Superpozycja dwu fal biegnących

Transkrypt

1 Prędość grupowa

2 Superpoycja dwu fal biegącyc geeraor ZałóŜmy Ŝe w pucie srua wyouje drgaia W sruie wyworoe osaą dwie fale biegące cos cos cos cos cos cos cos cos

3 ZałóŜmy Ŝe Prędość rocodeia się ulacji << Z jaą prędością porusa się grbie ulowaej fali? cos cos d d d d υ Obowiąuje wiąe dyspersyjy υ υ d υg d υ g - prędość grupowa

4 λ /T T Symulacja: d d 3/T T 5/T Taie acowaie moŝa obserwować p. wodie - wysarcy wrucić amień

5 Zwiąe dyspersyjy dla fal a wodie Fale a wodie siła ciąŝeia decydujące dla fal o długości powyŝej ilu cm apięcie powierciowe Dyspersja fal a głęboiej wodie długość fali mała w porówaiu głęboością T ρ 3 ρ - gęsość wody g T apięcie powierciowe g pryspieseie iemsie Dla fal rósyc iŝ o..7cm υ g > υ ϕ dla długic fal υ g < υ ϕ. Waro o sprawdić saielie υ g 3/υ ϕ υ g /υ ϕ

6 Fale radiowe o ulowaej ampliudie Napięcie wymusające pryłoŝoe do aey uluje ampliudę fali ośej. Wpływ ego apięcia moŝemy wyraić a pomocą seregu Fouriera: RóŜica cos ϕ a dobraa aby była proporcjoala do sygału elerycego p. mirofou w sudio radiowym Sała jes obeca be wględu a o cy do mirofou docierają dźwięi cy eŝ ie Resa wyraów pocodi od fal ausycyc docierającyc do mirofou. Ic cęsoliwości H-KH są acie miejse od cęsoliwości fali ośej p. Warsawa I 5H U cos cos[ ϕ ]cos Pamięamy: cos xcos y cos x y cos x y

7 U cos max cos[ cos[ drgaie ośe ϕ ϕ ] ] góre pasmo ośe dole pasmo ośe max mi mi max seroość pasma ν ν max Modulacje a aem i muya rocodą się w oodu prędością grupową fal eleromageycyc! Dla próŝi prędość faowa i grupowa są rówe c.

8 Uład mas połącoyc spręŝyami drgaia podłuŝe Poaliśmy juŝ wiąe dyspersyjy υ ϕ K m a si υ K m d d g a si a K m cos a Widać Ŝe e K Ka α υ ϕ υg a m m / a ρ Cyli a ja dla sruy! Naomias gdy π π/a π K πa υg a cos a m a Fala biegąca saje się falą sojącą! a υ ϕ π K m

9 Zwiąe dyspersyjy dla fal de Broglie a f e i Prawdopodobieńswo aleieia cąsi w prediale d woół połoŝeia d ie aleŝy od casu Jeśli eergia poecjala cąsi jes sała i cąsa porusa się w jedorodym oodu o f jes siusoidalą fucją lub [ si Bcos ] e i Dla cąsi ierelaywisycej w obsare o sałej eergii poecjalej V moŝemy apisać: Zwiąe pędu licbą falową Zwiąe eergii cęsością E i i [ ] e Be p e i λ π

10 Dla cąse ierelaywisycyc p E V m Prędość faowa Pęd cąsi p mυ c υ ϕ V m m υ ϕ υc V V p c m W mecaice waowej prędość cąsi jes prędością paci fal łoŝoej seregu sąsiadującyc warości. Prędość rocodeia się paci fal rówa jes prędości grupowej υ g : V d d V p υ g υ d d m m m c

11 Dla swobodej cąsi relaywisycej: E p mc cp E mc υ ϕ Cyli osaecie prędość faowa E p c υ υ ϕ c ale c p υc E c dla swobodej cąsi relaywisycej r p E r γmυ γmc par pocąowe wyłady υ -prędość cąsi c υ ϕ > c Prędość grupowa d c c p υ g υ d E c ZaleŜość pomiędy prędością faową i grupową dla cąsi rela. υ ϕ υ g c Dla foou w próŝi: υ ϕ υ g c

12 Wiaie w obsar abroioy Zaim prejdiemy do fal de Broglie a uwięioyc w pewym obsare presrei wróćmy a cwilę do waadeł spręŝoyc Rówaie rucu: M& & M K K NajiŜsa cęsość własa: g l

13 PrybliŜeie ciągłości... a a a... a a a Korysamy rowiięcia w sereg Taylora... a a... a a M Ka Rówaie Kleia-Gordoaspełiają je fale de Broglie a relaywisycyc cąse swobodyc Sąd aie prypusceie?

14 i i i e Be e ] [ i i i i ibe ie e a b c d MoŜymy wiąe a obusroie pre i RowaŜmy moocromayce : fale poecjał Vcos E Korysając ego Ŝe dla cąse ierelaywisycyc mamy: V m i V m i ora e wiąu d dosajemy Uogólieie dla VV rówaie Scrödigera!

15 Dla cąse relaywisycyc mamy: mc c MoŜąc powyŝse rówaie pre dosajemy c Korysając e wiąów b ora d orymujemy mc c mc Rówaie Kleia-Gordoa Dla cąse o masie m rówaie Kleia-Gordoa precodi w lasyce rówaie falowe dla fal ie ulegającyc dyspersji o prędości c! Foo ma erową masę

16 Waadła spręŝoe graica ciągłości cos ϕ cos ϕ cos ϕ d d M Ka Ka M d d > < Fale siusoidale gdy Fale wyładice Ka M cos si B Ka M κ l g Be e κ κ M Ka κ M Ka

17 Fale aiające wyładico oode reaywy F F F cos < g l - cęsość progowa Z

18 F F cos Graica obsarów F g < l Obsar dyspersyjy: fale siusoidale g > l Obsar reaywy - fale wyładice wiają a pewą głęboość

19 V E E V Elero w sudi o iesońcoyc barierac [ si Bcos ] e i prawdopodobieńswo aleieia elerou rówe eru poa prediałem L warui bregowe ja dla sruy amocowaej dwóc ońców si L L π L π... L i f si e Prawdopodobieńswo aleieia elerou a jedosę długości Powio być oo uormowae L d si d L i e L si e α - sała faa si L e iα iα

20 Sąd fucja falowa elerou w w sudi: e L i α si Pryjmując ja popredio dla cąsi lasycej wiąe dyspersyjy E p m V E π V V m ml 3... Cęsości fal ie iŝ cęsości fal sojącyc a sruie!

21 V V E E V f f Preiaie cąsi do aaaego obsaru L Fale de Broglie a wiają w obsar aaay alogia waadłami spręŝoymi: Obsar dyspersyjy: L Ka M g l co odpowiada Ka κ M E V > m κ E V < m > V Obsar reaywy ai wyładicy: ai wyładicy < L w iyc miejscac ~ e κ L

22 Tuelowaie pre barierę d Nadaji mirofal Odbiori mirofal Dla d~λ mirofale preiają pre scelię aalogia do efeu uelowego preiaia cąse pre barierę poecjału