Mechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Mechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych"

Transkrypt

1 Mechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych. Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody.. Wprowadzenie teoretyczne Załóżmy, że układ materialny o jednym stopniu swobody i więzach idealnych, skleronomicznych i holonomicznych znajduje się w zachowawczym polu sił. Zakładamy małe wychylenie układu z położenia równowagi i współrzędną q odmierzać będziemy właśnie od tego położenia. Zatem w położeniu q = 0 energia potencjalna osiąga minimum. Punktem wyjścia naszych rozważań jest równanie d dt T q ) T q + V q = 0. Rozwińmy V = V q) w szereg Taylora wokół położenia równowagi q = 0): ) dv V = V q=0 + q + d ) V dq q=0! dq q + d 3 ) V q=0 3! dq 3 q q=0 Wobec powyższych założeń oraz V q=0 = V min = 0, ) dv = 0 warunek konieczny równowagi) dq q=0 Zakładamy ponadto, że q jest małą pierwszego rzędu, więc pozostawiając pierwszy niezerowy wyraz rozwinięcia mamy w przybliżeniu V = d ) V dq q q=0 Oznaczając mamy d ) V dq = c > 0 minimum) q=0 V = cq Energię kinetyczną przy poczynionych założeniach można zapisać następująco: T = f q) q. Podobnie jak współrzędną q, prędkość q będziemy również traktować jako małą rzędu pierwszego. Rozwijamy teraz f q) w szereg Taylora wokół punktu q = 0: ) d f f q) = f q=0 + q + d ) f dq q=0 dq q +... q=0

2 Pomijając małe wyższych rzędów i wstawiając to rozwinięcie do wyrażenia na energię, mamy T = f q) q=0 q lub T = a q Zatem energia kinetyczna zależy tylko od prędkości uogólnionej. Obliczając odpowiednie pochodne V q = cq, T q = a q, ) d T = a q, dt q T q = 0 i wstawiając do równania Lagrange a, otrzymujemy a q + cq = 0 Wprowadzając stałą k = c/a, mamy Rozwiązaniem tego równania jest q + k q = 0. q = λ coskt + ε) τ = π k = π a c okres drgań.. Przykład Energia potencjalna: V = mg l cosϕ) lub w przybliżeniu do małych rzędu drugiego: V = 4 mglϕ, gdyż ) cosϕ = ϕ! + ϕ4 4!... ϕ

3 Energia kinetyczna w ruchu płaskim: T = I S ϕ, gdzie I S to moment bezwładności pręta względem chwilowego środka obrotu: ) I S = I C + m SC = ml l + m = 3 ml, czyli Równanie Lagrange a: T = 6 ml ϕ ) d T T dt ϕ ϕ + V ϕ = 0 ϕ + 3 g k = l ϕ = 0 3g l τ = π k = π l 3g. Drgania swobodne układów o wielu stopniach swobody.. Wprowadzenie teoretyczne Rozważamy nieswobodny układ o s stopniach swobody. Po odpowiednim rozwinięciu w szerego Taylora energia kinetyczna i potencjalna bedą miały postać T = a jk q j q k, a jk = a k j, j,k =,,..., s V = c jkq j q k, c jk = c k j, j,k =,,..., s Korzystając z równań Lagrange a ) d T T = V, dt q j q j q j otrzymujemy układ równań różniczkowych drgań a jk q k + c jk q k = 0. Rozwiązania układu szukamy w postaci q k = C k e λt. Stąd a jk λ + c jk ) Ck = 0. Jest to układ algebraicznych równań jednorodnych ze względu na λ. Posiada on nietrywialne rozwiązanie, jeśli λ) = det a jk λ + c jk ) = 0. 3

4 λ) jest równaniem charakterystycznym układu równań różniczkowych. Równanie to jest stopnia s względem λ, czyli posiada s pierwiastków tzw. wartości własnych) λ α, α =,,..., s Jeśli do λ) wstawimy pierwiastek λ α, otrzymamy zależności między amplitudami C k : a jk λ α + c jk ) Ck = 0, ) gdzie C k to amplituda odpowiadająca wartości własnej λ α. Rozwiązanie ogólne równań różniczkowych drgań przedstawiamy w postaci ) q k = Re Ck α eλ at. Jeżeli na układ działają tylko siły potencjalne, to pierwiastki wartości własne) muszą być urojone. Ponieważ układ równań charakterystycznych jest stopnia s, to mamy pary sprzężonych pierwiastków gdzie ω α to częstości własne. Stąd q k = Re λ + α = iω α, λ α = iω α, [ C α k )+ e iω at + C α k ) e iω at ]. ) Żeby układ równań algebraicznych ) miał rozwiązanie nietrywialne, przynajmniej jedna amplituda C α k powinna być różna od zera. Niech będzie to C α s. Wówczas przenosząc na prawą stronę układu ), zgodnie ze wzorami Cramera mamy C α p = α p α Cs α, p =,..., s s gdzie α p jest dopełnieniem algebraicznym elementu z p-tej kolumny i dowolnego wiersza wyznacznika równania charakterystycznego obliczonego dla λ = λ α. Ponieważ amplituda Ck α nie jest określona, to oznaczając mamy C α = Cα s α s gdzie C α jest dowolną stałą. Postawiając 3) do ), otrzymujemy, C α k = C α α k, 3) q k = Re [ C + α k iω α )e iω at +C α k iω α )e iω at ]. Ponieważ zadane siły są potencjalne, równanie charakterystyczne i wszystkie dopełnienia algebraiczne zawierają tylko parzyste potęgi. Stąd wszystkie k są rzeczywiste oraz czyli uwzględniając, że możemy zapisać ogólne rozwiązanie w postaci k iω α ) = k iω α ), 4) Re [ C + α e iω at +C α e iω at ] = A α cosω α t + β α ), q k = k iω α )θ α, 5) gdzie θ α = A α cosω α t + β α ). 4

5 Nie należy utożsamiać którejkolwiek częstości własnej ω α z częstością własną któregoś z punktów układu. Tak jest tylko wtedy, gdy punkty układu nie oddziałują ze sobą każdy ma jeden stopień swobody). Częstości własne charakteryzują ruch układu jako całości. Zawsze można zadać warunki początkowe tak, by wszystkie współrzędne zmieniały się harmonicznie względem czasu z jedną z częstości własnych układu. Z ogólnego rozwiązania q k = k iω α )θ α wynika, że jako współrzędne uogólnione można przyjąć wielkości θ α, ponieważ rozwiązanie to przedstawia liniowe przekształcenie θ α na q k. Współrzędne θ α nazywa się współrzędnymi normalnymi. Odpowiednio drgania harmoniczne zachodzące z częstościami własnymi układu nazywa się drganiami normalnymi. Oczywiście współrzędne normalne spełniają równania θ α + ω αθ α = 0. Jeśli pewna częstość własna ω α = 0, to zgodnie z powyższym równaniem θ α = θ α0 t + θ α0. Mamy wówczas do czynienia z tak zwanymi drganiami zerowymi. Ma to miejsce wtedy, gdy energia potencjalna osiąga minimum nie w jednym punkcie, a w pewnym obszarze, tj. w tym przypadku, gdy energia potencjalna nie ma właściwego minimum... Drgania układu o dwóch stopniach swobody Rozważmy układ o dwóch stopniach swobody opisywany współrzędnymi q i q. Dla q = q = 0 układ znajduje się w równowadze. Energia potencjalna: ) ) V V V q,q ) = V q =q =0 + q + q + q q =q =0 q q =q =0 [ + ) V! q q ) V + q q + q =q q =0 q q =q =0 ) ] V q q q =q =0 Ponieważ więc gdzie V q =q =0 = 0, ) V q q =q =0 V = c q + c q q + c q ), ) V = = 0, q q =q =0 ) V ) V c = q c = q =q =0 q ) V c = c = q q q =q =0 q =q =0 5

6 Jeśli energia V ma osiągać minimum, to Energia knetyczna będzie postaci c > 0, c > 0, c c c > 0. T = a q + a q q + a q ), wynikającej z ogólnej postaci energii kinetycznej dla więzów skleronomicznych i holonomicznych. Musi być ona oczywiście dodatnio określona, czyli Ponieważ a > 0, a > 0, a a a > 0. T = T = 0, q q więc równania Lagrange a przyjmą postać ) d T dt q d T dt q Biorąc pod uwagę, że + V q = 0 ) + V q = 0 T = a q + a q, q V = c q + c q, q T = a q + a q, q V = c q + c q, q otrzymujemy { a q + a q + c q + c q = 0 a q + a q + c q + c q = 0 Rozwiązań tego układu będziemy poszukiwać w postaci q = A cosωt + β) q = A cosωt + β) Założonym rozwiązaniom odpowiada pewien szczególny rodzaj drgań. Obie współrzędne zmieniają się z tym samym okresem oraz w tej samej fazie o amplitudach odpowiednio A i A. Drgania te nazywamy drganiami normalnymi. Wstawiając rozwiązania do równań mamy { [ c a ω ) A + c a ω ) A ] cosωt + β) = 0 [ c a ω ) A + c a ω ) A ] cosωt + β) = 0 Stąd otrzymujemy układ równań na wartości własne: { c a ω ) A + c a ω ) A = 0 c a ω ) A + c a ω ) A = 0 ) Jest to układ równań jednorodnych, więc wyznacznik musi być równy zero: = c a ω c a ω c a ω c a ω = 0. 6

7 Po jego rozwinięciu otrzymujemy równanie dwukwadratowe ze względu na częstość ω. Pierwiastki oznaczmy przez ω i ω. Oba są dodatnie, czyli otrzymujemy rzeczywiste wartości własne dla częstości drgań normalnych. Ponieważ zmiana ω na ω nie prowadzi do nowych niezależnych rozwiązań, będziemy w dalszym ciągu uwzględniać tylko wartości dodatnie. Ponadto wyłączamy szczególny przypadek pierwiastka podwójnego. Mamy więc dwie postaci drgań normalnych o okresach τ = π ω, Rozwiązania szczególne dla ω będą teraz postaci τ = π ω. q ) = A ) cosω t + β ), q ) = A ) cosω t + β ). Ale amplitudy A ) i A ) nie są od siebie niezależne. Ich stosunek można wyznaczyć z jakiegokolwiek równania z układu ). Z pierwszego mamy Stąd rozwiązania szczególne dla ω : A ) = c a ω c a ω A ). q ) = A ) cosω t + β ), Podobnie postępując dla częstości ω, otrzymujemy q ) = c a ω c a ω A ) cosω t + β ). q ) = A ) cosω t + β ), q ) = c a ω c a ω A ) cosω t + β ). Otrzymaliśmy cztery całki szczególne wyjściowego układu równań różniczkowych. Rozwiązanie ogólne jest zatem ich superpozycją: q = A ) cosω t + β ) + A ) cosω t + β ) q = c a ω c a ω A ) cosω t + β ) c a ω c a ω A ) cosω t + β ) Małe drgania układu o dwóch stopniach swobody możemy więc rozpatrywać jako superpozycję dwóch drgań normalnych, które są drganiami harmonicznymi. Należy jednak podkreślić, że ruch wypadkowy nie jest na ogół ruchem okresowym..3. Przykład: Podwójne wahadło matematyczne Energia potencjalna: Ze względu na małe kąty można przyjąć V = m gl cosϕ )+ + m g[l cosϕ ) + l cosϕ )]. cosϕ ϕ, cosϕ ϕ, 7

8 Zgodnie z teorią Energię kinetyczną określa wzór V = [ m + m )l gϕ + m l gϕ ]. c = m + m )l g, c = m l g, c = 0 T = m v + m v ), gdzie oraz v = l ϕ, v = u + w u = v = l ϕ w = l ϕ prędkość unoszenia) prędkość względna) Wektory u i w tworzą ze sobą kąt ϕ ϕ, stąd v = u + w + uwcosϕ ϕ ) = l ϕ + l ϕ + l l ϕ ϕ cosϕ ϕ ). Energia kinetyczna będzie więc postaci T = { m l ϕ + m [ l ϕ + l ϕ + l l ϕ ϕ cosϕ ϕ ) ]}. Powyższy wzór dotyczy dowolnych ruchów wahadła. Dla małych wychyleń przyjmujemy przybliżoną postać T przy założeniu ϕ ϕ = 0. Jest to tym bardziej uzasadnione, że w potencjalnym polu sił energia kinetyczna jest formą kwadratową wyłącznie prędkości uogólnionych. Mamy zatem Współczynniki a jk będą T = [ m + m )l ϕ + m l l ϕ ϕ + m l ] ϕ. a = m + m )l, a = a = m l l, a = m l. Wstawiając T i V do równan Lagrange a otrzymujemy { m + m )l ϕ + m l l ϕ + m + m )l gϕ = 0 m l l ϕ + m l ϕ + m l gϕ = 0 8

9 Rozwiązania szczególne mają postać ϕ = A cosωt + β), ϕ = A cosωt + β), czyli { [ m + m )l g m + m )l ω] A m l l ω A = 0 m l l ω A + m l g m l ω) A = 0 Równanie na częstości własne ma postać [ m + m )l g m + m )l ω ] m l g m l ω ) m l l ω 4 = 0. ) Dla prostoty załóżmy, że m = m = m, l = l = l. Wówczas po podzieleniu powyższego równania przez m l 4 mamy g l ω) ω 4 = 0. Stąd ω = l ) g, ω = + l ) g. Częstości kołowe drgań wahadła są ω = ) l g, ω = + ) l g, natomiast okresy: τ = π π l = ω g ), τ = π π l = ω + g ). Zbadamy jeszcze postaci drgań normalnych. Zacznijmy od drgań o mniejszej częstości. Stosunek amplitud A ) i A ) wyznaczymy z pierwszego równania układu ): ) A ) ) A ) = 0, A ) A ) = > 0 Rozwiązania szczególne są więc następujące: ϕ ) = A ) cos[ ) l g t + β [ ϕ ) = A ) cos ) l g t + β Z otrzymanych wyrażeń wynika, że ϕ i ϕ mają takie same znaki, czyli obie części wahadła wychylają się w tę samą stronę. Dla drgań o częstości ω = + ) l g ], ]. 9

10 otrzymujemy oraz A ) A ) = < 0. ϕ ) = A ) cos[ + ) l g t + β [ ϕ ) = A ) cos + ) l g t + β ], ]. Współrzędne mają teraz znaki przeciwne, czyli obie części wahadła wychylają się w przeciwne strony. 3. Drgania poprzeczne 3.. Wprowadzenie teoretyczne Rozpatrzmy belkę, na której umieszczono dwie masy punktowe. Do obliczenia energii potencjalnej 0

11 układu skorzystamy z wyrażenia znanego z wytrzymałości materiałów: V = P z + P z, które przedstawia energię potencjalną zginanej belki; z i z to przemieszczenia punktów w miejscach przyłożenia sił. Na podstawie twierdzenia Bettiego-Maxwella między siłami i przemieszczeniami zachodzą związki: z = c P + c P, z = c P + c P, ) gdzie c ik są współczynnikami wpływowymi c ik = c ki ). Wyliczając z ) siły, mamy gdzie P = c z c z ), P = c z c z ), = c c c c = c c c Wstawiając teraz siły P i P do energii potencjalnej, otrzymujemy Energia kinetyczna w naszym przypadku będzie V = c z c z z + c z ). T = m ż + m ż. Korzystając z równań Lagrange a, po pewnych przekształceniach otrzymujemy następujące równania ruchu: { c m z + c m z + z = 0 c m z + c m z + z = 0 Przyjmiemy teraz, że każda z mas wykonuje ruch harmoniczny prosty o tej samej częstosci z = acosωt ψ), z = bcosωt ψ). Wstawiamy z i z do równań ruchu { [ c m ω ) a c m ω b ] cosωt ψ) = 0 [ c m ω a + c m ω ) b ] cosωt ψ) = 0 ) i stąd otrzymujemy równanie częstości: c m ω c m ω c m ω c m ω = 0 Mamy więc równanie algebraiczne 4 stopnia: c c c ) m m ω 4 c m + c m )ω + = 0. Dla prostoty oznaczmy ω = µ, c c c ) m m = A, c m + c m ) = B, = C.

12 Wówczas Aµ + Bµ +C = 0 = B 4AC = c m c m ) + 4c m m > 0 Rozwiązując równanie kwadratowe ze względu na µ, mamy µ I,II = B ± A Ponieważ µ I,II = ω I,II, to formalnie możemy zapisać = c m + c m ) ± c m c m ) + 4c m m c c c) m m ω I,II = µ I,II, ω III,IV = µ I,II. Częstość nie może być ujemna, więc odrzucamy ω III,IV. Ostatecznie ω I = c m + c m ) c m c m ) + 4c m m c c c) m m ω II = c m + c m ) + c m c m ) + 4c m m c c c) m m 3) Okazało się, że badany układ posiada dwie częstości: niższą, zwaną częstościa podstawowa, oraz wyższą w przypadku wiekszej liczby stopni swobody istnieje więcej częstości). W celu zbadania postaci drgań piszemy proporcję wynikającą z dowolnego z równań ruchu. Z pierwszego mamy a b = c m ω c m ω lub Zatem przy częstosci ω I mamy Podobnie dla drugiej częstości a b = c m µ c m µ a I b I = a II b II = c m µ I c m µ I c m µ II c m µ II Zbadajmy iloczyn obu stosunków w celu ustalenia jego znaku Ze wzorów Viete a mamy a I a II = c m µ I c m µ II = 4) b I b II c m µ I c m µ II c = m µ Iµ II c m µ I + µ II ) + c m µ Iµ II µ I µ II = C A = c c c ) m m, µ I + µ II = B A = c m + c m ) c c c m m

13 Wykorzystując te związki, otrzymujemy Ponieważ stosunek mas nie może być ujemny, więc a I b I a II b II = m m. Stąd a I b I a II b II < 0 a I b I > 0, a II b II < 0, czyli przy częstości ω I drgania są zgodne, a przy ω II przeciwne. W przypadku większej liczby stopni swobody analiza jest taka sama, rośnie jedynie ilość równań, czyli częstości i postaci drgań. 3.. Przykład Wyznaczyć częstość podstawową i postaci drgań belki obciążonej symetrycznie. Dane: Q = Q = 00 kg E =, 0 6 kg cm l =,5 m przekrój prostokątny b h : b = cm, h = 5 cm Najpierw musimy obliczyć liczby wpływowe c ik ze statyki belek. 3

14 W tym celu należy wyznaczyć strzałki ugięcia f ik z równania ugięcia belki. Zginanie wywołane jest momentem, stąd równanie EJ d y = M x) dx Ponieważ równanie to jest prawdziwe jedynie w przedziałach między zmianą obciążenia, należy ułożyć dwa różne równania dla naszej belki, która posiada przecież dwa przedziały. Wyznaczmy reakcje w podporach: R A + R B P =0 P 3 l R Bl =0 R A = 3 P, R B = 3 P Przedział lewy L): 0 x 3 l M α = 3 Px + M α x) = 0 M α x) = 3 Px EJ d y dx = 3 Px EJ dy dx = 6 Px +C EJ y = 8 Px3 +C x + D 4

15 Przedział prawy P): l x l 3 M β = 3 Px + P x ) 3 l + M β x) = 0 M β x) = Px l) 3 EJ d y dx = Px l) 3 EJ dy dx = 6 Px 3 Plx +C EJ y = 8 Px3 6 Plx +C x + D Warunki brzegowe dla układu równań na stałe C, D, C, D są następujące: y0) = 0, yl) = 0, y L l a ) = y P l a ), dy dx l a ) = dy L dx l a ). P Mamy więc cztery niewiadome i cztery warunki. Po wyliczeniu stałych całkowania równanie ugięcia dla lewego przedziału ma postać Stąd strzałki ugięcia f i f będą y = Pa x l a x ). 6l EJ f = y 3 l f = y 3 l ) = 7 ) = 8 l EJ P l EJ P Z zasady Bettiego-Maxwella wynika, że f = f, a ponadto z pełnej symetrii wynika, że f = f. Wobec tego liczby wpływowe wynoszą: Podstawiając dane liczbowe: c = f P = 8 c = f P = 7 l EJ P = f P = c l EJ P = f P = c J = bh3 = 0,8 cm4, EJ = 43, kg cm, m = m = Q g = Q g = 0,0 kg s cm, 5

16 mamy c = c = cm kg c = c = cm kg Teraz możemy przystąpić do wyznaczania częstości i postaci drgań. W tym celu wykorzystamy od razu rozwiązania 3). Dodatkowo uwzględnić możemy następujące tożsamości: c m + c m = c m, c m c m = 0 oraz c m c m ) + 4c m m = c m, c c c ) m m = c c ) m = c + c )c c )m. Ostatecznie otrzymujemy ω I = ω II = c m c m c ) = c m c c )m c c )m c c ) m = c + c )m Po podstawieniu danych liczbowych mamy ω I 64 s, ω II 47 s Badamy amplitudy: a I b I = c m ω I c m ω I =, a II b II = c m ω II c m ω II = Postaci drgań będą zatem następujące: 4. Drgania podłuzne 4.. Wprowadzenie teoretyczne Rozpatrzmy drgania podłużne dwóch mas zawieszonych na sprężynie i połączonych sprężyną. Masy i sztywności sprężyn wynoszą odpowiednio m, m, κ, κ. 6

17 Energia potencjalna układu jest następująca: a energia kinetyczna: V = κ x + κ x x ), T = m ẋ + m ẋ. Współrzędnymi uogólnionymi są x i x. Korzystając z równań Lagrange a, otrzymujemy układ różniczkowych równań ruchu: { m ẍ + κ x κ x x ) = 0 m ẍ + κ x x ) = 0 Wprowadźmy oznaczenie κ = κ + κ. Wówczas równania ) przyjmą postać { m ẍ = κx + κ x m ẍ = κ x κ x ) Zakładamy, jak poprzednio, że każda masa wykonuje ruch harmoniczny prosty: x = acosωt ψ), x = bcosωt ψ). Po wstawieniu tych wyrażeń do równań ruchu mamy { [ κ m ω ) a κ b ] cosωt ψ) = 0 [ κ a + κ m ω ) b ] cosωt ψ) = 0 ) czyli { κ m ω ) a κ b = 0 κ a + κ m ω ) b = 0 Po rozwinięciu wyznacznika otrzymanego układu uzyskujemy równanie częstości m m ω 4 m κ + m κ)ω + κ κ = 0. Stąd m κ + m κ) m κ + m κ) 4m m κ κ ω I,II = m m Podobnie jak przy drganiach poprzecznych można określić postaci drgań: dla ω I = ω min a I > 0 b I dla ω II > ω I aii < 0 b II masy drgają współbieżnie) masy drgają przeciwbieżnie) 7

18 4.. Przykład Podać wzór na częstość drgań oraz zbadać postać drgań układu pokazanego na rysunku. Układ ten różni się od wcześniej rozważanego jedynie brakiem jednej sprężyny tej umocowanej do więzów skleronomicznych). Możemy zatem skorzystać z równań ruchu ), przyjmując κ = 0 i κ = κ: Z dodania powyższych równań wynika zależność Zauważmy, że czyli drgania są zawsze przeciwzwrotne. Rozwiązania równań przyjmujemy w postaci { m ẍ κ x x ) = 0 m ẍ + κ x x ) = 0 ẍ ẍ = m m. m m > 0 ẍ ẍ < 0, x = a sinωt), x = a sinωt). Stąd oraz równanie częstości Mamy zatem dwa rozwiązania {[ m ω κ ) a + κa ] sinωt) = 0 [ κa + m ω κ ) a ] sinωt) = 0 3) [ m m ω κ m + m ) ] ω = 0 ω I = 0, ω II = κ m + m ) m m Częstość ω I odpowiada sztywnemu przesunięciu obu mas. Układ posiada więc tylko jedną częstość. Z równań 3) wynika a κ = a m ω κ = m ω κ κ Podstawiając otrzymaną częstość ω II, mamy κ m + m ) m a m = m a κ κ = m m < 0, co potwierdza, że masy wykonują drgania przeciwbieżne. 8

19 5. Drgania skrętne Rozważmy drgania skrętne nieważkiego pręta, do którego sztywno zamocowano krążki o masach m i m. Stałą sprężystą przy skręcaniu oznaczmy przez κ. Niech współrzędnymi uogólnionymi będą kąty ϕ i ϕ. Energia kinetyczna układu ma postać T = I ϕ + I ϕ, natomiast energia potencjalna V = κ ϕ ϕ ) Stosując równania Lagrange a II rodzaju ) d T dt ϕ d T dt ϕ T ϕ = V ϕ ) T ϕ = V ϕ otrzymujemy { I ϕ κ ϕ ϕ ) = 0 I ϕ + κ ϕ ϕ ) = 0 ) Zakładamy rozwiązania w postaci ϕ = α sinωt), ϕ = α sinωt). Stąd I ω κ ) α + κα = 0 κα + I ω κ ) α = 0 Równanie częstości będzie [ I I ω κ I + I ) ] ω = 0. Dla ω = 0 mamy ruch sztywny czysty obrót), natomiast drugi pierwiastek: κ I + I ) ω = I I Omawiany przypadek drgań jest podobny do przykładu dotyczącego drgań podłużnych. Przez analogię otrzymamy następujące związki α κ = α I ω κ = I ω κ κ 9

20 Wstawiając wyrażenie na ω, mamy α α = κ I κ I + I ) I I κ = I I Ponieważ I > 0, to α < 0. Zatem krążki drgają w przeciwnych kierunkach. Na tej podstawie wnioskujemy, że na odcinku między krążkami musi znajdować się przekrój niepodlegający obrotowi. I α Niech węzeł drgań dzieli odcinek l na części a i b. W tym przypadku długości obu części a tym samym położenie węzła znajdujemy z warunku, że części układu rozdzielone węzłem wykonują przeciwskrętne drgania o tej samej częstości w przypadku układów o większej liczbie stopni swobody położenie węzłów wyznacza się ogólnie z warunku zerowania funkcji określającej przemieszczenie). Oznaczając częstość drgań odcinka a przez ω a, natomiast odcinka b przez ω b, warunek ten będzie: ω a = ω b Ponieważ każda z części układu podzielonego węzłem reprezentuje układ o jednym stopniu swobody, więc κa κb ω a =, ω b = I I Z porównania prawych stron mamy κ a = I κ b I Uwaga: Jeśli w pierwszym z równań ) pominiemy ϕ, otrzymamy równanie drgań skrętnych dla układu o jednym stopniu swobody, w którym ω = κ/i. Dla pręta pryzmatycznego o długości l mamy ϕ = Ml oraz κ = M C s ϕ = C s, l gdzie C s jest sztywnością skręcania np. dla przekroju kołowego C s = I 0 G). W rozważanym przypadku κ a = C s a, κ b = C s b, skąd otrzymujemy b a = I I Zatem węzeł będzie położony bliżej krążka o większym momencie bezwładności. Momenty bezwładności masowe) krążków można wyrazić jako I = Q D 8g, I = Q D 8g, gdzie D, D oraz Q, Q są odpowiednio średnicami i ciężarami krążków. Stąd b a = Q Q ) D 0 D

21 Pamiętając, że l = a + b, otrzymujemy następujące związki: Jeśli I = I, to a = b = l/. a = l + I = I + b = l + I = I + l ) ) Q D Q l D ) ) Q D Q D

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu o wielu stopniach swobody Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

Symetrie i prawa zachowania Wykład 6

Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/29 Rola symetrii Największym

Bardziej szczegółowo

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

Mechanika Analityczna

Mechanika Analityczna Mechanika Analityczna Wykład 2 - Zasada prac przygotowanych i ogólne równanie dynamiki Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej 29 lutego 2016 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano) 23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],

Bardziej szczegółowo

BADANIE STANÓW RÓWNOWAGI UKŁADU MECHANICZNEGO

BADANIE STANÓW RÓWNOWAGI UKŁADU MECHANICZNEGO Ćwiczenie 3 BADANIE STANÓW RÓWNOWAGI UKŁADU MECHANICZNEGO 3.. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest teoretyczne i doświadczalne wyznaczenie położeń równowagi i określenie stanu równowagi prostego układu mechanicznego

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium

Bardziej szczegółowo

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Drgania wymuszone

MECHANIKA II. Drgania wymuszone MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Drgania. Siła harmoniczna

Wykład 6 Drgania. Siła harmoniczna Wykład 6 Drgania Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus albo

Bardziej szczegółowo

Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2

Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2 Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2 Karol Kołodziej (przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania

Bardziej szczegółowo

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Mechanika Analityczna

Mechanika Analityczna Mechanika Analityczna Wykład 1 - Organizacja wykładu (sprawy zaliczeniowe, tematyka). Więzy i ich klasyfikacja Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Dynamiki Maszyn

Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.

Bardziej szczegółowo

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ .. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:

Bardziej szczegółowo

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki): Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:

Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: . Katapultowanie pilota z samolotu Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: gdzie D - siłą ciągu, Cd współczynnik aerodynamiczny ciągu, m - masa pilota i fotela, g przys. ziemskie, ρ - gęstość

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami

Bardziej szczegółowo

Drgania - zadanka. (b) wyznacz maksymalne położenie, prędkość i przyspieszenie ciała,

Drgania - zadanka. (b) wyznacz maksymalne położenie, prędkość i przyspieszenie ciała, Zadania do przeliczenia na lekcji. Drgania - zadanka 1. Ciało o masie m = 0.5kg zawieszono na nieważkiej nitce o długości l = 1m a następne wychylono o 2cm z położenia równowagi (g = 10 m s 2), (a) oblicz

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i

Bardziej szczegółowo

Pierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3.

Pierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3. Dynamika ruchu obrotowego Zauważyłem, że zadania dotyczące ruchu obrotowego bardzo często sprawiają maturzystom wiele kłopotów. A przecież wystarczy zrozumieć i stosować zasady dynamiki Newtona. Przeanalizujmy

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ 3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie

Bardziej szczegółowo

gęstością prawdopodobieństwa

gęstością prawdopodobieństwa Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. 1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań

Bardziej szczegółowo

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy

Bardziej szczegółowo

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera. ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Opis ćwiczenia Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie dipolowe

Promieniowanie dipolowe Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A

Bardziej szczegółowo

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 1 z 6 Zespół Dydaktyki Fizyki ITiE Politechniki Koszalińskiej Ćw. nr 3 Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 Cel ćwiczenia Pomiar okresu wahań wahadła z wykorzystaniem bramki optycznej

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

Modelowanie układów dynamicznych

Modelowanie układów dynamicznych Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 11 Równania Eulera-Lagrange a Rozważmy układ p punktów materialnych o współrzędnych uogólnionych q i i zdefiniujmy lagranżian

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego (Katera)

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego (Katera) Politechnika Łódzka FTMS Kierunek: nformatyka rok akademicki: 2008/2009 sem. 2. Termin: 6 V 2009 Nr. ćwiczenia: 112 Temat ćwiczenia: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.

Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ruch drgajacy dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne Drgania oscylacje to cykliczna

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań egzaminacyjnych (egzamin poprawkowy) z Mechaniki i Szczególnej Teorii Względności

Rozwiązania zadań egzaminacyjnych (egzamin poprawkowy) z Mechaniki i Szczególnej Teorii Względności Rozwiązania zadań egzaminacyjnych (egzamin poprawkowy) z Mechaniki i Szczególnej Teorii Względności Zadanie 1 (7 pkt) Cząstka o masie m i prędkości v skierowanej horyzontalnie wpada przez bocznąściankę

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁY METODĄ DRGAŃ SKRĘTNYCH

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁY METODĄ DRGAŃ SKRĘTNYCH WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁY METODĄ DRGAŃ SKRĘTNYCH I. Cel ćwiczenia: wyznaczenie momentu bezwładności bryły przez pomiar okresu drgań skrętnych, zastosowanie twierdzenia Steinera. II. Przyrządy:

Bardziej szczegółowo

2.6.3 Interferencja fal.

2.6.3 Interferencja fal. RUCH FALOWY 1.6.3 Interferencja fal. Pojęcie interferencja odnosi się do fizycznych efektów nie zakłóconego nakładania się dwóch lub więcej ciągów falowych. Doświadczenie uczy, że fale mogą przebiegać

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 4

Ć w i c z e n i e K 4 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo

D103. Wahadła fizyczne sprzężone (przybliżenie małego kąta).

D103. Wahadła fizyczne sprzężone (przybliżenie małego kąta). D3. Wahadła fizyczne sprzężone (przybliżenie małego kąta). Cel: Zbadanie przebiegu drgań dwóch wahadeł sprzężonych: zbadanie zależności częstości drgań wahadła prostego od jego momentu bezwładności, wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu

Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się i po zderzeniu poruszają się razem). Jedno z ciał przed zderzeniem jest w spoczynku. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

5.1. Kratownice płaskie

5.1. Kratownice płaskie .. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9 Fizyka 1 (mechanika) 1100-1AF14 Wykład 9 Jerzy Łusakowski 05.12.2016 Plan wykładu Żyroskopy, bąki, etc. Toczenie się koła Ruch w polu sił centralnych Żyroskopy, bąki, etc. Niezrównoważony żyroskop L m

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO ĆWICZENIE 36 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO Cel ćwiczenia: Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć: adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,

Bardziej szczegółowo

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją

Bardziej szczegółowo