E3. ZJAWISKO REZONANSU W SZEREGOWYM OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Jadwiga Szydłowska i Marek Pękała

Transkrypt

1 E3. ZJAWSKO EZONANSU W SZEEGOWYM OBWODZE PĄDU PZEMENNEGO Jadwga Szydłowska Mark Pękała Jdnym z przykładów układów drgających js układ lmnów składający sę z cwk, kondnsaora opornka połączonych szrgowo. Jżl w akm zamknęym obwodz lkrycznym płyn prąd o jgo warość zmna sę snusodaln w czas. ównż warośc napęca na cwc kondnsaorz mają przbg snusodalny. zęsość ych zman js charakrysyczna dla dango obwodu nazywa sę częsoścą własną, kóra wynos.przykładm mchancznych układów drgających js np. wahadło mamayczn, sruna czy sprężyna z dołączoną masą. uch mas w akch oscylaorach js równż prodyczny a częsośc własn są np. w wahadl mamaycznym sprężynowym k m g l czy oscylaorz. Jdnak oscylaory ak raz pobudzon n drgają nskończn długo ch ampluda zmnjsza sę zanka. Powodm łumna js rozproszn nrg wynkając z oporów ruch lub oporu lkryczngo, kór zawsz snją w rzczywsych układach. Aby wyworzyć drgana ngasnąc nalży sal oscylaor pobudzać. ównoważy o sray nrg. W przypadku lkryczngo obwodu podłącza sę do ngo słę lkromooryczną snusodaln zmnną. Wynkm j opracj są drgana wymuszon. Z kol częsość sły wymuszającj moż być różna od częsośc własnj obwodu. Gdy częsość sły lkromoorycznj zwnęrznj sę różn sę od, przbg prądu napęć na kondnsaorz cwc sanow snusodę o częsośc pobudzana, al drgan js przsunę w faz w sosunku do przbgu napęca zaslającgo. Gdy częsość źródła zblża sę do częsośc drgań własnych obwodu ampluda naężna prądu gwałown wzrasa przsunęc fazow zanka. Zjawsko o nos nazwę rzonansu obwodu. Jdnoczśn ampluda napęca na cwc lub kondnsaorz js bardzo duża moż przkraczać ampludę napęca na zaslaczu. Zjawsko o nazywa sę przpęcm. Elkryczn obwody rzonansow są sosowan jako gnraory drgań lkrycznych, węc mdzy nnym jako nadajnk fal lkromagnycznych. ównoczśn sanowę on obwody odborcz są sona częścą radoodbornków, rzonansowych wzmacnaczy, sablzaorów p. l lm ćwczna js: wyznaczn krzywych rzonansowych prądu w szrgowym obwodz ; wyznaczan współczynnka dobroc szrgowych obwodów ; wykazan ch zalżnośc od oporu obwodu; wyznaczan paramrów Wymagana Prąd lkryczny zmnny snusodaln: sła lkromooryczna, poncjał, napęc, naężn, opór omowy, ndukcyjny pojmnoścowy, zawada, częsość częsolwość. Prawo Ohma prawa Krchhoffa. Prawo ndukcj Faradaya, SEM ndukcj. Szrgow obwody zaslan napęcm zmnnym snusodaln. Drgana lkryczn swobodn, łumon wymuszon, zjawsko rzonansu. Dobroć układu rzonansowgo. Podsawy lczb zspolonych

2 raura D. Hallday,. snck, Fzyka, om, PWN E.M. Purcll, Elkryczność magnyzm, Kurs brkljowsk om,pwn. D. Hallday,. snck, J. Walkr, Podsawy fzyk, om, PWN W. Bogusz, J. Garbarczyk, F. Krok, Podsawy fzyk, Ofcyna Wydawncza Polchnk Warszawskj S. Szcznowsk, Fzyka dośwadczalna cz., PWN. K. Zbońsk, aboraorum z fzyk, br. zęść oryczna wyprowadzn zalżnośc ozważmy obwód szrgowy, złożony z opornka, cwk ndukcyjnj kondnsaora zaslany zmnną snusodaln słą lkromooryczną. Korzysając z prawa Krchhoffa można zapsać rozkład napęć w ym obwodz: U U U d () U, U, U d gdz: U, U U są napęcam na opornku, cwc kondnsaorz, naężnm prądu w obwodz, ładunkm zgromadzonym na kondnsaorz. Podsawając odpowdn spadk napęć orzymuj sę: d () d Napęc zaslana ma posać snusodalną wyraża sę wzorm = cos, (ysunk ), Dla uławna oblczń można zapsać jako lczbę zspoloną (ysunk ): (cos sn ) m ysunk. Przdsawn zalżnośc napęca oraz prądu jako funkcj snusodalnj. Jśl >, prąd wyprzdza napęc cos(+) ysunk. Przdsawn zalżnośc napęca oraz prądu jako funkcj zspolonj. cos() Przdsawa sę ją jako punk na płaszczyźn zspolonj, -m jj część rzczywsa js waroścą (w ym przypadku) napęca. W równanu () poszukujmy warośc prądu. Zakładamy, ż prąd zmna sę z a samą częsoścą co napęc zaslana, al js

3 3 3 przsunęy w faz o ką, a węc = cos(+można go równż zapsać jako lczbę zspoloną: ) ( gdz )) sn( ) (cos( znów czść rzczywsa js waroścą prądu. Dla założonj orzymuj sę: d d oraz d. Podsawn powyższgo do wzoru () daj: Dzląc sronam przz orzymujmy: (3) Wyrażn o ma srukurę podobną do prawa Ohma, gdy zapszmy: Z Z g Z Z Z Z m oraz gdy (4) Ẑ nazywa sę zawadą zspoloną, kóra js sumą częśc rzczywsj j. oporu omowgo częśc urojonj będącj sumą oporu urojongo (brngo) cwk X = kondnsaora X = - /. ównan (3) można przpsać jako: Z Ponważ po prawj sron mamy ylko lczbę rzczywsą, lwa srona mus ż być rzczywsa, wc = czyl: g, a ampluda prądu (bz częśc fazowj) js: Z (5) Płny ops przbgu prądu w czas można zapsać jako:

4 4 lub cos( ) (7) Na ysunku 3 przdsawono zalżność () dla różnych oporów Js o wązka krzywych rzonansowych, kór osągają warość maksymalna przy j samj częsośc, zn. gdy: (8) Js o warunk rzonansu. Eksrma krzywych ( ) malją wraz z wzrosm oporu. Krzyw rzonansow dla wzrasających oporów obnżają sę sają sę bardzj płask. Dla małych częsośc, zn. gdy, o ; równż dla dużych częsośc,. O () = ysunku 4. Toryczn krzyw rzonansow () dla szrgowgo obwodu przy zasosowanu różnych warośc oporu omowgo (opór rzczywsy) przy sałych waroścach ndukcyjnośc pojmnośc (opory urojon). W ćwcznu mrzy sę ampludę napęca U na opornku, kór js proporcjonaln do prądu w obwodz wyznacza sę krzyw rzonansow w zalżnośc od częsolwośc. Współczynnk dobroc układu Wlkoścą charakryzującą rzonansow własnośc obwodu drgającgo js współczynnk dobroc. Dobroć js zdfnowana jako sosunk całkowj nrg drgań En, zmagazynowanj w obwodz w warunkach rzonansu do nrg sraconj w czas jdngo okrsu En s En. En s 4

5 5 Zakłada sę, ż nrga całkowa En js wlkoścą sałą. Wylczony (sposób wylczna npokazany) zgodn z powyższym wzorm, współczynnk w obwodz drgającym z częsoścą rzonansową, js równy: (9) Jak wynka z (9) dobroć js ym wększa m mnjsz js łumn czyl m mnjszy js opór omowy obwodu. Jdnoczśn zalżność (9) sugruj bzpośrdno sposób pomaru współczynnka dobroc. ozważmy obwód w momnc rzonansu (= ). Płyn w nm prąd o ampludz ( ), ampluda napęca na kondnsaorz U js wpros proporcjonalna do prądu oporu pojmnoścowgo, X. Podobn ampluda napęca na cwc U będz proporcjonalna do prądu ( ) oraz oporu ndukcyjngo X. W san rzonansu całkowy opór urojony js równy zro węc prąd wynos ( )= / zalży ylko od. Wynka sąd, ż ampludy napęca na kondnsaorz cwc będą: U X oraz U X Wdać, ż sosunk napęć na kondnsaorz lub cwc do napęca zaslającgo przy częsośc rzonansowj js dnyczny jak dobroć obwodu wyrażona wzorm (9): U lub U lub (bo ω ) () Współczynnk dobroc js znaczn wększy od jdnośc a przy wysokch częsoścach osąga naw klka ysęcy. Znaczny wzros napęca na kondnsaorz lub cwc ndukcyjnj w obwodz js nazywany przpęcm. Powyższ wzory dają prosą modę oblczna współczynnka, jdnak w n zawsz jsśmy w san okrślć rzczyws warośc oporu, pojmnośc czy ndukcyjnośc w konkrnym obwodz. Oprócz nasawonych warośc, snj pwn udzał ych warośc, kór są rozproszon w całym obwodz. Trudnośc omja moda wyznaczna współczynnka dobroc polgająca na analz krzywych rzonansowych. Moda a wynka z porównana częsośc rzonansowj z częsoścam, przy kórych moc układu drgającgo js równa połow mocy przy częsośc rzonansowj. Dla krzywych rzonansowych prądu, częsośc wyrażają sę ( ) ( ) ( ).(ysunk 4). Dzlnk wynka sąd, ż moc układu js proporcjonalna do kwadrau prądu,. óżnca - = nazywa sę szrokoścą krzywj lub pasmm prznoszna. Współczynnk dobroc js równy sosunkow częsośc rzonansowj obwodu do szrokośc krzywj rzonansowj. W ćwcznu wyznacza sę sosunk częsolwośc /, co js dnyczn z powyżj zdfnowanym () 5

6 6 O () O ( ) ( )/ / ysunk 4. Pomar szrokośc krzywj rzonansowj. Wykonan ćwczna Wynk wszyskch pomarów muszą być zapsan w sprawozdanu, oparzon odpowdnm jdnoskam podpsan przz asysna. Ops układu Na sanowsku pomarowym mamy do dyspozycj nasępując do kanału przyrządy: gnraor funkcyjny MX frmy Maxcom, (G), dzlnk napęca DNa-8, (DN), do kanału Osc. zaslacz V, (Z) opornk dkadowy D6, (), kondnsaor G dkadowy DK5, (), ndukcyjność dkadowa D, (), DN Z dwukanałowy oscyloskop cyfrowy ysunk 5. Schma szrgowgo obwodu TDS frmy Tkronx, (Osc.) płyka monażowa. Źródłm sły lkromoorycznj o zmnnj częsolwośc js gnraor funkcyjny (G) o rgulowanym napęcu wyjścowym nskj opornośc wyjścowj ok. 5. Do gnazda kanału oscyloskopu nalży doprowadzamy napęc zbran na wyjścu gnraora, a do kanału napęc zbran z odpowdngo lmnu obwodu, oporu lub kondnsaora. Z kondnsaora zbramy sygnał przz sondę oporową. Na kran oscyloskopu pownny być wdoczn oba sygnały w posac płnych przbgów snusodalnych. Zmnjszn lub powększn sygnału rgulujmy pokręłam wzmocnna obu kanałów, a szrokość wykrsów pokręłm podsawy czasu. Dla obu sygnałów odczyujmy ch ampludy warośc pk do pku lub warośc skuczn napęć. Prcyzyjną rgulację częsolwośc sygnału z gnraora umożlwa podłączn do spcjalngo gnazda gnraora (oznaczongo symbolm VF N) sygnału napęcowgo z zaslacza (Z) poprzz. dzlnk napęca (DN). Na dzlnku napęca usawamy warość 555 pokręłm częsośc 6

7 7 gnraora (G) poszukujmy na oscyloskop okolc rzonansu. Dokładn dosrojn do rzonansu przprowadzamy zmnając nasawn na dzlnku (DN). Krzyw rzonansow prądu : Przyrządy nalży połączyć, wykorzysując płykę monażową, w szrgowy obwód wdług schmau przdsawongo na ysunku 6 zachowując koljność lmnów. a) Na płyc monażowj łączymy kablam oporncę dkadową z dkadam ndukcyjnośc pojmnośc w szrgowy obwód. Napęc zbran z gnraora js podan na kanał oscyloskopu, a na kanał js podan napęc wyjścow z opornka. Wybramy pojmność z przdzału nf 5 nf ndukcyjność z przdzału mh H usawając odpowdn warośc na dkadach. Możmy oszacować częsolwość własną obwodu = / ( (). Na opornku dkadowym usawamy np. = Ω. Nalży jdnak pamęać, ż na całkowy opór omowy układu u składają sę: opór opornka dkadowgo oraz opór = G +, gdz G opór omowy gnraora a opór omowy dkady cwk ndukcyjnych, czyl, u gdz G = 5, zaś dla różnych warośc ndukcyjnośc są podan w ponższj abl G U wyj ysunk 6. Schma monażowy [mh] [] b) Po sprawdznu obwodu przz asysna włącznu zaslana, na kran oscyloskopu są wdoczn dwa sygnały z kanału sygnał gnraora, a z kanału sygnał zbrany z opornka. Przy wcśnęym klawszu MEASUE na kran są wyśwlan dla każdgo kanału warośc podwojonj ampludy napęca (oznaczon Pk-Pk) lub napęca skuczngo (yc MS). Możlw są akż pomary częsolwośc (Frq), okrsu (Prod) śrdnj arymycznj napęca w czas całgo pomaru (Man). 7

8 8 c) Napęc sygnału z gnraora pownno wynosć około 6 V (napęc skuczn). Pomar napęca gnraora pownn osaczn być mrzony na oscyloskop być go samgo ypu jak napęca sygnału (np. pk do pku lub napęc skuczn) d) Zmnając częsolwość sygnału z gnraora znajdujmy częsolwość własną w okolcy j oszacowanj. Noujmy warośc U max oraz przlczamy ją na =. ) Zmnjszając częsolwość odsrajamy sopnowo układ od rzonansu aż do częsośc l, dla kórj napęc spada do około ¼ U max. f) Nasępn sopnowo zwększamy częsolwość mrzymy nskoczęsoścową część krzywj rzonansowj od l aż do zbrając do warośc U odpowadających przyrosom napęca o ok. 5 %. g) Wysokoczęsoścową część krzywj rzonansowj mrzymy zbrając do warośc U odpowadających spadkom napęca o ok. 5 % w przdzal częsośc od do od r, dla kórj napęc spada do około ¼ U max. h) Przrywając na czas odczyu połączn obwodu rzonansowgo mrzymy na kanal skuczną warość napęca dla gnraora nobcążongo. ) Warość prądu płynącgo w obwodz oblczamy dzląc U przz nasawony na dzlnku napęca opór Propozycja zapsu wynków: =..., =... =..., =... =..., =... =..., =..., =..., U max ( ).. < = U U = = U / = > = U U = = U / = gdz,,, są błędam sysmaycznym wynkającym z dokładnośc (klasy) przyrządów. j) Analogczn pomary, jak w punkach ) ), wykonujmy usawając na opornku dkadowym najprw opór =, a nasępn, 4, 7,, 3. Współczynnk dobroc : a) Dla ych samych warośc ndukcyjnośc pojmnośc co powyżj wykonujmy srę pomarów noując częsolwośc rzonansow, napęca U max częsolwośc na U max pozom U (/ ) po obu sronach krzywj rzonansowj, zmnając opór od do co. Oblczamy warośc szrokośc krzywj rzonansowj jako różncy mędzy częsolwoścam oraz z wzoru () Propozycja zapsu wynków: =..., =... =..., =... =..., =..., =... 8

9 9 =. U max U = U (/) U = < = > = = - ()= gdz,,, są błędam sysmaycznym wynkającym z dokładnośc (klasy) przyrządów. b) Zmnamy układ zgodn z schmam przdsawonym obok. (ysunk 7) Zamnamy mjscam na płyc monażowj opór z kondnsaorm zbramy napęc z kondnsaora poprzz sondę oporową osłabającą sygnał w sosunku :. Dla ych samych warośc ndukcyjnośc pojmnośc co poprzdno wykonujmy srę pomarów dla różnych oporów nasawanych na dkadz od zra do co. Noujmy warośc maksymaln napęca U max, częsolwośc rzonansow rz, kór różną sę nznaczn od częsolwośc własnych obwodu, U max częsolwośc na pozom U po obu (/ ) sronach krzywj rzonansowj. Oblczamy warośc szrokośc krzywj jako różncy mędzy częsolwoścam oraz z wzoru (). Propozycja zapsu wynków: U wyj ysunk 7. Schma monażowy =..., =... =..., =... =... [jdn.] =. rz [jdn.] = U max [jdn.] U = U (/) [jdn.] U = < rz [jdn.] = > rz [jdn.] = = - [jdn] ()= = rz / gdz,,, są błędam sysmaycznym wynkającym z dokładnośc (klasy) przyrządów. c) Monujmy układ zgodn z schmam przdsawonym na ysunku 7. Zbramy napęc z kondnsaora poprzz sondę oporową osłabającą sygnał w sosunku : oraz napęc na zaslaczu przy rozłączonym obwodz. Dla ych samych warośc ndukcyjnośc pojmnośc co poprzdno wykonujmy srę pomarów dla zmnanych od zra do co noując dla każdgo oporu U max. Oblczamy z wzoru () warość jako sosunk napęć. Propozycja zapsu wynków: =..., =... =..., =... 9

10 =. U max U = = gdz,,, są błędam sysmaycznym wynkającym z dokładnośc (klasy) przyrządów. Opracowan wynków a) Na paprz mlmrowym wykrślamy w wspólnym układz współrzędnych rodznę krzywych rzonansowych () dla różnych warośc oporu zaznaczając dla każdj krzywj zmrzon punky pomarow łącząc j lną. W klku punkach zaznaczamy npwnośc pomarow. b) W układz współrzędnych wykrślamy zalżność odwronośc współczynnka dobroc /, oblczongo z szrokośc krzywych rzonansowych, jak równż z sosunku amplud napęca na kondnsaorz sły lkromoorycznj, od oporu. Zgodn z wzorm (9) zalżność / od pownna być lną prosą. gdz js oporm rozproszonym układu poza oporm dkady oporowj. c) Modą najmnjszych kwadraów (rgrsj lnowj) wyznaczamy współczynnk A B prosych / = A + B najlpj dopasowanych do punków pomarowych. Nanosmy pros na wykrs. Wyznaczamy równż npwnośc pomarow A B. d) Z powyższj zalżnośc lnowj można wyznaczyć rozproszony opór układu jako przcęc prosj z osą lub oblczyć z zalżnośc: A czyl oraz B B A () ) Dla krzywych rzonansowych prądowych zn., am gdz napęc js mrzon na opornku, częsolwość rzonansowa js sała, nzalżna od oporu. Możmy wykorzysać pozosał zalżnośc wzoru (9): ysunk 8. Zalżność czyl A ocnć udzał pojmnośc ndukcyjnośc rozproszonj porównując nasawon na dkadach warośc z wylczonym z współczynnków prosj = A/ oraz = A.

11 W wnoskach: ocnamy wpływ paramrów układu na zjawsko rzonansu; mówmy, jak można zwększyć dobroć układu.