Algorytmy numeryczne w Delphi. Ksiêga eksperta

Transkrypt

1 IDZ DO PRZYK ADOWY ROZDZIA SPIS TREŒCI KALOG KSI EK KALOG ONLINE ZAMÓW DRUKOWANY KALOG Algorymy numryczn w Dlph Ksêga kspra Auorzy: Brnard Baron, Arur Pasrbk, Marcn Mac¹ k ISBN: Forma: B5, sron: 544 TWÓJ KOSZYK DODAJ DO KOSZYKA CENNIK I INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE ONOWOŒCIACH ZAMÓW CENNIK CZYTELNIA FRAGMENTY KSI EK ONLINE Mody numryczn s¹ o sposoby rozw¹zywana z³o onych problmów mamaycznych za pomoc¹ narzêdz oblcznowych udosêpnanych przz popularn jêzyk programowana Jdn z najpopularnjszych jêzyków Pascal, bêd¹cy podsaw¹ jêzyka ObjcPascal wykorzysywango w Dlph, pozwala na bardzo ³aw¹ mplmnacjê mchanzmów oblczñ numrycznych Spcyfka projkowana aplkacj w œrodowsku Dlph pozwala na uworzn komponnów ralzuj¹cych algorymy numryczn sosowan ch w wlu aplkacjach Ks¹ ka Algorymy numryczn w Dlph Ksêga kspra przdsawa najczêœcj wykorzysywan mody numryczn wraz z przyk³adam ch mplmnacj w jêzyku ObjcPascal Ka d zagadnn js omówon zarówno od srony orycznj, jak prakycznj, co u³awa jgo zrozumn pozwala na modyfkacj zamszczonych w ks¹ c kodów Ÿród³owych Typy, funkcj, klasy procdury wykorzysywan w algorymach numrycznych Algbra macrzy równana lnow Badan funkcj Rozw¹zywan równañ nlnowych wyznaczan waroœc w³asnych macrzy Uk³ady równañ ró nczkowych lnowych nlnowych Przksza³cna Fourra Laplac a Nmal ka dy problm oblcznowy mo na rozw¹zaæ za pomoc¹ mod numrycznych N mussz wêc wymyœlaæ ponown ko³a wysarczy, poznasz opsan w j ks¹ c algorymy Wydawncwo Hlon ul Chopna Glwc l mal: hlon@hlonpl

2 Sps rśc Zmany w sosunku do poprzdngo wydana 9 Przdmowa Rozdzał Dfncj ypów, procdur, funkcj klas dla zagadnń numrycznych 3 Organzacja bblok oblczń numrycznych 4 2 Typ waranowy 4 3 Prdfnowany yp lczb zspolonych 6 4 Dfncja ypu lczb zspolonych 7 5 Funkcj konwrsj lczb rzczywsych zspolonych na łańcuch odwron 8 6 Wkor 2 7 Macrz 2 8 Rprznacja wkorów macrzy za pomocą ablc 2 8 Przydzlan zwalnan pamęc dla ablc jdnowymarowych Przydzlan zwalnan pamęc dla ablc dwuwymarowych 24 9 Zaps odczy wkorów oraz macrzy w komponnc TSrngGrd 25 Wzorcow funkcj zapsu odczyu plków macrzy 26 Rozdzał 2 Algbra macrzy równana lnow 27 2 Moda bzpośrdngo rozwązywana układu równań macrzowych modą lmnacj Gaussa 28 2 Skalowan układu równań lnowych Rozwązywan układu równań lnowych wdług algorymu Croua Oblczan macrzy odwronj modą lmnacj Gaussa Oblczan macrzy odwronj modą Croua Oblczan wyznacznka macrzy kwadraowj Wskaźnk uwarunkowana macrzy 5 27 Oblczan warośc własnj macrzy kwadraowj A o najwększym modul Oblczan warośc własnj macrzy αa o najwększym modul Rozwązywan układu równań lnowych modą racj Jacobgo oraz Rchardsona 55 2 Rozwązywan układu równań modą Gaussa-Sdla oraz modą nadrlaksacj 58 2 Psudorozwązan układu nadokrślongo 6 22 Moda najmnjszych kwadraów Algorym Croua rozwązywana rzadkch układów równań lnowych Algorymy racyjn Rchardsona oraz Gaussa-Sdla dla macrzy rzadkch 78 Przykłady 85 Komponny 85 Właścwośc 85

3 4 Algorymy numryczn w Dlph Zdarzna 86 Przykład 2 Oblczan macrzy odwronj 88 Przykład 22 Rozwązywan układów równań algbracznych 95 Przykład 23 Rozwązywan układów równań algbracznych rzadkch 2 Rozdzał 3 Prakyka badana funkcj 9 3 Całkowan różnczkowan numryczn 9 3 Eksrapolacja rowana Rchardsona Akna 9 32 Całkowan numryczn 6 33 Różnczkowan numryczn Gradn funkcj wlu zmnnych Jakoban funkcj wkorowj wlu zmnnych Hsjan funkcj wlu zmnnych Wybran mody aproksymacj nrpolacj lnowj funkcj jdnj zmnnj Aproksymacja modą najmnjszych kwadraów Aproksymacja funkcj dyskrnj wlomanm Aproksymacja układam funkcj orogonalnych Aproksymacja wlomanam orogonalnym Implmnacja mod aproksymacj Inrpolacja funkcj dyskrnj krzywą łamaną Inrpolacja wlomanm poęgowym Lagrang a Inrpolacja funkcjam skljanym Inrpolacja funkcjam wlomanam orogonalnym Mody nrpolacj w ramach klasy TInrpolaon Wybran mody poszukwana mnmum funkcj wlu zmnnych modam bzgradnowym 8 33 Wyznaczn mnmum funkcj wlu zmnnych bzgradnową modą poszukwań prosych Hook a-jvsa Bzgradnowa moda złogo podzału poszukwana mnmum Bzgradnowa moda Powlla poszukwana mnmum funkcj wlu zmnnych Wybran mody poszukwana mnmum funkcj wlu zmnnych modam gradnowym Moda kspansj konrakcj gomrycznj z jdnym sm badana współczynnka kroku przy poszukwanu mnmum w krunku Moda aproksymacj parabolcznj z jdnym sm badana współczynnka kroku przy poszukwanu mnmum w krunku Algorym najwększgo spadku Zmodyfkowany algorym Nwona 2 Przykłady 25 Komponny 25 Przykład 3 Tsowan mod całkowana 26 Przykład 32 Tsowan procdur różnczkowana numryczngo 22 Przykład 33 Tsowan funkcj do wyznaczana macrzy Jacobgo funkcj wkorowj 225 Przykład 34 Tsowan funkcj do wyznaczana macrzy Hssgo funkcj wlu zmnnych 229 Przykład 35 Tsowan mod klasy TApproxmaon 23 Przykład 36 Tsowan mod klasy TInrpolaon 239 Przykład 37 Tsowan mod wyznaczana mnmum funkcj 244

4 Sps rśc 5 Rozdzał 4 Równana nlnow, zra wlomanów, warośc własn macrzy 25 4 Algorymy rozwązywana układów równań nlnowych Rozwązywan układów równań nlnowych modą Nwona Rozwązywan układów równań nlnowych modą gradnową Rozwązywan układu równań nlnowych zmodyfkowaną modą Nwona Rozwązywan układów nlnowych modą racyjną Psudorozwązana nlnowgo układu nadokrślongo modą Hook a-jvsa Wyznaczan zr wlomanów modam Barsowa Lagurr a Dzln wlomanów o współczynnkach rzczywsych przz czynnk lnowy wdług algorymu Hornra Dzln wlomanu przz czynnk kwadraowy Wyznaczan dzlnków wlomanu sopna N > 2 w posac rójmanu kwadraowgo modą Barsowa Wyznaczan zr wlomanów o współczynnkach rzczywsych Wyznaczan zr wlomanu modą Lagurr a Wyznaczan zr wlomanu modą Lagurr a Wyznaczan warośc własnych macrzy modam Barsowa Lagurr a Wyznaczan współczynnków wlomanu charakrysyczngo macrzy kwadraowj modą Kryłowa Wyznaczan warośc własnych macrzy modą Barsowa Wyznaczan warośc własnych macrzy modą Lagurr a Wyznaczan zr funkcj jdnj zmnnj modą połowna przdzału 29 Przykłady 293 Komponny 293 Przykład 4 Tsowan mod rozwązywana układu równań nlnowych 294 Przykład 42 Tsowan mod rozwązywana układu równań nlnowych cd 295 Przykład 43 Wyznaczan zr wlomanów o współczynnkach rzczywsych zadanych z klawaury za pomocą mod Lagurr a oraz Barsowa 3 Przykład 44 Wyznaczan warośc własnj macrzy zadanj z klawaury lub plku 32 Przykład 45 Wyznaczan zr ksrmum funkcj Bssla rzędu N 35 Rozdzał 5 Układy zwyczajnych równań różnczkowych nlnowych 39 5 Układ równań różnczkowych jako klasa programowana obkowgo 3 5 Dfncj ypów do zadawana układu równań różnczkowych nlnowych 3 52 Dfncja klasy prooypowj dla klas mplmnujących rozwązywan układu równań różnczkowych Dfncja klasy prooypowj dla klas poomnych doyczących rozwązywana układu równań różnczkowych nlnowych Aproksymacja dyskrnych warośc wkorów sanu Funkcj pomocncz do dzałana na wkorach sanu Mody Runggo-Kuy Rozwązywan układu równań różnczkowych zwyczajnych modą Runggo-Kuy z auomaycznym doborm kroku całkowana Mody Fhlbrga 332

5 6 Algorymy numryczn w Dlph 55 Rozwązan układu równań różnczkowych nlnowych zwyczajnych modą Fhlbrga z auomaycznym doborm kroku całkowana Rozwązan układu równań różnczkowych nlnowych zwyczajnych modą Dormanda-Prnc a z auomaycznym doborm kroku całkowana Wlokrokowa moda rozwązywana układu równań różnczkowych nlnowych z członm przwdywana Adamsa-Bashforha oraz członm korkcyjnym Adamsa-Mulona z auomaycznym doborm kroku rzędu Algorym Adamsa-Bashforha Algorym Adamsa-Mulona Algorymy przwdywana korkcj wyrażon przz macrz Nordscka Faza wsępna oblczń Mody klasy TAdamsMulonAbsrac TAdamsMulon, ralzując algorym Adamsa-Mulona Rozwązywan układu równań nlnowych modą szywno sablnych algorymów Gara Moda Gragga z ksrapolacją Bulrscha-Sora 386 Przykłady 394 Komponny 394 Przykład 5 Rozwązywan układów równań różnczkowych druggo rzędu 395 Przykład 52 Zasosowan klasy TRoRoNl do rozwązywana układów równań różnczkowych nlnowych w ramach pwnj klasy 42 Przykład 53 Wahadło mamayczn 48 Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach 43 6 Równana różncow dla różnych aproksymacj funkcj wymuszających 48 6 Wymuszn aproksymowan funkcjam przdzałam sałym Wymuszn aproksymowan funkcjam przdzałam lnowym Wymuszn aproksymowan wlomanm sopna druggo Dobór kroku całkowana T z względu na dobór górnj grancy błędu oblczana macrzy oraz z względu na numryczną sablność rozwązana Dfncja ypów dla lnowych równań różnczkowych Numryczn rozwązywan równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach dla aproksymacj wymuszń funkcjam przdzałam sałym Numryczn rozwązywan równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach dla aproksymacj wymuszń funkcjam przdzałam lnowym Numryczn rozwązywan równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach dla aproksymacj wymuszń funkcjam przdzałam kwadraowym 433 Przykłady 435 Komponny 435 Przykład 6 Tsowan mod rozwązywana układu równań różnczkowych lnowych 435 Przykład 62 Tsowan mod rozwązywana układu równań różnczkowych lnowych zdfnowanych wwnąrz pwnj klasy 44 Rozdzał 7 Prakyka przkszałcń Fourra Dyskrna ransformacja Fourra wdług algorymu Hornra Szybk przkszałcn Fourra wdług algorymu Coolya-Tukya Szybk przkszałcn Fourra wdług algorymu Sand a-tukya Wyznaczan współczynnków zspolongo szrgu Fourra dla dowolnj funkcj okrsowj Oblczan odwronj ransformacj Fourra dla dowolnj ransformay 47

6 Sps rśc 7 Przykłady 474 Komponny 474 Przykład 7 Oblczan zspolonych współczynnków szrgu Fourra 475 Przykład 72 Oblczan odwronj ransformacj Fourra 479 Przykład 73 Oblczan zspolonych współczynnków szrgu Fourra w ramach pwnj klasy 483 Rozdzał 8 Prakyka przkszałcń Laplac a Numryczn oblczan ransformacj odwronj Laplac a w wybranj chwl czasowj z zasosowanm szrgów Fourra Numryczn oblczan ransformacj odwronj Laplac a w wybranj chwl czasowj z zasosowanm szrgów Lagurr a Numryczn oblczan ransformacj odwronj Laplac a w wybranj chwl czasowj wdług algorymu Valsa Oblczan ransformacj odwronj Laplac a funkcj wymrnj na podsaw jj pozosałośc w bgunach Dfncja klasy do oblczana odwronj ransformacj Laplac a funkcj wymrnj na podsaw jj pozosałośc w bgunach 55 Przykłady 5 Komponny 5 Przykład 8 Wyznaczan odwronj ransformacj Laplac a funkcj opraorowych zgodn z wzorcam funkcj 5 Przykład 82 Zasosowan ransformacj odwronj Laplac a dla funkcj wymrnych 56 Bblografa 523 Skorowdz 525

7 Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach Zadany js układ N równań różnczkowych lnowych njdnorodnych: + W j j j N j j j u b x a d dx, 2,, N, 6 gdz współczynnk a j oraz b j są rzczyws Układ n można zapsać w posac macrzowj: d d Bu Ax x +, 62 gdz: 2 x x x N x ; 62a d dx d dx d dx d d N 2 x ; 62b

8 44 Algorymy numryczn w Dlph aa2 Ka N A a2a22 Ka2 N K ; anan 2 KaNN bb2 Kb W B b2b22 Kb2W K ; bnbn 2 KbNW u u2 u uw 62c 62d Na człony njdnorodn układu 6 składa sę W wymuszń u j j, 2,, W wysępujących z współczynnkam b j macrzy prosokąnj B W or równana 62 cnralną rolę odgrywa funkcja wykładncza A macrzy kwadraowj A przmnożonj przz zmnną nzalżną, zdfnowaną szrgm macrzowym [7]: A + A + 2! k 2 k A A + K + A + K k! k k! 63 Szrg macrzowy 63 js równoważny N 2 zwykłym skalarnym szrgom poęgowym: 2 k δ + A + { A } j + K + { A } j + K, j j, j, 2,, N 2! k! Do zrozumna konsrukcj całk ogólnj równana 62 nzbędn będą nasępując własnośc funkcj wykładnczj A : Jżl, o zgodn z dfncją 63 A macrz jdnoskowa N N-wymarowa 64 2 Jżl macrz A komuuj z macrzą B, a węc AB BA, o: A B A+B 65 3 Ponważ na mocy własnośc 65 A A A A, węc macrz odwrona macrzy A ma posać: [ ] A A 66 4 Różnczkując ob srony równana macrzowgo 63 z względu na oraz wyłączając wspólny czynnk A z wyrazów szrgu nskończongo, orzymuj sę: d d A A A A A 5 Mnożąc lwosronn lub prawosronn równan macrzow 67 przz A macrz odwrona macrzy A, a nasępn całkując ak orzymywan równana z względu na od do 2, orzymuj sę: 67

9 Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach 45 A2 A A2 A A 2 A d A 68 Do rozwązana układu równań różnczkowych lnowych 62 można zasosować modę uzmnnna sałych W ym clu najprw rozparuj sę przypadk, gdy u, co oznacza, ż równan 62 js jdnorodn dx Ax d 69 Ławo wykazać, ż całka ogólna równana jdnorodngo 69 ma posać: x A y, 6 gdz y js wkorm N-wymarowym o składowych sałych Ison z własnośc 67 wynka dx d d d A A y A y Ax 6 Zgodn z modą uzmnnna sałych przyjmuj sę dalj, ż wkor y js funkcją zmnnj, co daj: x A y, 62 a nasępn podsawa sę wyrażn 62 do równana njdnorodngo 62, uwzględnając własność 67 A A y + A dy A d A y + Bu 63 Upraszczając równan 63 o człon A A y oraz mnożąc j lwosronn przz macrz A, orzymuj sę na mocy własnośc 66 dy d A Bu 64 Całkując równan 64 z względu na od do, orzymuj sę: y + y A Bu τ d τ 65 Jżl zadany js wkor warośc począkowych x, o odpowadający mu wkor y można wyznaczyć z równana 62, sosując własność 66: y A x 66 Uwzględnając równan 65 wraz z podsawnm 66 w równanu 62, orzymuj sę nasępując rozwązan równana 62:

10 46 Algorymy numryczn w Dlph A x + A A x τ Bu τdτ 67 Równan 67 n nadaj sę do bzpośrdngo oblczna numryczngo Rozwązan dokładn 67 równana 62 można jdnak wykorzysać w modz krokowj, zasępując o równan równanm różncowym, przyjmując kt k+t: k+ T A A k+ T [ k + T ] x kt + x τ Bu τdτ kt 68 W oblczanu całk 68 mogą wysąpć rudnośc zwązan z wysępowanm ujmnych dużych co do modułu warośc własnych macrzy A Z względu na możlwość akgo przypadku nalży aproksymować funkcję wkorową wymuszającą u, n zmnając jądra A w całc równana 68 Nch zachodz przypadk ogólny, dla kórgo macrz A ma dzlnk lmnarn: p p p λ λ, λ λ 2,, λ λ s 2 K s, gdz wśród warośc własnych λ, λ 2,, λ s macrzy A będących, zgodn z dfncją, zram wlomanu charakrysyczngo macrzy A I d A λ, mogą być lczby jdnakow; p n N, przy czym p +p 2 ++ps M Dowodz sę, ż w akm przypadku snj aka macrz nosoblwa S, ż A S CS, 69 gdz macrz C js macrzą quas-dagonalną, zwaną kanonczną macrzą Jordana [3] I C p λ I p2 λ 2 K K K K K K I λ ps s ; λ K λ K I λ p λ K K λ K λ 62

11 Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach 47 Sosując ransformację 69, funkcję wykładnczą A można przkszałcć nasępująco: A S CS S C S C S S 62 Ponważ macrz C js quas-dagonalna, o: C I p λ I p2 λ2 I p s λs 622 Zgodn z dfncją macrzowj funkcj wykładnczj oraz macrzy 62 zachodz [3]: I p λ λ K λ λ K 2 λ λ λ K 2! KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK p p p 2 3 λ λ λ λ K p! p 2! p 3! 623 Wzory 67, okrślają srukurę rozwązana równana różnczkowgo 62, a w szczgólnośc jgo zwązk z waroścam własnym λ wysępującym w kombnacjach funkcj λ przmnożonych przz wlomany P sopna n wększgo nż p, gdz p js sopnm dzlnka lmnarngo odpowadającgo warośc własnj λ λ, j P Załóżmy w ogólnym przypadku, ż warośc własn λ macrzy A są zspolon λ α + jβ, 2,, N 624 Jżl R { λ } α >, o odpowdn składnk rozwązana P wzrasają wykładnczo z członm wlomanowym P, gdy czas wzrasa Jżl α <, o odpowdn λ składnk rozwązana P malją, gdy czas wzrasa W każdym przypadku, jśl Im{ λ } β parę sprzężoną z odpowdną waroścą własną λ, co odpowada składnkow rozwązana snusodalnmu z wagą wykładnczą, o jak wadomo λ worzy zspoloną λ wlomanową P : α P sn β 625

12 48 Algorymy numryczn w Dlph 6 Równana różncow dla różnych aproksymacj funkcj wymuszających Do numryczngo rozwązana układu równań różnczkowych lnowych 62 można wykorzysać równan różncow 68, przyjmując różną aproksymację funkcj wymuszającj u W nnjszym opracowanu podan będą konsrukcj ych algorymów dla rzch przypadków, a manowc dla aproksymacj funkcj wymuszającj w posac funkcj przdzałam sałj, lnowj kwadraowj 6 Wymuszn aproksymowan funkcjam przdzałam sałym Nch wymuszn wkorow u js dan w posac funkcj przdzałam sałj akj, ż: u ukt dla kt k+t, k,, 2, 626 W akm przypadku, wykonując całkowan w równanu różncowym 68 z uwzględnnm wzoru 68, orzymuj sę [7]: k + T Aτ kt Bu τdτ - Aτ k+ T kt A BukT A k + T AkT + A BukT Po umszcznu powyższgo wynku całkowana w równanu 68 orzymuj sę: x A k + T A k + T AkT [ k + T ] x kt + + x kt + A Bu kt gdz: macrz jdnoskowa A Bu kt W równanu różncowym 628 clowym js, z względu na mnmum opracj numrycznych, oblczać macrz A, n wykonując pomocnczych oblczń macrzy oraz A, lcz wykorzysując równość: n 629 n n+! A T wynkającą z dfncj 63 Zam po uwzględnnu równana 629 oraz oznaczna macrzy: F G A T n n! n 63 n 63 BT n n +!

13 Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach 49 wkorów xk xkt; uk ukt 632 formuła rkurncyjna 628 przyjm posać: xk+ Fxk + G uk 633 N snj węc porzba oblczana macrzy odwronj A, jak by o wynkało z równana 628 Mając na uwadz dalszą mnmalzację opracj numrycznych, nalży zauważyć, ż formowan macrzy F G wzory nalży prowadzć równolgl z względu na wspóln lmny wysępując w szrgach Równan różncow 633 daj węc formułę rkurncyjną, kórą można ławo zaprogramować na kompurz, co pokazan będz w dalszych punkach Sosując wzór rkurncyjny 633 do rozwązana numryczngo równana różnczkowgo 62, odpowadający aproksymacj wymuszń funkcjam przdzałam sałym, nalży w prwszj koljnośc wygnrować macrz F G, okrślon wzoram Blok funkcyjny gnrujący macrz moż mć posać: funcon FmTmpvar A, B, F, G: TMarxF; T, ps, EpsR: TFloa; N, W: Ingr: Ingr; // Formowan macrzy pomocnczych F, G: // A, B macrz układu równań różnczkowych // dx/d A*X+B*U, // N rząd macrzy A, // W lczba kolumn macrzy B, // T wybrany krok całkowana, // ps górna granca błędu przyblżna macrzy F G, // EpsR błąd wyznaczna najwększj co do modułu warośc // własnj macrzy F var K, Error: Ingr; S, S, Norm, a, MWA: TFloa; AX, AY, a, BX, BT: TMarxF; bgn Rsul : ; SLngha, N +,N + ; SLnghAX, N +,N + ; SLnghBX, N +,N + ; SLnghAY, N +,N + ; SLnghBT, N +,W + ; ry mmulra, A, T; monax; Norm : mnorma; K : ; S : ; S : ; a : Norm / - Norm; mclonf, AX; mclonbx, AX; rpa IncK; mmulay, AX, a; S : S / K; mmulrax, AY, S;

14 42 Algorymy numryczn w Dlph maddf, F, AX; S : S / K + ; mmulrax, AY, S; maddbx, BX, AX; mclonax, AY; a : a * Norm / K + unl a < ps; Error : megnvalumwa, F, EpsR, ; f MWA > 5 hn Rsul : 6; f Error <> hn Rsul : 7; mmulrbt, B, T; mmulg, BX, BT; fnally a : nl; BT : nl; AX : nl; BX : nl; AY : nl; nd nd{fmtmp }; 62 Wymuszn aproksymowan funkcjam przdzałam lnowym Zakładamy, ż wymuszn u js funkcją cągłą przdzałam lnową aką, ż: dla u u kt + kt + f T [ u k + T ukt ] τ f τ τ 2 kt τ < k+t, gdz: k,, 2, u kt k[ u k + T ukt ] ; f [ u k + T ukt ] f T a Wykonując w akm przypadku całkowan przz częśc w równanu różncowym 68 z uwzględnnm wzoru 68, orzymuj sę: k + T Aτ kt Bu τ dτ A -Aτ A f τ B f -AkT B A 2 B + A k + T kt + k + T kt A -AkT T Bf dτ B u kt + T - B u k + T -Aτ 2

15 Rozdzał 6 Układy równań różnczkowych lnowych o sałych współczynnkach 42 Po uwzględnnu powyższgo wynku całkowana oraz oznaczna 632 równan różncow 68 przyjm posać: x k + + A x k + A T A Bu k + A Bu k + T 635 Uwzględnając wzory , równan rkurncyjn 635 można przkszałcć do posac: xk+ Fxk+G uk+huk+, 636 gdz: A A A G A A B BT n T T T ; T n n! n + 2 H A n [ A ] B BT, n n + 2! naomas macrz F wyraża sę wzorm Równan rkurncyjn 636 daj węc algorym wyznaczana rozwązana równana różnczkowgo w posac 62 W oblcznach kompurowych nalży zauważyć, ż wyznaczan macrzy F, G H zgodn z wzoram 63, nalży prowadzć równolgl z względu na wspóln lmny n wysępując w szrgach macrzowych ych wzorów, co mnmalzuj lczbę opracj numrycznych W przypadku sosowana wzoru rkurncyjngo 636 nzbędn js wygnrowan macrzy F, G H wzory 63, , co można zralzować w nasępującym bloku funkcyjnym: funcon FmTmp2var A, B, F, G2, H: TMarxF; T, ps, EpsR: TFloa; N, W: Ingr: Ingr; // Formowan macrzy pomocnczych F, G2, H: // A, B macrz układu równań różnczkowych dx/d A*X+B*U, // N rząd macrzy A F, // W lczba kolumn macrzy B, G2, H, // T wybrany krok całkowana, // ps górna granca błędu przyblżna macrzy F, G2, H, // EpsR błąd wyznaczna najwększj co do modułu warośc // własnj macrzy F var K, Error: Ingr; SS, S, S2, Norm, a, MWA: TFloa; AX, AY, a, AG, AH, BT: TMarxF; bgn Rsul : ; SLngha, N +,N + ; SLnghAX, N +,N + ; SLnghAY, N +,N + ; SLnghAH, N +,N + ; SLnghAG, N +,N + ; SLnghBT, N +,W + ;

16 422 Algorymy numryczn w Dlph ry mmulra, A, T; monax; Norm : mnorma; K : ; SS : ; S : 5; S2 : 5; a : Norm / - Norm; monf; mmulrag, AX, 5; mclonah, AG; rpa IncK; mmulay, AX, a; SS : SS / K; mmulrax, AY, SS; maddf, F, AX; S : S * K + / K + 2 * K; mmulrax, AY, S; maddag, AG, AX; S2 : S2 / K + 2; mmulrax, AY, S2; maddah, AH, AX; mclonax, AY; a : a * Norm / K + unl a < ps; Error : megnvalumwa, F, EpsR, ; f MWA > 5 hn Rsul : 6; f Error <> hn Rsul : 7; mmulrbt, B, T; mmulg2, AG, BT; mmulh, AH, BT; fnally a : nl; BT : nl; AX : nl; AY : nl; AG : nl; AH : nl; nd nd{fmtmp2 };