Ścinanie i skręcanie. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

Transkrypt

1 Ścinanie i skręcanie dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1

2 Ścinanie proste Ścinanie czyste Ścinanie techniczne 2

3 Ścinanie Czyste ścinanie ma miejsce wtedy, gdy na czterech ścianach prostopadłościennej kostki występują jedynie naprężenia styczne Prawo Hooke a przy ścinaniu: przy czym: G G E 2 1 3

4 Ścinanie Ścinanie techniczne (technologiczne) zachodzi, gdy naprężeniom tnącym towarzyszą znacznie od nich mniejsze naprężenia normalne.) 4

5 Ścinanie W obliczeniach zagadnień ścinania technicznego uśrednia się naprężenia tnące w całym przekroju ścinanym (=sr); warunek wytrzymałościowy ma wówczas postać: T sr A Przy wielu przekrojach ścinanych zakłada się jednakowe obciążenie wszystkich tych przekrojów np. w połączeniach nitowych: T sr k 2 t d n 4 k t 5

6 Ścinanie Tok obliczeń połączeń (spawanych, nitowych itp.) na ogół zawiera: sprawdzenie elementów łączonych (blach itp.) na rozciąganie, sprawdzenie elementów łączonych na ścinanie (np. wycięcie ucha przez sworzeń), sprawdzenie elementów złącznych (nitów, kołków itp.) lub spoin na ścinanie, sprawdzenie połączenia na docisk(naciski powierzchniowe): d P A k d 6

7 Ścinanie ze zginaniem Zginanie poprzeczne 7

8 Naprężenia styczne 8

9 Uśrednione naprężenia styczne xz 9

10 Wzór Żurawskiego 10

11 Uśrednione naprężenia styczne xy 11

12 12

13 13

14 Przykład przekrój prostokątny 14

15 Przykład przekrój kołowy 15

16 Przykład przekrój dwuteowy 16

17 Przykład przekrój dwuteowy 17

18 Skręcanie prętów o przekroju kołowym Skręcanie powodują dwie pary sił, działające w dwu różnych płaszczyznach prostopadłych do osi pręta (wału); momenty tych par sił to momenty skręcające (M s ) Moment skręcający jest dodatni, gdy wektor momentu jest zwrócony na zewnątrz wycinka wału (wektor M s pozornie rozciąga wał) M s M s 18

19 Skręcanie prętów o przekroju kołowym Analiza odkształceń pręta poddanego skręcaniu Rozwiązanie wg Saint-Venanta 19

20 Skręcanie prętów o przekroju kołowym Analiza odkształceń pręta poddanego skręcaniu Naprężenia styczne są do promieni w przekrojach poprzecznych wału i rosną liniowo od zera w osi wału do maks na jego powierzchni, zgodnie z zależnością: ρ maks r 20

21 Skręcanie prętów o przekroju kołowym 21 Szczegółowa analiza naprężeń i odkształceń w pręcie skręcanym 21

22 Skręcanie prętów o przekroju kołowym Szczegółowa analiza naprężeń i odkształceń w pręcie skręcanym Z plasterka dx wycina się myślowo elementarny fragment o grubości d (i długości dx) położony w odległości od osi wału, zawierający punkty E, F 1 i F 22

23 Skręcanie prętów o przekroju kołowym Szczegółowa analiza naprężeń i odkształceń w pręcie skręcanym Na zakreskowanych ściankach elementu występują naprężenia styczne kąt odkształcenia postaciowego wynosi: wynika, że: ρ ρ G i stąd d dx ρ G 23

24 24 Skręcanie prętów o przekroju kołowym Naprężenia maksymalne i kąt skręcenia pręta naprężenia działające na małym fragmencie da pola przekroju poprzecznego wału dają elementarny moment dm względem osi wału: dm ρ da 24

25 Skręcanie prętów o przekroju kołowym 25 Naprężenia maksymalne i kąt skręcenia pręta Z warunków równowagi pręta (M ix ) wynika, że suma momentów elementarnych dm w całym przekroju wału musi równoważyć zewnętrzny moment skręcający M s : M dm da s ρ A A ale:, stąd (*) ρ maks ρ r maks r 25

26 Skręcanie prętów o przekroju kołowym 26 Naprężenia maksymalne i kąt skręcenia pręta podstawiając dwa ostatnie wzory do (*) otrzymuje się: 2 m ak s 2 M s m ak s d A d A r r A A ostatnia całka jest funkcją wyłącznie wymiarów przekroju poprzecznego wału (pewną charakterystyką geometryczną), którą nazwano biegunowym momentem bezwładności przekroju: I O A 2 da 26

27 Skręcanie prętów o przekroju kołowym Naprężenia maksymalne i kąt skręcenia pręta Wyrażenie na maksymalne naprężenia tnące przyjmuje postać: maks M I s O r 27

28 28 Skręcanie prętów o przekroju kołowym Naprężenia maksymalne i kąt skręcenia pręta Ponadto: maks r ρ M I O s Ale: d dx ρ G stąd: d dx M GI s O 28

29 Skręcanie prętów o przekroju kołowym 29 Naprężenia maksymalne i kąt skręcenia pręta Kąt skręcenia (inaczej: kąt obrotu przekroju, np. całkowity kąt skręcenia lub kąt skręcenia pewnego odcinka pręta): l d l 0 M GI s O dx przy M s =const M l GI s O 29

30 30 Skręcanie prętów o przekroju kołowym Naprężenia maksymalne i kąt skręcenia pręta Przy M s =const M l GI Jednostkowy kąt skręcenia wału: s O rad M rad s l GI m O 30

31 Skręcanie prętów o przekroju kołowym Biegunowy moment bezwładności przekroju kołowego 2 Z definicji: I da O Niech pole elementarne da będzie pierścieniem o szerokości d, którego punkty leżą w jednakowej odległości od środka O przekroju: A 31

32 32 Skręcanie prętów o przekroju kołowym Biegunowy moment bezwładności przekroju kołowego Wtedy: r r 4 r , O A da d I da d d Ostatecznie: I O 4 4 r d

33 Skręcanie prętów o przekroju kołowym 33 Obliczenia wytrzymałościowe na skręcanie r M M s s maks M s I I stąd O O W W O O r W O jest to wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie w przypadku przekroju kołowego pełnego: 3 3 r d W O 2 16 O I r 33

34 Skręcanie prętów o przekroju kołowym Powyższe wzory są słuszne także w przypadku przekrojów rurowych, przy czym inne są wyrażenia na I O i W O, tzn.: (1) (2) D d I O I O I O I O = D d 32 I 0,5D 16D 4 4 O 4 4 WO D d Uwaga: dodawanie/odejmowanie wskaźników (W) jest niedopuszczalne! Addytywne są tylko momenty bezwładności (I). W W W (1) (2) O O O 34

35 35 Skręcanie prętów o przekroju kołowym Warunek wytrzymałości na skręcanie s maks WO Uwaga: dodatkowo należy sprawdzić warunek dostatecznej sztywności skrętnej: M dop k s Przykładowo dop =0,25deg/m=0,00436rad/m 35

36 Skręcanie przekroje niekołowe 36

37 Skręcanie przekroje niekołowe 37

38 Skręcanie przekroje niekołowe r 38

39 Skręcanie przekroje niekołowe 39

40 Skręcanie przekroje niekołowe 40

41 Skręcanie przekroje niekołowe 41

42 Skręcanie przekroje niekołowe 42

43 Skręcanie przekroje niekołowe Użyteczne definicje Trajektorie naprężeń stycznych Deplanacja przekroju 43