EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA"

Transkrypt

1 entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0

2 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis wymagań Wykonanie obliczeń procentowych (III..d) Poprawna odpowiedź ( p.) Wersja arkusza Wersja arkusza D Zadanie. (0 ) Zastosowanie praw działań na potęgach o wykładnikach wymiernych, obliczenie potęgi o wykładniku wymiernym (II..g) Zadanie. (0 ) Wykonanie obliczeń na liczbach rzeczywistych z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia (II..a;.g;.a) Zadanie 4. (0 ) Obliczenie wartości logarytmu (II..h) Zadanie 5. (0 ) pojęcia wartości bezwzględnej do rozwiązania równania typu x a b (II..f) Zadanie 6. (0 ) Obliczenie sumy rozwiązań równania kwadratowego (II..a) Zadanie 7. (0 ) i interpretowanie informacji Odczytanie z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej jej miejsc zerowych (I.4.j) Zadanie 8. (0 ) interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej (I.4.g) D

3 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 9. (0 ) i interpretowanie informacji Odczytanie z wykresu funkcji jej miejsc zerowych (I.4.b) D Zadanie 0. (0 ) i interpretowanie informacji Planowanie i wykonanie obliczeń na liczbach rzeczywistych (I..a; 6.a) D Zadanie. (0 ) definicji do wyznaczenia wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta ostrego (II.6.a) Zadanie. (0 ) Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa (II.7.c) Zadanie. (0 ) Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa (II.7.c) D Zadanie 4. (0 ) i interpretowanie informacji Posłużenie się własnościami figur podobnych do obliczania długości odcinków (I.7.b) D Zadanie 5. (0 ) związku między promieniem koła opisanego na kwadracie i długością jego boku (II.7.c) Zadanie 6. (0 ) i interpretowanie informacji związków między kątem wpisanym i środkowym do obliczenia miary kąta (I.7.a)

4 4 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7. (0 ) Modelowanie matematyczne Obliczenie wyrazów ciągu arytmetycznego (III.5.a) Zadanie 8. (0 ) i interpretowanie informacji Obliczenie wyrazu ciągu określonego wzorem ogólnym (I.5.a) D Zadanie 9. (0 ) Obliczenie objętości sześcianu z wykorzystaniem związków miarowych w sześcianie (II.9.b) Zadanie 0. (0 ) Wyznaczenie wysokości stożka z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych lub własności kwadratu (II.9.b) Zadanie. (0 ) i interpretowanie informacji Wskazanie równania prostej równoległej do danej (I.8.c) Zadanie. (0 ) pojęcia układu współrzędnych na płaszczyźnie (II.8.a) D Zadanie. (0 ) Zbadanie czy dany punkt spełnia równanie okręgu (II.8.g) D Zadanie 4. (0 ) Zliczenie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych, stosowanie zasady mnożenia (II.0.b) Zadanie 5. (0 ) Obliczenie średniej arytmetycznej i interpretowanie tego parametru w kontekście praktycznym (II.0.a) D

5 Egzamin maturalny z matematyki 5 Zadanie 6. (0 ) Rozwiązanie nierówności kwadratowej (II..a) Zdający otrzymuje... pkt gdy: prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x 5, x i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy rozłoży trójmian kwadratowy x 8x 5 na czynniki liniowe i zapisze nierówność xx5 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, np. x, x 5, x,5, doprowadzi nierówność do postaci x 4 (na przykład z postaci x 4 0 otrzymujex 4, a następnie x 4 ) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci:, 5, x 5 lub x x5, x w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x 5, x i zapisze, np. x, 5, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci, 5,, to przyznajemy punkty.

6 6 Egzamin maturalny z matematyki Zadania 7. (0 ) Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej (V..b) I sposób rozwiązania by wykazać prawdziwość podanej nierówności, przekształcimy ją najpierw do prostszej postaci równoważnej. Rozpoczynamy od podanej nierówności: a b c a b Mnożymy obie strony tej nierówności przez 6: a bca b Redukujemy wyrazy podobne: ca b Uzyskana nierówność jest równoważna nierówności wyjściowej, zatem wystarczy wykazać jej prawdziwość. Z założenia wiemy, że c aoraz c b. Wobec tego c cca b o należało wykazać. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt jeśli przekształci podaną nierówność do postaci ca b lub cacb 0, abc lub 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. 6 Zdający otrzymuje... pkt jeśli przedstawi kompletny dowód podanej nierówności. II sposób rozwiązania Zdający prowadzi ciąg nierówności, wychodząc od jednej ze stron podanej nierówności i na końcu dochodząc do drugiej. Założenie: 0 ab c abc a b a b c a b b a b a b b a a b a b 6 6 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt jeśli co najmniej jedna z nierówności występująca w zapisanym ciągu nierówności wynika w sposób poprawny z podanych założeń, ale zdający nie podaje kompletnego dowodu wyjściowej nierówności. Zdający otrzymuje... pkt jeśli poda kompletny dowód podanej nierówności.

7 Egzamin maturalny z matematyki 7 Zadanie 8. (0 ) i interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu na czynniki (II..d) Uwaga Gdy zdający poda poprawną odpowiedź (trzeci pierwiastek wielomianu: x ) nie wykonując żadnych obliczeń, to otrzymuje punkt. I sposób rozwiązania Przedstawiamy wielomian W( x ) w postaci W x x4 x x a, gdzie a oznacza trzeci pierwiastek wielomianu. Stąd W( x) x x ax xax a = x a x a x a, Porównując współczynniki wielomianu W( x ) otrzymujemy a 4 a 9 a 6 Stąd a. Trzecim pierwiastkiem wielomianu W( x ) jest liczba x. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy przedstawi wielomian W( x ) w postaci W x x4 x x a i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x. II sposób rozwiązania Przedstawiamy wielomian W( x ) w postaci iloczynu: W( x) x 4x 9x6 x x4 9 x4 x4 x x. Pierwiastkami wielomianu W x są zatem x 4, x oraz x. Odpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba x. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy przedstawi wielomian w postaci iloczynu, np.: W( x) x 9 x 4 lub W( x) x 4 x x W( x) x x x lub lub W( x) x 7xx i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x.

8 8 Egzamin maturalny z matematyki III sposób rozwiązania Liczba 4 jest pierwiastkiem wielomianu W x, więc wielomian x W jest podzielny przez dwumian x 4. Dzielimy wielomian W x przez dwumian x 4 x 9 x 4x 9x6 : x4 x 4x Wielomian 9x6 9x6 W x zapisujemy w postaci 4 9 W x x x, stąd W x x 4x x. Liczby i 4 są pierwiastkami wielomianu W x, więc wielomian W x jest podzielny przez xx 4 = x x. Dzielimy wielomian x x x W x przez x 4x 9x6 : x x x x 6 x x6 x x x Liczba jest pierwiastkiem wielomianu W x, więc wielomian W x jest podzielny przez dwumian x. Dzielimy wielomian W x przez dwumian x x 7x x 4x 9x6 : x x x 7x 9x 7x x x 6 x 6 Wielomian W x zapisujemy w postaci 7 W x x x x. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu x 7x : x 4 i x. Zatem W x x x x 4 x x x. Zatem pierwiastkami wielomianu są: 4 x, x oraz x. Odpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba x.

9 Egzamin maturalny z matematyki 9 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy: wykona dzielenie wielomianu przez dwumian x 4, otrzyma iloraz x 9 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy wykona dzielenie wielomianu przez dwumian x, otrzyma iloraz x 7x i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy wykona dzielenie wielomianu przez x x, otrzyma iloraz x i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy wykona dzielenie wielomianu przez x 4 lub x, lub przez x x popełniając błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu wyznacza pierwiastki otrzymanego ilorazu. Zdający otrzymuje... pkt gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x. Uwaga Dzieląc wielomian x Hornera, np. przy dzieleniu przez W przez dwumian x p x 4 otrzymuje zdający może posłużyć się schematem IV sposób rozwiązania Korzystamy z jednego ze wzorów Viète a dla wielomianu stopnia trzeciego i otrzymujemy 6 4 x, stąd x lub 4 4 x, stąd x, lub x x. W Proste sprawdzenie pokazuje, że rzeczywiście 0 Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawnie zastosuje jeden ze wzorów Viète a dla wielomianu stopnia trzeciego i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawnie obliczy trzeci pierwiastek: x.

10 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadania 9. (0 ) Użycie i tworzenie strategii własności symetralnej odcinka do wyznaczenia jej równania (IV.8.b, 8.c, 8.e) I sposób rozwiązania Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej : kierunkowy prostej prostopadłej do prostej jest równy 0 ma równanie y x b Symetralna tego odcinka przechodzi przez punkt S, więc. Punkt S, 0,6 symetralna odcinka ma równanie y x Zatem współczynnik. Symetralna odcinka jest środkiem odcinka. 6 0 b. Stąd b 6, a więc Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawnie wyznaczy lub poda współrzędne środka odcinka : S 0,6 oraz współczynnik kierunkowy prostej : a i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy gdy popełni błędy rachunkowe przy wyznaczaniu współrzędnych środka odcinka współczynnika kierunkowego prostej i konsekwentnie wyznaczy równanie symetralnej gdy obliczy współczynnik kierunkowy prostej : a oraz współczynnik kierunkowy prostej do niej prostopadłej a i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka : y x 6 lub x y 0. II sposób rozwiązania. Obliczamy współrzędne wektora. Ponieważ symetralna odcinka jest prostopadła do wektora i przechodzi Obliczamy współrzędne środka odcinka : S 0,6 4,8 przez punkt S, więc jej równanie ma postać x y , czyli x y 0. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy współrzędne wektora : 4,8 oraz środek odcinka : S 0,6 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.

11 Egzamin maturalny z matematyki Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawnie wyznaczy równanie symetralnej odcinka : x y 0 lub y x 6. III sposób rozwiązania Z rysunku w układzie współrzędnych 0 9 y y=x S x odczytujemy współrzędne punktu S 0,6 : a i zapisujemy równanie symetralnej odcinka :, współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka y x 6. Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy odczyta, z dokładnie sporządzonego rysunku w układzie współrzędnych, współrzędne środka odcinka i współczynnik kierunkowy symetralnej prostej i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze równanie symetralnej odcinka : x y 0 lub y x 6. IV sposób rozwiązania Korzystamy z tego, że symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo P x, y leży na symetralnej, to P P. oddalonych od jego końców. Jeśli punkt Zatem x y x y 0, czyli x y x y 0. Po uporządkowaniu równania i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy x y 0. Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze równanie y x y 0 x i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka : x y 0 lub y x 6.

12 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów i wyznaczy konsekwentnie równanie symetralnej odcinka, to za takie rozwiązanie przyznajemy punkty. Zadanie 0. (0 ) Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu geometrycznego (V.7.c) I sposób rozwiązania Niech,,, P. P Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie równa jest mamy 80. Ponieważ 0, więc 80, stąd 90. W trójkącie P mamy 80. Stąd i z otrzymanej nierówności 90 wynika, że Oznacza to, że kąt P jest kątem rozwartym. o należało uzasadnić. 80, więc w trójkącie 90. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt P jest kątem rozwartym. II sposób rozwiązania Niech,,, P. P

13 Egzamin maturalny z matematyki Ponieważ 80 oraz suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie P jest równa 80, więc otrzymujemy Ponieważ 90, więc jest kątem ostrym, zatem jest kątem rozwartym. Oznacza to, że kąt P jest kątem rozwartym. o należało uzasadnić. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt P jest rozwarty. Zadanie. (0 ) Modelowanie matematyczne Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa (III.0.b;0.d) I sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane x, y dwóch liczb ze zbioru,,, 4,5,6,7. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6, gdy: jedna z tych liczb jest równa 6 (wówczas druga jest dowolna) jedną z liczb jest, a drugą jest lub 4. Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu jest więc równa 7 7. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe: II sposób rozwiązania (metoda tabeli) 7 P Symbole w tabeli oznaczają odpowiednio: - zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu i 7, zatem P. 49

14 4 Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: 7 49 obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu : 7. Zdający otrzymuje... pkt 7 gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia : P ( ). 49 Uwaga Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( ), to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów. III sposób rozwiązania (metoda drzewa) Drzewo z istotnymi gałęziami: , 4, 5, Dowolna z siedmiu, 6, 4, 6 6 Prawdopodobieństwo zdarzenia (iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6) 7 7 jest więc równe: P Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy: narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami. Zdający otrzymuje... pkt 7 gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia : P ( ). 49 Uwaga Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( ), to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, 7 np. P ( ), to otrzymuje punkty. 49

15 Egzamin maturalny z matematyki 5 Zadanie. (0 4) Modelowanie matematyczne Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego (III.5.c) I sposób rozwiązania iąg 9, x,9 jest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów 99 sąsiednich: x 4. 4 Wiemy, że ciąg 4,4, y, z jest geometryczny, zatem jego iloraz jest równy q. 4 Wobec tego y 4 6 i z Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt 99 wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np. x lub x 9 9 lub x 4 wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np. 4 xy lub y 4z. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego q. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Obliczenie x 4, y 6, z 78. II sposób rozwiązania iąg 9, x,9 jest arytmetyczny, zatem x 9 9, x 4. iąg 4,4, y, z jest geometryczny, zatem 4 4 y i y 764 y 6 i z, stąd z z, Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt 99 wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np. x lub x 9 9, lub x 4 wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np. 4 xy lub y 4z. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Obliczenie x 4 i zapisanie równania 4 4y lub 764 4y. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie y 6 i zapisanie równania y 4z lub 6 4z.

16 6 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie pełne... 4 pkt Obliczenie x 4, y 6, z 78. Uwaga Jeśli zdający pomyli własności ciągów, to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów. Zadanie. (0 4) Użycie i tworzenie strategii Obliczenie objętości wielościanu (IV.9.b) Strategia rozwiązania tego zadania sprowadza się do realizacji następujących etapów: a) obliczenie wysokości E ostrosłupa, b) obliczenie pola podstawy tego ostrosłupa, c) obliczenie objętości ostrosłupa. Rozwiązanie a) Obliczenie pola podstawy ostrosłupa Podstawa D ostrosłupa jest kwadratem o boku. Stosując wzór na przekątną kwadratu, mamy: 4, stąd 4. Obliczamy pole P podstawy ostrosłupa: P 8. b) Obliczenie wysokości E ostrosłupa Rysujemy trójkąt E. 8 E 4. c) Obliczenie objętości ostrosłupa Objętość ostrosłupa jest równa V 84. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Obliczenie wysokości E ostrosłupa: E 4 obliczenie pola P podstawy ostrosłupa: P 8. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie pola podstawy i wysokości ostrosłupa.

17 Egzamin maturalny z matematyki 7 Uwaga Jeśli zdający obliczy jedną z tych wielkości z błędem rachunkowym, to otrzymuje punkty. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa: V. Uwaga Jeśli zdający pominie współczynnik we wzorze na objętość ostrosłupa, ale rozwiązanie doprowadzi konsekwentnie do końca z tym jednym błędem, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Nie obniżamy punktacji zadania za błędy nieuwagi, np. gdy zdający poprawnie obliczył wysokość ostrosłupa, ale przy obliczaniu objętości ostrosłupa podstawił błędna wartość. Zadanie 4. (0 5) Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego (III..b) I sposób rozwiązania Przyjmujemy oznaczenia np.: t czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, v średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę. Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla t v4 0 pociągu pospiesznego: tv0 Następnie zapisujemy układ równań t v 4 0 Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.: 0 t 4 0 t 0 0 4t 4 0 t 4t 4t0 0 4t 4t t, t,5 8 8 t jest sprzeczne z warunkami zadania. Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny:,5,5. Odp. zas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy,5 godziny.

18 8 Egzamin maturalny z matematyki II sposób rozwiązania Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla pociągu pospiesznego: tv4 0 tv0 Następnie zapisujemy układ równań t v 4 0 Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.: 0 v 4 0 v v 4 0 v 5040 v 4 0 v v 4v v 60, v 84, v jest sprzeczne z warunkami zadania Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg osobowy: t,5 v 60. Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny:,5 =,5. Odp. zas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy,5 godziny. III sposób rozwiązania Przyjmujemy oznaczenia np.: t czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, v średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę. v+4 v Narysowane duże prostokąty reprezentują odległości przebyte przez obydwa pociągi, mają zatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostokątów są równe. Stąd równość 4 vt 4 t t. t v. Droga przebyta przez pociąg osobowy wyraża się wzorem Ponieważ trasa pociągu ma długość 0 km, otrzymujemy równanie 4t t 0. Stąd 4t 4t0 0 4t 4t t, t,5 8 8 t t

19 Egzamin maturalny z matematyki 9 t jest sprzeczne z warunkami zadania. Zatem pociąg osobowy jechał przez,5 godziny, a pociąg pospieszny:,5,5 godziny. Odp. zas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy,5 godziny. Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Zapisanie równania z dwiema niewiadomymi tv4 0 gdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, a v średnią prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę, lub t v4 0 gdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg pospieszny, a v średnią prędkość pociągu pospiesznego w kilometrach na godzinę. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np.: t v 0 tv0 lub t v 4 0 t v 4 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np.: 0 0 t 4 0 lub v 4 0 lub 4tt 0 t v Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały popełnione błędy rachunkowe lub usterki... pkt Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt rozwiązanie równania z niewiadomą v lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie czasu pokonania drogi przez pociąg pospieszny obliczenie czasu jazdy pociągu osobowego: t, 5 i nie obliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny. Rozwiązanie pełne... 5 pkt Obliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny:,5 godziny. Uwagi. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający odgadnie czas jazdy pociągu pospiesznego i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje punkt.

20 0 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Przykład. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy 0 v 4 t 0 vt 0 v4t i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i przyznajemy punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie ujął wyrażenia t w nawias. Zapis równania interpretację zależności między wielkościami. 0 v 4 wskazuje na poprawną t Przykład. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy 0 v 0 t 0 0 v 4 4 t 0 t t v 4 t i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych 0 0 trudności zadania i przyznajemy punkty, mimo że w równaniu 4 zdający t t przestawił cyfry w zapisie liczby 0 i pominął liczbę w mianowniku ułamka. Przykład. Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np. 4t 4t5 0 zamiast równania 4t 4t5 0 (np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik, który może być realnym czasem jazdy pociągu pospiesznego, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 05 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-P_P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 5 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 24 kwietnia 2013 roku do sprawdzenia u uczniów

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 013 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI Instrukcja dla zdającego

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Nieczynnościowy sposób oceniania zadań otwartych

Nieczynnościowy sposób oceniania zadań otwartych Nieczynnościowy sposób oceniania zadań otwartych MATEMATYKA Zmiany od 2010 roku Maria Dębska doradca metodyczny Bielsko - Biała Standard 3. modelowanie matematyczne Dlaczego zmiany? Standard 4. użycie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Odpowiedź D C B A C B C C D C C D A

Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Odpowiedź D C B A C B C C D C C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 0/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 5 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI We współpracy z POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli semestr I 2007 / 2008r. klasa I Liczby wymierne Dział Główne wymagania edukacyjne Forma Obliczenia procentowe Umiejętność rozpoznawania podzbiorów zbioru liczb wymiernych. Umiejętność przybliżania i zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Ułamki i działania 20 h

Ułamki i działania 20 h Propozycja rozkładu materiału Klasa I Razem h Ułamki i działania 0 h I. Ułamki zwykłe II. Ułamki dziesiętne III. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych.. Dodawanie i odejmowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2 TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20 LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. Liczby 1-2 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1 1-2 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL dyskalkulia miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

3 D. Wymagania ogólne II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.

3 D. Wymagania ogólne II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0 ) Liczba 8 9 jest równa A. B. 9 C. D. 5. Zdający oblicza

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL We współpracy z: PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 2013 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa pierwsza.

Wymagania edukacyjne klasa pierwsza. Wymagania edukacyjne klasa pierwsza. TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników Dodawanie

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI

EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI Poniżej prezentujemy przykładowe, które znalazły się na egzaminie

Bardziej szczegółowo

Plik pobrany ze strony www.zadania.pl

Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO Miejsce na nalepkę z kodem szkoły PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdającego Arkusz I

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 03 WPISUJE ZJĄY KO PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI POZIOM POSTWOWY MJ

Bardziej szczegółowo

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności Matematyka, kl. 6 Liczby naturalne i ułamki Program Matematyka z plusem Odczytywanie liczb na osi liczbowej. Zapisywanie potęg w postaci iloczynu i obliczanie ich wartości. Sprawność rachunkowa w pisemnych

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM Na stopień dostateczny uczeń powinien umieć: Arytmetyka - zamieniać procent/promil na liczbę i odwrotnie, - zamieniać procent na promil i odwrotnie, - obliczać

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego w klasie 2 gimnazjum uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym tworzyć teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

Przedstawiamy Państwu propozycję sprawdzianu diagnostycznego na koniec klasy I szkoły ponadgimnazjalnej opracowanego na wzór arkusza maturalnego na

Przedstawiamy Państwu propozycję sprawdzianu diagnostycznego na koniec klasy I szkoły ponadgimnazjalnej opracowanego na wzór arkusza maturalnego na Przedstawiamy Państwu propozycję sprawdzianu diagnostycznego na koniec klasy I szkoły ponadgimnazjalnej opracowanego na wzór arkusza maturalnego na poziomie podstawowym. Narzędzie to było dostępne do pobrania

Bardziej szczegółowo

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2 TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 0 LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. Liczby 1-. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 4. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich 1 1-

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA - zna i rozumie pojęcia, zna własności figur: ogólne równanie prostej, kierunkowe równanie prostej okrąg, równanie okręgu - oblicza odległość dwóch punktów na płaszczyźnie -

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy 1 NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy 1. Cele kształcenia wymagania ogólne. NOWA ZAKRES PODSTAWOWY w postawie programowej obowiązującej począwszy od 01.09.2012 r. w klasach pierwszych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki

Przedmiotowy system oceniania z matematyki Przedmiotowy system oceniania z matematyki Przedmiotowy system oceniania został skonstruowany w oparciu o następujące dokumenty: 1. Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 7 września 2004 roku

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący Liczby i wyrażenia zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej zna pojęcie liczby niewymiernej, rzeczywistej zna sposób zaokrąglania liczb umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie

Bardziej szczegółowo

Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna

Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna imię i nazwisko Kalendarz gimnazjalisty Tydz. Dział start 22.09 29 26.09 Przygotowanie do pracy zapoznanie się z informacjami na temat egzaminu gimnazjalnego

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej 1 ZAŁOśENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia DKW-4015-37/01. Liczba godzin nauki w tygodniu:

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

Projekt pt. Wyższe kwalifikacje lepszy start zawodowy

Projekt pt. Wyższe kwalifikacje lepszy start zawodowy Projekt pt. Wyższe kwalifikacje lepszy start zawodowy realizowany przez Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych im. Jana Kochanowskiego w Garbatce-Letnisku w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Priorytet

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Kryteria oceniania z matematyki KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Arytmetyka: Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który potrafi : - określić pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo