Metody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii

Transkrypt

1 Metody energetyczne Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii

2 dv 1 N dx Ndu EA dv dv S 1 M dx M sdϕ GI 1 M gdx M gdϑ EI S Energia sprężysta układu prętowego dv 1 β TdvT GA Tdx

3 ( ) ( ) 1 Sila wewnętrzna dv dx Sztywnosc 1 dv N dx EA Rozciąganie: 1 M g dv dx EI Zginanie: 1 s s M dv dx GI Skręcanie: 1 dv T dx GA β Ścinanie:

4 V l ( Sila wewnętrzna) ( Sztywnosc) 0 dx Rozciąganie: V l Ndx EA 0 Skręcanie: V l s 0 M dx GI s Zginanie: V M dx l g 0 EI Ścinanie: V l βtdx GA 0

5 Jeśli siła wewnętrzna oraz sztywność nie zależą od x V ( Sila wewnętrzna) ( Sztywnosc) dlugosc Jeśli N oraz EA nie zależą od x Jeśli M s oraz GI s nie zależą od x Rozciąganie: V Nl EA Skręcanie: V M s l GI s Jeśli M g oraz EI nie zależą od x Jeśli T oraz GA nie zależą od x Zginanie: V M l g EI Ścinanie: V β GA Tl

6 W przypadku ogólnym energia sprężysta odkształcenia odcinka pręta o długości dx będzie równa sumie prac składowych sił wewnętrznych N, M s, M gy, M gz, T y, T z na odpowiadających im przemieszczeniach du, dϕ, dθ y, dθ z, dυ T, dw T. Jeśli odcinek pręta o długości dx uznać za odrębny układ, to N, M s, M gy, M gz, T y, T z należy traktować jako siły zewnętrzne 1 dv Ndu + M d + M d + M d + T d + T dw ( ) s ϕ gy ϑy gz ϑz y υt z T

7 Po uwzględnieniu, że przemieszczenia są następującymi funkcjami składowych sił wewnętrznych du Ndx EA dϕ M sdx GI s dϑ y M dx gy EI y d M dx β Tdx gz y y ϑ z dυ T EI z GA dw T βztdx z GA Otrzymamy zależność dv 1 N M M M β T T EA GIs EI y EI z GA GA s gy gz y y β z z dx

8 Energia sprężysta w pręcie prostym w przypadku ogólnym V l 1 N M M M β T T EA GI 0 s EI y EI z GA GA s gy gz y y β z z dx

9 Metody energetyczne wyznaczania przemieszczeń Castigliana Maxwella-Mohra

10 Metoda Maxwella-Mohra W celu określenia dowolnego uogólnionego przemieszczenia u w prętowym układzie liniowosprężystym metodą Maxwell-Mohra wykonamy następujące operacje: Wyznaczymy siły N, M s, M gy, M gz, T y, T z w prętach układu, wywołane obciążeniem rzeczywistym Obciążamy układ siłą jednostkową odpowiadającą poszukiwanemu przemieszczeniu u i wyznaczamy N, M s, M gy, M gz, T y, T z, które wywołuje ona w prętach 1

11 W miejsce jednostkowej siły wprowadźmy siłę uogólnioną o wartości P (P0), która wywoła dodatkowo siły wewnętrzne: 1 PN', PM, PM, PM, PT, PT ' ' ' ' ' s gy gz y z V ' ' ' ( N + PN ) ( M ) ( ) s + PM Mgy + PM s gy l 1 EA GI1 s EI y 0 ( M + PM ) β ( T + PT ) β ( T + PT ) + + EI z GA GA ' ' ' gz gz y y y z z y dx u V P P 0

12 Metoda Maxwella-Mohra u l NN M M M M M M β T T T T EA GI 0 s EI y EI z GA GA ' ' ' ' ' ' s s gy gy gz gz y y y βz z z dx W celu określenia przemieszczenia u metodą Maxwella-Mohra dla dowolnego liniowosprężystego układu prętowego należy dokonać sumowania całek, obliczonych dla poszczególnych przedziałów (prętów).

13 Statycznie niewyznaczalne układy prętowe Układ prętowy jest statycznie niewyznaczalny, jeśli nie można określić reakcji w podporach czy sił wewnętrznych w przekrojach prętów, posługując się wyłącznie równaniami równowagi. Liczba sił statycznie niewyznaczalnych, czyli hiperstatycznych, równa różnicy między liczbą wszystkich sił niewiadomych, a liczbą równań równowagi, określa stopień statycznej niewyznaczalności układu prętowego.

14 Statycznie niewyznaczalne układy prętowe Rozwiązanie każdego zadania statycznie niewyznaczalnego oprócz wykorzystania warunków równowagi wymaga uwzględnienia geometrycznych i fizycznych aspektów odkształcalności ciała. Formułuje się w tym celu trzy grupy zależności: A. Równania równowagi, B. Warunki geometryczne C. Związki fizyczne Wyróżnić można dwie podstawowe metody rozwiązywania zadań statycznie niewyznaczalnych: - metodę sił - metodę przemieszczeń

15 Równania równowagi ql R R A 1 0 M A + RAl ql Równania: Niewiadome: 3 Zadanie jednokrotnie (3-) statycznie niewyznaczalne B 0

16 Warunki geometryczne Reakcja R B (traktowana jako wielkość hiperstatyczna) jest spowodowana podparciem belki w punkcie B, co odpowiada następującemu warunkowi geometrycznemu υ B 0

17 Związki fizyczne Związek fizyczny powinien uzależniać υ B od sił działających na belkę oraz jej własności sprężystych. Okazuje się, że warunek geometryczny υ B 0 jest po prostu dodatkowym warunkiem brzegowym.

18 Metoda sił Algorytm postępowania 1. Określić rodzaj i liczbę wielkości podporowych i sformułować równania równowagi

19 Metoda sił - Punkt C podpora przegubowa stała dwie reakcje (pozioma i pionowa) - Punkt A utwierdzenie trzy reakcje (pozioma, pionowa i moment) HA + HC + ql 0 równania VA + VC 0 równowagi 1 Vl C Hl C ql + M A 0

20 Metoda sił Algorytm postępowania. Obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności i utworzyć podstawowy układ prętowy

21 Metoda sił - Liczba niewiadomych 5 (reakcje) - Liczba równań rama jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalna Wielkości hiperstatyczne: X 1 H c X V c

22 Metoda sił Algorytm postępowania 3. Określić warunki geometryczne oraz związki fizyczne i sformułować na ich podstawie równania kanoniczne metody sił

23 Metoda sił Δ, Δ -część przemieszczeń 1P P u 1 i u spowodowana działaniem obciążenia q. Związki fizyczne u 1 0, u 0 u f X + f X +Δ P u f X + f X +Δ 1 1 P f X + f X +Δ P f X + f X +Δ P

24 Metoda sił Algorytm postępowania 4. Obliczyć współczynniki równań kanonicznych metody sił

25 Metoda sił X X M g11, M g1 M g1, M g M g1p, M gp l 1 1 f M M dx+ M M dx f 1 g1 g11 g g1 1 EI EI 0 0 l Algorytm postępowania l l g11 g1 EI + EI 0 0 f M dx M dx l l 1 1 g1 g EI + EI 0 0 f M dx M dx l 1 1 Δ M M dx+ M M dx 1P g1p g11 gp g1 EI EI 0 0 l l 1 1 Δ M M dx+ M M dx P g1p g1 gp g EI EI 0 0 l

26 Metoda sił Algorytm postępowania 5. Wyznaczyć z równań kanonicznych metody sił wielkości hiperstatyczne X1 X

27 Metoda sił Algorytm postępowania 6. Wykorzystując równania równowagi, znaleźć pozostałe niewiadome

28 Metoda sił Algorytm postępowania 7. Sformułować równania i narysować wykresy sił wewnętrznych

29 Metoda sił Algorytm postępowania 8. Wyznaczyć poszukiwane przemieszczenia

30 Zasada minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliana Energia sprężysta układu statycznie niewyznaczalnego V jest wyrażona przez znane siły zewnętrzne (obciążenia) i niewiadome wielkości hiperstatyczne X 1,..., X n oraz niehiperstatyczne. Jeżeli wykorzystując równania równowagi, uzależni się niewiadome niehiperstayczne od wielkości hiperstatycznych oraz obciążeń, energia V stanie się funkcją X 1,..., X n, jako zmiennych niezależnych. Warunki geometryczne, jakie muszą spełniać przemieszczenia u 1,..., u n, odpowiadające wielkościom hiperstatycznym X 1,...,X n, można zapisać nastepująco u 1 0,..., u n 0

31 Zasada minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliana Stosując metodę Castigliana, można określić przemieszczenia z wykorzystaniem do tego celu energii sprężystej V(X 1,..., X n ) u 1 V,..., un X 1 V X n związki fizyczne Po podstawieniu do związków geometrycznych: V X 1 V 0,..., 0 X n

32 Zasada minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliana Spośród wszystkich możliwych zbiorów wielkości X 1,..., X n zbiorem rzeczywistych wielkości hiperstatycznych jest ten, dla którego energia sprężysta całego układu prętowego V osiąga wartość minimalną.