Kolokwium poprawkowe z Optymalizacji II (Ściśle tajne przed godz. 16 : stycznia 2016.)
|
|
- Bronisława Czyż
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kolokwum z Optymalzacj II Ścśle tajne przed godz 4 : 00 8 grudna 05) Proszę uważne przeczytać treść zadań Na ocenę bardzo duży wpływ będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz Kolokwum poprawkowe z Optymalzacj II Ścśle tajne przed godz 6 : 00 5 styczna 06) Proszę uważne przeczytać treść zadań Na ocenę bardzo duży wpływ będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz Iloczynem tensorowym funkcj f: X R g: Y R jest funkcja h = f g: X Y R określona wzorem h,y) def = f)gy) Zbadaj, które z podanych nżej warunków są dostateczne, aby loczyn tensorowy dodatnch funkcj f g klasy C był funkcją pseudowypukłą: a) funkcje f g są pseudowypukłe, b) funkcje f g są pseudowypukłe, c) funkcje log a f log a g dla 0 < a ) są pseudowypukłe Znajdź globalne mnmum maksmum funkcj w zborze f,,y,y ) def = + + )y +y ) 3 W =,,y,y ): [, ] T, [y,y ] T, y 0} Iloczynem tensorowym funkcj f: X R g: Y R jest funkcja h = f g: X Y R określona wzorem h,y) def = f)gy) Zbadaj, które z podanych nżej warunków są dostateczne, aby loczyn tensorowy dodatnch funkcj f g klasy C był funkcją wypukłą: a) funkcje f g są wypukłe, b) funkcje f g są wypukłe, c) funkcje lnf lng są wypukłe Znajdź globalne mnmum maksmum funkcj w zborze f,y,z) def = ) +y ) +z 3 W =,y,z): +y z), 0 z }
2 Kolokwum z Optymalzacj II Ścśle tajne przed godz : 5 9 grudna 06) Proszę uważne przeczytać treść zadań Na ocenę bardzo duży wpływ będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz Nech W R n będze zborem wypukłym nech f 0,f będą różnczkowalnym rzeczywstym funkcjam wypukłym określonym w zborze W Nech g: W [0, ] R będze funkcją określoną wzorem g,y) = y)f 0 )+yf ) Wśród podanych nżej warunków znajdź warunk dostateczne, aby funkcja g była wypukła wskaż najsłabszy z nch: a) stneje punkt W, tak że Df 0 ) = Df ) = 0 T, b) stneją stałe c > 0, d R, take że f 0 ) = cf )+d dla każdego W, c) stneje stała d R, taka że f 0 ) = f )+d dla każdego W Znajdź globalne mnmum maksmum funkcj w zborze f,y,z) def = z)mn,y, y}+ +y)z W =,y,z): +y, 0 z }
3 Ćwczena z optymalzacj Wykaż, że symetryczna macerz A R n n jest dodatno określona wtedy tylko wtedy, gdy stneją kwadratowe macerze L U, odpowedno trójkątna dolna górna, które mają wszystke współczynnk dagonalne dodatne take że A = LU Wskazówka Dokonaj podzału blokowego [ ] [ ] [ A A = A L A T, L = 0, U = A, L L, U U 0 U, Pokaż, że A = L U że jeśl blok A jest neosoblwy, to można znaleźć take blok trójkątne L U np z jedynką na całej dagonal L ), a następne skorzystaj z twerdzena Cauchy ego z kryterum Sylvestra Zbadaj, czy macerz A = jest dodatno określona 3 Nech A R m n, b R m, R n m n mogą być dowolne) f) = r) = b A Udowodnj, że funkcja f ma mnmalną wartość w punkce wtedy tylko wtedy, gdy A T r) = 0 R n Kedy mnmum jest ścsłe? Rozw Nech, R n oraz y = A, y = A Przypuśćmy, że wektor y jest obrazem wektora b w rzuce prostopadłym na podprzestrzeń V R m rozpętą przez kolumny macerzy A Zatem wektor r) jest prostopadły do wszystkch elementów tej podprzestrzen, w tym do wszystkch kolumn macerzy A, skąd wynka, że A T r) = 0 Jest r ) r) = b A b+a = y y V, a zatem r ) = r)+y y ) oraz y y ) T r) = 0 Z twerdzena Ptagorasa r ) = r) + y y, czyl f ) f) Wektor jest rozwązanem układu równań normalnych A T A = A T b, przy czym macerz A T A jest neosoblwa dodatno określona) wtedy tylko wtedy, gdy kolumny macerzy A są lnowo nezależne w tym przypadku mus być m n) Wtedy rozwązane jest jednoznaczne mnmum jest ścsłe ] 4 NPP) Znajdź mnmum funkcj Rozw f, ) = Df, ) = [0 4, 4 ], [ ] D 0 4 f = 4 Macerz D f jest dodatno określona, zatem funkcja f jest wypukła w R ma jedno mnmum Znajdujemy, ) tże Df, ) = 0: 0 4 =, 4 + = 0 Po wstawenu = do perweszego równana rozwązanu dostajemy =, = 5 NPP) Znajdź mnmum funkcj f) = Rozw Oblczamy f ) = = 3+) = ) ) oraz f ) = 3 6+ Badamy mejsca zerowe f : = 0: f 0) = mnmum lokalne f0) = = : f ) = maksmum lokalne = : f ) = mnmum lokalne f) = 6 NPP) Dane są punkty y,,y m R n Znajdź punkt ^y R n, do którego suma kwadratów odległośc od punktów y jest najmnejsza Rozw Mnmalzujemy funkcję m m fy) = y y = y j y j) Dfy) = [ m ] y j y j D fy) = mi n n, j=,,n j= dodatno określona Rozwązanem równana Dfy) = 0 jest ^y j = m m y j, czyl ^y = m m y
4 3 4 7 Dane są punkty y,,y m R n Znajdź hperpłaszczyznę w R n, taką że suma kwadratów odległośc punktów y od tej hperpłaszczyzny jest najmnejsza Rozw Hperpłaszczyzna jest wyznaczona przez punkt p jednostkowy wektor normalny n; należą do nej punkty, take że n T p ) = 0 Nech punkty,, m będą rzutam prostopadłym punktów y,,y m na hperpłaszczyznę; wtedy wektory y mają kerunek wektora n, a loczyny skalarne n T y ) = n T y p) są z dokładnoścą do znaku równe odległoścom punktów y od hperpłaszczyzny Nech A R m n oznacza macerz, której każdy wersz jest równy n T Nech b R m będze wektorem, którego kolejne współrzędne b są loczynam skalarnym n T y, dla =,,m Dla ustalonego wektora n należy znaleźć mnmum funkcj m fp) = n T y p) ) = Ap b Z zadana 3 wemy, że punkt p mus spełnać układ równań normalnych A T Ap = A T b Jest A T A = mnn T oraz A T b = m nnt y = nn T m y Oczywstym rozwązanem układu równań normalnych którego macerz n n ma rząd ) jest punkt p = m m y Mając punkt p wyznaczamy wektor jednostkowy n Oznaczamy v = y p określamy funkcję m m m gn) = n T v ) = n T v v T n = n T v v )n T = n T Bn Macerz symetryczna B jest neujemne określona; pozostaje doweść, że funkcja g osąga mnmum w zborze wektorów jednostkowych, jeśl wektor n jest jej wektorem własnym przynależnym do najmnejszej wartośc własnej 8 NPP) Wyznacz gradent hesjan funkcj f: R n R: f) = T A+b T +c, z macerzą nesymetryczną A R n n, wektorem b R n stałą c Rozw Z defncj pochodnej f+εd) f) = +εd)t A+εd)+b T +εd) T A b T = εt Ad+ εdt A+εb T d+ ε d T Ad = T A T + ) T A+b T εd)+ ε d T Ad, stąd Df) = AT +A)+b Ze wzoru Taylora f+d) = f)+df) T d+ dt D f)d+o d ) Porównując to z ) f+d) = f)+ AT +A)+b d+ dt Ad, możemy wycągnąć błędny wnosek, że D f) = A Ale macerz D f) jest symetryczna; jedyna taka macerz, która spełna warunek d T Bd = d T Ad dla każedgo d R n to macerz B = AT +A) Zatem D f = AT +A) 9 NPP) Dana jest funkcja f) = T A+b T Zbadaj, czy jest ona wypukła albo wklęsła, jeśl macerz A jest równa [ ] [ ] [ ] [ ] ,,, 0 0 NPP) Dana jest przestrzeń probablstyczna Ω,F,P), PΩ) =, zmenna losowa η L Ω,F,P;R n ) Znajdź punkt ^ R n, tak że E η ^ jest najmnejsza Rozw Określamy Zatem f) = E η = Eη ) T η ) = Eη T η η T T η) T = T Eη) T +E η f) = T A+b T +c, gdze A = I, b = Eη, c = E η Macerz A jest symetryczna dodatno określona Mamy Df) = I Eη, stąd Df) = 0, gdy = Eη To jest mnmum globalne
5 5 6 NPP) Znajdź mnmum funkcj f, ) = +3 na zborach W =, ): + = }, W =, ): + } Rozw Df = [,3], zatem ne może być mnmum we wnętrzu W, mus być na brzegu Berzemy =, określamy f) = +3, f ) = +3/, f ) = 0 jeśl 3 =, czyl 9 = 4 4, czyl 3 = 4 Zatem = ± 3 W punkce, ) = 3, 3 3 ) jest mnmum W punkce, ) = 3, 3 3 ) jest maksmum NPP) Dana jest funkcja Peano f, ) = ) ) = Udowodnj, że obcęce tej funkcj do dowolnej prostej przechodzącej przez 0,0) ma w tym punkce mnmum, ale funkcja f ne ma lokalnego mnmum w tym punkce, an ngdze w R Rozw Jest Df, ) = [4 3,43 6 ], czyl Df0,0) = 0 Jest to jedyne mejsce zerowe pochodnej w R Dla prostej = 0 mamy g) = f,0) = funkcja ta ma mnmum dla = 0 Dla prostej = a mamy g) = fa,) = a) a), jest g0) = 0, a jeśl < a, to g) > 0, jest zatem mnmum na każdej takej prostej Teraz podstawamy = 3 : mamy ) g) = f 3, = ) 3 4 ) 3 = 9 4, teraz dla = 0 jest maksmum, ne ma mnmum dla żadnego, czyl f ne ma mnmum w R 3 Znajdź przykład funkcj f: R 3 R, której obcęce do dowolnej prostej przechodzącej przez punkt 0,0,0) ma w tym punkce mnmum, ale funkcja f ne ma mnmum Odp f,y,z) = y +z )y +z ) Ale trzeba uzasadnć 4 Znajdź przykład funkcj f: R 3 R, której obcęce do dowolnej płaszczyzny przechodzącej przez punkt 0,0,0) ma w tym punkce mnmum, ale funkcja f ne ma mnmum Odp f,y,z) = y ) +z 3 ) 4 6 Ale trzeba uzasadnć 5 EII) Nech W =,y,z) R 3 : +y +z =, y+yz+z+ = 0} Znajdź mnmum maksmum funkcj f, y, z) = + y 3z w zborze W Rozw Zbór W jest przecęcem dwóch kwadryk: sfery o promenu hperbolody obrotowej jeszcze ne wadomo, jakej) Jej równane przedstawamy w postac macerzowej: 0 [,y,z] 0 0 y z + = 0 Macerz A występująca w tym równanu ma wartość własną λ = przynależny do nej wektor własny v = [,,] T oraz dwukrotną wartość własną λ,3 =, której przestrzeń własna jest rozpęta przez wektory v = [,0, ] T v 3 = [,, ] T Wektory v,v,v 3 tworzą bazę ortogonalną przestrzen R 3, tworzymy z nch macerz ortogonalną zmany układu współrzędnych: [ Q = 3 v, v, v 3 ], 6 wprowadzamy nowe zmenne, u,v,w Jest [,y,z] T = Q[u,v,w] T, czyl [u,v,w] T = Q T [,y,z] T Równane sfery w nowych zmennych jest take samo: u +v +w =, natomast równane hperbolody ma postać na podstawe wartośc własnych) u v w = Jest to węc hperboloda jednopowłokowa Podstawając wyznaczone z równana sfery v +w = u do równana hperbolody, dostajemy u = /3, zatem punkty zboru W mają współrzędną u = ±/ 3 Teraz określamy przez zamanę zmennych) funkcję gu,v,w) = f,y,z) Czyl jest gu,v,w) = [,, 3]Q[u,v,w] T Dalej, [ ] 5 5 [,, 3]Q = 3,,, zatem gu,v,w) = u + 5v + 5w 6 3 6
6 7 8 Pozostaje znaleźć ekstrema funkcj welomanów perwszego stopna) g v,w) = g/ 3,v,w) g v,w) = g / 3,v,w) na okręgu v +w = 5/3 Gradent obu tych funkcj jest tak sam: Dg = [ ] 5 5, 6 Stąd maksmum jest dla u = 3, v = 5, w = 5, mnmum jest dla 3 u = 3, v = 5, w = 5 Za pomocą macerzy Q znajdujemy 3 odpowedne współrzędne, y, z punktów ekstremalnych Maksmum mnmum są odpowedno w punktach Q = NPP) Rozważając problem yzt ma, +y+z+t = 4c,,y,z,t R +, udowodnj nerówność średnch Q = Rozw Przyjmujemy t = 4c y z określamy funkcję g,y,z) = 4cyz yz y z yz, której maksmum trzeba znaleźć Oblczamy Dg = [4cyz yz y yz,4cz z yz z,4cy y y yz] Jeśl pochodna jest zerowa, to 4cyz = yz+y z+yz 4cz = z+yz+z 4c = +y+z, 4c = +y+z, 4cy = y+y +yz 4c = +y+z Odejmując każdą parę z powyższych trzech równań dostajemy y = 0, y z = 0 z = 0, czyl Dg = 0 wtedy, gdy = y = z = c Hesjan funkcj g jest równy yz 4cz z yz z 4cy y y yz 4cz z yz z z 4cz y z 4cy y y yz 4cz y z y Dla = y = z = c hesjan jest równy c c c c c c = c c c c Na podstawe kryterum Sylvestra zobacz też zadane ) hesjan w punkce c,c,c) jest ujemne określony, zatem w tym punkce jest lokalne maksmum funkcj g Ale ne ma nnych punktów krytycznych funkcja g, jako weloman, jest ogranczona w czworoścane,y,z):,y,z 0,+y+z 4c} ma wartość 0 na jego brzegu, zatem to maksmum jest globalne Stąd wynka nerówność yzt) /4 +y+z+t 4 7 Udowodnj twerdzene o epgrafe: funkcja f: X R określona na zborze wypukłym X R n jest wypukła wtedy tylko wtedy, gdy jej epgraf jest zborem wypukłym Dowód Z defncj, epf =,z): X,z f)} R n+ Nech,y X, λ [0,] Dla dowolnych punktów,z),y,t) epf jest z f), t fy) mamy stąd oraz z wypukłośc f λz+ λ)t λf)+ λ)fy) f λ+ λ)y ), zatem λ,z)+ λ)y,t) = λ+ λ)y,λz+ λ)t ) epf Wynkane w drugą stronę: dla dowolnych punktów, y X oraz λ [0, ] jest,f) ), y,fy) ) epf jeśl epf jest wypukły, to λ,f) ) + λ) y,fy) ) epf Ale na podstawe defncj epgrafu to oznacza, że f λ+ λ)y ) λf)+ λ)fy) 8 NPP) Udowodnj, że jeśl zbory X,Y R n są wypukłe, to X Y jest wypukły 9 Suma Mnkowskego zborów X,Y R n jest to zbór X+Y = +y: X,y Y} Wykaż, że jeśl zbory X Y są wypukłe, to zbór X+Y jest też wypukły 0 Nech X,Y R n będą zwartym zboram wypukłym nech funkcje g: X R h: Y R będą wypukłe Wykaż, że funkcja f: X+Y R, fz) def = nf X,y Y,+y=z g)+hy) jest wypukła Czy jak założene o zwartośc można osłabć? Czy stneje zwązek mędzy epgrafam funkcj f, g h?
7 9 0 NPP) Zbór X jest wypukły, funkcje f, g: X R są wypukłe Udowodnj, że a) funkcja f+g jest wypukła, b) funkcja maf,g) jest wypukła, c) funkcja fg ne mus być wypukła Podaj warunek dostateczny, aby była wypukła Rozw a) Dla dowolnych,y X R n oraz λ [0,] jest λf+g))+ λ)f+g)y) = λf)+ λ)fy)+λg)+ λ)gy) f λ+ λ)y ) +g λ+ λ)y ) = f+g) λ+ λ)y ) b) Epgraf funkcj maf,g) jest przecęcem epgrafów funkcj f g; jako przecęce zborów wypukłych jest zborem wypukłym, przy czym jego rzutem na R n jest zbór X Wypukłość funkcj maf,g) jest natychmastowym wnoskem z twerdzena o epgrafe NPP) Nech f: R R będze funkcją wypukłą rosnącą, a g: W R, określona na zborze wypukłym W R n, będze wypukła Wykaż, że f g jest wypukła Rozw Dla dowolnych punktów, y W oraz lczby λ 0, ) jest g λ+ λ)y ) λg)+ λ)gy), f g λ+ λ)y )) f λg)+ λ)gy) ) bo f rosnąca bo f wypukła λf g) ) + λ)f gy) ) 3 NPP) Udowodnj, że jeśl funkcja f jest ścśle) wklęsła f > 0, to /f jest ścśle) wypukła Rozw Wystarczy zbadać, czy f +y)/ )? Z wklęsłośc f f)+fy) +y f f) + fy) ), czyl Sprawdzamy zatem, czy zachodz nerówność? f)+fy) f) + fy) = fy)+f) f)fy) ) *) f)+fy) f ) **) +y)/ Dzęk temu, że f),fy) > 0 to jest równoważne f)+fy) ) 4f)fy) f) fy) ) 0 Rzeczywśce, ostatna nerówność jest prawdzwa Nerównośc w *) **) można zamenć na ostre Uwaga Z tego, że funkcja f jest wypukła dodatna ne wynka wklęsłość funkcj /f Znajdź odpowedn kontrprzykład 4 NPP) Nech X R n będze zborem wypukłym nech funkcja f: X R będze wypukła Nech A X oznacza zbór punktów X, w których f osąga mnmalną wartość Założymy, że A a) wykaż, że zbór A jest wypukły, b) wykaż, że każde mnmum lokalne funkcj f w X jest mnmum globalnym Rozw a) Nech,y A oraz a = λ+ λ)y dla dowolnego λ 0,) Wtedy a X oraz fa) = f λ+ λ)y ) λf)+ λ)fy) = f) = fy) fa) Stąd mus być a A b) Nech będze mnmum lokalnym funkcj f Przypuśćmy, że stneje punkt X, tak że f) < f ), a węc ne jest mnmum globalnym Z wypukłośc f, dla każdego λ 0,) jest f λ + λ) ) λf )+ λ)f) Poneważ punkt jest mnmum lokalnym, stneje take r > 0, że dla każdego X: r jest f) f ), a zatem > r Weźmy λ = r/ ; jest λ 0,) mamy f λ + λ ) ) f ) = λ f )+ λ )f ) Z przypuszczena wynka sprzeczność > λ f )+ λ )f) 5 NPP) Nech f: W R, przy czym zbór W R n jest wypukły f C Nech D f) 0 dla każdego W oraz Df ) = 0 dla pewnego W Wykaż, że punkt jest mnmum globalnym Rozw Na podstawe wzoru Taylora f) = f )+ ) T D fy) ), gdze y jest pewnym punktem odcnka, a węc elementem zboru W Jest D fy) 0, a zatem f) f )
8 6 NPP) Znajdź przykład funkcj f C która ma D f 0 dla każdego X R n, ma mnmum lokalne w zborze X ne ma mnmum globalnego Wskazówka Zbór X ne może być wypukły 7 NPP) Udowodnj, że funkcja f, ) = osąga mnmum globalne na zborze X =, ): } Rozw Zbór X jest neogranczony domknęty Funkcja f jest cągła bo to weloman) koercywna, bo f, ) = 4 + ) + 7 4, ) 8 NPP) Nech W R n oznacza zbór wypukły otwarty nech funkcje g, h: W R będą różnczkowalne Wykaż, że jeśl zachodz jeden z warunków: a) g wypukła neujemna, h wklęsła dodatna, b) g wypukła nedodatna, h wypukła dodatna, to funkcja f = g/h jest pseudowypukła Rozw a) Gradent lorazu jest opsany wzorem Df = Dg h) g)dh h) ) Funkcja f jest pseudowypukła Df ) 0 f) f) ) Na podstawe wzoru na gradent, Df ) 0 Dg )h) g)dh ), *) a poneważ h > 0, jest też f) f) g)h) g)h) **) Z stnena płaszczyzny podperającej mamy h)g) h) g)+dg ) ), g)h) g) h)+dh ) ) Czyl jeśl jest spełnona nerówność h) g)+dg ) ) g) h)+dh ) ), to zachodz **) Ale to wynka z *) b) prawe) tak samo, jak a) 9 Znajdź zbór punktów ekstremalnych zboru X =,y,z): y +z +), 0,, z 0} 30 Znajdź maksmum funkcj f,y,z) = ) +y+z w zborze X z poprzednego zadana 3 NPP) Zbór W R n jest otwarty wypukły, funkcje g,h: W R są różnczkowalne Wykaż, że jeśl funkcja g jest wypukła nedodatna, a h jest wklęsła dodatna, to funkcja f = gh jest pseudowypukła Rozw Z zadana 3 funkcja /h jest wypukła, jest też dodatna Reszta wynka z zadana 8 3 NPP) Nech S R funkcja f: S R będze pseudowypukła Wykaż, że jeśl f 0 ) = 0, to 0 jest mnmum funkcj f na S Rozw Z defncj pseudowypukłośc, S f 0 ) 0 ) 0 f) f 0 ) Poneważ f 0 ) = 0, punkt 0 ne może ne być mnmum 33 NPP) Czy zbór W =,, 3 ): } jest wypukły? Rozw g,, 3 ) = , Dg = [6 5, + 3, 3 + ], 30 4 D 0 0 g = 0 0 Macerz D g jest neujemne określona, zatem funkcja g jest wypukła jej zbór pozomcowy W = : g) 0} jest wypukły 34 NPP) Zbór W R n jest nepusty, wypukły, domknęty ogranczony Funkcja f: W R jest wklęsła Nech A = : f) = mn y W fy)} Udowodnj, że do zboru A należą pewne punkty ekstremalne zboru W Rozw A, bo funkcja f jest cągła na zborze zwartym Nech = a z + +a k z k A, przy czym punkty z,z k są punktam ekstremalnym, a,,a k 0 oraz a + +a k = Poneważ funkcja f jest wklęsła, jest f) a fz )+ +a k fz k ), ale f) fz ) dla każdego z defncj zboru A Zatem, wszystke punkty z, take że a > 0 co najmnej jeden spośród z,,z k ) spełnają równość fz ) = f), a węc należą do A
9 NPP) Rozwąż zadane mnmalzacj z ogranczenam: log + ) + mn, X =, ): 0, 0, + 4, + } Rozw g) = log + ) +, [ ] Dg) = + ) ln +4sgn ), + ) ln sgn )+ +, [ ] D g) = + ) ln + ) ln + ) ln + ) ln Na podstawe kryterum Sylvestra D g < 0, zatem funkcja g jest wklęsła Badamy zbór X: Poneważ 0, nerówność + 4 można zastąpć przez + 4 dalej 4 4 Zbór X jest wypukłym pęcokątem o werzchołkach punktach ekstremalnych) 0,),,0),,0), 0,4), 4,4) Oblczamy wartośc funkcj g w tych punktach: g0,) =, g,0) = 7, g4,4) = 3, g,0) = 4, g0,4) = 4 Mnmum funkcj g jest w punkce 0,4) 36 NPP) Znajdź maksmum funkcj f,y) = sn+sny sn+y) w zborze X =,y): 0, y 0, +y π} Rozw Maksmum stneje, bo funkcja jest cągła na zborze zwartym X Df,y) = [cos cos+y),cosy cos+y)] Gradent f jest równy 0, jeśl cos = cosy, stąd = y lub y = π Jest cos+y) = coscosy snsny Dla = y: cos) = cos, jeśl z = cos, to mamy z z = 0, stąd z = wtedy = y = 0) lub z = / wtedy = y = π/3) Dla y = π : cos = cosy sn = sny Mamy dwa rozwązana: = 0,y = π oraz = π,y = 0 X Wewnątrz zboru X jest mejsce zerowe gradentu: = y = π/3 Funkcja f ma na całym brzegu zboru X wartość 0, bo f,0) = sn sn = 0, f0,y) = sny sny = 0, f,π ) = sn sn+snπ) = 0 W punkce π/3,π/3) jest fπ/3,π/3) = 3 3/ > 0 to jest wartość maksymalna 37 a) Udowodnj, że dowolna norma w R n jest funkcją wypukłą b) Nech M oznacza wypukły, domknęty ogranczony podzbór R n, którego wnętrze jest nepuste który spełna warunek M M Udowodnj, że funkcja neujemna f: R n R, określona wzorem mn dla 0, f) = t: t M t 0 dla = 0, jest normą 38 Nech weloman f) = T A+b T +c będze ścśle wypukłą funkcją w R n Udowodnj, że mnmum funkcj f w zborze rozwązań układu równań lnowych C = d, którego macerz ma nezależne lnowo wersze, jest blokem w jedynym rozwązanu układu równań lnowych AT +A)+C T λ = b, C = d Rozw I Jeśl C R k n, to mamy tu k regularnych funkcj g ) = c T d ), które opsują ogranczena równoścowe w zadanu mnmalzacj Perwszy podukład, tj AT +A)+C T λ = b wyraża równość Df + Dg λ = 0, przy czym współrzędne wektora λ R k są mnożnkam Lagrange a Rozw II Nech S = AT +A); macerz S jest symetryczna zachodz równość f) = T S+b T +c zobacz zad 8) Ścsła wypukłość funkcj f oznacza, że macerz S jest dodatno określona Nech spełna badany układ równań razem z pewnym wektorem λ R k W szczególnośc wektor jest rozwązanem układu C = d Każde nne rozwązane tego układu ma postać +z, gdze Cz = 0 Oblczmy f+z) = f)+ zt Sz+ T Sz+b T z
10 5 6 Ale jest T Sz = λ T Cz b T z = b T z, skąd wynka, że f+z) = f)+ zt Sz Poneważ macerz S jest dodatno określona, dla każdego z 0 jest f) < f+z) Trzeba jeszcze sprawdzć, że układ ma rozwązane Z perwszego podukładu mus być = S b+c T λ) S stneje), po wstawenu do drugego d = C = CS b CS C T λ, czyl CS C T λ = CS b d Poneważ wersze C są lnowo nezależne, macerz CS C T jest dodatno określona neosoblwa zatem λ oraz są określone jednoznaczne 39 NPP) Metalowa belka ma przekrój w kształce symetrycznego trapezu o ustalonym polu S Górna boczna powerzchna ma być pomalowana farbą antykorozyjną Ustal kształt przekroju tak, aby powerzchna do pomalowana była jak najmnejsza Rozw Dolny bok trapezu ma długość a, górny b, wysokość trapezu jest równa h Należy zmnmalzować funkcję b a b ) fa,b,h) = b+ +h h a w zborze mejsc zerowych funkcj ga,b,h) = a+b h S Nech = a+b, y = a b, oraz ^f,y,h) = y)/+ y +4h, ^g, y, h) = h/ S Wtedy mamy znaleźć mnmum funkcj ^f w zborze mejsc zerowych funkcj ^g Stosujemy mnożnk Lagrange a [ D^f =, + y 4h y +4h, ], y +4h D^g = [ h,0, ] Poneważ dopuszczamy tylko h > 0 > 0, D^g ne znka Rozwązujemy równane D^f+λD^g = 0, czyl układ równań +λh = 0, + y y +4h = 0, 4h y +4h +λ = 0 Z perwszego h = /λ, z drugego y = h +y /4, czyl y = 4h /3 = 4/3λ ), z trzecego = 8h λ y +4h = 8 3 = λ λ 3λ λ Z ogranczena ^g = 0 dostajemy 3/λ ) = S, czyl λ = 4 3/ S bo λ < 0) Mus być y 0, stąd otrzymujemy = 4 3 S, y = S, h = S 4 3 Czy to jest mnmum globalne? To jest możlwe Dla h ց 0 jest ր ^f ր, podobne dla ց 0 jest h ր ^f ր, czyl na brzegu ne ma mnmum Należałoby sprawdzć warunek II-go rzędu D ^f 0) 40 NPP) Rozwąż zadane mnmalzacj mn, 3 4 = c 4,,, 3, 4 0 dla c > 0 Rozw f,, 3, 4 ) = , g,, 3, 4 ) = 3 4 c 4 Df = [,,,], Dg = [ 3 4, 3 4, 4, 3 ] Jest Dg 0, bo są neujemne ch loczyn jest dodatn Równane Df+λDg = 0 po rozpsanu daje 3 4 = 3 4 =, 3 4 = 4 = 3, 3 4 = 3 = 4, skąd = = 3 = 4 = c Z równośc +λ 3 4 = 0 wynka λ = /c 3
11 7 8 Określamy L, λ) = f) + λg) Jest D L,λ) = λ , D c,c,c,c),/c )L,λ) = c 0 3 c 3 0 = c Berzemy wektor d = [d,d,d 3,d 4 ] T 0, tak że Dg c,c,c,c),/c )d = 0; 3 poneważ Dg c,c,c,c),/c 3 ) = c 3 [,,,], mus być d +d +d 3 +d 4 = 0 Oblczamy d +d 3 +d 4 d T Hd = d +d 3 +d 4 c dt d +d +d 4 d +d +d 3 = c dt d d d 3 d 4 =: H = d +d +d 3 +dd 4 c Zatem, d T Hd > 0, co oznacza, że w punkce = = 3 = 4 = c jest mnmum 4 Rozwąż zadane 5 metodą mnożnków Lagrange a Rozw Mamy f,y,z) = +y 3z, g,y,z) = +y +z, g,y,z) = y+yz+z+ Określamy g,y,z) = g,y,z)+g,y,z) = +y+z), g,y,z) = g,y,z) g,y,z) = y) +y z) +z ) 5 Oblczamy Df = [,, 3], D g = +y+z)[,,], D g = [ y z,y z,z y] Trzeba rozwązać układ równań Df+λ D g +λ D g = 0, g = 0, g = 0, czyl 3 +λ +y+z) +λ +y+z) =, y) +y z) +z ) = 5 y z y z = z y Z równana g = 0 wynka +y+z = ± Rozpatruję przypadek +y+z = + Wtedy 3 0 +λ +λ 3y = 0, 3 3z 0 skąd wynka, że λ y) = 0, 3λ y z) = 0 Mus być λ 0, a zatem = y z Podstawając to do równań g = g = 0, dostajemy y+z =, y z) = 5, co po rozwązanu daje = y = ± 5 3 3, z = y = Teraz przypadek +y+z = Z układu równań +λ 3 +λ po wyelmnowanu λ otrzymujemy λ y) = 0, +3λ y z) = y+ 3z+ = 0 0 0, 0 0, 0 Jak poprzedno, mus być λ 0 oraz = y z Po rozwązanu równań ogranczeń dostajemy = y = 5 3 3, z = y = ± Jest f , , ) = +5 0)/3 maksmum, f 5 3 3, 5 3 3, + ) = 5 0)/3 f 5 3 3, 5 3 3, + ) = +5 0)/3 mnmum, f , , ) = 5 0)/3
12 9 0 4 EII) Nech H =,y,z) R 3 : +y z +4 = 0} Znajdź w zborze H punkt, którego odległość od,4,0) jest najmnejsza Rozw I Zbór H opsany równanem +y = z 4 jest hperbolodą dwupowłokową Dla z > mamy równane okręgu +y = r, gdze r = z 4 Możemy znaleźć najblższy punkt na każdym takm okręgu ma on współrzędne y = > 0 Podstawamy 5 = z 4, stąd z = 5 +4 Kwadrat odległośc od,4,0) jest równy Określamy d = ) +y 4) +z f) = d = ) +y 4) +z = 0 +4 Stąd f) = 0, f) = 0 = 6, y = oraz z = ± 0 0 Rozw II Metoda mnożnków Lagrange a: Określamy 9 5 f,y,z) = ) +y 4) +z, Df = [ 4,y 8,z], g,y,z) = +y z+4, Dg = [,y, z] znajdujemy mnmum funkcj f w zborze H mejsc zerowych funkcj g, rozwązując układ równań Df+λDg = 0, g,y,z) = 0 43 NPP) Rozwąż zadane 3 3 mn, = 3 Rozw Mamy tu funkcje f,, 3 ) = 3 3, g,, 3 ) = Jest Df = [ 3, 3, ], Dg = [,,] Ogranczene jest regularne Gradent funkcj Lagrange a ma być równy 0: D L,λ) = [ 3, 3, ]+λ[,,] = 0, stąd = = 3 =, λ = Hesjan funkcj Lagrange a 0 D L,λ) = 0 =: H 0 Nezerowy wektor d R 3 tak, że [,,]d = 0, jest kombnacją lnową wektorów d = [,0, ] T d = [0,, ] T Macerz B = [d,d ] umożlwa zapsane tego w postac d = Bz, gdze z R Wtedy [ ] d T Hd = z T B T HBz = z T Cz, gdze macerz C = jest dodatno określona Kończy to dowód, że znaleźlśmy mnmum 44 NPP) Dla wyznaczena pozycj statku zostały z brzegu wykonane pomary kątów: α = 0083, α = 004, α 3 = 007 Należy je skorygować tak, aby proste łączące odpowedne punkty na brzegu ze statkem przecnały sę w jednym punkce, a suma kwadratów poprawek była najmnejsza 500m 500m d α Rozw Określamy funkcję fα,α,α 3 ) = 3 α α ), mamy znaleźć jej mnmum Ze zgodnośc kątów jest tgα = d d, tgα = d 500 d, tgα 3 = d 000 d Stąd tgα tgα 3 = tgα tgα ) Borąc tgα α, dostajemy gα,α,α 3 ) = α α +α 3 = 0 Dalej, mamy Df = [α α,α α,α 3 α 3 ], Dg = [,,] Rozwązujemy równane 0 = Df+λDg = [α α )+λ,α α ) λ,α 3 α 3 )+λ] Warto cały układ zapsać w postac macerzowej: 0 0 α α 0 0 α 0 0 α 3 = α α 3 0 λ 0 α α 3
13 Po elmnacj α, α, α 3 z ostatnego równana dostajemy 6λ = α α + α 3, czyl λ = 6 α α + α 3 ) = 0003 dalej α = α λ = 008, α = α +λ = 003 α 3 = α 3 λ = 00 Funkcja f jest ścśle wypukła, mamy zatem mnmum Możemy dalej oblczyć d = 000m/α α 3 ) = 0000m, d = d α = 800m 45 NPP) Rozwąż zadane f, ) = + mn, g, ) = + 0 Rozw Jest Dg = [, ] ogranczene g jest regularne tj Dg 0 w zborze mejsc zerowych funkcj g) Rozwązujemy układ równań nerównośc Df+λDg = 0, λg = 0, λ 0 Jeśl λ = 0, to D L,λ) = Df 0, czyl ne ma rozwązań z λ = 0 Badamy zatem, czy jest rozwązane z λ > 0 Z równana D L,λ) = 0 jest +λ = 0 = /λ, +λ = 0 = /λ) Poneważ λ > 0, mus być g, ) = 0, czyl λ + 5 4λ =, λ =, dalej = / 5, = / 5 Warunek II-go rzędu jest spełnony, bo funkcja L,λ) jest ścśle wypukła jako funkcja zmennej 46 NPP) Rozwąż zadane f, ) = mn, g, ) = + 0, g, ) = + 0 Rozw Jeśl zbór : g ) 0,g ) 0} jest nepusty, to mnmum stneje, bo ten zbór jest zwarty funkcja f jest cągła Określamy L,λ) = f)+λ g )+λ g ) rozwązujemy układ D L = [0,]+λ [, ]+λ [, ] = 0, λ g = 0, λ g = 0, λ,λ 0 Jeśl λ = λ = 0, to brak rozwązań Jeśl λ = 0, λ > 0, to λ = 0, stąd = 0, +λ = 0, stąd = /λ ) Ogranczene g jest aktywne, czyl /λ ) ) =, stąd λ = / ), = Jest g 0, ) = + > 0, zatem to ogranczene jest nespełnone 3 Jeśl λ > 0, λ = 0, to wychodz sprzeczność, λ = 0 4 Jeśl λ,λ > 0, to jest λ λ = 0, λ λ + = 0, ale z ogranczeń + =, + = wynka = =, co prowadz do sprzecznośc, λ λ = 0, λ λ + = 0 Pozostają punkty neregularne g = 0, g < 0 brak, g < 0, g = 0 daje [, ] = 0, stąd = = 0, g ale wtedy g < 0, 0 3 g = g = 0, wtedy = = gradenty g 0 Dg = [, ] oraz Dg = [, ] są lnowo zależne Zbór punktów spełnających ogranczena jest jednoelementowy zobacz rysunek) 47 NPP) Wykaż, że dla zadana f) mn f: R n R), g ) 0, =,,m, 0, warunek I rzędu przyjmuje postać D L 0,λ) 0, T 0 D L 0,λ) = 0, λ g 0 ) = 0, =,,m, λ 0, =,,m, *)
14 3 4 gdze L,λ) = f)+ m λ g ) Rozw Standardowy warunek I rzędu: D ^L 0,λ,γ) = 0, λ g 0 ) = 0 =,,m, γ 0 ) j = 0, j =,,n, λ,γ j 0, =,,m, j =,,n, gdze ^L,λ,γ) = f)+ m λ g )+ γ j j ) Ma mejsce równość D ^L 0,λ,γ) = D L 0,λ) γ **) *): Z warunku D ^L = 0 γ 0 otrzymujemy D L 0 Mnożymy D ^L z lewej strony przez T 0 : j= 0 = T 0D ^L 0,λ,γ) = T 0D L 0,λ) T 0γ }} = 0 z założena *) **): Nech γ = D L 0,λ) Wtedy D ^L 0,λ,γ) = 0 Z D L 0,λ) 0 wynka γ 0 Czy γ j j = 0, tzn D L 0,λ) ) j 0) j = 0? To wynka z T 0 D L 0,λ) = 0 z warunków D L 0,λ) 0, Dla jakch wartośc parametru α ponższy problem ma rozwązane? + +α ) mn, 0, 0 Rozw Postać ogranczeń umożlwa użyce sposobu z zadana 47 Określamy funkcję L,λ) = + +α ) +λ ) **) mamy rozwązać układ równań nerównośc L,λ) 0, +α )+λ 0, L,λ) = 0, λ = 0, czyl +α )+λ) = 0, L,λ) = 0, λ ) = 0, λ ) = 0, λ 0 λ 0 Przypadek λ = 0 jest sprzeczny z λ = 0 Badamy λ > 0; mus być λ = ogranczene = jest aktywne Z równana +α )+) = 0 jest = 0 lub = /α Jeśl α, to punkt podejrzany = = 0 dla α < jest /α < 0, zatem ne może być = /α) Funkcja f ma mnmum, f0,0) = α Jeśl α >, to punkty podejrzane = = 0 oraz = = /α Perwszy z nch ne spełna nerównośc L,λ) z λ = Stąd mnmum jest w drugm punkce, f /α, /α) = /α 49 Nech b R n, b 0 oraz p > Znajdź mnmum funkcj f) = b T w zborze : p } Rozw Jest p = n p) /p ; D p ) [ ] = p p p sgn,, n p sgn n Gradent jest różny od 0 dla każdego 0 Określamy L,λ) = b T +λ p ) Warunk K-T: D L,λ) = 0, b T +λd p ) = 0, λ p ) = 0, λ 0 Badamy λ = 0 jest sprzeczność, bo b 0 Dla λ > 0 jest p = Wtedy b +λ p p sgn = 0 sgn = sgnb Możemy zatem napsać b λ p p p = 0, a poneważ p =, = ) /p ) b λ
15 5 6 Dalej, skąd = p p = p = λ p/p ) b p/p, ) p )/p λ = b p/p ) = b q, gdze q = p czyl + = ) Jest jeden punkt spełnający warunk K-T p p q Z wypukłośc normy wynka, że mnmum jest globalne 50 Nech będze rozwązanem poprzednego zadana Udowodnj, że jest też rozwązanem problemu p mn, b T b T Rozw Określamy funkcję L,^λ) = p +^λb T ) zapsujemy warunk D L,^λ) = D p +^λb T = 0, ^λb T ) = 0, ^λ 0 Jeśl ^λ = 0, to = 0 z warunku D p = 0), ale wtedy ne jest spełnona nerówność b T b T bo b T < 0) Jeśl ^λ > 0, to b T ) = 0 Kula jednostkowa jest ścśle wypukła, zatem jedyny wektor z tej kul spełnający tę równość to Wtedy D L,^λ) = 0 dla ^λ = /λ, λ z poprzednego zadana Dostateczność warunku wynka ze ścsłej wypukłośc normy 5 Rozwąż problem ) + mn, k 0, z parametrem k > 0 Rozw Jest D g = [k, ] 0 dla każdego, Określamy L,λ) = ) + +λk ) Warunk K-T: )+kλ = 0, λ = 0, λk ) = 0, λ 0 Sprawdzamy λ = 0: =, = 0, k < 0 jest sprzeczność Sprawdzamy λ > 0: = kλ, λ = 0, stąd = 0 lub λ = Sprawdzamy λ = : = k, k k) =, stąd = ± k k), mus być k 0,] Sprawdzamy = 0: k = 0, stąd = 0, λ = /k D L,λ) = [ ) kλ, λ ], [ ] D 0 L,λ) = 0 λ) Dla = 0,0), k, λ = /k: jeśl k >, to λ <, D L > 0, jest rozwązane lokalne Dla k = jest λ =, D L = [ 0 0 0] Berzemy C = d: D g d = 0} = d: kd = d } W punkce 0,0) zbór C = d: kd = 0}, jest d T D Ld = 0 dla każdego d C, to ne daje rozstrzygnęca Dla = 0,0), k warunek koneczny II rzędu ne jest spełnony Dla = k,± k k)), k 0,), λ = jest D L = [ 0 0 0] Należy zbadać d T D Ld? > 0 dla d C Przypadek + k k): C = d 0: kd = k k)d }, sgnd = sgnd Jest d C d T D Ld = d > 0 Przypadek k k): sgnd sgnd, ale też jest d C d T D Ld = d > 0 Przypadek = 0,0), k =, λ = : = Mnmalzujemy ) + = +, to ma mnmum dla = 0 5 GP ) Zbadaj wypukłość zborów a),y,z):,y,z 0,+y+z = }, b),y,z): + y +z }, c),y,z): 3 y 3 z 3 8,,y,z [0,]}, d),y): 3 +y < 0, 0}
16 Wykaż, że jeśl funkcja f: A R określona na zborze wypukłym A R n jest wypukła, to dla każdego A subróżnczka f jest zborem nepustym, wypukłym domknętym, przy czym jeśl nta, to subróżnczka jest zborem ogranczonym Rozw Epgraf funkcj f jest zborem wypukłym, zatem dla A stneje hperpłaszczyzna w R n+ ) podperająca epgraf w punkce,f) ) Należą do nej punkty,y ) spełnające równane y f) = ξ ); funkcjonał lnowy ξ jest subgradentem funkcj f w punkce Zatem subróżnczka ne jest zborem pustym Weźmy ξ 0,ξ f oraz t 0,) Nech ξ t = t)ξ 0 +tξ Wtedy dla każdego A f ) f) = t) f ) f) ) +t f ) f) ) t)ξ 0 )+tξ ) = ξ t ), a zatem ξ t f, co kończy dowód wypukłośc Dla dowolnego cągu zbeżnego subgradentów w punkce, ξ ) N, granca tego cągu, ξ, jest subgradentem, co wynka z tego, że defnująca subgradent nerówność jest neostra Nech nta Ustalmy ε > 0, tak że kula o tym promenu środku w jest zawarta w A Przypuśćmy, że subróżnczka zawera neogranczony cąg subgradentów ξ ) N Możemy wskazać w tej kul cąg punktów ) N, tak że cąg ξ ) ) jest neogranczony z góry Wobec nerównośc N f ) f)+ξ ) cąg f ) ) jest też neogranczony z góry Wobec N dowolnośc wyboru ε funkcja f jest neogranczona w dowolne małym otoczenu, czyl jest necągła, a węc ne może też być wypukła 54 GP ) Znajdź subróżnczkę funkcj f: R R: a) f,y) = y, b) f,y) = + y, c) f,y) = y + +y, d) f,y) = ma,y,+y}, e) f,y) = 3y+, f) f,y) = y + 3+y Nech f: W R R będze dodatną funkcją wypukłą w otwartym zborze wypukłym W nech g) = f ) a) Wykaż, że funkcja g jest wypukła, b) Wykaż, że g) = f) f) Rozw b) Nech ξ f) Wtedy dla d takego że +d W jest f+d) f)+ξ T d, f +d) f )+f)ξ T d+ξ T d) f )+f)ξ T d, czyl g+d) g)+f)ξ T d, zatem f) f g), a stąd f) f) g) Aby doweść zawerana w drugą stronę, użyjemy twerdzena opsującego zwązk pochodnych kerunkowych funkcj z ch subróżnczkam ustalamy punkt pomjamy go w notacj nżej): f d = ma ξ f ξt d, g d = ma η g ηt d Zatem, dla dowolnego wektora d stneją wektory ξ 0 f oraz η g, take że f d = ξt 0d, g d = ηt d Oznaczmy ξ = f) η ; przypuśćmy, że ξ / f, co wyraża sę w ten sposób, że dla pewnego wektora d jest f+d) < f+ξ T d Mamy przy tym, dla odpowedno dobranego wektora ξ 0 f, równośc f+d) = f)+ξ T 0d+r 0, f +d) = f )+f)ξ T 0d+r, g+d) = g+f)ξ T d+r, gdze r 0 = o d ), r = o d ), r = o d ) Odejmując stronam dwe ostatne równośc, dostajemy f)ξ ξ 0 ) T d = r r ) = o d ), ale jeśl wyrażene po lewej strone ne jest zerem, to jest rzędu d, czyl mamy sprzeczność 56 Nech funkcje f : A R określone na zborze wypukłym A będą wypukłe nech szereg f ) będze zbeżny w każdym punkce A Wykaż, że funkcja f będąca sumą tego szeregu jest wypukła oraz że dla każdego A f = cl ξ = ξ : ξ f }
17 Nech A = R n : } np n = ) nech ) N oznacza dowolny cąg punktów w A Nech f ) = Wykaż, że funkcja f = f jest określona w A jeśl cąg ) N jest gęsty w A, to funkcja f w żadnym punkce zboru A ne ma gradentu, ale ma w każdym punkce nepustą subróżnczkę Czy taka funkcja dla cągu ) N gęstego w A) ma pochodną kerunkową w jakmś punkce w jakmś kerunku? Wskaż mnmum każdej takej funkcj f Czy ono jest ścsłe? 58 GP) Sprawdź, czy punkty ze zboru P są rozwązanam zadana mnmalzacj funkcj f: R R: a) f,y) = ma 3y, +y, +y 36}, P = 4,3)}, b) f,y) = ma 4 y+, 8}, P =,9),0,),3,3)}, c) f,y) = ma +y,3+7y+0,3+3y+0}, P = 0,0),,),,5)} 59 GP) Znajdź globalne mnmum funkcj f: R R: a) f,y) = y+ + +y 4, b) f,y) = ma ), y }, c) f,y) = ma +y,+}, d) f,y) = mae,e y,y }, e) f,y) = ma +y +4, +4y+)} 60 GP) Znajdź mnmum globalne funkcj f na zborze A R : a) f,y) = ma,y}, A =,y): +y }, b) f,y) = y+, A =,y): + y }, c) f,y) = ma y,+y}, A =,y): ) +y 4,+) +y 4}, d) f,y) = +y +, A =,y): y) +y,+y) y } 6 NPP) Na rynku są dwa produkty, A B Agent ma początkowo po 0 jednostek tych produktów, jego funkcja użytecznośc to u A, B ) = ln A +3 ln B Nech p A p B będą cenam A B Agent chce meć take lośc produktów A B, które maksymalzują funkcję użytecznośc przy ogranczenu budżetowym p A A +p B B 0p A +0p B Rozw Funkcja u A, B ) = ln A 3 ln B jest wypukła, jej mnmalzacja to maksymalzacja funkcj u Funkcja Lagrange a L,λ) = ln A 3 ln B +λ p A A 0)+p B B 0) ) ma gradent D L = [ A +λp A, 3 B +λp B ] Rozwązujemy układ równań nerównośc D L = 0, λ p A A 0)+p B B 0) ) = 0, λ 0 Jeśl λ = 0, to A = 0, to jest wykluczone Jeśl λ > 0, to λ = A p A = 3 B p B 3 A p A = B p B Razem z równanem p A A 0)+p B B 0) = 0 daje to 3 p B B +p B B = 0p A +p B ), stąd B = 6p A +p B ) p B, A = 4p A +p B ) p A To jest mnmum, bo funkcja u jest wypukła 6! NPP) Przypuśćmy, że na rynku dzała drug agent, którego funkcja użytecznośc to ^u^ A,^ B ) = ln^ A + ln^ B Drug agent ma początkowo odpowedno 0 5 jednostek produktów Jeśl w gospodarce są tylko c dwaj agenc, to jak pownny sę kształtować ceny p A, p B, aby obaj osągnęl stan optymalny? Rozw Dla drugego agenta rozwązujemy podobne, otrzymując D ^L^,^λ) = [ ^ A +^λp A, ^ B +^λp B ] = 0, ^ A p A = ^ B p B, p A ^ A 0)+p B ^ B 5) = 0, p B^ B +p A^ A = 0p A +5p B, ^ B = 0p A +5p B p B, ^ A = 0p A +5p B p A
18 3 3 Zadowolene obydwu agentów oznacza, że jest równowaga popytu podaży przy optymalnych zasobach supply-demand equlbrum for optmal reserve): A +^ A = 0+0, B +^ B = 0+5, Stąd dalej 4p A +p B ) p A 8p A +3p B p A = 0, + 0p A +5p B p A = 0, 6p A +p B ) p B p A +7p B p B = 5 + 0p A +5p B p B = 5, Z obu równań wynka p A 3p B = 0, zatem p A = 3 p B Ne są ważne bezwzględne ceny które zależą od waluty), tylko ch proporcja 6 NPP) Zbory A R n C R m są wypukłe Funkcja f: A C R jest quas-wypukła Udowodnj, że funkcja h) = nf y C f,y) jest quas-wypukła Rozw Nech y ε oznacza dowolny punkt tak, że f,y ε ) ε h),, A, λ 0,), = λ + λ) Jest mah ),h )} maf,y ε ),f,y ε )} ε f λ + λ),λy ε + λ)λy ε Dla każdego y,y C jest h) f,λy + λ)y ), zatem ) ε f ) ) λ + λ),λy ε + λ)λy ε ε h λ + λ) ε Poneważ ε może być dowolny dodatn, wynka stąd teza 63 NPP) Zbór S R n jest wypukły, funkcja f: S R jest klasy C Wykaż, że funkcja f jest quas-wypukła wtedy tylko wtedy, gdy,y S fy) f) Df)y ) 0 Rozw : dla λ 0,) f +λy ) ) f) λ 0, bo f +λy ) ) = f λy+ λ) ) mafy),f)} = f) Zatem ) f +λy ) f) Df)y ) = lm 0 λց0 λ : Nech, S, λ 0,), = λ + λ) Załóżmy, że f ) maf ),f )} Stąd } Df ) ) 0, Df ) ) = 0 = Df ) ) Df ) ) 0, Czyl albo f ) maf ),f )}, albo Df ) ) = 0 = Df ) ) dla λ 0,) Załóżmy, że stneje λ 0,), taka że f ) > maf, )} =: α Nech gλ) = f +λ ) ) Wtedy g0) = f ), gλ ) = f ) Rozważmy podzbór odcnka, na którym gλ) α Ten podzbór zawera odcnek, ; poneważ gλ ) = f ) > α, a funkcja f jest klasy C, tak odcnek stneje Dla, jest Df ) ) = 0 = Df ) ), czyl Df), Z twerdzena o wartośc średnej f ) f ) = Dfz) ) dla pewnego z, Czyl wszędze tam, gdze gλ) α, jest gλ) = gλ ) > α, co przeczy cągłośc funkcj gλ) 64 NPP) Funkcja f: W R jest określona na zborze wypukłym W R n Udowodnj, że ) f jest quas-lnowa zbór W: f) = α} jest wypukły dla każdego α fw) ) W R, f jest quas-lnowa funkcja f jest monotonczna 3) f: R n R jest cągła, quas-lnowa f) = ga T ) dla pewnej funkcj g: R R cągłej monotoncznej oraz pewnego wektora a R n Rozw ) Nech A = W: f) = α},,y A Zatem f) = fy) = α, dla λ 0,) mamy α = mnf),fy)} f λ+ λ)y ) maf),fy)} = α, czyl f λ+ λ)y ) = α, zatem λ+ λ)y A ) Zbór wypukły W R jest przedzałem ogranczonym lub neogranczonym mnf),fy)} f λ+ λ)y ) maf),fy)}
19 33 34 Nech,, 3 W, < < 3 Wtedy stneje λ 0,), taka że = λ + λ) 3 Jeśl f ) = f 3 ) = α, to na podstawe punktu a) jest f ) = α Jeśl f ) < f 3 ), to z quas-lnowośc jest mnf ),f 3 )} = f ) f ) = f λ + λ) 3 ) maf ),f 3 )} = f 3 ), zatem f jest nemalejąca W tak sam sposób z f ) > f 3 ) wynka, że f jest nerosnąca oczywste 3) Nech funkcja g będze nemalejąca, a R n oraz f) = ga T ) Nech,y W, a T a T y Wtedy dla λ 0,) mnf),fy)} = f) = ga T ) f λ+ λ)y ) = g λa T + λ)a T y ) ga T y) = fy) = maf),fy)} Podobne rachunk są dla a T y lub dla funkcj g nerosnącej a) Nech A A będze wstępującą rodzną zborów wypukłych Wtedy n A n jest zborem wypukłym b) Nech B α = : f) < α} = n C α = : f) > α} = n : f) α /n}, : f) α+/n} Wypukłość zborów B α C α wynka odpowedno z quas-wypukłośc quas-wklęsłośc funkcj f Z twerdzena o oddzelanu stneje nezerowy wektor c R n, tak że Bα,y C α c T c T y c) Z cągłośc funkcj f zbór A α = : f) = α}, jeśl jest nepusty, to jest domknęty, wypukły neogranczony, poneważ zawera hperpłaszczyznę oddzelającą B α C α Jeśl węc zbory B α C α są nepuste, to ne mogą stneć dwa nezależne lnowo wektory, c c, będące wektoram normalnym hperpłaszczyzn oddzelających te zbory Gdyby stnały, to zbór A α = : f) = α} byłby newypukły Stąd wynka, że zbór A α, jeśl jest nepusty, to albo jest hperpłaszczyzną oddzelającą zbory B α C α, albo jest zborem wszystkch punktów mędzy dwema takm hperpłaszczyznam d) Wszystke hperpłaszczyzny zawarte we wszystkch zborach A α są równoległe, poneważ w przecwnym raze zbory te ne byłyby rozłączne Nech H oznacza równoległą do nch hperpłaszczyznę przechodzącą przez 0 Jeśl A α czyl A α ), to +H A α e) Nech a R n będze wektorem jednostkowym prostopadłym do H Wtedy R n t R ta+h, bo R n = H lna} Ponadto t = a T, bo = ta+h, gdze h a, zatem a T = ta T a+a T h = t f) Nech gt) = fta) Wtedy funkcja g jest quas-lnowa, a zatem monotonczna cągła Ponadto f) = f a T )a) = ga T ), poneważ należy do pewnego zboru A α, czyl jest postac ta+h, f) = fta) 65 NPP) a) Czy suma funkcj pseudowypukłych mus być pseudowypukła? b) Czy suma funkcj pseudowypukłej wypukłej mus być pseudowypukła? c) Czy jeśl f g: R R są pseudowypukłe f 0 ) = g 0 ) = 0 dla pewnego 0, to f+g mus być pseudowypukła? d) Czy suma funkcj quas-wypukłych mus być pseudowypukła? e) Czy suma funkcj quas-lnowej wypukłej mus być quas-wypukła? 66 Nech funkcja g: [a, b] R będze monotonczna nech c: [a,b] R będze regularną gładką parametryzacją krzywej bez punktów przegęć Nech A R oznacza zbór wypukły pokryty A rozłącznym półprostym stycznym do krzywej c c krzywa jest rozłączna z A) Wykaż, że funkcja f: A R, która przyjmuje we wszystkch punktach prostej stycznej do c w punkce ct) wartość gt), jest quas-lnowa Jak to można uogólnć? a) na R, b) na R n, n 67 NPP) Nech zbór X R n będze nepusty otwarty, f: X R, g : X R dla =,,m, h j : X R dla j =,,l Jest zadane mnmalzacj f) mn, g ) 0, =,,m, h j ) = 0, j =,,l, X Nech będze punktem, w którym są spełnone warunk K-T: Df)+ µ Dg )+ I) l λ j Dh j ) = 0, j= µ g ) = 0, =,,m, µ 0, =,,m
20 35 36 a) Udowodnj, że jeśl funkcja f jest pseudowypukła w, a funkcja Φ określona wzorem Φ) = m µ g )+ l λ j h j ) j= jest quas-wypukła w, to jest rozwązanem globalnym zadana b) Udowodnj, że jeśl L,µ,λ) jest pseudowypukła w, to jest rozwązanem globalnym c) Wykaż, że założena a) ne mplkują założeń b) odwrotne Rozw a) Nech X, quas-wypukłość funkcj Φ w oznacza D Φ) ) 0, stąd z warunku K-T wynka, że Df) ) 0 Zatem, z pseudowypukłośc Φ jest f) f), czyl w mnmum jest globalne b) Nech X Z pseudowypukłośc funkcj L Ale c) : D L,µ,λ) ) 0 L,µ,λ) L,µ,λ) = f) L,µ,λ) = f)+ mn, + 0, > 0 m µ g ) + }} 0 l λ j h j ) f) }} =0 Funkcja jest pseudowypukła, / jest quaswypukła, bo monotonczna L,µ) = +µ ), j= D L,µ) = +µ = 0 =,µ = µ = 0 daje sprzeczność) Funkcja L) = + /) ne jest pseudowypukła w =, bo DL) = 0, czyl dla każdego > 0 pownno być L) > La) =, tymczasem dla 0 jest L) : Z pseudowypukłośc L ne można wnoskować o składnkach sumy, czyl funkcjach f Φ 68 NPP) Sprawdź, dla jakch wartośc parametru a R ponższe ogranczena spełnają warunek Slatera: y 0, y a 0 Rozw Obe funkcje są pseudowypukłe jako sumy różnczkowalnych funkcj wypukłych Jeśl a = 0, to mamy nerównośc y < 0, y < 0, punkt /,/) spełna warunk Jeśl a 0, to ma być < y, y < +a Aby znaleźć wartość granczną dla a zamenamy nerównośc na równana doberamy a tak, aby zbór rozwązań był jednopunktowy Czyl = y, y = +a, stąd h) = 4 a = 0 chcemy, aby perwastek mał krotność wększą nż Zatem h ) = 4 3 = 0, stąd = 3 /4, zatem a = 4 = 3 /4/4 ) = 3 3 /4/4 Warunek Slatera jest spełnony z dowolnym punktem należącym do wnętrza zboru dopuszczalnego, jeśl to wnętrze jest nepuste, co ma mejsce dla a > 3 3 /4/4 Dla a < 3 3 /4/4 zbór dopuszczalny jest pusty Sytuacja granczna jest pokazana na rysunku 69 Zbór dopuszczalny W R jest opsany w tak sposób: W =,y): g,y) 0, =,,5}, g,y) = +y, g,y) = ) y, g 3,y) =, g 4,y) = y, g 5,y) = y Podzel zbór W na podzbory, których punkty jednakowo spełnają, albo ne spełnają, znane warunk dostateczne afncznośc, lnowej nezależnośc lub Slatera) tego, aby stożek kerunków stycznych do W był stożkem kerunków
21 37 38 zlnearyzowanych Dla warunku Slatera wskaż odpowedn punkt punkty) występujące w tym warunku Wskazówka Przedstaw zbór W na rysunku 70 Znajdź mnmum funkcj f,y) = +y 3y w zborze W z poprzednego zadana 7 GP) Funkcje f,g: 0, ) n R są określone wzoram f,, n ) = α ln + +α n ln n, g,, n ) = α αn n Badając wypukłość/wklęsłość funkcj f pokaż, że jeśl α,,α n 0, to funkcja g jest quas-wypukła, a jeśl α,,α n 0, to funkcja g jest quas-wklęsła zobacz zadane ) 7 NPP) Rozwąż metodą dualną zadane mn, +,, ) X =, ): } Rozw L,,µ) = +µ + ), L D µ) = nf, R L,,µ) = L P, ) = supl,,µ) = µ 0 dla µ = 0, µ dla µ > 0, dla + 0, dla + > 0 Szukamy takch, ) X µ R +, aby L P, ) = L D µ) Jest L P, L D, czyl to jest możlwe tylko wtedy, gdy L D µ) = = L D, ), stąd µ = 0, =, Z twerdzena 0 elementy zboru, ): =, } są rozwązanam globalnym Z twerdzena 0 ne ma nnych rozwązań, bo zadane jest wypukłe 73 NPP) Wykaż, że funkcja dualna jest wklęsła Rozw m ) L D µ) = nf L,µ) = nf f)+ µ g ) X X m } = nf a+ µ b : a = f),b = g ) a,b Funkcje a+ m b µ są afnczne, a zatem wklęsłe, węc nfmum jest też funkcją wklęsłą 74 NPP) Rozwąż metodą dualną zadane n mn, n =, 0 u, gdze 0 u u u n, n u Rozw X = R n : 0 u } L,λ) = +λ ), L D λ) = nf L,λ) = nf λ) +λ n ) X λ = u λ) u λ} +λ n λ Szukamy sup λ 0 L D λ) Poneważ funkcja L D λ) jest wklęsła, należy znaleźć punkt, w którym jej pochodna zmena znak, to będze maksmum Uwaga: funkcja L D jest różnczkowalna, natomast ma necągłą drugą pochodną L D λ) = u λ) u <λ} + nλ = λ u ) + + nλ Kedy L = n λ u ) + nλ = P? Dla λ = 0 lewa strona jest równa 0, prawa, zatem L > P Dla λ > u n jest L = nλ n u, P = nλ, L P, bo n u Gdześ po drodze pochodna zmena znak, czyl stneje punkt λ, w którym funkcja L D osąga maksmum Znajdujemy = arg mn X L,λ) Punkt,λ) jest punktem sodłowym funkcj L, czyl rozwązanem globalnym Punkt ma postać = u,,u k,λ,,λ }}) n k 75 NPP) Znajdź zadane dualne do c T mn, c R n, A = b, A R m n,b R m, R n, 0 Rozw L,µ,λ) = c T +λ T A b) µ T = c µ+a T λ) T λ T b
22 39 40 Stąd L D µ,λ) = nf R nl,µ,λ) = Zadane dualne: λ T b ma, c µ+a T λ = 0, λ 0 76 NPP) Znajdź zadane dualne do c T mn, A b Rozw λ T b, dla c µ+a T λ = 0, w przecwnym przypadku λ T b ma, c+a T λ 0, L,µ) = c T +µ T A b) = c+a T µ) T µ T b L D µ) = nf L,µ) = Zadane dualne: µ T b ma, c+a T µ = 0, µ 0 77 NPP) Znajdź zadane dualne do T mn, A = b Rozw L,λ) = T +λ T A b), µ T b dla c+a T µ = 0, w przecwnym przypadku L D λ) = nf L,λ) = L,λ) Funkcja L jest wypukła ze względu na, węc ma mnmum Znajdujemy je z warunku D L,λ) = 0 D L,λ) = +A T λ = AT λ L D λ) = 4 AT λ) T A T λ+λ T A ) AT λ λ T b = 4 λt AA T λ λ T b Zadane dualne: 4 λt AA T λ λ T b ma, λ R n 78 NPP) Znajdź zadane dualne do T H+d T mn, A b, gdze d R n, A R m n, b R m, H R n n jest macerzą symetryczną dodatno określoną, R n Rozw L,µ) = T H+d T +µ T A b) = T H+A T µ) T µ T b+d T, L D µ) = nf L,µ) = L,µ) Funkcja L,µ) jest wypukła ze względu na, węc ma mnmum: Stąd D L,µ) = H+A T µ+d) = 0 = H A T µ+d) L D µ) = AT µ+d) T H A T µ+d) µ T AH A T µ+d) d T H A T µ+d) µ T b = AT µ+d) T H A T µ+d) µ T b Zadane dualne: AT µ+d) T H A T µ+d) µ T b ma, µ 0 79 Znajdź zadane dualne do T H+e T mn, A b, C = d, w którym macerz H R n n jest symetryczna dodatno określona, suma zborów werszy macerzy A R m n C R k n jest lnowo nezależna, e R n, b R m, d R k Rozw Przyjmujemy X = R n określamy funkcję L,µ,λ) = T H+e T +µ T A b)+λ T C d), a na jej podstawe L D µ,λ) = nf R L,µ,λ)
23 4 4 Dzęk wypukłośc funkcj L możemy wyznaczyć : D L,µ,λ) = H+e+A T µ+c T λ = 0, skąd wynka = H e+a T µ+c T λ) Po podstawenu do funkcj L otrzymujemy L D µ,λ) = 4 e+at µ+c T λ) T H e+a T µ+c T λ) et H e+a T µ+c T λ) µt AH e+a T µ+c T λ) b ) λt CH e+a T µ+c T λ) d ) Po uporządkowanu możemy przedstawć funkcję L D w zapse macerzowym [ ][ ] L D µ,λ) = 4 [µt,λ T AH A T AH C T µ ] CH A T CH C T λ Zadane dualne: L D µ,λ) ma, µ 0, λ R k 80 Rozwąż zadane mnmalzacj mn, 0 r, [et H A T b T,e T H C T d T ] [ µ λ ] 4 et H e dla ustalonego wektora 0 R n oraz lczby r > 0 znajdź zadane dualne Rozw Dla dowolnego R n jest Jeśl zatem 0 r, to mamy rozwązane trywalne = 0 Przypuśćmy, że 0 > r Określamy funkcję L,µ) = +µ 0 r) Funkcja ta dla µ 0 jest wypukła ze względu na, a zatem ma mnmum, ale ne jest różnczkowalna Dla ustalonego wektora 0 = [ 0,, 0n ] T określmy zbory ndeksów Oczywśce, I J =,,n}, przy czym zbór I może, ale ne mus być pusty Zbór J ma co najmnej jeden element Jeśl I =, to weźmy = a[sgn 0,,sgn 0n ] T dla pewnego a > 0, wtedy jest = a Funkcja dualna ma postać ) L D µ) = a+µ asgn 0 0 ) r = a+µ a 0 ) r ) Należy znaleźć jej maksmum dla µ 0, ale ono stneje wtedy, gdy wyrażene w nawase jest nedodatne Pownno być równe 0 wtedy ogranczene jest aktywne, stąd mamy do rozwązana równane kwadratowe z newadomą a) ) na 0 a+ 0 r = 0, czyl na 0 a+ 0 r = 0 Przypadek I zostawam do samodzelnego zbadana wskazówka na rysunku obok) 8 Rozwąż wykonując odpowedne rachunk) zadana mnmalzacj jak w poprzednm zadanu, dla n = oraz a) 0 = [,05] T, r =, b) 0 = [,05] T, r = 8 NPP) Transformatą Fenchela-Legendre a funkcj f: X R nazywamy funkcję f : R n R + } daną wzorem f y) = sup y T f) ) X Znajdź f dla a) X = R, f) = Rozw f y) = sup sup b) X = R n, f) = y / ) = supy / y /+y /) = y y ) ) = y 0 0 I = : 0 0 r}, J = : 0 > 0 r}
24 43 44 Rozw f y) = sup sup c) X = R, f) = e y T T / ) = sup y T y y T y+y T T ) = y T y y ) T y ) ) = y Rozw f y) = sup y e ) Dla y > 0 szukamy maksmum funkcj g) = y e ); jest g ) = y e Z g ) = 0 dostajemy = lny, czyl supy e ) = ylny y dla y = 0 sup e ) = 0, dla y < 0 supy e ) = + dla ) Zatem, ylny y dla y > 0, f y) = 0 dla y = 0, + dla y < 0 d) X = R n, f) = p, p > Rozw f y) = supy T p ) = sup p λ 0 λy T p ) ) Wystarczy rozwązać zadane y T ma dla y 0 Weźmy p L,µ) = y T )+µ p ) Rozwązujemy układ równań D L = [ y +µ p)/p p p sgn ] = 0, Przyjęce µ = 0 daje sprzeczność z y 0, zatem µ > 0 Stąd sgny = sgn, y µ p p)/p p = 0, a dalej = y /p ) /µ /p ), bo p = Zatem y T y p/p ) = µ, /p ) p/p ) = p p = y µ = y µ p/p ) p/p ) Dla p + q = jest q = p p = + p Z µq = n y q wynka µ = y q Czyl y T = y q q µ = y q q = y q y q q q Ostateczne f y) = sup λ y q q ) ) = λ 0 83 NPP) Udowodnj, że problem dualny do f) mn, A b, b R m, A R m n, C = d, d R l, C R l n, X 0 dla y q, + dla y q > ma postać b T λ d T µ f A T λ C T µ) ma, λ 0, λ R m, µ R l Rozw L D = nf X f)+λt A b)+µ T C d), przy czym C = d C d 0 d C 0 przedstawene równośc jako konunkcj dwóch nerównośc jest potrzebne do poszukwana mnmum) Zatem, L D = nf f)+λ T A b)+µ T C d) ) = X b T λ d T µ+ nf f)+λ T A+µ T C ) = X b T λ d T µ sup X λ T A µ T C f) ) = b T λ d T µ f A T λ C T µ ) 84 NPP) Udowodnj, że funkcja F: R R + R dana wzorem F,,λ,λ ) = +e 4 +λ e )+λ 5 ) ma punkt sodłowy
25 45 46 Rozw Należy znaleźć rozwązane zadana f, ) = + 4 mn, g, ) = e 0, g, ) = 5 0 Funkcja F jest funkcją Lagrange a, L,,λ,λ ) = F,,λ,λ ) Rozwązujemy układ D L = [ 4 λ,e +λ e λ ] = 0 Kolejno badamy przypadk λ = λ = 0 =, e = 0, sprzeczność λ = 0, λ > 0 =, e = λ = 5 λ = e 0, ale e = e 5 > 0, sprzeczność z g, ) 0 3 λ > 0, λ = 0 e +λ e = 0, sprzeczność 4 λ > 0, λ > 0 5 = 0, e = 0, stąd = 5, = e 5, λ = 4 = e 5 4 > 0, λ = e +λ e = e 0 +e 5 4)e 5 > 0 Czy to jest mnmum? TAK, bo funkcja f, ) jest wypukła, g,g też są wypukłe, zatem punkt e 5,5,e 5 4,4e 5 e 5 )) jest sodłowy 85 NPP) Dany jest problem optymalzacyjny f, ) = mn,, + Rozwąż problem perwotny sformułuj rozwąż problem dualny Rozw Problem perwotny można rozwązać geometryczne: funkcja f ma mnmum w punkce,0), jest f,0) = 0 Problem dualny: nech X =, ): + } Określamy funkcję L,µ) = +µ ) oraz L D µ) = nf +µ ), µ 0, ) X Jest D L = [ u,] 0, zatem ekstremum jest na brzegu zboru X Z + = wynka = Mnmalzujemy funkcję g) = +µ ) ), rozwązując równane g ) = +µ = 0 Stąd = µ = µ = µ + µ = µ + = = µ µ µ + = µ µ + = µ + Stąd = ± +µ, = µ/ +µ, = +µ, bo to daje mnmum Wtedy L D µ) = +µ +µ = µ +µ < 0 ) µ = +µ +µ µ +µ +µ Jest lm µ L D µ) = 0 = sup µ 0 L D µ) Zatem ne stneje arg mal D µ) 86 NPP) Dany jest problem optymalzacyjny ma, + 3, + 4, 3 3,,, 3 0 Znajdź rozwąż zadane dualne dla X =,, 3 ): + 3,,, 3 0}, X =,, 3 ): + 4,,, 3 0} Rozw X : L,µ) = 3 3 +µ + 4)+µ 3 3) = µ 3)+ µ )+ 3 µ ) 4µ 3µ Jeśl µ <, µ dowolne, to L D µ) = nf X L,µ) = 3 +, = = 0) Jeśl µ oraz µ 3, to L D µ) = nf X L,µ) = 4µ 3µ = = 3 = 0)
26 47 48 Jeśl µ oraz µ < 3, to mnmum jest osągane w płaszczyźne + 3 =, tj 3 = + Mamy Wtedy L,µ) = µ 3)+ µ )+ + )µ ) 4µ 3µ = µ +µ 5)+ µ +µ 3) 4µ 5µ + µ +µ 5 < 0 L D µ) = = 0, 3 = ), µ +µ 3 < 0 L D µ) = = 0, 3 =, ) 3 > µ > /3, L D = 3µ 3µ 3: µ +µ = 5 µ = 5 /µ L D = 35 µ ) 3µ 3 = 5+6µ 3µ 3 = 3µ 8 Stąd L D 7/3) = 7 8 = µ 3, L D = 4µ 3µ : supl D = 3 = 5 Zatem supl D µ) = jest osągane w punkce µ = /3,7/3) To oznacza, że oba ogranczena są aktywne Muszą być spełnone równośc + = 4, 3 = 3 Oblczamy + = 5 µ L,µ) = 3 3 = 34 ) 3 3 = +6 3 = , 7 3 ) 3,) µ +µ 5 = 0 Ma być + 5, czyl [,] Mnmum L,µ) jest w punkce =, stąd =,,3) X : µ +µ 3 = 0 Jeśl µ +µ 5 0 µ +µ 3 0, to wartość mnmalna jest w płaszczyźne 3 = 0, tj + = L,µ) = µ +µ 5)+ )µ +µ 3) 4µ 5µ + = µ +µ 5)+ 4µ µ +6)+4µ +µ 6 4µ 5µ + = 3µ +) 3µ 4 Dla µ 3 jest 3µ + 0, L D µ) = 3µ 4 = 0) Dla µ > 3 jest 3µ + < 0, L D µ) = 3µ 3µ 3 =, = 0) L D µ) = 4µ 3µ dla = = 3 = 0 Dla µ /3 jest 3µ 4 < 4µ 3µ, L D µ) = 3µ 4 Dla /3 < µ < 3 jest 3µ 3µ 3 < 4µ 3µ, L d µ) = 3µ 3µ 3 Dla µ 3 jest L D µ) = 4µ 3µ Oblczamy sup µ L D µ) µ /3, L D = 3µ 4: µ +µ = 5 µ +µ = 3 µ = /3, µ = 7/3 supl D = 7 4 = µ L,µ) = 3 3 +µ + 3 )+µ 3 3) = = µ 3)+ µ )+ 3 µ +µ ) µ 3µ µ +µ < 0 µ µ >, L D 3 ) µ +µ 0 µ <, stąd µ < 3/ Mnmum jest osągane na prostej + = 4 = 4 4 )µ 3)+ µ 3µ ) = 8µ 4µ +6 + µ ) µ 3µ = 3µ +4)+6µ 3µ 4 3µ < 0 µ > 4/3 L D = 6µ +8+6µ 3µ = 3µ 4 dla =, = 0) 4 3µ 0 µ 4/3 µ 3 0, µ < 0 L D = 6µ 3µ dla = 0, = 4) 3/ < µ < = 0, =, µ 3 0, µ 0 L D = µ 4 µ 3µ = 3µ 4 µ = = 0, L D = µ 3µ µ,3) 4 3, 7 3 ) µ µ
Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Bardziej szczegółowo5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając
Bardziej szczegółowoEgzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013
Egzamn poprawkowy z nalzy II 11 wrześna 13 Uwag organzacyjne: każde zadane rozwązujemy na osobnej kartce Każde zadane należy podpsać menem nazwskem własnym oraz prowadzącego ćwczena Na wszelk wypadek prosmy
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Wykład Nr 10. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI Prowadzący: dr Krzysztof Polko Defncja momentu bezwładnośc Momentem bezwładnośc punktu materalnego względem płaszczyzny, os lub beguna nazywamy loczyn masy punktu
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy kwadratowej
Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowoRóżniczkowalność, pochodne, ekstremum funkcji. x 2 1 x x 2 k
Różnczkowalność, pochodne, ekstremum funkcj Ćwczene 1 Polczyć pochodn a kerunkow a funkcj: 1 1 1 x 1 x 2 x k ϕ(x 1,, x k ) x 2 1 x 2 2 x 2 k x k 1 1 x k 1 2 x k 1 w dowolnym punkce p [x 1, x 2,, x k T
Bardziej szczegółowoMetody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,
Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą
Bardziej szczegółowo2012-10-11. Definicje ogólne
0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że
Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam
Bardziej szczegółowo7. Wykład VII: Warunki Kuhna-Tuckera
Wocech Grega, Metody Optymalzac 7 Wykład VII: Warunk Kuhna-Tuckera 7 Warunk koneczne stnena ekstremum Rozważane est zadane z ogranczenam nerównoścowym w postac: mn F( x ) x X X o F( x ), o { R x : h n
Bardziej szczegółowoKolokwium z Optymalizacji II (Ściśle tajne przed godz. 14 : grudnia 2015.)
Kolokwium z Optymalizacji II (Ściśle tajne przed godz. 14 : 00 18 grudnia 2015.) Proszę uważnie przeczytać treść zadań. Na ocenę bardzo duży wpływ będzie miała czytelność rozwiązań i poprawność uzasadnienia
Bardziej szczegółowof(x, y) = arctg x y. f(u) = arctg(u), u(x, y) = x y. x = 1 1 y = y y = 1 1 +
Różnczkowalność pocodne Ćwczene. Znaleźć pocodne cz astkowe funkcj f(x, y) = arctg x y. Rozw azane: Wdać, że funkcj f można napsać jako f(u(x, y)) gdze f(u) = arctg(u), u(x, y) = x y. Korzystaj ac z reg
Bardziej szczegółowop Z(G). (G : Z({x i })),
3. Wykład 3: p-grupy twerdzena Sylowa. Defncja 3.1. Nech (G, ) będze grupą. Grupę G nazywamy p-grupą, jeżel G = dla pewnej lczby perwszej p oraz k N. Twerdzene 3.1. Nech (G, ) będze p-grupą. Wówczas W
Bardziej szczegółowoI. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
Bardziej szczegółowoLaboratorium ochrony danych
Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz
Bardziej szczegółowoALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO
ALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO NA PODSTAWIE REFERATU JUSTYNY KOSAKOWSKIEJ. Moduły prnjektywne posety skończonego typu prnjektywnego Nech I będze skończonym posetem. Przez max
Bardziej szczegółowo( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne 2017/2018
Metody Numeryczne 7/8 Inormatya Stosowana II ro Inżynera Oblczenowa II ro Wyład 7 Równana nelnowe Problemy z analtycznym rozwązanem równań typu: cos ln 3 lub uładów równań ja na przyład: y yz. 3z y y.
Bardziej szczegółowoW praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.
Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas
Bardziej szczegółowoPodstawowe twierdzenia
Rozdzał 3 Podstawowe twerdzena 3.1 Istnene rozwazań lokalnych Rozpocznjmy od odpowedz na ogólne pytane: jake warunk mus spełnać równane różnczkowe zwyczajne, aby stnało jego rozwązane kedy rozwązane to
Bardziej szczegółowoSztuczne sieci neuronowe. Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyki, p. 311
Sztuczne sec neuronowe Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyk, p. 311 Wykład 6 PLAN: - Repetto (brevs) - Sec neuronowe z radalnym funkcjam bazowym Repetto W aspekce archtektury: zajmowalśmy
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody iteracyjne. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody teracyjne P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Sngular Value Decomposton Twerdzene 1. Dla każdej macerzy A R M N, M N, stneje rozkład
Bardziej szczegółowoPattern Classification
attern Classfcaton All materals n these sldes were taken from attern Classfcaton nd ed by R. O. Duda,. E. Hart and D. G. Stork, John Wley & Sons, 000 wth the permsson of the authors and the publsher Chapter
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp
Bardziej szczegółowoWykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji
Wykład IX Optymalzacja mnmalzacja funkcj Postawene zadana podstawowe dee jego rozwązana Proste metody mnmalzacj Metody teracj z wykorzystanem perwszej pochodnej Metody teracj z wykorzystanem drugej pochodnej
Bardziej szczegółowoV. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA
46. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA ermodynamka jako nauka powstała w XIX w. Prawa termodynamk są wynkem obserwacj welu rzeczywstych procesów- są to prawa fenomenologczne modelu rzeczywstośc..
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowo11/22/2014. Jeśli stała c jest równa zero to takie gry nazywamy grami o sumie zerowej.
/22/24 Dwuosobowe gry o sume zero DO NAUCZENIA I ZAPAMIĘTANIA: Defnca zaps ger o sume zero, adaptaca ogólnych defnc. Punkt sodłowy Twerdzena o zwązkach punktu sodłowego z koncepcam rozwązań PRZYPOMNIENIE:
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Wykład 2
Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MATEMATYCZNE
PODSTAWY MATEMATYCZNE ALGEBRA WEKTORÓW I TENSORÓW Baza ortonormalna w E 3 : e 1, e 2, e 3 ( e, e ) j j 1 f j 0 f j Każdy wektor w E 3 może być wyrażony jako lnowa kombnacja wersorów bazowych a a e a e
Bardziej szczegółowoWprowadzenie. Support vector machines (maszyny wektorów wspierających, maszyny wektorów nośnych) SVM służy do: Zalety metody SVM
SVM Wprowadzene Support vector machnes (maszyny wektorów wsperających, maszyny wektorów nośnych) SVM służy do: w wersj podstawowej klasyfkacj bnarnej w wersj z rozszerzenam regresj wyboru najważnejszych
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoMatematyka obliczeniowa, II rok Matematyki (2015/2016) Metody numeryczne, III rok Informatyki, (2013/2014)
Matematyka oblczenowa, II rok Matematyk (2015/2016) Metody numeryczne, III rok Informatyk, (2013/2014) 1. Rozwązywane równań nelnowych 2. Arytmetyka zmennopozycyjna 3. Błędy w oblczenach. Uwarunkowane
Bardziej szczegółowoAnaliza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH
Analza danych Analza danych welowymarowych. Regresja lnowa. Dyskrymnacja lnowa. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Parę zmennych losowych X, Y możemy
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja
Modelowane oblczena technczne Metody numeryczne w modelowanu: Optymalzacja Zadane optymalzacj Optymalzacja to ulepszane lub poprawa jakośc danego rozwązana, projektu, opracowana. Celem optymalzacj jest
Bardziej szczegółowoKwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego
Efekt Comptona. Kwantowa natura promenowana elektromagnetycznego Zadane 1. Foton jest rozpraszany na swobodnym elektrone. Wyznaczyć zmanę długośc fal fotonu w wynku rozproszena. Poneważ układ foton swobodny
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.
Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno
Bardziej szczegółowoV. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH
Krs na Stdach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej wersja: lty 007 34 V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH. Zbór np. lczb rzeczywstych a, b elementy zbor A a A b A, podzbór B zbor A : B A, sma zborów
Bardziej szczegółowoProgramowanie Równoległe i Rozproszone
Programowane Równoległe Rozproszone Wykład Programowane Równoległe Rozproszone Lucjan Stapp Wydzał Matematyk Nauk Informacyjnych Poltechnka Warszawska (l.stapp@mn.pw.edu.pl) /38 PRR Wykład Chcemy rozwązać
Bardziej szczegółowo) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoKlasyfkator lnowy Wstęp Klasyfkator lnowy jest najprostszym możlwym klasyfkatorem. Zakłada on lnową separację lnowy podzał dwóch klas mędzy sobą. Przedstawa to ponższy rysunek: 5 4 3 1 0-1 - -3-4 -5-5
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2007/08 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x, b R N, A R N N (1) ma jednoznaczne
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej
Bardziej szczegółowo; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale
AIB-Inormatka-Wkła - r Aam Ćmel cmel@.ah.eu.pl Funkcje uwkłane Przkła.ozważm równane np. nech. Ptane Cz la owolneo [] stneje tak że? Nech. Wówczas unkcja - spełna powższe warunk. Ale [ ] Q spełna je także
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowo; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale
Funkcje uwkłane Przkła.ozważm równane np. nech. Ptane Cz la owolneo [ ] stneje tak że? Nech. Wówczas unkcja - spełna powższe warunk. Ale spełna je także unkcja [ ] Q. Dokłaając warunek cąłośc unkcj [ ]
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobeństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźne wypełna wnętrze kwadratu [0 x ; 0 y ]. Znajdź p-stwo, że dowolny punkt
Bardziej szczegółowoFunkcje i charakterystyki zmiennych losowych
Funkcje charakterystyk zmennych losowych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Funkcje zmennych losowych
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =
Bardziej szczegółowoStatystyka. Zmienne losowe
Statystyka Zmenne losowe Zmenna losowa Zmenna losowa jest funkcją, w której każdej wartośc R odpowada pewen podzbór zboru będący zdarzenem losowym. Zmenna losowa powstaje poprzez przyporządkowane każdemu
Bardziej szczegółowoOptymalizacja belki wspornikowej
Leszek MIKULSKI Katedra Podstaw Mechank Ośrodków Cągłych, Instytut Mechank Budowl, Poltechnka Krakowska e mal: ps@pk.edu.pl Optymalzacja belk wspornkowej 1. Wprowadzene RozwaŜamy zadane optymalnego kształtowana
Bardziej szczegółowoliniowym w przeciwnym przypadku mówimy o programowaniu nieliniowym.
=DGDQLHSROHJDMFHQDSRV]XNLZDQLXPDNV\PDOQHMOXEPLQLPDOQHMZDUWRFLIXQNFMLZLHOX ]PLHQQ\FKSU]\MHGQRF]HVQ\PVSHáQLHQLXSHZQHMLORFLQDáR*RQ\FKZDUXQNyZ UyZQDOXE QLHUyZQRFLQRVLQD]Z]DGDQLDRSW\PDOL]DF\MQHJROXE]DGDQLDSURJUDPRZDQLD
Bardziej szczegółowoMetody obliczeniowe. wykład nr 2. metody rozwiązywania równań nieliniowych zadanie optymalizacji. Nr: 1
Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody oblczenowe wykład nr metody rozwązywana równań nelnowych zadane optymalzacj Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Postać równana
Bardziej szczegółowou u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Szkc rozwązana równana Possona w przestrzen dwuwymarowe. Równane Possona to równae różnczkowe cząstkowe opsuące wele
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany
Wykład II ELEKTROCHEMIA Wykład II b Nadnapęce Równane Buttlera-Volmera Równana Tafela Równowaga dynamczna prąd wymany Jeśl układ jest rozwarty przez elektrolzer ne płyne prąd, to ne oznacza wcale, że na
Bardziej szczegółowoIle wynosi suma miar kątów wewnętrznych w pięciokącie?
1 Ile wynos suma mar kątów wewnętrznych w pęcokące? 1 Narysuj pęcokąt foremny 2 Połącz środek okręgu opsanego na tym pęcokące ze wszystkm werzchołkam pęcokąta 3 Oblcz kąty każdego z otrzymanych trójkątów
Bardziej szczegółowody dx stąd w przybliżeniu: y
Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) 1. Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoBadanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej
Badane współzależnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Kody znaków: żółte wyróżnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnena 1. Zwązek determnstyczny (funkcyjny) a korelacyjny.
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoXXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania
Przykład.. Beka dwukrotne statyczne newyznaczana o stałej sztywnośc zgnana Poecene: korzystając z metody sł sporządzć wykresy sł przekrojowych da ponŝszej bek. Wyznaczyć ugęce oraz wzgędną zmanę kąta w
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie statystyczne, statystyki
M. Beśka, Statystyka matematyczna, wykład 1 1 1 Przestrzene statystyczne, statystyk 1.1 Rozkłady zmennych losowych Nech Ω, F, P ) będze ustaloną przestrzeną probablstyczną, a X : Ω IR zmenną losową na
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowoPODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH
PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH Z a k ł a d U b e z p e c z e ń S p o ł e c z n y c h Wprowadzene Nnejsza ulotka adresowana jest zarówno do osób dopero ubegających
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoTomasz Grębski. Liczby zespolone
Tomas Grębsk Lcby espolone Kraśnk 00 Sps Treśc: Lcby espolone Tomas Grębsk- Wstęp. Podstawowe wadomośc o lcbe espolonej.. Interpretacja geometrycna lcby espolonej... Moduł lcby espolonej. Lcby sprężone..
Bardziej szczegółowoP 1, P 2 - wektory sił wewnętrznych w punktach powierzchni F wokół punktu A
TEORI STNU NPRĘŻENI. WEKTOR NPRĘŻENI r x P P P P, P - wektory sł wewnętrznych w unktach owerzchn wokół unktu P P r, P - suma sł wewnętrznych na owerzchn P P P P średna gęstość sł wewnętrznych na owerzchn
Bardziej szczegółowoDiagnostyka układów kombinacyjnych
Dagnostyka układów kombnacyjnych 1. Wprowadzene Dagnostyka obejmuje: stwerdzene stanu układu, systemu lub ogólne sec logcznej. Jest to tzw. kontrola stanu wykrywająca czy dzałane sec ne jest zakłócane
Bardziej szczegółowoMetody obliczeniowe. wykład nr 2. metody rozwiązywania równań nieliniowych zadanie optymalizacji. Nr: 1
Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody oblczenowe wykład nr metody rozwązywana równań nelnowych zadane optymalzacj Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Postać równana
Bardziej szczegółowoMETODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO. Termokinetyka
METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Termoknetyka Matematyczny ops ruchu cepła (1) Zasada zachowana energ W a Cepło akumulowane, [J] P we Moc wejścowa, [W] P wy Moc wyjścowa, [W] t przedzał czasu, [s] V q S(V)
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowo