UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH"

Transkrypt

1 Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko

2 Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można zapisać w postaci: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x a nn x n = b n n a ij x j = b j, dla i = 1, 2,..., n. j=1 A X = B. gdzie A jest nieosobliwą, kwadratową macierzą o wymiarze n n, B jest wektorem o n współrzędnych, X jest wektorem poszukiwanym o n współrzędnych.

3 Uwagi wstępne Metody służące do rozwiązania układu równań AX = B można podzielić na: 1 metody dokładne, 2 metody iteracyjne (przybliżone). Decyzja wyboru odpowiedniej metody zależy od postaci macierzy A, specyfiki zagadnienia, które prezentuje układ. Układy równań liniowych mogą mieć: 1 jedno rozwiązanie 2 nieskończenie wiele rozwiązań 3 brak rozwiązań (układy sprzeczne)

4 Metody dokładne Przez metodę dokładną rozwiązywania układu równań liniowych rozumiemy metodę, która (przy braku błędów zaokrągleń) daje dokładne rozwiązanie po skończonej liczbie kroków. Metody dokładne, które będą omówione to: 1 podstawianie w przód i podstawianie wstecz dla układów trójkątnych 2 metoda eliminacji Gaussa 3 metoda Gaussa-Jordana 4 metoda Choleskiego-Banachiewicza

5 Układy trójkątne Układy trójkątne Macierz trójkątna górna Układ AX = B z macierzą A U trójkątną górną ma postać: u 11 x 1 + u 12 x u 1n 1 x n 1 + u 1n x n = b 1 u 22 x u 2n 1 x n 1 + u 2n x n = b u n 1n 1 x n 1 + u n 1n x n = b n 1 u nn x n = b n Jeżeli założymy, że u ii 0 (i = 1, 2,..., n), to niewiadome można obliczyć w kolejności x n, x n 1, x n 2,..., x 1, z wzorów: x n = b n u nn, x n 1 = b n 1 u n 1n x n u n 1 n 1,..., x 1 = b 1 u 1n x n u 1n 1 x n 1... u 12 x 2 u 11.

6 Układy trójkątne Układy trójkątne Macierz trójkątna górna Wzory te można napisać w zwartej postaci: x i = b i n j=i+1 u ij x j u ii dla i = n, n 1,..., 1. Ponieważ niewiadome wyznacza się w kolejności od ostatniej do pierwszej, ten algorytm nazywa się podstawianiem wstecz.

7 Układy trójkątne Układy trójkątne Macierz trójkątna dolna Układ równań AX = B z macierzą A L trójkątną dolną można rozwiązać podobnie. Przyjmując, że l ii 0 (i = 1, 2,..., n), można wyznaczać niewiadome za pomocą podstawiania w przód: x i = i 1 b i l ij x j j=1 l ii dla i = 1, 2,..., n.

8 Układy trójkątne Układy trójkątne Przykład Rozwiązać układ liniowych równań AX = B, gdzie: A = 0 4 8, B = Rozwiązanie: X = [ 1, 2, 1 ] T

9 Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Podstawową metodą dokładną rozwiązywania dowolnych układów równań liniowych jest metoda eliminacji Gaussa. Pomysł polega na eliminacji niewiadomych w pewien systematyczny sposób doprowadzając macierz do postaci trójkątnej. Taki układ trójkątny już potrafimy rozwiązać. 1 Efektywna metoda rozwiązywania układów równań liniowych. 2 Wymaga w przybliżeniu n 3 /3 mnożeń, np. dla n = 10 daje to n = 333 mnożeń. 3 Dla porównania: metoda Cramera wymaga około 2(n + 1)! mnożeń, dla n = 10 daje to mnożeń.

10 Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Rozważmy układ równań: lub A X = B a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x a (1) 1n x n = b (1) 1 a (1) 21 x 1 + a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x a (1) 2n x n = b (1) a (1) n1 x 1 + a (1) n2 x 2 + a (1) n3 x a nn (1) x n = b n (1) Górny indeks (1) oznacza dany układ równań wyjściowy do obliczeń. Metoda eliminacji Gaussa polega na wykonaniu dwóch etapów obliczeń: I. eliminacji w przód II. podstawianiu wstecz

11 Metoda eliminacji Gaussa Etap I {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 / ( a21 a 11 ) + {2r} {2r} a (1) 21 x 1 + a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x 3 = b (1) 2 {3r} a (1) 31 x 1 + a (1) 32 x 2 + a (1) 33 x 3 = b (1) 3 Załóżmy teraz, że a Wówczas z ostatnich 2 równań możemy wyeliminować x 1 odejmując od i tego równania pierwsze pomnożone przez: m i1 = a i1 a 11 dla i = 2 Przekształcone równania przybierają postać: {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 {2r} a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2 {3r} a (1) 31 x 1 + a (1) 32 x 2 + a (1) 33 x 3 = b (1) 3

12 Metoda eliminacji Gaussa Etap I {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 / ( a31 a 11 ) + {3r} {2r} a (1) 21 x 1 + a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x 3 = b (1) 2 {3r} a (1) 31 x 1 + a (1) 32 x 2 + a (1) 33 x 3 = b (1) 3 Załóżmy teraz, że a Wówczas z ostatnich 2 równań możemy wyeliminować x 1 odejmując od i tego równania pierwsze pomnożone przez: m i1 = a i1 a 11 dla i = 3 Przekształcone równania przybierają postać: {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 {2r} a (2) 22 x 2 + a (2) 32 x 3 = b (2) 2 {3r} a (2) 23 x 3 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3

13 Metoda eliminacji Gaussa Etap I {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 {2r} a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2 / ( a32 a 22 ) + {3r} {3r} a (2) 32 x 2 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3 Ostatecznie przekształcony układ równań ma postać: {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 {2r} a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2 {3r} a (3) 33 x 3 = b (3) 3 a więc układ trójkątny, który rozwiązujemy w Etapie II stosując podstawianie wstecz.

14 Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Eliminację wykonuje się w n 1 krokach o numerach k = 1, 2, 3,..., n 1. W k tym kroku elementy a (k) ij dla j, j > k przekształca się wg wzorów: a (k+1) ij = a (k) ij m ik a (k) kj b (k+1) i = b (k) i m ik b (k) k gdzie m ik = a(k) ik a (k) kk dla: i = k + 1, k + 2,..., n; j = k + 1, k + 2,..., n.

15 Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: A = 2 8 2, B = Etap I : A = B = Etap II (podstawianie wstecz) przykład dla układów trójkątnych.

16 Metoda Gaussa-Jordana pełnej eliminacji Metoda Gaussa-Jordana Układ równań o postaci: a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x a (1) 1n x n = b (1) 1 a (1) 21 x 1 + a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x a (1) 2n x n = b (1) a (1) n1 x 1 + a (1) n2 x 2 + a (1) n3 x a nn (1) x n = b n (1) Przekształcamy następująco: Pierwsze równanie dzielimy przez a (1) 11, a następnie od i tego wiersza, i = 2, 3,..., n, odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez a (1) i1, otrzymując: x 1 + a (2) 12 x 2 + a (2) 13 x a (2) 1n x n = b (2) 1 a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x a (2) 2n x n = b (2) a (2) n2 x 2 + a (2) n3 x a nn (2) x n = b n (2)

17 Metoda Gaussa-Jordana pełnej eliminacji Metoda Gaussa-Jordana Następnie drugie równanie dzielimy obustronnie przez a (2) 22 i od i tego wiersza, i = 1, 3,..., n, odejmujemy wiersz drugi pomnożony przez a (2) i2. x 1 + a (3) 13 x a (3) 1n x n = b (3) 1 x 2 + a (3) 23 x a (3) 2n x n = b (3) a (3) n3 x a nn (3) x n = b n (3) Po n 1 eliminacjach otrzymujemy układ postaci: czyli gotowe rozwiązanie. x 1 = b (n) 1 x 2 = b (n) 2 x n = b n (n)

18 Metoda Gaussa-Jordana pełnej eliminacji Metoda Gaussa-Jordana Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: A = 2 8 2, B = Po 3. eliminacji: wektor B stanowi rozwiązanie A = B =

19 Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Rozkład LU W wielu zagadnieniach numerycznych celowym jest przedstawienie danej macierzy A w postaci iloczynu dwóch macierzy trójkątnych takich, aby A = L U. Procedura wyznaczenia tych macierzy nosi nazwę rozkładu LU. A = L U = l 11 l 21 l 22 l 31 l 32 l l n1 l n2 l n3... l nn u 11 u 12 u u 1n u 22 u u 2n u u 3n.... u nn Wtedy układ A X = B jest równoważny układowi L U X = B. Etapy rozwiązywania układu równań A X = B: I. Rozkład A = L U II. Rozwiązanie układu z macierzą dolnotrójkątną L Y = B Y (stosując podstawianie w przód) III. Rozwiązanie układu z macierzą górnotrójkątną U X = Y X (stosując podstawianie wstecz)

20 Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Metody rozkładu trójkątnego Rozkład trójkątny nie jest jednoznaczny i można go realizować w różny sposób: 1 gdy l ii = 1 metodą Doolittle a, 2 gdy u ii = 1 metodą Crouta, 3 gdy u ii = l ii metodą Choleskiego-Banachiewicza. Rozkład L U można zrealizować: traktując równość A = L U jako układ n 2 równań z n 2 niewiadomymi l ij dla i > j i niewiadomymi u ij dla i j. Równania te wygodnie rozwiązywać na przemian wierszami i kolumnami zgodnie z rysunkiem.

21 Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Metoda Choleskiego-Banachiewicza Dla macierzy symetrycznych dodatnio określonych schematy zwarte są szczególnie atrakcyjne, gdyż wybór elementów głównych nie jest potrzebny. Zwykle przyjmuje się, że elementy przekątniowe w L są rzeczywiste i U = L T. A = L L T = l 11 l 21 l 22 l 31 l 32 l l n1 l n2 l n3... l nn l kk = (a kk k 1 lkp 2 ) l ik = p=1 gdzie: k = 1, 2,..., n; i = k + 1, k + 2,..., n. l 11 l 21 l l n1 l 22 l l n2 l l n3... l nn k 1 a ik Jeżeli macierz kwadratowa A o wyrazach rzeczywistych jest ściśle dominująca na przekątnej głównej i ma dodatnie wyrazy na przekątnej głównej to A jest dodatnio określona p=1 l kk l ip l kp

22 Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Metoda Choleskiego-Banachiewicza Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: A = , B = I. Wykonujemy rozkład A = L L T : l l 21 l 22 0 l 11 l 21 l 31 0 l 22 l 32 l 31 l 32 l l 33 =

23 Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Metoda Choleskiego-Banachiewicza Przykład L = II. L Y = B Y (podstawianie w przód) Y = III. U X = Y X (podstawianie wstecz) X = 2 0 1

24 Metody przybliżone Rozważane dotąd metody rozwiązywania układów równań liniowych są metodami bezpośrednimi, wymagającymi wykonania skończenie określonych działań. Metody iteracyjne w przeciwieństwie do tamtych startują z przybliżenia początkowego, które stopniowo się ulepsza (zmierza) aż do otrzymania dostatecznie dokładnego rozwiązania. Metody iteracyjne (przybliżone), które będą omówione to: 1 metoda Jacobiego 2 metoda Gaussa-Seidla 3 metoda gradientów sprzężonych

25 Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego W metodzie Jacobiego (metoda iteracji prostej) tworzy się ciąg przybliżeń x (1), x (2),... według wzoru: x (k+1) i = n j=1,j i a ij x (k) j + b i a ii i = 1, 2,..., n. 1. Zbieżność procesu iteracyjnego zależy jedynie od właściwości macierzy A. 2. Metoda jest zbieżna gdy macierz A jest dodatnio określona (warunek wystarczający zbieżności) tzn. gdy zachodzą nierówności: i 1 a ii > a ij, i = 1, 2,..., n, j i tj. gdy A jest diagonalnie dominująca. 3. Jako początkowe przybliżenie wybiera się często wektor x (0) = 0.

26 Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: A = , B = Warunki zbieżności są spełnione 2. Przyjmujemy: a) początkowe przybliżenie: x (0) = 0 b) kryterium przerwania procesu iteracyjnego: tempo zbieżności: wielkość residuum: dla np. normy euklidesowej. ε 1 = x(k+1) x (k) x (k+1) ε 2 = A x(k+1) B A x (0) B ε 1 dop ε 2 dop.

27 Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego Przykład x (k+1) i = n j=1,j i a ij x (k) j 1. iteracja k = 1 0 dla x (0) = 0 0 x (1) = 2. iteracja k = 2 + b i a ii i = 1, 2,..., n oraz ε 1 = 1.0, ε 2 = 0.36 x (1) = x (2) = oraz ε 1 = 0.59, ε 2 =

28 Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego Przykład 3. iteracja k = x (9) = oraz ε 1 = 1.25e 3, ε 2 = 3.28e 4 4 iteracja k = x (16) = oraz ε 1 = 4.19e 7, ε 2 = 1.10e 7 Rozwiązanie: x = x (16)

29 Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla stanowi pewną modyfikację metody iteracji prostej. Polega ona na tym, że przy obliczaniu przybliżenia (k + 1) niewiadomej x i, bierze się pod uwagę obliczone poprzednio przybliżenia (k + 1) niewiadomych x 1, x 2,..., x i 1. Iteracja odbywa się wg wzoru: x (k+1) i = i 1 j=1 a ij x (k+1) j n j=i+1 a ij x (k) j + b i a ii i = 1, 2,..., n. Podane poprzednio twierdzenia o zbieżności procesu iteracyjnego pozostają w mocy.

30 Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: A = , B = Warunki zbieżności są spełnione 2. Przyjmujemy: a) początkowe przybliżenie x (0) = 0 b) kryterium przerwania procesu iteracyjnego: tempo zbieżności: wielkość residuum: dla np. normy euklidesowej. ε 1 = x(k+1) x (k) x (k+1) ε 2 = A x(k+1) B A x (0) B ε 1 dop ε 2 dop.

31 Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla Przykład x (k+1) i = i 1 1. iteracja k = 1, 2. iteracja k = 2 j=1 a ij x (k+1) j n dla x (0) = j=i+1 a ij x (k) j + b i a ii i = 1, 2,..., n x (1) = oraz ε 1 = 1.0, ε 2 = dla x (1) = x (2) = oraz ε 1 = 0.173, ε 2 = 2.096e

32 Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla Przykład 3. iteracja k = x (5) = oraz ε 1 = 6.23e 7, ε 2 = 2.040e 8. Rozwiązanie x = x (5)

33 Metoda gradientów sprzężonych Metoda gradientów sprzężonych Wiele metod iteracyjnych służących do rozwiązywania układów równań liniowych można wyprowadzić z metod optymalizacji. Rozważmy problem poszukiwania wektora x, który minimalizuje funkcję skalarną: f (x) = 1 2 xt A x b T x gdzie macierz A jest symetrycza i dodatnio określona. Ponieważ f (x) osiąga minimum gdy jej gradient f = A x b = 0, to minimalizacja jest równoważna rozwiązaniu A x = b. (1)

34 Metoda gradientów sprzężonych Metoda gradientów sprzężonych W metodach gradientowych minimalizacja wykonywana jest iteracyjnie. W każdym kroku iteracyjnym k obliczane jest polepszone rozwiązanie: x (k+1) = x (k) + α (k) s (k), dla k = 0, 1,..., n (2) gdzie x (0) jest wektorem startowym. Wyznaczenie α (k) : Długość kroku α (k) jest dobierana tak aby x (k+1) minimalizował f (x (k+1) ) wzdłuż kierunku s (k). Tak więc s (k) musi spełniać równanie (1), czyli A x = b: A (x (k) + α (k) s (k) ) = b. (3) Po wprowadzeniu residuum r (k) = b A x (k), równanie (1) przyjmie postać: α (k) A s (k) = r (k). Po jego obustronnym pomnożeniu przez s (k) można wyznaczyć: st (k) r (k) α (k) = s T (k) A s. (4) (k)

35 Metoda gradientów sprzężonych Metoda gradientów sprzężonych Wyznaczenie wektora kierunku s (k) 1 s (k) można dobrać intuicyjnie s (k) = f = r (k), ponieważ jest to kierunek największej ujemnej zmiany f (x (k) ). Metoda opierająca się o ten algorytm to metoda największego spadku. 2 Bardziej efektywną metodą poszukiwania kierunku s (k) jest metoda gradientów sprzężonych: s (k+1) = r (k+1) + β (k) s (k). (5) Wartość parametru β (k) jest wyznaczana tak aby dwa kolejne kierunki poszukiwań były ze sobą sprzężone, co oznacza że, s (k+1) A s (k) = 0. Podstawiając za s (k+1) równanie (2) otrzymujemy (r T (k+1) + β (k) s T (k) ) A s (k) = 0 z którego wynika: β (k) = rt (k+1) A s (k) s T (k) A s. (6) (k)

36 Metoda gradientów sprzężonych Metoda gradientów sprzężonych -algorytm Dla k = 0, 1, 2,... oblicz: 1. x (k+1) = x (k) + α (k) s (k) 2. s (k+1) = r (k+1) + β (k) s (k) gdzie: st (k) r (k) α (k) = s T (k) As, β (k) = rt (k+1) As (k) (k) s T (k) As (k)

37 Metoda gradientów sprzężonych Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A, x = b, gdzie: [ ] [ ] [ A =, B =, x (0) = 1 ].

38 Obliczanie macierzy odwrotnych Macierzą odwrotną macierzy kwadratowej A nazywamy macierz kwadratową A 1 spełniającą związek gdzie I jest macierzą jednostkową. Jeśli przyjmiemy, że X = A 1, to AX = I, czyli AA 1 = I, (7) Ax i = e i, i = 1, 2, n (8) gdzie x i i e i jest i tą kolumną odpowiednio w X i I. Tak więc kolumny macierzy A 1 są rozwiązaniami układów liniowych z prawymi stronami równymi kolumnom macierzy jednostkowej I.

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH

III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 14 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...

Bardziej szczegółowo

Wykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy

Wykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy Wykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy Metody eliminacji i podstawienia wstecz Metoda dekompozycji LU i jej zastosowania Metody dla macierzy specjalnych i rzadkich Metody iteracyjne

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 11/11/ :45 p.

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 11/11/ :45 p. Metody numeryczne Układy równań liniowych, część I Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p./83 Układy równań liniowych, część I. Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np. Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów. Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych.. Układy równań o macierzach trójkątnych.. Metoda eliminacji Gaussa.3. Metoda Gaussa-Jordana.4.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA. ĆWICZENIA Układy Równań Liniowych

ALGEBRA LINIOWA. ĆWICZENIA Układy Równań Liniowych ALGEBRA LINIOWA ĆWICZENIA Układy Równań Liniowych ALEXANDER DENISIUK Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://userspjwstkedupl/~denisjuk/ Proponowane zadania powinny zostać zrealizowane

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla

Bardziej szczegółowo

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie) Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie) Całka podwójna po trójkącie Dana jest funkcja dwóch zmiennych f (x, y) ciągła i ograniczona w obszarze trójkątnym D. Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 5. Przybliżone metody rozwiązywania równań 5.1 Lokalizacja pierwiastków 5.2 Metoda bisekcji 5.3 Metoda iteracji 5.4 Metoda stycznych (Newtona) 5.5 Metoda

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Wstęp do matematyki. Marcin Orchel

Wstęp do matematyki. Marcin Orchel Wstęp do matematyki Marcin Orchel Spis treści 1 Ogólne działy 4 1.1 Logika...................................... 4 2 Metody numeryczne 5 2.1 Wprowadzenie do metod numerycznych................... 5 2.1.1

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu:

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu: Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracynymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksaci 3. Zbieżność

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami bezpośrednimi

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami bezpośrednimi Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami bezpośrednimi Plan wykładu:. Definicje macierzy, norm etc.. Metoda eliminacji Gaussa, Jordana. Rozkład LU metodą Gaussa. Układy równań z macierzą

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Metoda gradientu prostego

Metoda gradientu prostego Metoda gradientu prostego Metoda gradientu prostego jest pojęciem z zakresu optymalizacji matematycznej. Jest to algorytm numeryczny mający na celu znalezienie minimum zadanej funkcji celu. Jest to jedna

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego

Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego 1. Podstawiamy do równań. Tylko czwarty wektor spełnia wszystkie trzy równania.. U 1 : ( + 0x 9x 4, 7x + 8x 4, x, x 4 ), U : ( x 4, 4 x 4, + x 4, x 4 ), U : (x

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika Wykład z Technologii Informacyjnych Piotr Mika Uniwersalna forma graficznego zapisu algorytmów Schemat blokowy zbiór bloków, powiązanych ze sobą liniami zorientowanymi. Jest to rodzaj grafu, którego węzły

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci 56 Za³ó my, e twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy dodatnio okreœlonej stopnia n 1. Macierz A dodatnio okreœlon¹ stopnia n mo na zapisaæ w postaci n 1 gdzie A n 1 oznacza macierz dodatnio okreœlon¹

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich. Wykład 6 p. Rozwiazywanie układów równań. metody bezpośrednie,

Plan wykładu. Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich. Wykład 6 p. Rozwiazywanie układów równań. metody bezpośrednie, Plan wykładu Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich Wykład 6 Dr inż. Tomasz Olas olas@icis.pcz.pl Układy równań liniowych i metody ich rozwiazywania Metoda sprzężonych gradientów Macierze

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,

Bardziej szczegółowo

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów.

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. matematyka /.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. I. Przypomnij sobie:. Co to jest równanie /nierówność? Rodzaje nierówności. Ogólnie: Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014 I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1

Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1 Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 1 Wyróżniono następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 5. Numeryczne zagadnienie własne. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 5. Numeryczne zagadnienie własne. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 5. Numeryczne zagadnienie własne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Zagadnienie własne Definicja: Niech A C N N. Liczbę λ C nazywam wartościa własna macierzy

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo