Metody numeryczne. Różniczkowanie. Wykład nr 6. dr hab. Piotr Fronczak

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody numeryczne. Różniczkowanie. Wykład nr 6. dr hab. Piotr Fronczak"

Bronisława Sikorska
7 lat temu
Przeglądów:

1 Mtod numrczn Wład nr 6 Różnczowan dr ab. Potr Froncza

Różnczowan numrczn Wzor różnczowana numrczngo znajdują zastosowan wtd, gd trzba wznaczć pocodn odpowdngo rzędu uncj, tóra orślona jst tablcą lub ma somplowaną postać analtczną.

2 Różnczowan numrczn Wzor różnczowana numrczngo znajdują zastosowan wtd, gd trzba wznaczć pocodn odpowdngo rzędu uncj, tóra orślona jst tablcą lub ma somplowaną postać analtczną. wa podstawow sposob różnczowana numrczngo:. Mtoda różnc sończonc mtoda polgająca na przblżnu pocodnj uncj poprzz sończon różnc, w zdsrtzowanj przstrzn. Można ją wprowadzć wprost z lorazu różncowgo, bądź z rozwnęca w szrg Talora.. Różnczowan uncj aprosmującj aprosmujm punt wrażnm, tór moż bć łatwo różnczowaln, np. wlomanm, uncją władnczą, tp.

3 Różnczowan numrczn Wzor różnczowana numrczngo znajdują zastosowan wtd, gd trzba wznaczć pocodn odpowdngo rzędu uncj, tóra orślona jst tablcą lub ma somplowaną postać analtczną. wa podstawow sposob różnczowana numrczngo:. Mtoda różnc sończonc mtoda polgająca na przblżnu pocodnj uncj poprzz sończon różnc, w zdsrtzowanj przstrzn. Można ją wprowadzć wprost z lorazu różncowgo, bądź z rozwnęca w szrg Talora.. Różnczowan uncj aprosmującj aprosmujm punt wrażnm, tór moż bć łatwo różnczowaln, np. wlomanm, uncją władnczą, tp. W przpadu sln zaszumonc danc różnczowan mtodą różnc sończonc moż dać ataln t.

4 Wprowadzn mtod różnc sończonc z wzoru Talora Rozwnęc uncj analtcznj w otocznu puntu w szrg Talora można wrazć w postac!!! Zdnujm oprator różnczowana Zatm!! Zdnujm oprator różnc zwłj, wstcznj : Czl Z porównana zalżnośc uzsujm wzór na równość opratorów

5 Logartmując obustronn otrzmam ln ln Podnosząc obustronn do potęg -tj, uzsam Ponważ ln ln

6 Możm zatm wprowadzć wzor na dowoln pocodn uncj wrażon za pomocą różnc zwłc: = = 5 =

7 Sprawdź, ż 5 '' '' ' '

8 Zróbm to samo za pomocą różnc wstcznc. Zauważm, ż Zatm Wstawając powższ wzór do wzoru ln, otrzmujm Ponważ ln ln ln

9 = = = Możm zatm wprowadzć wzor na dowoln pocodn uncj wrażon za pomocą różnc wstcznc:

10 Różnc cntraln Wprowadzon wczśnj wzor różnczowana numrczngo uncj w punc = mają tę wadę, ż worzstuj sę w nc jdn wartośc uncj dla argumntów lżącc z jdnj stron. Wad tj n posadają wzor worzstując wartośc uncj po prawj po lwj stron puntu =. Są to wzor smtrczn, opart na różncac cntralnc.

11 !!!! Zdnujm oprator różnc cntralnj

12 Zatm sn arcsn arcsn Rozwjając w szrg Talora:

14 oprator uśrdnana

15 szacowan błędów! W szczgólnośc:. równ z. równ z. równ z

16 8 8 ' ' ' ' ' ' 6 6 '' '' '' '' Podsumowan wupuntow różnc zwł Trzpuntow różnc zwł wupuntow różnc wstczn Trzpuntow różnc wstczn wupuntow różnc cntraln Cztropuntow różnc cntraln Trzpuntow różnc zwł Trzpuntow różnc wstczn Trzpuntow różnc cntraln Pęcopuntow różnc cntraln Prwsz pocodn rug pocodn

17 Różnczowan za pomocą wlomanów Lagrang a Zapszm wloman przcodząc przz trz punt,, +, +, +, + ' Różnczując Podstawm = + '

18 ' Uwag:. Gd punt są równomrn rozłożon, czl = + - = ' ' Wzór dla różnc cntralnc. Zalta nr : punt n muszą bć równomrn rozłożon. Zalta nr : możm polczć pocodną w dowolnm punc mędz a +.

19 Rozważm uncję = Polczm pocodną w punc = orzstając z dwupuntowc różnc cntralnc. ' oraz gdz ' Podczas oblczń omputr wprowadza błąd zaorąglna R R Wartośc doładn ' R R R R Błąd obcęca Błąd zaorąglna Gd zmnjszam, błąd obcęca malj, al błąd zaorąglna rośn. całowt błąd Błąd w różnczowanu numrcznm

20 Pocodn cząstow Prost rozszrzn mtod dla pocodnc zupłnc jdnowmarowc, j+ -, j+, j+ +, j+ -, j -, j, j +, j +, j -, j-, j- +, j-, j-

21 prator Laplac a j+ j j- + j+ j j = - + j+ j j-

22 Pocodn mszan - + j+ j j- - = - + j+ j j- =

23 Blaplasjan oprator b-armonczn - + j+ j j- - + j- j

Podobne dokumenty

Granica funkcji - Lucjan Kowalski GRANICA FUNKCJI

Granica funkcji - Lucjan Kowalski GRANICA FUNKCJI GRANICA FUNKCJI Granica uncji. - dowolna liczba rzczywista. O, = - ; + - otoczni liczby puntu o prominiu, S, = - ;, + - sąsidztwo liczby puntu o prominiu, Nich uncja będzi orślona w sąsidztwi puntu, g