dzielimy obustroie przez 8 Z drugiego rówaia wyzaczamy t 7 t i wstawiamy do pierwszego rówaia 7, 8 87, , 3 moymy obustroie przez, , 696 dzielimy obustroie przez, jest sprzecze z warukami zadaia 7 obliczamy t, a astpie prdko z jak szed kady z turystów, p.: 8 6 v km/h,, v 3km/h Z pierwszego rówaia wyzaczamy t,8 t 8 i wstawiamy do drugiego rówaia,8 8 8 moymy obustroie przez , 8 96, 8, 696 dzielimy obustroie przez,

18 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec t t t t jest sprzecze z warukami zadaia t jest sprzecze z warukami zadaia 7 obliczamy t, 7 7 obliczamy, t 6 a astpie prdko z jak szed kady a astpie prdko z jak szed kady z turystów, p.: z turystów, p: 8 6 v km/h,, v km/h t 3 v 8 6 3km/h v 3km/h t Zapisujemy odpowied: Turyci szli z prdkociami: v km/h, v 3 km/h. Schemat oceiaia Rozwizaie, w którym postp jest wprawdzie iewielki, ale koieczy a drodze do peego rozwizaia zadaia... pkt Zapisaie zaleoci midzy prdkoci v, prdkoci v, drog i czasem t dla jedego 8 z turystów, p.: lub 8 lub 8 v t, lub 8 vt. t, t Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Zapisaie ukadu rówa z dwiema iewiadomymi, p.: 8 t, 8 t Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia...3 pkt Zapisaie rówaia z jed iewiadom, p.: 7 7 7, 8 t lub, 8 t t Zdajcy ie musi zapisywa ukadu rówa, moe bezporedio zapisa rówaie z jed iewiadom. Uwaga: Jeeli zdajcy przy pokoywaiu zasadiczych trudoci zadaia popei bdy rachukowe, usterki i a tym zakoczy to otrzymuje pukty. Rozwizaie zadaia do koca lecz z usterkami, które jedak ie przekrelaj poprawoci rozwizaia (p. bdy rachukowe)... pkt rozwizaie rówaia z iewiadom t bezbdie: t h i ie obliczeie prdkoci turystów 8

19 Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych Marzec rozwizaie rówaia z iewiadom bezbdie: i ie obliczeie prdkoci turystów obliczeie t lub z bdem rachukowym i kosekwete obliczeie prdkoci. Rozwizaie pee... pkt v km/h Obliczeie szukaych prdkoci: v 3 km/h 9