Elementy algebry i analizy matematycznej II

Transkrypt

1 Element algebr i analiz matematcznej II Wkład 1. Ekstrema unkcji dwóch zmiennch Deinicja 1 Funkcja dwóch zmiennch, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu (, ), tj. zbiór {(, ): h < < + h, h < < +h}, że dla wszstkich punktów (, ) należącch do tego otoczenia (, ) (, ). Rs. 1 Maksimum unkcji dwóch zmiennch Deinicja Funkcja dwóch zmiennch, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), minimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu (, ), że dla wszstkich punktów (, ) należącch do tego otoczenia (, ) (, ). Podobnie jak dla unkcji jednej zmiennej, do wznaczania punktów, w którch unkcja z = (, ) osiąga maksima lokalne można użć pochodnch, z tm że teraz będą to pochodne cząstkowe. Przpomnijm, że pochodna unkcji jednej zmiennej, = (), w punkcie =, bła równa tangensowi kąta nachlenia stcznej do wkresu unkcji w tm punkcie do osi OX, czli współcznnikowi kierunkowemu tej stcznej. KB 16/17 Strona 1/5

2 Element algebr i analiz matematcznej II Interpretacja geometrczna pochodnch cząstkowch: Pochodna cząstkowa, unkcji, z = (, ), w punkcie (, ), jest równa tangensowi kąta nachlenia równoległej do płaszczzn ZOX stcznej do wkresu tej unkcji w punkcie (, ), do płaszczzn XOY. Pochodna cząstkowa, unkcji, z = (, ), w punkcie (, ), jest równa tangensowi kąta nachlenia równoległej do płaszczzn ZOY stcznej do wkresu tej unkcji w punkcie (, ), do płaszczzn XOY. Rsunek przedstawia obie te stczne wstawione w ekstremach lokalnch. Rs. Stczne do wkresu unkcji dwóch zmiennch w ekstremach lokalnch Widzim, że prawdziwe jest następujące twierdzenie: Twierdzenie 1 Jeżeli unkcja, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), ekstremum lokalne, to oraz Warunek zawart w powższm twierdzeniu nazwam warunkiem koniecznm istnienia ekstremum lokalnego unkcji z = (, ) w punkcie z = (, ). KB 16/17 Strona /5

3 Element algebr i analiz matematcznej II lokalnego w punkcie z = (, ). Zatem, jeżeli lub Deinicja 3 Punkt (, ), w którm oraz unkcji z = (, )., to unkcja z = (, ) nie ma ekstremum nazwam punktem stacjonarnm Zatem, unkcja dwóch zmiennch może mieć ekstremum lokalne tlko w punktach stacjonarnch. Niestet nie we wszstkich. Rs. 3 Punkt siodłow unkcji dwóch zmiennch Deinicja 4 Punkt stacjonarn unkcji z = (, ), w którm unkcja ta nie osiąga ekstremum lokalnego, nazwam jej punktem siodłowm. Do sprawdzania, cz w danm punkcie stacjonarnm unkcja ma ekstremum lokalne, można, podobnie jak w przpadku unkcji jednej zmiennej, użć pochodnch drugiego rzędu, z tm, że teraz będą to pochodne cząstkowe drugiego rzędu. KB 16/17 Strona 3/5

4 Element algebr i analiz matematcznej II KB 16/17 Strona 4/5 Przpomnijm z poprzedniego wkładu: Deinicja 5 Pochodnmi cząstkowmi drugiego rzędu unkcji z = (, ) nazwam unkcje:,, oraz Ostatnie dwie spośród wmienionch w deinicji 9.5 unkcji nazwam pochodnmi cząstkowmi drugiego rzędu mieszanmi. Twierdzenie 1 (Schwarza) Jeżeli pochodne mieszane unkcji z = (, ) są unkcjami ciągłmi, to są sobie równe. Wprowadźm następujące oznaczenie:,,, Warunki dostateczne istnienia ekstremu unkcji z = (, ) w punkcie stacjonarnm (, ) wraża następujące twierdzenie. Twierdzenie 3 1. Jeżeli > oraz, to w punkcie (, ) unkcja z = (, ) ma minimum lokale.. Jeżeli > oraz, to w punkcie (, ) unkcja z = (, ) ma maksimum lokale. 3. Jeżeli <, to w punkcie (, ) unkcja z = (, ) ma punkt siodłow. 4. Jeżeli =, to brak rozstrzgnięcia.

5 Element algebr i analiz matematcznej II Przkład 1. Znaleźć ekstrema unkcji z = Przkład. Liczbę a > podzielić na trz części tak, ab ich iloczn bł największ. Wkres badanej unkcji dla a = 1 pokazan jest poniżej KB 16/17 Strona 5/5