Zmiany w stosunku do poprzedniego wydania...9 Przedmowa...11 Rozdział 1. Definicje typów, procedur, funkcji i klas dla zagadnień numerycznych...

Transkrypt

1 Sps rśc Zmany w sosunku do poprzdngo wydana 9 Przdmowa Rozdzał Dfncj ypów, procdur, funkcj klas dla zagadnń numrycznych 3 Organzacja bblok oblczń numrycznych 4 Typ waranowy 4 3 Prdfnowany yp lczb zspolonych 6 4 Dfncja ypu lczb zspolonych 7 5 Funkcj konwrsj lczb rzczywsych zspolonych na łańcuch odwron 8 6 Wkor 7 Macrz 8 Rprznacja wkorów macrzy za pomocą ablc 8 Przydzlan zwalnan pamęc dla ablc jdnowymarowych 3 8 Przydzlan zwalnan pamęc dla ablc dwuwymarowych 4 9 Zaps odczy wkorów oraz macrzy w komponnc TSrngGrd 5 Wzorcow funkcj zapsu odczyu plków macrzy 6 Rozdzał Algbra macrzy równana lnow 7 Moda bzpośrdngo rozwązywana układu równań macrzowych modą lmnacj Gaussa 8 Skalowan układu równań lnowych 3 Rozwązywan układu równań lnowych wdług algorymu Croua 34 3 Oblczan macrzy odwronj modą lmnacj Gaussa 39 4 Oblczan macrzy odwronj modą Croua 43 5 Oblczan wyznacznka macrzy kwadraowj 48 6 Wskaźnk uwarunkowana macrzy 5 7 Oblczan warośc własnj macrzy kwadraowj A o najwększym modul 5 8 Oblczan warośc własnj macrzy αa o najwększym modul 53 9 Rozwązywan układu równań lnowych modą racj Jacobgo oraz Rchardsona 55 Rozwązywan układu równań modą Gaussa-Sdla oraz modą nadrlaksacj 58 Psudorozwązan układu nadokrślongo 6 Moda najmnjszych kwadraów 66 3 Algorym Croua rozwązywana rzadkch układów równań lnowych 68 4 Algorymy racyjn Rchardsona oraz Gaussa-Sdla dla macrzy rzadkch 78 Przykłady 85 Komponny 85 Właścwośc 85

2 4 Algorymy numryczn w Dlph Zdarzna 86 Przykład Oblczan macrzy odwronj 88 Przykład Rozwązywan układów równań algbracznych 95 Przykład 3 Rozwązywan układów równań algbracznych rzadkch Rozdzał 3 Prakyka badana funkcj 9 3 Całkowan różnczkowan numryczn 9 3 Eksrapolacja rowana Rchardsona Akna 9 3 Całkowan numryczn 6 33 Różnczkowan numryczn 5 34 Gradn funkcj wlu zmnnych Jakoban funkcj wkorowj wlu zmnnych Hsjan funkcj wlu zmnnych 37 3 Wybran mody aproksymacj nrpolacj lnowj funkcj jdnj zmnnj 38 3 Aproksymacja modą najmnjszych kwadraów 39 3 Aproksymacja funkcj dyskrnj wlomanm 4 33 Aproksymacja układam funkcj orogonalnych 4 34 Aproksymacja wlomanam orogonalnym 4 35 Implmnacja mod aproksymacj Inrpolacja funkcj dyskrnj krzywą łamaną Inrpolacja wlomanm poęgowym Lagrang a 6 38 Inrpolacja funkcjam skljanym 6 39 Inrpolacja funkcjam wlomanam orogonalnym 6 3 Mody nrpolacj w ramach klasy TInrpolaon Wybran mody poszukwana mnmum funkcj wlu zmnnych modam bzgradnowym 8 33 Wyznaczn mnmum funkcj wlu zmnnych bzgradnową modą poszukwań prosych Hook a-jvsa 8 33 Bzgradnowa moda złogo podzału poszukwana mnmum Bzgradnowa moda Powlla poszukwana mnmum funkcj wlu zmnnych 9 34 Wybran mody poszukwana mnmum funkcj wlu zmnnych modam gradnowym Moda kspansj konrakcj gomrycznj z jdnym sm badana współczynnka kroku przy poszukwanu mnmum w krunku Moda aproksymacj parabolcznj z jdnym sm badana współczynnka kroku przy poszukwanu mnmum w krunku 343 Algorym najwększgo spadku Zmodyfkowany algorym Nwona Przykłady 5 Komponny 5 Przykład 3 Tsowan mod całkowana 6 Przykład 3 Tsowan procdur różnczkowana numryczngo Przykład 33 Tsowan funkcj do wyznaczana macrzy Jacobgo funkcj wkorowj 5 Przykład 34 Tsowan funkcj do wyznaczana macrzy Hssgo funkcj wlu zmnnych 9 Przykład 35 Tsowan mod klasy TApproxmaon 3 Przykład 36 Tsowan mod klasy TInrpolaon 39 Przykład 37 Tsowan mod wyznaczana mnmum funkcj 44

3 Sps rśc 5 Rozdzał 4 Równana nlnow, zra wlomanów, warośc własn macrzy 5 4 Algorymy rozwązywana układów równań nlnowych 5 4 Rozwązywan układów równań nlnowych modą Nwona 53 4 Rozwązywan układów równań nlnowych modą gradnową Rozwązywan układu równań nlnowych zmodyfkowaną modą Nwona 6 44 Rozwązywan układów nlnowych modą racyjną Psudorozwązana nlnowgo układu nadokrślongo modą Hook a-jvsa 67 4 Wyznaczan zr wlomanów modam Barsowa Lagurr a 7 4 Dzln wlomanów o współczynnkach rzczywsych przz czynnk lnowy wdług algorymu Hornra 7 4 Dzln wlomanu przz czynnk kwadraowy 7 43 Wyznaczan dzlnków wlomanu sopna N > w posac rójmanu kwadraowgo modą Barsowa Wyznaczan zr wlomanów o współczynnkach rzczywsych Wyznaczan zr wlomanu modą Lagurr a 8 46 Wyznaczan zr wlomanu modą Lagurr a 8 43 Wyznaczan warośc własnych macrzy modam Barsowa Lagurr a Wyznaczan współczynnków wlomanu charakrysyczngo macrzy kwadraowj modą Kryłowa Wyznaczan warośc własnych macrzy modą Barsowa Wyznaczan warośc własnych macrzy modą Lagurr a 9 44 Wyznaczan zr funkcj jdnj zmnnj modą połowna przdzału 9 Przykłady 93 Komponny 93 Przykład 4 Tsowan mod rozwązywana układu równań nlnowych 94 Przykład 4 Tsowan mod rozwązywana układu równań nlnowych cd 95 Przykład 43 Wyznaczan zr wlomanów o współczynnkach rzczywsych zadanych z klawaury za pomocą mod Lagurr a oraz Barsowa 3 Przykład 44 Wyznaczan warośc własnj macrzy zadanj z klawaury lub plku 3 Przykład 45 Wyznaczan zr ksrmum funkcj Bssla rzędu N 35 Rozdzał 5 Układy zwyczajnych równań różnczkowych nlnowych 39 5 Układ równań różnczkowych jako klasa programowana obkowgo 3 5 Dfncj ypów do zadawana układu równań różnczkowych nlnowych 3 5 Dfncja klasy prooypowj dla klas mplmnujących rozwązywan układu równań różnczkowych 3 53 Dfncja klasy prooypowj dla klas poomnych doyczących rozwązywana układu równań różnczkowych nlnowych Aproksymacja dyskrnych warośc wkorów sanu Funkcj pomocncz do dzałana na wkorach sanu 3 5 Mody Runggo-Kuy Rozwązywan układu równań różnczkowych zwyczajnych modą Runggo-Kuy z auomaycznym doborm kroku całkowana Mody Fhlbrga 33

4 6 Algorymy numryczn w Dlph 55 Rozwązan układu równań różnczkowych nlnowych zwyczajnych modą Fhlbrga z auomaycznym doborm kroku całkowana Rozwązan układu równań różnczkowych nlnowych zwyczajnych modą Dormanda-Prnc a z auomaycznym doborm kroku całkowana Wlokrokowa moda rozwązywana układu równań różnczkowych nlnowych z członm przwdywana Adamsa-Bashforha oraz członm korkcyjnym Adamsa-Mulona z auomaycznym doborm kroku rzędu Algorym Adamsa-Bashforha Algorym Adamsa-Mulona Algorymy przwdywana korkcj wyrażon przz macrz Nordscka Faza wsępna oblczń Mody klasy TAdamsMulonAbsrac TAdamsMulon, ralzując algorym Adamsa-Mulona Rozwązywan układu równań nlnowych modą szywno sablnych algorymów Gara Moda Gragga z ksrapolacją Bulrscha-Sora 386 Przykłady 394 Komponny 394 Przykład 5 Rozwązywan układów równań różnczkowych druggo rzędu 395 Przykład 5 Zasosowan klasy TRoRoNl do rozwązywana układów równań różnczkowych nlnowych w ramach pwnj klasy 4 Przykład 53 Wahadło mamayczn 48 Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach 43 6 Równana różncow dla różnych aproksymacj funkcj wymuszających 48 6 Wymuszn aproksymowan funkcjam przdzałam sałym 48 6 Wymuszn aproksymowan funkcjam przdzałam lnowym 4 63 Wymuszn aproksymowan wlomanm sopna druggo 4 64 Dobór kroku całkowana T z względu na dobór górnj grancy błędu oblczana macrzy oraz z względu na numryczną sablność rozwązana 45 6 Dfncja ypów dla lnowych równań różnczkowych Numryczn rozwązywan równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach dla aproksymacj wymuszń funkcjam przdzałam sałym Numryczn rozwązywan równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach dla aproksymacj wymuszń funkcjam przdzałam lnowym Numryczn rozwązywan równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach dla aproksymacj wymuszń funkcjam przdzałam kwadraowym 433 Przykłady 435 Komponny 435 Przykład 6 Tsowan mod rozwązywana układu równań różnczkowych lnowych 435 Przykład 6 Tsowan mod rozwązywana układu równań różnczkowych lnowych zdfnowanych wwnąrz pwnj klasy 44 Rozdzał 7 Prakyka przkszałcń Fourra Dyskrna ransformacja Fourra wdług algorymu Hornra Szybk przkszałcn Fourra wdług algorymu Coolya-Tukya Szybk przkszałcn Fourra wdług algorymu Sand a-tukya Wyznaczan współczynnków zspolongo szrgu Fourra dla dowolnj funkcj okrsowj Oblczan odwronj ransformacj Fourra dla dowolnj ransformay 47

5 Sps rśc 7 Przykłady 474 Komponny 474 Przykład 7 Oblczan zspolonych współczynnków szrgu Fourra 475 Przykład 7 Oblczan odwronj ransformacj Fourra 479 Przykład 73 Oblczan zspolonych współczynnków szrgu Fourra w ramach pwnj klasy 483 Rozdzał 8 Prakyka przkszałcń Laplac a Numryczn oblczan ransformacj odwronj Laplac a w wybranj chwl czasowj z zasosowanm szrgów Fourra Numryczn oblczan ransformacj odwronj Laplac a w wybranj chwl czasowj z zasosowanm szrgów Lagurr a Numryczn oblczan ransformacj odwronj Laplac a w wybranj chwl czasowj wdług algorymu Valsa Oblczan ransformacj odwronj Laplac a funkcj wymrnj na podsaw jj pozosałośc w bgunach 5 84 Dfncja klasy do oblczana odwronj ransformacj Laplac a funkcj wymrnj na podsaw jj pozosałośc w bgunach 55 Przykłady 5 Komponny 5 Przykład 8 Wyznaczan odwronj ransformacj Laplac a funkcj opraorowych zgodn z wzorcam funkcj 5 Przykład 8 Zasosowan ransformacj odwronj Laplac a dla funkcj wymrnych 56 Bblografa 53 Skorowdz 55

6 Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach Zadany js układ N równań różnczkowych lnowych njdnorodnych: + W j j j N j j j u b x a d dx,,, N, 6 gdz współczynnk a j oraz b j są rzczyws Układ n można zapsać w posac macrzowj: d d Bu Ax x +, 6 gdz: x x x N x ; 6a d dx d dx d dx d d N x ; 6b

7 44 Algorymy numryczn w Dlph aa Ka N A aa Ka N K ; anan KaNN bb Kb W B bb KbW K ; bnbn KbNW u u u uw 6c 6d Na człony njdnorodn układu 6 składa sę W wymuszń u j j,,, W wysępujących z współczynnkam b j macrzy prosokąnj B W or równana 6 cnralną rolę odgrywa funkcja wykładncza A macrzy kwadraowj A przmnożonj przz zmnną nzalżną, zdfnowaną szrgm macrzowym [7]: A + A +! k k A A + K + A + K k! k k! 63 Szrg macrzowy 63 js równoważny N zwykłym skalarnym szrgom poęgowym: k δ + A + { A } j + K + { A } j + K, j j, j,,, N! k! Do zrozumna konsrukcj całk ogólnj równana 6 nzbędn będą nasępując własnośc funkcj wykładnczj A : Jżl, o zgodn z dfncją 63 A macrz jdnoskowa N N-wymarowa 64 Jżl macrz A komuuj z macrzą B, a węc AB BA, o: A B A+B 65 3 Ponważ na mocy własnośc 65 A A A A, węc macrz odwrona macrzy A ma posać: [ ] A A 66 4 Różnczkując ob srony równana macrzowgo 63 z względu na oraz wyłączając wspólny czynnk A z wyrazów szrgu nskończongo, orzymuj sę: d d A A A A A 5 Mnożąc lwosronn lub prawosronn równan macrzow 67 przz A macrz odwrona macrzy A, a nasępn całkując ak orzymywan równana z względu na od do, orzymuj sę: 67

8 Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach 45 A A A A A A d A 68 Do rozwązana układu równań różnczkowych lnowych 6 można zasosować modę uzmnnna sałych W ym clu najprw rozparuj sę przypadk, gdy u, co oznacza, ż równan 6 js jdnorodn dx Ax d 69 Ławo wykazać, ż całka ogólna równana jdnorodngo 69 ma posać: x A y, 6 gdz y js wkorm N-wymarowym o składowych sałych Ison z własnośc 67 wynka dx d d d A A y A y Ax 6 Zgodn z modą uzmnnna sałych przyjmuj sę dalj, ż wkor y js funkcją zmnnj, co daj: x A y, 6 a nasępn podsawa sę wyrażn 6 do równana njdnorodngo 6, uwzględnając własność 67 A A y + A dy A d A y + Bu 63 Upraszczając równan 63 o człon A A y oraz mnożąc j lwosronn przz macrz A, orzymuj sę na mocy własnośc 66 dy d A Bu 64 Całkując równan 64 z względu na od do, orzymuj sę: y + y A Bu τ d τ 65 Jżl zadany js wkor warośc począkowych x, o odpowadający mu wkor y można wyznaczyć z równana 6, sosując własność 66: y A x 66 Uwzględnając równan 65 wraz z podsawnm 66 w równanu 6, orzymuj sę nasępując rozwązan równana 6:

9 46 Algorymy numryczn w Dlph A x + A A x τ Bu τdτ 67 Równan 67 n nadaj sę do bzpośrdngo oblczna numryczngo Rozwązan dokładn 67 równana 6 można jdnak wykorzysać w modz krokowj, zasępując o równan równanm różncowym, przyjmując kt k+t: k+ T A A k+ T [ k + T ] x kt + x τ Bu τdτ kt 68 W oblczanu całk 68 mogą wysąpć rudnośc zwązan z wysępowanm ujmnych dużych co do modułu warośc własnych macrzy A Z względu na możlwość akgo przypadku nalży aproksymować funkcję wkorową wymuszającą u, n zmnając jądra A w całc równana 68 Nch zachodz przypadk ogólny, dla kórgo macrz A ma dzlnk lmnarn: p p p λ λ, λ λ,, λ λ s K s, gdz wśród warośc własnych λ, λ,, λ s macrzy A będących, zgodn z dfncją, zram wlomanu charakrysyczngo macrzy A I d A λ, mogą być lczby jdnakow; p n N, przy czym p +p ++ps M Dowodz sę, ż w akm przypadku snj aka macrz nosoblwa S, ż A S CS, 69 gdz macrz C js macrzą quas-dagonalną, zwaną kanonczną macrzą Jordana [3] I C p λ I p λ K K K K K K I λ ps s ; λ K λ K I λ p λ K K λ K λ 6

10 Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach 47 Sosując ransformację 69, funkcję wykładnczą A można przkszałcć nasępująco: A S CS S C S C S S 6 Ponważ macrz C js quas-dagonalna, o: C I p λ I p λ I p s λs 6 Zgodn z dfncją macrzowj funkcj wykładnczj oraz macrzy 6 zachodz [3]: I p λ λ K λ λ K λ λ λ K! KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK p p p 3 λ λ λ λ K p! p! p 3! 63 Wzory 67, 6 6 okrślają srukurę rozwązana równana różnczkowgo 6, a w szczgólnośc jgo zwązk z waroścam własnym λ wysępującym w kombnacjach funkcj λ przmnożonych przz wlomany P sopna n wększgo nż p, gdz p js sopnm dzlnka lmnarngo odpowadającgo warośc własnj λ λ, j P Załóżmy w ogólnym przypadku, ż warośc własn λ macrzy A są zspolon λ α + jβ,,, N 64 Jżl R { λ } α >, o odpowdn składnk rozwązana P wzrasają wykładnczo z członm wlomanowym P, gdy czas wzrasa Jżl α <, o odpowdn λ składnk rozwązana P malją, gdy czas wzrasa W każdym przypadku, jśl Im{ λ } β parę sprzężoną z odpowdną waroścą własną λ, co odpowada składnkow rozwązana snusodalnmu z wagą wykładnczą, o jak wadomo λ worzy zspoloną λ wlomanową P : α P sn β 65

11 48 Algorymy numryczn w Dlph 6 Równana różncow dla różnych aproksymacj funkcj wymuszających Do numryczngo rozwązana układu równań różnczkowych lnowych 6 można wykorzysać równan różncow 68, przyjmując różną aproksymację funkcj wymuszającj u W nnjszym opracowanu podan będą konsrukcj ych algorymów dla rzch przypadków, a manowc dla aproksymacj funkcj wymuszającj w posac funkcj przdzałam sałj, lnowj kwadraowj 6 Wymuszn aproksymowan funkcjam przdzałam sałym Nch wymuszn wkorow u js dan w posac funkcj przdzałam sałj akj, ż: u ukt dla kt k+t, k,,, 66 W akm przypadku, wykonując całkowan w równanu różncowym 68 z uwzględnnm wzoru 68, orzymuj sę [7]: k + T Aτ kt Bu τdτ - Aτ k+ T kt A BukT A k + T AkT + A BukT Po umszcznu powyższgo wynku całkowana w równanu 68 orzymuj sę: x A k + T A k + T AkT [ k + T ] x kt + + x kt + A Bu kt gdz: macrz jdnoskowa A Bu kt W równanu różncowym 68 clowym js, z względu na mnmum opracj numrycznych, oblczać macrz A, n wykonując pomocnczych oblczń macrzy oraz A, lcz wykorzysując równość: n 69 n n+! A T wynkającą z dfncj 63 Zam po uwzględnnu równana 69 oraz oznaczna macrzy: F G A T n n! n 63 n 63 BT n n +!

12 Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach 49 wkorów xk xkt; uk ukt 63 formuła rkurncyjna 68 przyjm posać: xk+ Fxk + G uk 633 N snj węc porzba oblczana macrzy odwronj A, jak by o wynkało z równana 68 Mając na uwadz dalszą mnmalzację opracj numrycznych, nalży zauważyć, ż formowan macrzy F G wzory nalży prowadzć równolgl z względu na wspóln lmny wysępując w szrgach Równan różncow 633 daj węc formułę rkurncyjną, kórą można ławo zaprogramować na kompurz, co pokazan będz w dalszych punkach Sosując wzór rkurncyjny 633 do rozwązana numryczngo równana różnczkowgo 6, odpowadający aproksymacj wymuszń funkcjam przdzałam sałym, nalży w prwszj koljnośc wygnrować macrz F G, okrślon wzoram Blok funkcyjny gnrujący macrz moż mć posać: funcon FmTmpvar A, B, F, G: TMarxF; T, ps, EpsR: TFloa; N, W: Ingr: Ingr; // Formowan macrzy pomocnczych F, G: // A, B macrz układu równań różnczkowych // dx/d A*X+B*U, // N rząd macrzy A, // W lczba kolumn macrzy B, // T wybrany krok całkowana, // ps górna granca błędu przyblżna macrzy F G, // EpsR błąd wyznaczna najwększj co do modułu warośc // własnj macrzy F var K, Error: Ingr; S, S, Norm, a, MWA: TFloa; AX, AY, a, BX, BT: TMarxF; bgn Rsul : ; SLngha, N +,N + ; SLnghAX, N +,N + ; SLnghBX, N +,N + ; SLnghAY, N +,N + ; SLnghBT, N +,W + ; ry mmulra, A, T; monax; Norm : mnorma; K : ; S : ; S : ; a : Norm / - Norm; mclonf, AX; mclonbx, AX; rpa IncK; mmulay, AX, a; S : S / K; mmulrax, AY, S;

13 4 Algorymy numryczn w Dlph maddf, F, AX; S : S / K + ; mmulrax, AY, S; maddbx, BX, AX; mclonax, AY; a : a * Norm / K + unl a < ps; Error : megnvalumwa, F, EpsR, ; f MWA > 5 hn Rsul : 6; f Error <> hn Rsul : 7; mmulrbt, B, T; mmulg, BX, BT; fnally a : nl; BT : nl; AX : nl; BX : nl; AY : nl; nd nd{fmtmp }; 6 Wymuszn aproksymowan funkcjam przdzałam lnowym Zakładamy, ż wymuszn u js funkcją cągłą przdzałam lnową aką, ż: dla u u kt + kt + f T [ u k + T ukt ] τ f τ τ kt τ < k+t, gdz: k,,, u kt k[ u k + T ukt ] ; f [ u k + T ukt ] f T a Wykonując w akm przypadku całkowan przz częśc w równanu różncowym 68 z uwzględnnm wzoru 68, orzymuj sę: k + T Aτ kt Bu τ dτ A -Aτ A f τ B f -AkT B A B + A k + T kt + k + T kt A -AkT T Bf dτ B u kt + T - B u k + T -Aτ

14 Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach 4 Po uwzględnnu powyższgo wynku całkowana oraz oznaczna 63 równan różncow 68 przyjm posać: x k + + A x k + A T A Bu k + A Bu k + T 635 Uwzględnając wzory 63 69, równan rkurncyjn 635 można przkszałcć do posac: xk+ Fxk+G uk+huk+, 636 gdz: A A A G A A B BT n T T T ; T n n! n + H A n [ A ] B BT, n n +! naomas macrz F wyraża sę wzorm Równan rkurncyjn 636 daj węc algorym wyznaczana rozwązana równana różnczkowgo w posac 6 W oblcznach kompurowych nalży zauważyć, ż wyznaczan macrzy F, G H zgodn z wzoram 63, nalży prowadzć równolgl z względu na wspóln lmny n wysępując w szrgach macrzowych ych wzorów, co mnmalzuj lczbę opracj numrycznych W przypadku sosowana wzoru rkurncyjngo 636 nzbędn js wygnrowan macrzy F, G H wzory 63, , co można zralzować w nasępującym bloku funkcyjnym: funcon FmTmpvar A, B, F, G, H: TMarxF; T, ps, EpsR: TFloa; N, W: Ingr: Ingr; // Formowan macrzy pomocnczych F, G, H: // A, B macrz układu równań różnczkowych dx/d A*X+B*U, // N rząd macrzy A F, // W lczba kolumn macrzy B, G, H, // T wybrany krok całkowana, // ps górna granca błędu przyblżna macrzy F, G, H, // EpsR błąd wyznaczna najwększj co do modułu warośc // własnj macrzy F var K, Error: Ingr; SS, S, S, Norm, a, MWA: TFloa; AX, AY, a, AG, AH, BT: TMarxF; bgn Rsul : ; SLngha, N +,N + ; SLnghAX, N +,N + ; SLnghAY, N +,N + ; SLnghAH, N +,N + ; SLnghAG, N +,N + ; SLnghBT, N +,W + ;

15 4 Algorymy numryczn w Dlph ry mmulra, A, T; monax; Norm : mnorma; K : ; SS : ; S : 5; S : 5; a : Norm / - Norm; monf; mmulrag, AX, 5; mclonah, AG; rpa IncK; mmulay, AX, a; SS : SS / K; mmulrax, AY, SS; maddf, F, AX; S : S * K + / K + * K; mmulrax, AY, S; maddag, AG, AX; S : S / K + ; mmulrax, AY, S; maddah, AH, AX; mclonax, AY; a : a * Norm / K + unl a < ps; Error : megnvalumwa, F, EpsR, ; f MWA > 5 hn Rsul : 6; f Error <> hn Rsul : 7; mmulrbt, B, T; mmulg, AG, BT; mmulh, AH, BT; fnally a : nl; BT : nl; AX : nl; AY : nl; AG : nl; AH : nl; nd nd{fmtmp };