EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdajcego. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 8 stron (zadania ). Ewentualny brak zgo przewodniczcemu zespou nadzorujcego egzamin.. Rozwizania zada i odpowiedzi zamie w miejscu na to przeznaczonym.. W rozwizaniach zada przedstaw tok rozumowania prowadzcy do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. Uywaj dugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie uywaj korektora, a bdne zapisy przekrel. 6. Pamitaj, e zapisy w brudnopisie nie podlegaj ocenie. 7. Obok kadego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, któr moesz uzyska za jego poprawne rozwizanie. 8. Moesz korzysta z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 9. Na karcie odpowiedzi wpisz swoj dat urodzenia i PESEL. Nie wpisuj adnych znaków w czci przeznaczonej dla egzaminatora. Za rozwizanie wszystkich zada mona otrzyma cznie 50 punktów yczymy powodzenia! Wypenia zdajcy przed rozpoczciem pracy PESEL ZDAJCEGO KOD ZDAJCEGO

2 Zadanie. (4 pkt) Wielomian f, którego fragment wykresu przedstawiono na poniszym rysunku spenia warunek f (0) 90. Wielomian g dany jest wzorem g Wyka, e g f dla R. f y Z rysunku odczytuj miejsca zerowe funkcji f i zapisuj jej wzór w postaci iloczynowej f ( ) a( 6)( 5)( ). Funkcja spenia warunek f (0) 90, czyli a(0 6)(0 5)(0 ) 90. Obliczam wspóczynnik a: a i zapisuj wzór funkcji f: f ( ) ( 6)( 5)( ). Wzór funkcji f zapisuj w postaci: f f ( ) g Zatem f g dla R.

3 Zadanie. (4 pkt) Rozwi nierówno 6. 6, wic nierówno przyjmuje posta: 4. Rozwizanie nierównoci: 4 gdy,0 4 gdy 0, 4 gdy, 8 gdy,0 8 gdy 0, 5 8 gdy, W przedziale,0 nierówno nie ma rozwizania. Rozwizaniem nierównoci w przedziale 0, s liczby rzeczywiste nalece do przedziau 8, 5, natomiast rozwizaniem nierównoci w przedziale, s liczby rzeczywiste nalece do przedziau 8,. Rozwizaniem nierównoci 6, jest wic przedzia 8 8, 5.

4 4 Zadanie. (5 pkt) Liczby 5 i 5 z niewiadom. Oblicz wartoci p i q. 0 s rozwizaniami równania p q p q Zapisuj równanie kwadratowe w postaci iloczynowej: przeksztacam je do postaci ogólnej Porównuj odpowiednie wspóczynniki obu postaci równania i stwierdzam, e musz by spenione równoczenie dwa warunki: Rozwizuj ukad równa p q 0 p q p q 0 i p q. Dokonuj podstawienia: q p i otrzymuj równanie kwadratowe z jedn niewiadom: p p 0. Rozwizaniem tego równania kwadratowego s liczby: p lub p. Obliczam wartoci q w zalenoci od p: Dla p, q, natomiast dla p, q.

5 5 Zadanie 4. (4 pkt) Rozwi równanie 4cos 4sin w przedziale 0,. Przeksztacam równanie: 4 sin 4sin 4sin 4sin 0 Wprowadzam pomocnicz niewiadom sin t i t,, i zapisuj równanie 4t 4t 0. Rozwizaniem tego równania s liczby: t lub t, t,. Powracam do podstawienia i otrzymuj: Rozwizuj równanie sin. sin w przedziale 0, : lub

6 6 Zadanie 5. (5 pkt) Dane jest równanie p z niewiadom. Wyznacz liczb rozwiza tego równania w zalenoci od parametru p. Szkicuj wykres funkcji f dla 0. y Z wykresu odczytuj liczb rozwiza równania parametru p: dla p 0 równanie nie ma rozwizania, p w zalenoci od dla p 0 lub p równanie ma jedno rozwizanie, dla 0 p lub p równanie ma dwa rozwizania.

7 7 Zadanie 6. ( pkt) Udowodnij, e jeeli cig a, b, c jest jednoczenie arytmetyczny i geometryczny, to a b c. Stosuj zwizki midzy ssiednimi wyrazami cigów arytmetycznego i geometrycznego do zbudowania ukadu równa: a c b a c b Podstawiam do drugiego równania w miejsce b wyraenie równanie: a c ac Wykonuj równowane przeksztacenia: 4ac a ac c a ac c 0 a c 0 Korzystajc z równoci a c b, std otrzymuj równo c b. Poniewa zachodzi a, a std otrzymuj równo a c. a c i otrzymuj c i z pierwszego równania ukadu otrzymuj: c i b c, wic a b c, co naleao udowodni.

8 8 Zadanie 7. (4 pkt) Uzasadnij, e kady punkt paraboli o równaniu y 4 jest równoodlegy od osi O i od punktu F (0, ). y P, 4 F 0, 0 P,0 Wybieram dowolny punkt P lecy na paraboli i oznaczam jego wspórzdne w zalenoci od jednej zmiennej P, 4. P,0 jest rzutem punktu P na o O. Odlego punktu P od osi O Punkt jest równa PP. 4 0 dla kadego R 4, wic PP. 4 4 Wyznaczam odlego punktu P od punktu F: PF 4 PF 6 4 Zatem PP PF. PF 4 4 4

9 9 Zadanie 8. (4 pkt) Wyznacz wspórzdne rodka jednokadnoci, w której obrazem okrgu o równaniu 6 y 4 jest okrg o równaniu 6 y 4 6, a skala tej jednokadnoci jest liczb ujemn. rodkiem okrgu 6 y 4 jest punkt S 6, 0, a promie r. rodkiem okrgu 6 y 4 6 jest punkt y S 6, 4, a promie r S S S Na paszczynie kade dwa okrgi s jednokadne. W tym przypadku stosunek dugoci promieni danych okrgów jest równy, wic szukam punktu, y, który jest rodkiem jednokadnoci o skali S. Z wasnoci jednokadnoci wynika równanie: S S S S, S S 6,4 y, S S 6, y 6, 4 y 6, y 6, 4 y, y

10 0 Obliczam odcit punktu S: 6, std Obliczam rzdn punktu S: 4 y y, std Odp. rodkiem jednokadnoci jest punkt 4 y S,.

11 Zadanie 9. (4 pkt) Wyznacz dziedzin i najmniejsz warto funkcji f log 8. Korzystam z faktu, e funkcja logarytmiczna dla podstawy równej malejca. Oznacza to, e funkcja f przyjmuje najmniejsz warto dla najwikszego argumentu. Wyznaczam dziedzin funkcji f: Wyraenie , 8 osiga najwiksz warto dla 4 i jest ona równa 6. Najmniejsz wartoci funkcji f log 8 jest liczba log 6. Obliczam warto funkcji f dla argumentu 6, korzystajc z definicji logarytmu: log 6 y jest y 6 y 4 y 4, wic y 8 Odpowied: Liczba 8 jest najmniejsz wartoci funkcji f.

12 Zadanie 0. (4 pkt) Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy wicej mczyzn ni kobiet, wybrano losowo dwuosobow delegacj. Prawdopodobiestwo tego, e w delegacji znajd si tylko kobiety jest równe 0,. Oblicz, ile kobiet i ilu mczyzn jest w tej grupie. Oznaczam: n liczba kobiet, n liczba mczyzn i n. Zdarzeniem elementarnym jest kady dwuelementowy podzbiór zbioru n - elementowego. Wyznaczam moc zbioru wszystkich zdarze elementarnych : n n n A zdarzenie polegajce na tym, e w delegacji znajduj si tylko kobiety. Wyznaczam liczb zdarze elementarnych sprzyjajcych zajciu zdarzenia A: n n n A. Obliczam prawdopodobiestwo zdarzenia A: P A n n n. nn n Zapisuj równanie wynikajce z warunków zadania : n n 0 0n 0 9n n 7 Odpowied: W grupie jest 7 kobiet i 4 mczyzn..

13 Zadanie. (5 pkt) W ostrosupie prawidowym czworoktnym dane s: H wysoko ostrosupa oraz miara kta utworzonego przez krawd boczn i krawd podstawy ( ). 4 H a) Wyka, e objto V tego ostrosupa jest równa tg. b) Oblicz miar kta, dla której objto V danego ostrosupa jest równa 9 H. Wynik podaj w zaokrgleniu do cakowitej liczby stopni. S H h D O. E C A a B Wprowadzam oznaczenia: a dugo krawdzi podstawy ostrosupa, h wysoko ciany bocznej ostrosupa. h a a) Z trójkta prostoktnego BES wyznaczam h: tg, std h tg. a Stosuj twierdzenie Pitagorasa w trójkcie prostoktnym SOE i otrzymuj: H a h. a Podstawiam wyraenie tg w miejsce h, otrzymuj a a H tg.

14 4 Wyznaczam a : H a a a tg, H tg, a 4H. tg Obliczam objto ostrosupa: podstawiam do wzoru V a H wyznaczon warto a 4H ; tg V 4H 4 H H tg tg co naleao wykaza. b) Zapisuj równanie: 4 H H 9 tg. 9 Mno obie jego strony przez H 6 i otrzymuj równanie: tg. Std tg 7 czyli tg 7 (odrzucam równo tg 7, bo jest ktem ostrym). 7,6458 Z tablic funkcji trygonometrycznych odczytuj szukan miar kta : 69.

15 5 Zadanie. (4 pkt) W trójkcie prostoktnym ABC przyprostoktne maj dugoci: BC 9, CA. Na boku AB wybrano punkt D tak, e odcinki BC i CD maj równe dugoci. Oblicz dugo odcinka AD. B. E D C A Rysuj wysoko CE poprowadzon z wierzchoka C trójkta ABC. Jest ona jednoczenie wysokoci trójkta równoramiennego BCD, co oznacza, e BE DE. Trójkt BEC jest podobny do trójkta ABC (oba trójkty s prostoktne, kt EBC jest ich ktem wspólnym). Z podobiestwa trójktów wynika proporcja BE BC BC. AB Obliczam dugo odcinka AB: AB 9 5 i korzystajc z wyznaczonej proporcji obliczam dugo odcinka BE: BE BC 7. AB 5 Wyznaczam dugo odcinka AD: Odpowied: Odcinek AD ma dugo równ 7 AD

16 6 BRUDNOPIS