gęstością prawdopodobieństwa

Transkrypt

1 Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t) : zawiera w sobie wszystkie informacje o obiekcie (np. cząstce) w ogólnym przypadku jest to funkcja zespolona współrzędnych przestrzennych oraz czasu musi być funkcją ciągłą, a także musi mieć ciągłą pochodną Kwadrat modułu funkcji falowej ψ ψ * ψ jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t w pewnym punkcie przestrzeni p V dv V

2 Równanie Schrodingera Funkcję falową,dla danej cząstki, lub bardziej złożonego układu fizycznego, otrzymujemy rozwiązując równanie różniczkowe nazywane równaniem Schrodingera. Jeżeli energia potencjalna cząstki U nie zależy od czasu, to równanie Schrodingera jest równaniem niezależnym od czasu i nazywa się stacjonarnym równaniem Schrodingera. h d m d + U( ) ( ) ( )

3 Cząstka swobodna Załóżmy, że na cząstkę nie działają żadne siły zewnętrzne, wtedy energia potencjalna cząstki jest stała i równa zero, czyli U(). Niech rozważana cząstka porusza się tylko wzdłuż osi i niech ma energię kinetyczną. Równanie Schrodingera dla tego przypadku jest następujące: h d m d ( ) Szukamy rozwiązania w postaci ()A sin(k) lub Ae ±ik

4 Cząstka swobodna Ae ±ik Używając pojęcia liczby falowej: Asink π πp π k m λ h h h m Podstawiając do równania: A( k h sin( k)) Asin( k) d m d ( ) h k m

5 Cząstka swobodna h k m W przypadku ruchu swobodnej cząstki jej energia może przybierać dowolną dodatnią wartość. nergia nie jest skwantowana. Wynika to z faktu, że cząstka porusza się w nieograniczonym obszarze, wzdłuż całej osi.

6 Cząstka swobodna Kwadrat modułu funkcji falowej ψ ± ik mik ψ * ψ A* e Ae A Jest wielkością stałą, czyli prawdopodobieństwo spotkania cząstki jest jednakowe w każdym punkcie osi. Położenie cząstki swobodnej jest więc nieokreślone. Jest to zgodne z zasadą nieoznaczoności (dokładnie znana energia kinetyczna, a więc i pęd cząstki, czyli niepewność położenia cząstki jest nieskończenie wielka)

7 Cząstka w pudle Przypadek klasyczny. Znajdująca się w głębokiej studni piłka może posiadać dowolną energię kinetyczną. W szczególnym przypadku gdy znajduje się w spoczynku na dnie studni posiada energię całkowitą równą zeru.

8 Cząstka w pudle Rozpatrujemy cząstkę zamkniętą w jednowymiarowym pudle, którego doskonale odbijające ściany znajdują się w odległości L od siebie. U Przypadek kwantowy U U ( ) nergia potencjalna U dla (,) dla (, L) ( L, ) L Jama potencjalna o szerokości L z barierami o wysokości U.

9 Cząstka w pudle Załóżmy, że wysokość bariery potencjału jest nieskończenie duża: U U Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki na zewnątrz jamy jest równe zeru U () ( L) Więc funkcja falowa musi być L równa zero na końcach przedziału (,L), czyli: () i (L) WARUNKI BRZGOW

10 Cząstka w pudle W obszarze studni (, L) cząstka jest cząstką swobodną, tzn.u(). Funkcja falowa : ik ( ) C e + C e ik U Stałe C i C wyznacza się z warunków brzegowych: U () i (L) C C e C + ikl C + C e ikl C -C ikl ikl e C e L sinkl klnπ

11 Cząstka w pudle sinkl Stąd wynika, że: klnπ n ±±,,... U U Obliczamy energię cząstki znajdującej się w jamie potencjału: h k 8 π m h n 8mL L

12 Cząstka w pudle C -C ik ik ( ) C e Ce ic sin k ic U sin nπ L Stałą C wyznaczymy z warunków normalizacji: L d U L d L 4C sin nπ L d C L L C L

13 Cząstka w pudle Funkcja falowa cząstki i gęstość prawdopodobieństwa w jamie potencjału wynosi: n L sin nπ L L sin nπ L

14 Cząstka w pudle Wnioski: Pytanie: czy n może być równe zeru? Dla n energia, k oraz ()A sin( ). Oznacza to, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym obszarze ( ) Wniosek: najmniejsza wartość n. Cząstka musi mieć energię różną od zera. Najmniejsza energia: π h ml

15 Cząstka w pudle Wnioski: nergia cząstki może przyjmować tylko określone wartości, odpowiadające wartościom n,,3,... nergia nie może zmieniać się w sposób ciągły,lecz skokowo. Najmniejsza wartość energii jest większa od zera h k 8 π m h n 8mL nergia cząstki znajdującej się w jamie potencjalnej jest skwantowana.

16 Cząstka w pudle Wnioski: h k 8 π m h n 8mL Wartości energii n i odstępy energii między nimi:. n n n Są tym większe im mniejsza jest masa m cząstki i szerokość L studni potencjału.

17 Cząstka w pudle Dozwolone wartości energii nazywamy poziomami energetycznymi. Liczbę n wyznaczającą poziomy energetyczne nazywamy liczbą kwantową. Każdej wartości liczby kwantowej n odpowiada określony stan kwantowy scharakteryzowany funkcją falową.

18 Cząstka w pudle Przykład lektron o masie kg w studni o szerokości. nm. a) minimalna energia 34 h (6.63 J s) 8.5 J 9. 4eV 3 8 ml 8 (9. kg ) ( m ) b) poziomy drugi i trzeci eV 84.8 ev [ev.6 9 J ] 8. 8 ev

19 Cząstka w pudle Przykład Pyłek o masie g w studni o szerokości cm a) minimalna energia 34 h (6.63 J s) J mL 8 kg m b) nr poziomu gdy porusza się z prędkością 3cm/s n n wniosek mv n 4.5 n n J / 9.5 n (n+ ) 6. n+ 5 3 ev 39 W makroświecie odległość pomiędzy najbliższymi poziomami energetycznymi jest niemierzalnie mała ev

20 Zjawisko tunelowe Załóżmy, że cząstka porusza się w kierunku na prostokątnej bariery potencjału o wysokości U i szerokości L. Załóżmy że energia padającej cząstki <U nergię potencjalną cząstki określają zależności: I U() U III U dla < _( obszari ) ) U dla < < L _( obszarii) dla > L _( obszariii) ( Fala padająca Fala odbita II Fala, która przeszła L

21 Zjawisko tunelowe Przypadek klasyczny: Jeżeli energia kinetyczna cząstki <U, to według klasycznej mechaniki, cząstka odbije się od bariery potencjału w punkcie i pozostanie w obszarzei I U() U III Fala padająca Fala odbita II Fala, która przeszła L

22 Zjawisko tunelowe Przypadek zgodny z prawami mechaniki kwantowej: W obszarze I i III gdzie U() równanie Schrodingera przyjmie postać: I U() U Fala padająca Fala odbita II III Fala, która przeszła L h m d d W obszarze II U()U, równanie Schrodingera: h m d d + U

23 Zjawisko tunelowe W obszarze I występuje zarówno fala padająca jak i odbita, Funkcja falowa w tym obszarze wynosi: ( ) Ae ik + Be ik W obszarze III występuje tylko fala przechodząca przez barierę potencjału, funkcja falowa w tym obszarze wynosi: ( ) 3 Fe W powyższych wzorach A,B i F oznaczają odpowiednio amplitudy fali padającej, odbitej oraz przechodzącej przez barierę ik

24 Zjawisko tunelowe Dla obszaru II rozwiązaniem równania Schrodingera jest następująca funkcja falowa: ( ) Ce χ + De χ Wprowadzając oznaczenia, że: χ m ( U h ) W powyższych wzorach A,B i F oznaczają odpowiednio amplitudy fali padającej, odbitej oraz przechodzącej przez barierę

25 Zjawisko tunelowe Funkcja falowa będzie opisywać proces przejścia cząstki Przez barierę potencjału jeżeli funkcja ta i jej pochodne będą Ciągłe w punktach oraz L ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 L L L L d d d d d d d d 3

26 Zjawisko tunelowe Można obliczyć że istnieje różne od zera prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze III. T L ep m ( U ) h T- współczynnik transmisji (przejścia)cząstki przez barierę potencjału Przenikanie cząstki przez barierę potencjału nazywane jest zjawiskiem tunelowym

27 Oscylator harmoniczny nergia potencjalna oscylatora harmonicznego: U( ) mω Równanie Schroedingera dla oscylatora : h d mω + m d Funkcje falowe będące rozwiązaniem tego równania muszą być ciągłe i posiadać ciągłe pierwsze pochodne. Takie rozwiązania istnieją wyłącznie wtedy gdy energia całkowita oscylatora posiada jedną z wartości: n ( n+ ) hω gdzie n,,3,...