AUTOMATYCZNE GENEROWANIE ESTETYCZNYCH WZORÓW ZA POMOCĄ TRANSFORMACJI GUMOWSKIEGO-MIRY KRZYSZTOF GDAWIEC, WIESŁAW KOTARSKI, AGNIESZKA LISOWSKA

Transkrypt

1 AUOMAYCZNE GENEROWANIE ESEYCZNYCH WZORÓW ZA POMOCĄ RANSFORMACJI GUMOWSKIEGO-MIRY KRZYSZOF GDAWIEC, WIESŁAW KOARSKI, AGNIESZKA LISOWSKA Uiwersytet Śląski, Istytut Iformatyki, 41 Sosowiec, ul. Będzińska 39 {kgdawiec, kotarski, Streszczeie Celem iiejszej pracy jest przedstawieie sposobu użycia jedego z dyskretych układów dyamiczych, tj. trasformacji Gumowskiego-Miry, do automatyczego geerowaia estetyczych wzorów. Zaprezetowae zostaą rówież trzy algorytmy kolorowaia otrzymaych wzorów. Przedstawioe przykłady pokazują ogrome możliwości tworzeia iepowtarzalych wzorów za pomocą zaprezetowaych algorytmów. Wygeerowae za pomocą zapropoowaego algorytmu wzory mogą zostać użyte jako wzory a tkaiy, ceramikę czy też jako podstawa do wykoaia różego rodzaju ozdób czy biżuterii. 1. Wstęp Estetyka odgrywa dużą rolę w wielu dziedziach, p. architekturze, modzie oraz projektowaiu biżuterii. Najczęściej, większość pracy przy projektowaiu wzorów jest wykoywaa przez człowieka. W przypadku, gdy wzory muszą być bardzo skomplikowae i iepowtarzale, ilość pracy przy ich tworzeiu jest bardzo duża i wymaga poświęceia zaczego czasu. W celu uproszczeia i przyspieszeia procesu projektowaia estetyczych wzorów możemy skorzystać z możliwości jakie dają am komputery oraz matematyka. W ostatich -stu latach badaia ad geometrią fraktalą skupiły dużą uwagę aukowców ze względu a duże zaczeie teoretycze oraz praktycze. Jedym z takich zastosowań praktyczych jest użycie wzorów fraktalych do automatyczego geerowaia estetyczych wzorów, p. a tkaiach [6] czy też w projektowaiu biżuterii [8]. Fraktale dają am możliwość tworzeia bardzo skomplikowaych wzorów, których ie bylibyśmy w staie stworzyć ręczie. W pracy przedstawimy sposób użycia trasformacji Gumowskiego-Miry [3] do automatyczego geerowaia estetyczych wzorów. W odróżieiu od algorytmów użytych w pracach [4],[6], gdzie rozpatrywao pojedyczą trasformację, użyjemy zbioru trasformacji oraz procesu losowego. W te sposób będziemy mogli wygeerować całkowicie owe wzory, których ie jesteśmy w staie otrzymać używając tylko jedej trasformacji. W sekcji przedstawimy podstawowe pojęcia używae w dalszej części pracy oraz zdefiiujemy trasformację Gumowskiego-Miry. Poadto przedstawimy przykładowe kształty jakie moża uzyskać stosując trasformację Gumowskiego-Miry. W sekcji 3 zaprezetujemy algorytm geerowaia wzorów. Sekcja 4 poświęcoa została przedstawieiu trzech algorytmów kolorowaia wzorów otrzymaych z algorytmu z sekcji 3. W sekcji 5 przedstawimy przykładowe kształty uzyskae za pomocą zapropoowaych algorytmów, zaś w sekcji 6 podamy wioski końcowe oraz kieruki dalszych badań.

2 Systemy wspomagaia decyzji. rasformacja Gumowskiego-Miry Zaczijmy od wprowadzeia defiicji układu dyamiczego [1]. Defiicja 1. Układem dyamiczym azywamy przekształceie metryczej ( X, d). Orbitą puktu X azywamy ciąg { } =, gdzie f : X X a przestrzei o = f f ( ) f ( ) 1443 o Ko =. (1) razy Geerując elemety orbity daego układu dyamiczego zgodie z (1) przy każdym elemecie dokoujemy obliczeń, których dokoywaliśmy przy poprzedich elemetach. akie powtarzaie obliczeń przekłada się a szybkość działaia algorytmu geerującego elemety orbity. W celu zmiejszeia ilości obliczeń zapiszmy elemet dla > w postaci: = f o ( ) = f ( f o( 1) ( )) = f ( 1 ). () Wzór () azyway jest iteracją Picarda [] i został zastosoway w dalszej części pracy do geerowaia orbit trasformacji Gumowskiego-Miry. rasformacja Gumowskiego-Miry została wprowadzoa w 198 r. w CERN-ie i służyła do opisu trajektorii ruchu przyspieszoych cząstek [3]. Jest oa zdefiiowaa astępująco: Defiicja. rasformacja Gumowskiego-Miry jest to dyskrety układ dyamiczy określoy a przestrzei R day wzorami: y = y = α( 1. 5 y + g( ), 1 ) y 1 + g( 1 ), (3) gdzie odwzorowaie g : R R dae jest wzorem: ( 1 µ ) g( ) = µ + (4) 1+ oraz α, µ R. Przy ustaloym pukcie początkowym, y ] R dla różych wartości parametrów α, µ otrzymujemy róże orbity. Podobie, jeśli ustalimy wartości parametrów α, µ i będziemy zmieiać pukt początkowy y ] [,, to rówież otrzymamy róże kształty orbit. Rys. 1 przedstawia przykłady orbit uzyskaych dla różych wartości parametrów α, µ i ustaloego, y ], zaś Rys. przedstawia przykłady odwrotej sytuacji (róże wartości, y ] i ustaloe α, µ ). Widzimy, że w pierwszym przypadku otrzymujemy o wiele ciekawsze kształty orbit oraz kształty te są bardziej zróżicowae, dlatego też algorytm geerowaia estetyczych wzorów będzie opierać się a tym przypadku.

3 K. GDAWIEC, W.KOARSKI, A. LISOWSKA, Automatycze geerowaie Rys. 1. Przykłady orbit trasformacji Gumowskiego-Miry dla ustaloego puktu, y ] = [,. 5] i różych wartości parametrów α, µ. Góra (od lewej): α 1 =. 1, µ 1 =. 1, α =, µ =. 759, α 3 =, µ 3 =. 31. Dół (od lewej): α 4 =, µ 4 =. 15, α 5 =, µ 5 =. 34, α 6 =, µ 6 =. 4. Rys.. Przykłady orbit trasformacji Gumowskiego-Miry dla ustaloych wartości parametrów α =, µ =. 71 (góra), α =, µ =. 74 (dół) i różych puktów początkowych, y ]. Góra (od lewej): [ 1, 1], [ 5, ], [ 1, 4]. Dół (od lewej): [ 1, 1], [ 1, 4], [1,9]. 3. Algorytm geerowaia wzorów W propoowaym algorytmie używamy k trasformacji Gumowskiego-Miry. Każdej z tych k trasformacji przypisujemy prawdopodobieństwo wylosowaia w procesie losowym. Wszystkie prawdopodobieństwa muszą sumować się do 1. Oprócz trasformacji i prawdopodobieństw dae są

4 Systemy wspomagaia decyzji pukt startowy oraz liczba puktów, z których ma się składać wygeeroway wzór. Sam algorytm wygląda astępująco: Dae: pukt startowy, y ], N - liczba iteracji, f, K 1, f - k trasformacje Gumowskiego-Miry, f i : R R, dla i = 1K,, k p, K 1, p - k prawdopodobieństwa, Wyik: ciąg puktów k p i = 1 oraz p i > dla i = 1K,, k. i= 1, y ], K,[, y ] tworzących wzór. 1. Dla i = 1K,, a. Wylosuj liczbę j { 1, K, k} zgodie z rozkładem prawdopodobieństwa p, K, p }, b., y ] = f (, y ] ). [ i i j i 1 i 1 { 1 k 4. Algorytmy kolorowaia Algorytm z sekcji 3 geeruje jedyie geometrię wzoru. Z puktu widzeia estetyki ie tylko geometria, ale rówież i kolor gra dużą rolę. Jeśli użyjemy złej palety kolorów lub też rozkład kolorów a wzorze będzie ieodpowiedi, to pomimo, iż kształt będzie bardzo ciekawy, może wydać się ieestetyczy. Dlatego też wprowadziliśmy rówież trzy algorytmy kolorowaia za pomocą, których adawae są kolory poszczególym puktom, używając daej mapy kolorów (tablica z kolorami). W pierwszym z algorytmów kolorowaia do określaia koloru puktu używamy odległości tego puktu od środka ajmiejszego prostokąta otaczającego dae pukty. Algorytm wygląda astępująco: Dae:, y ], K,, y ], mapa kolorów rgb [.. K 1] R kolorów, d : R R [, + ) - metryka. Wyik: kolory c, K,c., K - liczba 1. Wyzacz miimaly prostokąt ograiczający dae pukty. Niech c, y c ] ozacza jego środek, a D ozacza połowę długości przekątej tego prostokąta.. Dla i =, K, d([ c, yc ],i, yi ] ) a. j = ( K 1), D b. c i = rgb[ j]. W drugim algorytmie do określeia koloru puktu zamiast odległości używamy umeru iteracji (umeru puktu), a algorytm wygląda astępująco: Dae:, y ], K,, y ] R, mapa kolorów rgb [.. K 1], K - liczba kolorów. Wyik: kolory c, K,c.

5 K. GDAWIEC, W.KOARSKI, A. LISOWSKA, Automatycze geerowaie 1. Dla i =, K, i a. j = ( K 1), b. c i = rgb[ j]. Ostati, trzeci algorytm to tzw. algorytm mieszay, w którym kolor puktu określa się korzystając z dwóch poprzedich algorytmów, tj. wyzaczay jest jako średia arytmetycza tych kolorów. Algorytm mieszay ma astępującą postać: Dae:, y ], K,, y ], mapa kolorów rgb [.. K 1] R kolorów, d : R R [, + ) - metryka. Wyik: kolory c, K,c., K - liczba 3. Wyzacz miimaly prostokąt ograiczający dae pukty. Niech c, y c ] ozacza jego środek, a D ozacza połowę długości przekątej tego prostokąta. 4. Dla i =, K, 1 d([ c, yc ],i, yi ] ) i c. j = ( K 1)( + ), D d. c i = rgb[ j]. 5. Przykłady We wszystkich zaprezetowaych przykładach użyliśmy tylko jedej mapy kolorów składającej się z odciei szarości (Rys. 3). Jest to spowodowae tym, że druk jest czaro-biały i użycie iych map kolorów ie dałoby żadego zauważalego efektu. Z tego też powodu ie jesteśmy w staie zobaczyć pełi możliwości jakie dają am zapropoowae algorytmy kolorowaia. Rys. 3. Mapa kolorów użyta we wszystkich przykładach. Zaczijmy od przykładu (Rys. 4) prezetującego użycie algorytmów kolorowaia a wzorach z Rys. 1.

6 Systemy wspomagaia decyzji Rys. 4. Przykłady użycia algorytmów kolorowaia (od lewej): z użyciem odległości, z użyciem umeru iteracji, mieszae. Rys. 5 i 6 prezetują użycie algorytmu geerowaia wzorów z sekcji 3 pokolorowaych za pomocą algorytmów kolorowaia z sekcji 4. Do geerowaia użyto dwóch trasformacji Gumowskiego-Miry z różymi wartościami prawdopodobieństw, zaś do kolorowaia użyto poowie mapy kolorów składającej się z odciei szarości. Rys. 5. rasformacje Gumowskiego-Miry użyte do geerowaia wzorów (góra). Wygeerowae wzory (dół).

7 K. GDAWIEC, W.KOARSKI, A. LISOWSKA, Automatycze geerowaie Rys. 6. rasformacje Gumowskiego-Miry użyte do geerowaia wzorów (góra). Wygeerowae wzory (dół). Po wygeerowaiu puktów wzoru ie tylko możemy wyrysować te pukty ale możemy rówież je połączyć za pomocą liii. Połączyć możemy koleje pukty tworząc tym samym łamaą lub możemy łączyć pukty opuszczając iektóre z ich. Rys. 7 przedstawia przykłady wzorów powstałych przez połączeie liiami puktów wygeerowaych za pomocą algorytmu z sekcji 3. Rys. 7. rasformacje Gumowskiego-Miry użyte do geerowaia wzorów (góra). Wzory otrzymae z łączeia puktów liiami (dół).

8 Systemy wspomagaia decyzji 6. Wioski i dalsze badaia W pracy przedstawiliśmy sposób w jaki moża wykorzystać trasformację Gumowskiego- Miry do geerowaia estetyczych wzorów. W odróżieiu od metod z literatury [4],[6] zapropooway algorytm ie używa jedej trasformacji lecz ich zbioru oraz procesu losowego. Używając zapropoowaego sposobu geerowaia wzorów jesteśmy w staie otrzymać całkowicie owe, iepowtarzale wzory. Poadto, dodając do wygeerowaych wzorów kolor, za pomocą jedego z trzech zapropoowaych algorytmów, jesteśmy w staie polepszyć walory estetycze tych wzorów. Wszystkie otrzymae wzory moża użyć jako wzory a tkaiach, ceramice czy też jako podstawę do wykoaia biżuterii lub różych ozdób, p. choikowych. W dalszych badaiach będziemy chcieli się skupić a użyciu iych układów dyamiczych, których orbity tworzą ciekawe kształty. Przykłady takich układów dyamiczych moża zaleźć w [5]. Poadto zamiast iteracji Picarda będziemy chcieli użyć bardziej ogólych typów iteracji, p. Maa lub Ishikawa y, które używae są do aproksymacji puktów stałych []. Nie wszystkie otrzymae wzory możemy uzać za estetycze. Stąd też prowadzoe będą rówież badaia ad możliwością automatyczej ocey czy day wzór może zostać uzay za estetyczy czy ie. Próby stworzeia takiego systemu ocey możemy zaleźć w [7],[8]. Bibliografia [1] Barsley, M.: Fractals Everywhere. Academic Press, Bosto (1988). [] Beride, V.: Iterative Approimatio of Fied Poits. d Editio, Spriger-Verlag, Berli Heidelberg (7). [3] Gumowski, I., Mira, C.: Recurreces ad Discrete Dyamic Systems. Spriger-Verlag, New York (198). [4] Maallem, H.B., Richard, P., Ferrier, J.-L., Labib, A.: Usig Gumowski-Mira Maps for Artistic Creatio. w: Proceedigs 1th Geerative Art Coferece, pp (9). [5] Morozov, A.D., Draguov,.N., Boykova, S.A., Malysheva, O.V.: Ivariat Sets for Widows. World Scietific (1999). [6] Naud, M., Richard, P., Chapeau-Blodeau, F., Ferrier, J.L.: Automatic Geeratio of Aesthetic Images for Computer-assisted Virtual Fashio Desig. w: Proceedigs 1th Geerative Art Coferece, Mila, Italy (7). [7] Pag, W., Hui, K.C.: Iteractive Evolutioary 3D Fractal Modelig. Visual Computer, 6(1), pp (1). [8] Waarumo, S., Bohem, E.L.J.: A New Aesthetic Evolutioary Approach for Jewelry Desig. Computer-Aided Desig & Applicatios, 3(1-4), pp (6).