PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI DO ZADA ZAMKNITYCH

Transkrypt

1 %!%*+,-.*+,/ '7 PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI DO ZADA ZAMKNITYCH zadanie odpowied punkty 1 A D 3 D 4 E 5 C 6 A 7 A 8 B zadania 6 11 otwarte 6 1 maksymalna moliwa łczna liczba punktów 6 40 strona 1

2 Rozwizanie zadania Znajd wszystkie pary liczb całkowitych (x; y) bdce rozwizaniami równania + = 1. xy x I sposób: Ze wzgldu na wystpujce w równaniu ułamki x 0 oraz y = 1/ xy xy x 5 + 5y = xy ( x 5) y = 5 Liczby x 5 oraz y s całkowite, rozwamy wic wszystkie moliwe przedstawienia liczby 5 w postaci iloczynu dwóch liczb całkowitych: x - 5 x y Ostatnie z uzyskanych rozwiza nie spełnia załoe. Zadanie ma zatem 5 rozwiza, s to pary (6; 5), (30; 1), (10; 5), (4; 5) i ( 0; 1). II sposób: Mona przekształci pocztkowe równanie tak, by wyznaczy jedn niewiadom za pomoc drugiej, np. 5y x = = 5 +. y y x ma by liczb całkowit, wic y musi by całkowitym dzielnikiem 5 (czyli 1, 5, 5, 1, 5 lub 5), co po uwzgldnieniu załoe daje 5 rozwiza podanych w sposobie I. strona

3 Punktacja zadania 9 1 pkt rozwizanie, w którym postp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwizania zadania ucze przemnoył równanie obustronnie przez xy pkt został dokonany istotny postp w rozwizaniu zadania, ale nie zostały pokonane zasadnicze trudnoci zadania ucze zapisał uzyskane równanie w postaci iloczynu porównywanego do liczby całkowitej ucze wyznaczył jedn niewiadom za pomoc drugiej w sposób pozwalajcy 5 5 na rozwaanie przypadków; np. x = 5 + lub y = y x 5 3 pkt zostały pokonane zasadnicze trudnoci zadania i zdajcy na tym poprzestał lub błdnie kontynuował rozwizanie ucze rozwaa przypadki analizujc odpowiednie dzielniki, ale nie rozwaa wszystkich przypadków (np. pomija dzielniki ujemne); wymagane jest zauwaenie co najmniej 3 przypadków ucze rozwaajc wszystkie przypadki popełnia przy tym błdy rachunkowe (przy jednym błdzie ucze moe otrzyma punkty za kolejne etapy rozwizania, a za cało otrzymuje 1 punkt mniej) 4 pkt zasadnicze trudnoci zadania zostały pokonane bezbłdnie i zdajcy na tym poprzestał lub błdnie kontynuował rozwizanie ucze poprawnie wyznaczył wszystkie pary liczb z postaci iloczynowej ucze poprawnie wyznaczył wszystkie pary liczb wyliczajc jedn niewiadom za pomoc drugiej 5 pkt zostały pokonane zasadnicze trudnoci zadania, zdajcy doprowadził rozwizanie do koca, jednak rozwizanie zadania zawiera usterki, błdy rachunkowe ucze podał odpowied nie odrzucajc przypadku nie spełniajcego załoe ucze poprawnie rozwaył wszystkie pary liczb i uwzgldnił załoenia (załoenia mogły by podane na pocztku rozwizania albo ucze weryfikujc uzyskane wyniki zauwaa, e dla x = 0 równanie nie jest okrelone), ale popełnił w trakcie rozwizywania błd rachunkowy w jednym z przypadków 6 pkt zadanie zostało rozwizane bezbłdnie Uwaga: za kade inne ni przedstawione poprawne rozwizanie ucze otrzymuje maksymaln liczb punktów strona 3

4 Rozwizanie zadania 10 Ramiona trapezu maj długoci 4 i 10. Kty midzy ramionami i dłusz podstaw trapezu maj odpowiednio miary α oraz β, przy czym α + β = 90. Wyznacz długo odcinka łczcego rodki podstaw trapezu. Oznaczmy A, B, C, D - wierzchołki trapezu; X, Y rodki podstaw (jak na rysunku). Wyznaczmy punkty M i N na podstawie AB tak, by odcinki MY oraz AD i NY oraz CB były odpowiednio równoległe. Trójkt MNY jest prostoktny, bo dwa jego kty maj miary α oraz β (z równoległoci). Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkta MNY wiadomo, e MN = 6. Punkt X jest rodkiem boku AB, ale jest te rodkiem odcinka MN, czyli przeciwprostoktnej trójkta MNY. Dalsze rozumowanie I sposób: rodek przeciwprostoktnej jest rodkiem okrgu opisanego na trójkcie MNY. 1 Szukana odległo XY jest zatem promieniem tego okrgu, czyli XY = MN = 13. Odcinek łczcy rodki podstaw trapezu ma długo 13. Dalsze rozumowanie II sposób: Oznaczmy odcinki h, e, x jak na rysunku (h - wysoko trójkta MNY) Z twierdzenia Pitagorasa dla trójktów MHY, NHY i XHY: h + (13 + e) = 576 h + (13 e) = 100 h + e = x Dodajc stronami dwa pierwsze równania uzyskujemy: h + e = 676 Czyli x = h + e = 169, wic x = 13. Odcinek łczcy rodki podstaw trapezu ma długo 13. strona 4

5 Punktacja zadania 10 1 pkt rozwizanie, w którym postp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwizania zadania ucze zauwaył, e ramiona (lub odcinki do nich równoległe) trapezu s prostopadłe pkt został dokonany postp konieczny na drodze do całkowitego rozwizania zadania ucze zauwaył trójkt prostoktny MNY 3 pkt został dokonany istotny postp w rozwizaniu zadania, ale nie zostały pokonane zasadnicze trudnoci zadania ucze obliczył długo odcinka MN ucze zauwaył, e rodek odcinka MN jest jednoczenie rodkiem podstawy AB - czyli e szukany w zadaniu odcinek jest rodkow trójkta MNY (nie musi uywa pojcia rodkowej) 4 pkt zostały pokonane zasadnicze trudnoci zadania i zdajcy na tym poprzestał lub błdnie kontynuował rozwizanie ucze obliczył długo odcinka MN oraz zauwaył, e rodek odcinka MN jest jednoczenie rodkiem podstawy AB 5 pkt zostały pokonane zasadnicze trudnoci zadania, zdajcy doprowadził rozwizanie do koca, jednak rozwizanie zadania zawiera usterki, błdy rachunkowe albo zasadnicze trudnoci zadania zostały pokonane bezbłdnie i zdajcy na tym poprzestał lub błdnie kontynuował rozwizanie ucze wskazał poprawny sposób obliczenia szukanego odcinka jako promienia okrgu opisanego ucze poprawnie rozpisał równoci wynikajce z twierdzenia Pitagorasa prowadzce do rozwizania zadania ucze obliczył szukan długo popełniajc błd rachunkowy 6 pkt zadanie zostało rozwizane bezbłdnie Uwaga: za kade inne ni przedstawione poprawne rozwizanie ucze otrzymuje maksymaln liczb punktów strona 5

6 Rozwizanie zadania 11 Bogacz zostawił spadek dla pitki swoich dzieci - worek pełen złotych monet. Jego przyjaciel zarzdzajcy testamentem wypłacał kademu nalen sum po osigniciu pełnoletnioci: Najstarsza córka zgodnie z wol ojca otrzymała 3 1 wszystkich monet. Z pozostałej sumy przyjaciel wził 1 monet jako wynagrodzenie za swoj prac. Dwa lata póniej pełnoletnio osignł syn, który otrzymał 3 1 liczby monet pozostałych w worku. Z pozostałej sumy przyjaciel pobrał dla siebie monety. Po kolejnym roku druga córka otrzymała 3 1 pozostałych monet. Wynagrodzenie przyjaciela wyniosło tym razem 3 monety. W kocu po spadek stawiła si para najmłodszych bliniaków. Kady otrzymał po 3 1 monet z worka, a pozostałe 7 monet zostało dla zarzdzajcego spadkiem. Ile monet pozostawił bogacz w spadku? I sposób: Przedstawmy za pomoc grafu, jak zmieniała si liczba monet pozostałych w worku: Przed rozdaniem spadku dla bliniaków w worku było 1 monet (bo 7 monet które dostał zarzdzajcy stanowiło 3 1 zawartoci worka w tym momencie). strona 6

7 Moemy zatem wypełni kolejne pola grafu zaczynajc od ostatniego: W spadku bogacz pozostawił 87 monet. Zamiast rysowa graf, mona cał sytuacj opisa za pomoc odpowiednich komentarzy i policzy wszystko analizujc od koca zmian liczby monet w worku. II sposób: Oznaczmy jako x szukan liczb monet. Przeanalizujmy, co działo si ze skarbem: 1 starsza córka otrzymała x monet, 1 monet zabrał zarzdzajcy 3 po obdarowaniu starszej córki w worku zostało x 1 monet 3 1 syn otrzymał x 1 monet, monety dostał zarzdzajcy po otrzymaniu spadku przez syna w skarbcu zostało x monet druga córka otrzymała x monet, a zarzdca 3 monety po wypłacie dla drugiej córki w worku ostało x monet 7 9 po 3 1 z pozostałych monet dostał kady z bliniaków, zarzdcy została wic równie 1 pozostałych monet 3 strona 7

8 Moemy zatem ułoy równanie: x = którego jedynym rozwizaniem jest x = 87. Spadek składał si z 87 złotych monet. strona 8

9 Punktacja zadania 11 Rozwizanie składa si z 3 etapów. Punkty za etap I i II przyznawane s niezalenie. I etap (3 punkty) opisanie za pomoc wyrae algebraicznych, grafu lub w inny sposób sytuacji podanej w zadaniu 1 pkt rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwizania zadania ucze poprawnie ustalił, ile monet pozostanie w worku po odejciu starszej córki i wypłacie monety dla zarzdcy (np. za pomoc odpowiedniego wyraenia algebraicznego lub w grafie) pkt został dokonany istotny postp w rozwizaniu zadania, ale nie zostały pokonane zasadnicze trudnoci zadania lub ucze popełnił błdy rachunkowe ucze poprawnie ustalił, ile monet bdzie w worku po otrzymaniu spadku przez dwójk najstarszych dzieci i po opłaceniu zarzdcy ucze ustalił (np. za pomoc wyraenia algebraicznego) liczb monet, które zostały po otrzymaniu spadku przez trójk najstarszych dzieci i po opłaceniu zarzdcy, ale popełnił jeden błd rachunkowy 3 pkt poprawne rozwizanie ucze (np. za pomoc grafu bd wyraenia algebraicznego) ustalił zaleno midzy pocztkow wartoci spadku a liczb monet, które zostały po otrzymaniu spadku przez trójk najstarszych dzieci z uwzgldnieniem wynagrodzenia zarzdzajcego spadkiem II etap (1 punkt) zauwaenie, po ile monet dostał kady z bliniaków (albo ile zostało po obdarowaniu młodszej córki) 1 pkt poprawne rozwizanie ucze zauwaył, e kady z bliniaków dostał po 7 monet ucze zauwaył, e po wypłacie dla drugiej córki w worku jest 1 monet III etap ( punkty) - ustalenie wielkoci spadku (punkty moliwe do uzyskania tylko po poprawnym wykonaniu etapów I i II) 1 pkt zostały pokonane zasadnicze trudnoci zadania, ale zadanie nie zostało rozwizane bezbłdnie ucze zapisał poprawne równanie pozwalajce obliczy liczb monet ucze przeprowadził poprawn analiz sytuacji od koca (np. na grafie lub z pomoc odpowiednich komentarzy), popełniajc przy tym błd rachunkowy pkt poprawne rozwizanie Uwaga: za kade inne ni przedstawione poprawne rozwizanie ucze otrzymuje maksymaln liczb punktów strona 9

10 Rozwizanie zadania 1 Dany jest trójkt ABC, w którym AB = 6, BC = 7, CA = 5. Odcinek AH jest jedn z wysokoci tego trójkta. Udowodnij, e dla kadego punktu X lecego na prostej AH wyraenie BX CX przyjmuje stał warto. Podaj t warto. Zauwamy, e (dla X H ) trójkty BHX i CHX s prostoktne. Z twierdzenia Pitagorasa: BX = BH + HX CX = CH + HX Zatem BX CX = BH CH czyli jest to wielko stała (nie zaley od wyboru X). Jeeli jako X wemiemy punkt A: BA CA = 36 5 = 11 Zatem dla kadego punktu X nalecego do prostej AH wyraenie BX CX przyjmuje warto 11. strona 10

11 Punktacja zadania 1 Rozwizanie składa si z 3 etapów. Punkty za etap I i II przyznawane s niezalenie. I etap (3 punkty) wykazanie, e warto BX CX jest stała 1 pkt rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwizania zadania ucze zauwaył, e trójkty BHX i CHX s prostoktne pkt został dokonany istotny postp w rozwizaniu zadania, ale nie zostały pokonane zasadnicze trudnoci zadania ucze zapisał twierdzenie Pitagorasa w trójktach BHX i CHX wyliczajc BX oraz CX 3 pkt poprawne rozwizanie I etapu ucze obliczył, e BX CX = BH CH (otrzymał warto niezalen od X) II etap (1 punkt) obliczenie wartoci dla X = A 1 pkt poprawne rozwizanie ucze obliczył, e BA CA = 11 III etap ( punkty) wykazanie, e wyraenie przyjmuje zawsze warto 11 (punkty moliwe do uzyskania tylko po poprawnym wykonaniu etapów I i II) 1 pkt zostały pokonane zasadnicze trudnoci zadania, ale zadanie nie zostało rozwizane bezbłdnie ucze zauwaył, e punkt A ley na prostej AH, wic BA CA = BH CH (stała z I etapu) pkt poprawne rozwizanie ucze wykazał, e szukana warto wynosi zawsze 11 Uwaga: za kade inne ni przedstawione poprawne rozwizanie ucze otrzymuje maksymaln liczb punktów strona 11