METODY GENEROWANIA ESTETYCZNYCH WZORÓW WIESŁAW KOTARSKI, KRZYSZTOF GDAWIEC, AGNIESZKA LISOWSKA
|
|
- Izabela Wilczyńska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 METODY GENEROWANIA ESTETYCZNYCH WZORÓW WIESŁAW KOTARSKI, KRZYSZTOF GDAWIEC, AGNIESZKA LISOWSKA Zakład Modelowaia i Grafiki Komputerowej, Istytut Iformatyki, Uiwersytet Śląski {kotarski, kgdawiec, alisow}@u.math.us.edu.pl Streszczeie W pracy przedstawioo wybrae metody geerowaia estetyczych wzorów za pomocą komputera. Do prezetacji wybrao trzy metody oparte a różych podejściach: systemach dyamiczych, biomorfach oraz wielomiaografii, które geerują szerokie spektrum wzorów o dużych potecjalych możliwościach ich praktyczego zastosowaia. Wzory geerowae automatyczie, a podstawie wybraych metod, mogą staowić ispirację dla grafików komputerowych. Poadto, metody te wzbogacoe dodatkowo o formale kryteria oceiające miarę estetyki geerowaych wzorów takie jak: złożoość, symetrie, zwartość, spójość, wymiar fraktaly, mogą tworzyć podstawę systemu geerującego automatyczie wzory o zadaych przez użytkowika parametrach estetyczych.. Wstęp Wzory o walorach estetyczych używae są w wielu dziedziach, p. w architekturze, zdobieiu tkai, jako motywy dekoracyje a tapetach, kafelkach czy przy projektowaiu biżuterii. Najczęściej te iepowtarzale wzory są dziełem artysty malarza, czy grafika. Jego gust i smak artystyczy zapewiają zazwyczaj wysoką jakość estetyczą wykoaych wzorów i pozytywy odbiór ich przez użytkowików. Proces tworzeia takich wzorów ręczie jest długotrwały. Istieje więc aturala potrzeba przyśpieszeia tego procesu przez wykorzystaie możliwości jakie dają komputery w połączeiu z matematyką. Niepowtarzale wzory estetycze mogą być geerowae za pomocą fraktali [], superfraktali [], metod podziału [7], L-systemów [6], automatów komórkowych, systemów dyamiczych [], iteracji fukcji zmieej zespoloej, w szczególości prowadzących do zbioru Madelbrota [], zbiorów Julii [], biomorfów [5], wielomiaografii [9]. Niektóre z wymieioych metod moża dodatkowo wyposażyć w mechaizm ewolucyjy przez zastosowaie algorytmów geetyczych do modyfikacji wzorów [7]. Spośród wielu metod do automatyczego geerowaia wzorów autorzy artykułu do dokładiejszej aalizy wybrali tylko trzy metody: oparte a systemach dyamiczych, biomorfach i wielomiaografii. Każda z ich geeruje iepowtarzale charakterystycze wzory, które są istotie wizualie róże przy zastosowaiu różych metod. Wygeerowae wzory często moża uzać za estetycze czyli w potoczym zaczeiu tego słowa za łade. W tym miejscu ależy podkreślić, że pojęcie estetyki jest pojęciem subiektywym. To co dla iektórych jest łade, iym się ie podoba i odwrotie. Wartości estetycze zależą od gustu i smaku artystyczego, które ie są łatwe do zdefiiowaia. Pomimo tych trudości Birkhoff w 9 roku podjął pierwszą próbę sformalizowaia estetyki []. Późiejsze prace, p. [, 7] opierają miary estetyki a złotym podziale, symetrii (spiralej, zwierciadlaej), złożoości, zwartości, spójości, wymiarze fraktalym. Uwzględiają też rolę barwy i dobór palety. Miara estetyki budowaa jest statystyczie dla daego zbioru wzorów i ich oce uzyskaych od ekspertów oceiających te wzory. Dzięki takiemu statystyczemu podejściu udaje się uzyskać a podstawie
2 aalizy regresji ieliiowy model wartości estetyczej, który może być użyty do ocey wartości estetyczych wzorów geerowaych automatyczie. Podejście to ma oczywiste wady. Jedą z ich jest zależość modelu miary estetyki od metody wybraej do geerowaia wzorów. Przy tych rozważaiach ależy też wspomieć, że estetyka muzyki dzięki jej formalizacji za pomocą zapisu utowego jest zaczie łatwiejsza w oceie w porówaiu z estetyką obrazów. Układ pracy jest astępujący: w podrozdziale omówioo systemy dyamicze i przedstawioo przykładowe wzory wygeerowae za ich pomocą. Podrozdział poświecoy jest biomorfom i ich przykładowym obrazom. W podrozdziale zaprezetowao mało rozpowszechioą w Polsce wielomiaografię, metodę geerowaia wzorów o przewidywalej postaci opatetowaą w USA w 5 roku. Zamieszczoo też kilka przykładowych wielomiaografów. Podrozdział 5 jest podsumowaiem, w którym wskazao kieruek dalszych badań autorów artykułu.. Systemy dyamicze Przez system dyamiczy rozumiemy przekształceie f metryczej ( X, d), zaś orbitą puktu X azywamy ciąg wzorem: { } = : X X a przestrzei, utworzoy zgodie ze =, () o o( ) = f ( ) = f ( f ( )) = f ( ), >. Wzór określa tzw. iterację Picarda. W literaturze [,,] moża zaleźć wiele różych systemów dyamiczych, których trajektorie tworzą wzory geometrycze o walorach estetyczych. Przykładami takich systemów są: trasformacja Gumowskiego-Miry, trasformacja Zaslavsky iego, trasformacje Martia czy Petersa. Do dalszych rozważań zostaą wybrae dwa systemy dyamicze określoe a płaszczyźie:. Trasformacja Gumowskiego-Miry: y = y = + α(.5y + g( ), ) y + g( ), () gdzie odwzorowaie g : R R dae jest wzorem: ( ) g( ) = + () + oraz α, R.. Trasformacja Zaslavsky iego: y = ( + K si y ) cosα + y siα, ( + K si y ) siα + y cosα, = () π gdzie K R, α =, q N, q. q
3 Przy ustaloym pukcie początkowym [, y ] T R dla różych wartości parametrów w trasformacjach Gumowskiego-Miry czy Zaslavsky iego otrzymuje się róże orbity, które tworzą iteresujące wzory geometrycze jak te pokazae a rys i rys.. T T [, y ] [,.5] α =., =., α =, =. 759, =, =. 5 =, 5 =. 6 =, 6 = Rys.. Przykłady orbit trasformacji Gumowskiego-Miry dla ustaloego puktu = i różych wartości parametrów α,. Góra (od lewej): α =, =.. Dół (od lewej): α 5, α,. α. Rys.. Przykłady orbit trasformacji Zaslavsky iego dla ustaloego puktu wartości parametrów T T [, y ] [,.5] = 5, q = K = 8, q = K 6 = 5, q 6 =. = i różych K, q. Góra (od lewej): K =.5, q, K 6, lewej): =, q 5 = K =, K 5 =, q 5 =, 5. Dół (od Obrazy orbit moża geerować a podstawie jedego systemu dyamiczego zmieiając pukty startowe i/lub jego parametry. Moża rówież wprowadzić pewą modyfikację do procesu
4 geerowaia orbit polegającą a losowym mieszaiu kilku używaych trasformacji (tych samych z różymi parametrami, bądź różych) w poszczególych krokach iteracyjych. Zmiaa trasformacji, ich parametrów oraz prawdopodobieństw wyboru ie zakłóca często zbieżości procesu geerowaia trajektorii i prowadzi do zwiększeia bogactwa otrzymywaych wzorów. Przykładowe orbity powstałe w opisay sposób przedstawia rys.. Surowa geometria otrzymaych wzorów może być dodatkowo wzbogacoa przez zastosowaie różych palet barwych, jak to pokazao przykładowo w [5, 6]. Rys.. Przykłady orbit otrzymaych podczas losowego mieszaia trasformacji Gumowskiego-Miry i trasformacji Zaslavsky iego.. Biomorfy Biomorfy zostały odkryte przez Pickovera w 986 roku [5]. Termi biomorf pochodzi od agielskiego słowa biomorph, które jest skrótem od termiu biological morphologies co ozacza formy biologicze przypomiające orgaizmy żywe. Dokładiej biomorfy, które powstają w wyiku iteracji pewych fukcji zmieej zespoloej przypomiają bezkręgowe orgaizmy żywe z widoczymi orgaami wewętrzymi tzw. orgaelami. Związek między biomorfami i tworzącymi je fukcjami był tak zaskakujący, że Pickover był przekoay o odkryciu Praw Natury, które determiują wygląd orgaizmów żywych. Wystarczyło więc tylko pozać fukcję, by w wyiku iteracji otrzymać orgaizm żywy. W podejściu tym było więcej mistyki iż auki. Mimo tego biomorfy są z pewością obiektami graficzymi o iezwykle ciekawych kształtach. Przedstawimy w jaki sposób powstają biomorfy. Niech f : C C będzie pewą fukcją zespoloą z parametrem C. Przyjmując z C jako waruek początkowy moża zdefiiować astępujący ciąg: z z = z, = f o ( z ) = f ( f ( z )) = K = f ( z) >,. (5)
5 Ciąg { z } może być zbieży lub rozbieży w zależości od z i parametru. Poieważ = ie jesteśmy w staie wykoać ieskończeie wielu iteracji, więc Pickover ustalił maksymalą liczbę iteracji K i przyjął, że ciąg z dla daych z i jest zbieży jeśli dla pewego k K zachodzi waruek: Re z < r lub Im z r, (6) k k < gdzie r R jest dae. Jeśli zaś po K iteracjach żade z elemetów ciągu z ie spełiał tego waruku, to wówczas przyjął, że ciąg jest rozbieży. Jeśli dla puktu z ciąg okazywał się zbieży, to jego kolor ustalao a podstawie umeru iteracji, dla której został spełioy waruek. Zaś jeśli ciąg okazywał się rozbieży, to przyjmowao pewie z góry ustaloy kolor. Na rys. przedstawioo przykładowe biomorfy otrzymae za pomocą iteracji różych fukcji z różymi wartościami parametrów. Orygiale barwy a rysuku zostały zamieioe a poziomy szarości tracąc przy tym iezwykłe pięko biomorfów. Rys.. Przykłady biomorfów. W przykładach użyto K = 5 oraz fukcji f ( z) = z +, 5 f ( z) = z + si z +, f ( z) = z + z +, f ( z) = e + si z +. Góra (od lewej): fukcja f z = i oraz r =, fukcja f z = oraz r =, fukcja f z =.5 +.5i oraz r =. Dół (od lewej): fukcja f z = oraz r =, fukcja f z = i oraz r =, fukcja f z = i oraz r =.. Wielomiaografia Wielomiay odgrywają ważą rolę w wielu działach matematyki. Są oe iteresujące ie tylko z teoretyczego, ale rówież z praktyczego puku widzeia. Sumerowie lat p..e., a także późiej starożyti Grecy atkęli się a problemy praktycze, które we współczesym języku matematyki są reprezetowae jako problemy zajdowaia pierwiastków wielomiaów. Newto zapropoował metodę przybliżoego zajdowaia pierwiastków wielomiaów defiiującą ciąg przybliżeń. Caley w 879 roku, aalizując zachowaie metody Newtoa do rozwiązywaia
6 rówaia z = a płaszczyźie zespoloej zauważył, że zalezioy pierwiastek zależy od puktu startowego z, a poadto ciąg przybliżeń { z } ie zawsze jest zbieży. Rozwiązaie = problemu Caley a w 99 roku przez Julie doprowadziło do odkrycia zbiorów Julii, a astępie w latach 7-tych XX wieku do odkrycia przez Madelbrota fraktali, w tym słyego zbioru azwaego jego azwiskiem. Ostatim odkryciem w historii zajdowaia pierwiastków wielomiaów było wprowadzeie do auki przez Kalatariego [8, 9] tzw. wielomiaografii (ag. polyomiography). Wielomiaografia ozacza wizualizację procesu zajdowaia pierwiastków wielomiaów zmieej zespoloej za pomocą metody Newtoa, Halley a, bądź iych metod wyższego rzędu, w szczególości metod ależących do tzw. Rodziy Podstawowej (ag. Basic Family) [9]. Pojedyczy obraz, który powstaje za pomocą wielomiaografii Kalatarii azwał wielomiaografem (ag. polyomiograph). Wielomiaografia, łącząca matematykę ze sztuką, tworząca grafiki o walorach estetyczych została opatetowaa w USA w 5 roku. Zarówo fraktale, jak i wielomiaografy geerowae są za pomocą iteracji. Kształty fraktali zdetermiowae są przez iewielką liczbę współczyików, p. przez współczyiki układu IFS (ag. Iterated Fuctio System). Kształt fraktali trudo zmieiać w sposób przewidywaly. Fraktale są obiektami samopodobymi, mają złożoą strukturę i są iezależe od rozdzielczości. Wielomiaografy są ie pod tym względem. Ich kształt może być zmieiay w sposób bardziej przewidywaly w przeciwieństwie do typowych fraktali. Większa elastyczość wielomiaografii przy geerowaiu obrazów wyika z astępujących faktów. Wielomia p stopia : p( z) = a a z + a z + K + az + (7) a podstawie Zasadiczego Twierdzeia Algebry ma pierwiastków. Wielomia p jest dobrze zdefiioway przez zbiór współczyików { a, a, K, a, a }, bądź za pomocą swoich pierwiastków. Zatem stopień wielomiau wyzacza liczbę baseów przyciągaia do jego pierwiastków. Base przyciągaia dla daego pierwiastka z utworzoy jest przez zbiór puktów startowych z, z których ciąg przybliżeń zbiega do z. Zmiaa położeia pierwiastków a płaszczyźie zespoloej prowadzi do zmiay kształtów ich baseów przyciągaia, co w rezultacie zmieia kształt wielomiaografu przedstawiającego proces wizualizacji przybliżoego rozwiązaia rówaia p ( z) =. Zazwyczaj wielomiaografy są kolorowae w zależości od liczby iteracji potrzebych do osiągięcia zadaej dokładości wyzaczeia pierwiastka wielomiau p oraz wybraej metody iteracyjej. Szczegółowy opis podstaw teoretyczych wielomiaografii oraz jej zastosowań praktyczych przedstawioo w [8, 9]. Podsumowując, a wielomiaografię moża patrzeć jako a teorię i zarazem arzędzie wizualizacji procesu zajdowaia pierwiastków wielomiaów o współczyikach zespoloych. Wielomiaografia ma wiele zastosowań w edukacji, matematyce, auce i sztuce. Przypomijmy, że metoda Newtoa dla daego wielomiau p jest opisaa astępującą zależością: gdzie z jest puktem startowym a płaszczyźie zespoloej. p( z) z + = z, =,,, K, (8) p ( z )
7 Ciąg { } = z może być zbieży do pierwiastka wielomiau p, bądź ie. Zbieżość ozacza, że po pewej liczbie iteracji k zajduje się przybliżeie pierwiastka z z zadaą dokładością ε. Pukty startowe z przyjmują barwę związaą z liczbą wykoaych iteracji. Przykładowe wielomiaografy przedstawioo a rys. 5. Rys. 5. Przykładowe wielomiaografy. Okazuje się, że w bardzo prosty sposób moża wizualizować wybrae klasy macierzy za pomocą wielomiaografii, w szczególości a przykład macierze permutacyje tz. takie, które w Π = każdym wierszu i każdej kolumie mają tylko po jedym elemecie rówym. Niech ( ) będzie macierzą permutacyją o wymiarach. Z każdą macierzą permutacyją moża powiązać jedozaczie wielomia o współczyikach zespoloych w astępujący sposób. i, macierzy Π przypisujemy Θ = i ji, gdzie i =. Następie, używając Elemetowi ( j) macierzy Π kostruujemy macierz = ( π ij ) ij + Π, taką że π ij = π j( + i ). Macierz Π przypomia macierz traspoowaą do Π. Różi się jedak od iej tym, że i-ty wiersz macierzy Π odpowiada i-tej kolumie macierzy traspoowaej o elemetach ułożoych wspak, tz. od dołu do góry. Wielomia zespoloy stowarzyszoy z macierzą Π ma postać []: p Π ( z) = π ij = Przykładowo, dla macierzy permutacyjych mamy: π ij ( z Θ ).. (9) ij p Π Π =, Π =, Π =,, Π = ( ). ( z) = ( z ( + i ))( z ( + i) ), p ( z) = ( z ( + i) ) z ( + i) Π ()
8 Na rys.6 przedstawioo wielomiaografy dla macierzy permutacyjych Π, Π. Wyraźie widocza jest występująca symetria w macierzach permutacyjych i odpowiadającym im wielomiaografom. Więcej wielomiaografów o walorach estetyczych moża zaleźć w [8, 9] oraz w galerii prezetowaej a stroie Rys. 6. Wielomiaografy odpowiadające macierzom Π,Π. 5. Wioski i dalsze badaia W pracy przedstawioo przykładowe wzory uzyskiwae za pomocą iteracji wykorzystując trzy wybrae metody: systemy dyamicze, biomorfy oraz wielomiaografię. Każda z wymieioych metod geeruje różiące się od siebie wzory, ale takie że po wygeerowaych wzorach moża rozpozać użytą metodę do ich wytworzeia. Wygeerowae wzory odzaczają się walorami estetyczymi. Tak więc mogą staowić ispirację dla grafików komputerowych przy realizacji projektów związaych z automatyczym tworzeiem estetyczych wzorów użytkowych o różych zastosowaiach. Autorzy pracy plaują dalsze badaia ad możliwością wprowadzeia miar oceiających estetykę tworzoych wzorów w sposób automatyczy. W przyszłości mógłby więc powstać system, który zwracałby wzory o żądaych przez użytkowika parametrach estetyczych takich jak symetria, złożoość, wymiar fraktaly. Iteresującym kierukiem badań jest zastąpieie iteracji Picarda przez iterację Maa lub Ishikawy []. W przypadku metody opartej a systemach dyamiczych autorzy w pracy [6] stosując iterację Krasosielskiego (szczególy przypadek iteracji Maa) uzyskali istote rozszerzeie zbioru geerowaych wzorów, szczególie w przypadku mieszaych systemów dyamiczych. Iteracje Maa i Ishikawy zastosowae do metody Newtoa, jak pokazują wstępe eksperymety, tworzą zaczie różiące się wielomiaografy w porówaia z tymi, które powstawały w oparciu o iterację Picarda. Podobe efekty związae ze zmiaą typu iteracji powio się uzyskać rówież w przypadku biomorfów. Bibliografia [] Barsley, M.: Superfractals. Cambridge Uiversity Press, New York, Melboure (6) [] Beride, V.: Iterative Approimatio of Fied Poits, d Editio. Spriger-Verlag, Berli Heidelberg (7) [] Birkhoff, G.: Aesthetic Measure. Harvard Uiversity Press, UK (9) [] Gumowski, I., Mira, C.: Recurreces ad Discrete Dyamic Systems. Spriger-Verlag, New York (98) [5] Gdawiec, K., Kotarski, W., Lisowska, A.: Automatycze Geerowaie Estetyczych Wzorów za Pomocą Trasformacji Gumowskiego-Miry. Systemy Wspomagaia Decyzji, Katowice, pp. 9-6 ()
9 [6] Gdawiec, K., Kotarski, W., Lisowska, A.: Automatic Geeratio of Aesthetic Patters with the Use of Dyamical Systems, LNCS, vol. 699, pp () [7] Goldma, R.: Computer Graphics, A Itegrated Itroductio to Computer Graphics ad Geometric Modelig, Chapma & Hall/CRC (9) [8] Kalatari, B.: Polyomiography: From Fudametal Theorem of Algebra to Art. Leoardo 8(), pp. -9 (5) [9] Kalatari, B.: Polyomial Root-Fidig ad Polyomiography. World Scietific, Sigapore (9) [] Kalatari, B.: Alteratig Sig Matrices ad Polyomiography. The Electroic Joural of Combiatorics 8(), pp. - () [] Maallem, H.B., Richard, P., Ferrier, J.-L., Labib, A.: Usig Gumowski-Mira Maps for Artistic Creatio. Proceedigs th Geerative Art Coferece, pp. 8-5 (9) [] Madelbrot, B.: The Fractal Geometry of Nature. Freema ad Compay, Sa Fracisco (98) [] Morozov, A.D., Draguov, T.N., Boykova, S.A., Malysheva, O.V.: Ivariat Sets for Widows. World Scietific (999) [] Naud, M., Richard, P., Chapeau-Blodeau, F., Ferrier, J.L.: Automatic Geeratio of Aesthetic Images for Computer-assisted Virtual Fashio Desig. Proceedigs th Geerative Art Coferece, Mila, Italy (7) [5] Pickover, C.A.: Biomorphs: Computer Displays of Biological Forms Geerated from Mathematical Feedback Loops. Computer Graphics Forum 5(), pp. -6 (986) [6] Prusikiewicz, P., Lidemayer A.: The Algorithmic Beauty of Plats. Spriger, New York (99) [7] Waarumo, S., Bohem, E.L.J.: A New Aesthetic Evolutioary Approach for Jewelry Desig. Computer-Aided Desig & Applicatios, (-), pp (6)
AUTOMATYCZNE GENEROWANIE ESTETYCZNYCH WZORÓW ZA POMOCĄ TRANSFORMACJI GUMOWSKIEGO-MIRY KRZYSZTOF GDAWIEC, WIESŁAW KOTARSKI, AGNIESZKA LISOWSKA
AUOMAYCZNE GENEROWANIE ESEYCZNYCH WZORÓW ZA POMOCĄ RANSFORMACJI GUMOWSKIEGO-MIRY KRZYSZOF GDAWIEC, WIESŁAW KOARSKI, AGNIESZKA LISOWSKA Uiwersytet Śląski, Istytut Iformatyki, 41 Sosowiec, ul. Będzińska
Bardziej szczegółowoFraktale. Definicja ogólna. fraktala. w naturze. Samopodobieństwo. w naturze. Śnieżynka von Kocha
Defiicja ogóla fraktala Fraktale dr iż.. Piotr Steć Fraktalem azywamy obiekt, który wykazuje cechy dokładego lub statystyczego podobieństwa Fraktal jest obiektem, którego wymiar jest ułamkiem Słowo fraktal
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoFraktale - ciąg g dalszy
Fraktale - ciąg g dalszy Koleja próba defiicji fraktala Jak Madelbrot zdefiiował fraktal? Co to jest wymiar fraktaly zbioru? Układy odwzorowań iterowaych (IFS Przykład kostrukcji pewego zbioru. Elemety
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Wprowadzeie. Przy przejśiu światła z jedego ośrodka do drugiego występuje zjawisko załamaia zgodie z prawem Selliusa siα
Bardziej szczegółowoWprowadzenie. metody elementów skończonych
Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoVII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.
KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoMetoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.
Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoStruktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)
Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoWIELOMIANOGRAFIA WYŻSZYCH RZĘDÓW Z ITERACJAMI MANNA I ISHIKAWY KRZYSZTOF GDAWIEC, WIESŁAW KOTARSKI, AGNIESZKA LISOWSKA
WIELOMIANOGRAFIA WYŻSZYCH RZĘDÓW Z ITERACJAMI MANNA I ISHIKAWY KRZYSZTOF GDAWIEC, WIESŁAW KOTARSKI, AGNIESZKA LISOWSKA Uniwersytet Śląski, Instytut Informatyki, Zakład Modelowania i Grafiki Komputerowej,
Bardziej szczegółowoLaboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1
1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assigmet Problem) Bliskim "krewiakiem" ZT (w sesie podobieństwa modelu decyzyjego) jest zagadieie
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera
Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 10/11. Holografia syntetyczna - płytki strefowe.
Ćwiczeie 10/11 Holografia sytetycza - płytki strefowe. Wprowadzeie teoretycze W klasyczej holografii optyczej, gdzie hologram powstaje w wyiku rejestracji pola iterferecyjego, rekostruuje się jedyie takie
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoBADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI
StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoFundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -
TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarowe
Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoHarmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki
52 Sławomir Herma Sławomir HERMA atedra Iżyierii Produkcji, ATH w Bielsku-Białej E mail: slawomir.herma@gmail.com Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia cyfrowej fabryki Streszczeie: W
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoWYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH
WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH. WSTĘP Coraz doskoalsze, szybsze i pojemiejsze pamięci komputerowe pozwalają gromadzić i przetwarzać coraz większe ilości iformacji. Systemy baz daych staowią więc jedo
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium
Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowo8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych
8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoJak skutecznie reklamować towary konsumpcyjne
K Stowarzyszeie Kosumetów Polskich Jak skuteczie reklamować towary kosumpcyje HALO, KONSUMENT! Chcesz pozać swoje praw a? Szukasz pomoc y? ZADZWOŃ DO INFOLINII KONSUMENCKIEJ BEZPŁATNY TELEFON 0 800 800
Bardziej szczegółowo1.3. Największa liczba naturalna (bez znaku) zapisana w dwóch bajtach to a) b) 210 c) d) 32767
Egzami maturaly z iformatyki Zadaie. (0 pkt) Każdy z puktów tego zadaia zawiera stwierdzeie lub pytaie. Zazacz (otaczając odpowiedią literę kółkiem) właściwą kotyuację zdaia lub poprawą odpowiedź. W każdym
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Laboratorium 5 Info
Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoINWESTYCJE MATERIALNE
OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE WYKRESÓW CZTEROPOLOWYCH W BADANIACH SPOŁECZNO-EKONOMICZNYCH 1
Agieszka Staimir Uiwersytet Ekoomiczy we Wrocławiu WYKORZYSTANIE WYKRESÓW CZTEROPOLOWYCH W BADANIACH SPOŁECZNO-EKONOMICZNYCH 1 Wprowadzeie W badaiach społeczo-ekoomiczych bardzo często występują zmiee
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoTwoja firma. Podręcznik użytkownika. Aplikacja Grupa. V edycja, kwiecień 2013
Twoja firma Podręczik użytkowika Aplikacja Grupa V edycja, kwiecień 2013 Spis treści I. INFORMACJE WSTĘPNE I LOGOWANIE...3 I.1. Wstęp i defiicje...3 I.2. Iformacja o możliwości korzystaia z systemu Aplikacja
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
NIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORT ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E13 BADANIE ELEMENTÓW
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoPrzemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
MODELE SCORINGU KREDYTOWEGO Z WYKORZYSTANIEM NARZĘDZI DATA MINING ANALIZA PORÓWNAWCZA Przemysław Jaśko Wydział Ekoomii i Stosuków Międzyarodowych, Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie 1 WROWADZENIE Modele aplikacyjego
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy
Bardziej szczegółowoPrzejście światła przez pryzmat i z
I. Z pracowi fizyczej. Przejście światła przez pryzmat - cz. II 1. Przejście światła przez pryzmat. Kąt odchyleia. W paragrafie 8.10 trzeciego tomu e-podręczika opisao bieg światła moochromatyczego w pryzmacie.
Bardziej szczegółowo