Wykład 10. Matematyka 2, semestr letni 2010/2011
|
|
- Ryszard Majewski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład 1 Maemayka 2, semesr leni 21/211 Kolejny wykład poświęcony jes rozwiązywaniu liniowych równań wyższego rzędu(w wymiarze 1, zn na jedną funkcję Ogólna posać akiego równania o (1) d k x d kα k 1() dk 1 x d k 1+α k 2() dk 2 x d k 2+ +α 1() dx d +α ()x+β(), gdzie zwyczajowo wyraz z najwyższą poęgą zosawiliśmy po lewej sronie Właściwym posępowaniem okazuje się zamiana jednego równania rzędu k na układ k równań rzędu pierwszego poprzez wprowadzenie pomocniczych funkcji (2) y (),y 1 (),,y k 1 () akich,żeniewiadomafunkcjaxox()y (),pierwszapochodna dx() y 1 (x)iakdalej, d ażdopochodnejrzęduk 1: dk 1 x() y d k 1 k 1 ()Równanie(1)Zasępujemyukładem dy d y 1 dy 1 d y 2 (3) dy k 2 d dy k 1 d y k 1 α k 1 ()y k 1 +α k 2 ()y k 2 + +α 1 ()y 1 +α ()y +β() Powyższy układ jes układem liniowym, kóry można akże zapisać w posaci macierzowej: y 1 y y 1 1 y 1 y 2 y 2 (4) d d y k 2 y k 1 1 α α 1 α 2 α k 2 α k 1 y k 2 y k 1 + Wiemy już, że ogólna meoda rozwiązywania ego rodzaju równań jes znana w przypadku, kiedy macierz układu równań jes sała, zn niezależna od zmiennej Oznacza o, że funkcje α i sąsałe:α i ()α i Wakimprzypadkuukładrównań(4)rozwiązywaćmożnasosując wszyskie poznane wcześniej echniki Ze względu jednak na specyficzną posać macierzy układu równań można uzyskać(prosszą) meodę dososowaną do ego przypadku Tym bardziej, że ineresujenasylkopierwszawspółrzędna,czylifunkcjay Pozosałefunkcjemożnawyznaczyć różniczkujący odpowiedniowielerazyzeoriidoyczącejukładówrównańliniowychwiadomo, że powinniśmy uzyskać k liniowo niezależnych rozwiązań 1 b()
2 2 Oznaczamy macierz układu równań przez A A iwyznaczamywielomiancharakerysycznyω A : (5) ω A (λ)de α α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ 1 λ 1 λ λ 1 α α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ sosujemy rozwinięcie Laplace a względem pierwszego wiersza: ( λ)de λ 1 λ (1)de λ 1 α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ 1 λ λ 1 α α 2 α k 2 α k 1 λ pierwszą macierz zosawiamy, drugą rozwijamy względem pierwszej kolumny: (6) ( λ)de λ 1 λ (1)( 1) k α de λ 1 α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ 1 λ λ 1 Teraz pierwsza macierz ma aką samą posać jak macierz wyjściowa Różnią się liczbą wierszy i kolumn Każda z ych macierzy charakeryzowana jes przez liczbę kolumn i wierszy oraz wyrazy macierzowe z osaniego wiersza Wprowadzamy więc oznaczenie D k (α,α 1,,α k 1 ) nawyznacznikmacierzyk k,kórawosanimwierszumaliczbyα,α 1,,α k 1,jakw(5) Ponieważ wyznacznik drugiej macierzy w(6) jes równy 1, wynik doychczasowych rachunków w nowych oznaczeniach ma posać D k (α,α 1,,α k )( λ)d k 1 (α 1,,α k )+( 1) p+1 α
3 3 WyznacznikD k (α,α 1,,α k )liczymykorzysajączrekurencji: D k (α,α 1,,α k )( λ)d k 1 (α 1,,α k )+( 1) k+1 α ( λ) ( λ)d k 2 (α 2,,α k )+( 1) k α 1 +( 1) k+1 α ( λ) 2 D k 2 (α 2,,α k )+( 1) k+1 α 1 λ+α ( λ) 2 ( λ)d k 3 (α 3,,α k )+( 1) k 1 α 2 +( 1) k+1 α 1 λ+α ( λ) 3 D k 3 (α 3,,α k )+( 1) k+1 α 2 λ 2 +α 1 λ+α ( λ) k 2 D 2 (α k 1,α k )+( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α WyznacznikD 2 (α k 1,α k )obliczamyjużbezpośrednio λ 1 D 2 (α k 1,α k )de ( λ) α k 2 α k 1 λ 2 α k 1 λ α k 2 i wsawiamy do rachunku: ( λ) k 2 D 2 (α k 1,α k )+( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ( λ) k 2 (λ 2 α k 1 λ α k 2 )+( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ( 1) k λ k +( 1) k 1 α k 1 λ k 1 +( 1) k 1 α k 2 λ k 2 +( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α Warunek czyli ( 1) k λ k +( 1) k+1 α k 1 λ k 1 +α k 2 λ k 2 +α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ma więc posać ( 1) k( λ k α k 1 λ k 1 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ) ω A (λ) D k (α,α 1,,α k ) (7) λ k α k 1 λ k 1 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α To samo równanie orzymalibyśmy sosując radycyjne(i w ym wypadku dużo prossze) rozumowanie:załóżmy,żerozwiązaniemrównania(1)jesfunkcja x()e λ Wówczas d n x() d n λ n e λ Po wsawieniu ej propozycji rozwiązania do równania orzymujemy warunek na λ w posaci idenycznejz(7)załóżmyeraz,żeλ i dlai1rsąpierwiaskamirównaniacharakerysycznego,oznaczmyeżprzezn i kronośćpierwiaskaλ i Mamywedyr kin 1 +n 2 + +n r k Każdemu rzeczywisemu rozwiązaniu równania charakerysycznego odpowiada rozwiązanie równanie różniczkowego e λ i Rozwiązań ych jes najwyżej r(zazwyczaj jes o mniej niż k) Jedynie w przypadku, kiedy wszyskie pierwiaski są rzeczywise i jednokrone orzymujemy komple k niezależnych rozwiązań równania(1) Prose podsawienie, kóre można zasosować, żeby orzymać równanie charakerysyczne, nie daje odpowiedzi na pyanie skąd wziąć brakujące rozwiązania, jeśli równanie charakerysyczne ma pierwiaski rzeczywise wielokrone, zespolone jednokrone lub
4 4 zespolone wielokrone Trzeba sięgnąć do doświadczeń z rozwiązywania układów równań liniowych nie pochodzących od równań wyższego rzędu Rozwiązanie(4) ma, jak wiadomo posać: y C y 1 C 1 y k 1 exp(a) C k 1 Nas ineresuje jedynie pierwsza współrzędna, czyli iloczyn pierwszego wiersza macierzy exp(a) przez wekor złożony ze sałych C Wyznaczając warości funkcji exp na różnych macierzach swierdziliśmy, że isonie jednokronym warościom własnym macierzy A odpowiadają wyrazy ypue λ,alezauważyliśmyakże,żejeśliwarośćwłasnajesdwukronairzeczywisaow macierzypojawiająsiędodakowowyrażeniae λ,ajeśliwarośćwłasnaλjesczysourojona orzymujemy kombinacje funkcji sin i cos Opierając się więc na doświadczeniu możemy podać przepis na konsruowanie fundamenalnego układu rozwiązań dla dowolnego zesawu warości własnych: (1)Rzeczywisajednokronawarośćwłasna:λ i R,n i 1,rozwiązaniejesposaci Ce λ i, pojedynczej warości własnej odpowiada jeden dowolny paramer C (2)Rzeczywisadwukronawarośćwłasna:λ i R,n i 2,rozwiązaniejesposaci (C 1 +C )e λ i, podwójnejwarościwłasnejodpowiadajądwadowolneparameryc 1,C (3)Ogólnie:Rzeczywisan-kronawarośćwłasna:λ i R,n i n,rozwiązaniejes posaci (C n 1 n 1 +C n 2 n 2 + +C 1 +C )e λ i, n-kronejwarościwłasnejodpowiadandowolnychparamerówc n 1,,C (4)Zespolonajednokronawarośćwłasna:λ j C,n j 1Wakiejsyuacjiwarość własnaλ j a+bimazawszedoparywarośćwłasnąsprzężonąλ j a biparze sprzężonych jednokronych warości własnych odpowiada rozwiązanie e a (Csin(b)+Dcos(b)), mające dwa dowolne paramery (5)Zespolonadwukronawarośćwłasna:λ j C,n j 2Równieżwakiejsyuacji warośćwłasnaλ j a+bimazawszedoparydwukronąwarośćwłasnąsprzężoną λ j a biparzesprzężonychdwukronychwarościwłasnychodpowiadarozwiązanie e a (C 1 +c )sin(b)+(d 1 +D )cos(b), mające w sumie czery dowolne paramery (6)Ogólnie:Zespolonan-kronawarośćwłasna:λ j C,n j nwarośćwłasna λ j a+bimazawszedoparyn-kronąwarośćwłasnąsprzężonąλ j a biparze sprzężonych n-kronych warości własnych odpowiada rozwiązanie e a (C n 1 n 1 + +C 1 +c )sin(b)+(d n 1 n 1 + +D 1 +D )cos(b), mające w sumie 2n dowolnych paramerów
5 Przykład 1(absurdalny) Znaleźć ogólne rozwiązanie równania d 7 x x x x x x d 7 12d6 d 6+61d5 d 5 174d4 d 4+38d3 d 3 344d2 d 2+228dx d 72x Jes o liniowe jednorodne równanie siódmego rzędu Odpowiednie równanie charakerysyczne ma posać λ 7 12λ 6 +61λ 5 174λ 4 +38λ 3 344λ λ 72 Równanie charakerysyczne zapisane w posaci iloczynowej(nad R) o: (λ 2 2λ+2) 2 (λ 2)(λ 3) 2, anad C: λ (1+i) 2 λ (1 i) 2 (λ 2)(λ 3) 2 Mamy więc: parę podwójnych zespolonych warości własnych i odpowiadające im rozwiązanie λ 1 (1+i), λ 2 (1 i), n 1 n 2 2 x()e (A+B)sin()+(C+D)cos(), jednąpojedyncząrzeczywisąwarośćwłasnąλ 3 2,n 3 1zrozwiązaniem x()ee 2 ijednąpodwójną,rzeczywisąwarośćwłasnąλ 4 3,n 4 2zrozwiązaniem x()(f+g)e 3 Ogólne rozwiązanie naszego równania siódmego sopnia ma więc posać x()e (A+B)sin()+(C+D)cos()+Ee 2 +(F+G)e 3 W dalszym ciągu zajmiemy się poszukiwaniem szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego Najefekywniejszą meodą poszukiwania ego rozwiązania jes zgadywanie Znane są ogólne zasady przewidywania posaci rozwiązania w zależności od posaci niejednorodności O ym powiemy za chwilę Zdarza się jednak, że niejednorodność nie jes ypowa, wedy rzeba uciec się do meody uzmienniania sałych Pamięać jednak musimy, że meoda uzmiennania sałych zosała wymyślona dla równań rzędu pierwszego a nie rzędu drugiego i wyższych Można ją zaem sosować po przejściu od równania rzędu wyższego do układu równań rzędu pierwszego Omówimy o na przykładzie równania drugiego rzędu: d 2 x dx (8) d 2+α 1 d +α xb(), w innej noacji ẍ+α 1 ẋ+α xb() Wiadomo,żerównaniejednorodne(RJ)madwaniezależnerozwiązaniaOznaczmyjex 1 ix 2 RORJ zapisać możemy w posaci (9) x()c 1 x 1 ()+C 2 x 2 () Odpowiedni dla(8) układ równań o d y (1) d y 1 1 α α 1 y y 1 + b() 5
6 6 Rozwiązaniem ego układu jes funkcja o warościach wekorowych y () x() C1 x (11) 1 ()+C 2 x 2 () y 1 () ẋ() C 1 ẋ 1 ()+C 2 ẋ 2 () Sałe uzmienniamy w rozwiązaniu(11) poszukując rozwiązania układu równań(1), a nie w rozwiązaniu(9)poszukującrozwiązaniarównania(8)!trakujemyjakzwyklesałec 1 ic 2 jako funkcjec 1 ()ic 2 ()Rozwiązanieukładurównań(1)przewidujemywposaci y () C1 ()x (12) 1 ()+C 2 ()x 2 () y 1 () C 1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () Po zróżniczkowaniu d y () d C1 ()x 1 ()+C 2 ()x 2 () d y 1 () d C 1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () Ċ1 ()x 1 ()+Ċ2()x 2 () + Ċ 1 ()ẋ 1 ()+Ċ2()ẋ 2 () wsawiamy do równania: Ċ1 ()x 1 ()+Ċ2()x 2 () Ċ 1 ()ẋ 1 ()+Ċ2()ẋ 2 () C1 ()ẋ + 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () C 1 ()ẍ 1 ()+C 2 ()ẍ 2 () 1 α α 1 C1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () C 1 ()ẍ 1 ()+C 2 ()ẍ 2 () C1 ()x 1 ()+C 2 ()x 2 () C 1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () + b() Częściniebieskieupraszczająsię,bowekorzłożonyzx 1,x 2 ipochodnychjesrozwiązaniem równania jednorodnego Zosaje Ċ1 ()x 1 ()+Ċ2()x 2 (), Ċ 1 ()ẋ 1 ()+Ċ2()ẋ 2 () b() co można zapisać nasępująco x1 x 2 ẋ 1 ẋ 2 Ċ1 Ċ 2 b() Macierz złożona z rozwiązań jes odwracalna, bo rozwiązania są niezależne Orzymujemy więc wzorynaċ1iċ 2 : 1 Ċ1 x1 x 2 ẋ 1 ẋ 2 b() Ċ 2 Przykład 2 Znaleźć rozwiązanie ogólne równania ẍ 2ẋ+x 1 e Szukamy(RORJ): Równanie charakerysyczne ma posać λ 2 2λ+1(λ 1) 2 Mamy jedną dwukroną warość własną λ 1, zaem fundamenalny układ rozwiązań składa sięz x 1 ()e i x 2 ()e
7 7 Zapisujemy(RORJ) zależne od dwóch dowolnych sałych x o Ae +Be Układ równań pierwszego rzędu odpowiadający równaniu drugiego rzędu ma posać d y 1 y (13) + 1 d y y 1 e Rozwiązaniem ogólnym układu jednorodnego jes wekor y () xo () Ae +Be y 1 () ẋ o () Ae +B(e +e ) W powyższym wekorze rakujemy sałe A, B jako funkcje zmiennej i wsawiamy do(13) e e Ȧ e +Ḃ e e e +e +A e +B +e 2e +e ( ) 1 e e A 1 2 e +B e +e + 1 e Wyrazy niebieskie i czerwone(wraz z macierzą) upraszczają się, bo wekory e e e, i e +e sąrozwiązaniamiukładujednorodnegopozosajerównanienapochodneȧiḃ e e Ȧ e +Ḃ e +e 1, e kóre inaczej można zapisać w posaci e e WyznaczamyȦiḂ: A Ḃ e e +e A Ḃ e e 1 1 e 1 1 i szukamy funkcji pierwonych: 1 A ( 1)d +cons, B dlog +cons Orzymujemy nasępujące rozwiązanie szczególne: x s ( )e +log e Pierwszy składnik jes proporcjonalny do jednego z rozwiązań fundamenalnych, można więc go pominąć Osaecznie(RORN) jes posaci x()ae +Be +log( )e Meodę zgadywania omówimy na nasępującym przykładzie
8 8 Przykład 3 Znaleźć rozwiązanie ogólne równania ẍ x2cos+e Powyższe równanie jes równaniem liniowym drugiego rzędu o sałych współczynnikach z dwiema niejednorodnościami(niejednorodnością, kóra jes sumą dwóch wyrazów) W akiej syuacji rozwiązanie szczególne jes sumą odpowiednich rozwiązań orzymanych oddzielnie dla każdego wyrazu Zaczynamy jak zwykle od(rorj) Równanie charkerysyczne λ 2 1(λ 1)(λ+1) madwapierwiaskiλ 1 1iλ 2 1Fundamenalnyukładrozwiązańo (RORJ) ma posać x 1 ()e, x 2 ()e x o ()Ae +Be Nie będziemy eraz uzmienniać sałych A i B, ylko spróbujemy odgadnąć posać rozwiązania szczególnegozaczynamyodpierwszejniejednorodności,znb 1 ()2cosWśródrozwiązań RJniemafunkcji cos,ani sin,znniejednorodnośćjesnierezonansowarozwiązanie szczególne przewidujemy w posaci podobnej do niejednorodności, czyli Różniczkujemyprzewidywanex s dwarazy x s ()(a+b)cos+(c+d)sin ẋ s ()(a+d+c)cos+( a b+c)sin, ẍ s ()( a+ b+2c)cos+( 2a d c)sin iwsawiamydorównaniazniejednorodnościąb 1 (): ( a+ b+2c)cos+( 2a d c)sin (a+b)cos+(c+d)sin2cos ( 2a 2b+2c)cos+( 2c 2a 2d)sin2cos Zporównaniaprawejilewejsronywynikająwarunkinaa,b,c,d: Z powyższych równań orzymujemy 2a2 2b+2c 2c 2a 2d a 1, b, c, d1, zn x s () cos+sin Druganiejednorodnośćb 2 ()e jesakżeypowa(funkcjawykładnicza)ponieważjeso jednocześnie rozwiązanie RJ, mamy do czynienia z zw rezonansem Nazwa pochodzi z analizy równania oscylaora harmonicznego Jeśli siła wymuszająca drgania oscylaora ma ę samą częsoliwość co częsoliwość własna oscylaora(zn jes proporcjonalna do jednego z rozwiązań
9 równania oscylaora harmonicznego) mamy do czynienia właśnie z rezonansem, kórego objawem jes wzrasanie ampliudy drgań W akim przypadku przewidywana posać rozwiązania szczególnego powinna być nasępująca: x s ()ae, znsopieńwielomianumnożącegoe (wsamejniejednorodnościrówny)powinienzosać zwiększony W celu wyznaczenia warości paramerów a i b wsawiamy przewidywaną posać x s dorównaniazniejednorodnościąb 2 (): ẋ s ()(a+a)e, ẍ s ()(a+2a)e (a+2a)e ae e 2ae e Orzymaliśmywarośća 1 2 znx s() 1 2 e Pełnerozwiązanierównaniazobydwomaniejednorodnościami o x()ae +Be cos+sin+ 1 2 e Więcej informacji na ema zgadywania rozwiązań szczególnych dla ypowych niejednorodności będzie na ćwiczeniach 9
y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowoWykład 4 Metoda Klasyczna część III
Teoria Obwodów Wykład 4 Meoda Klasyczna część III Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska D-, 5/8 el: (7) 3 6 fax: (7)
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoC d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie
ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoVII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI
Konderla P. Meoda Elemenów Skończonych, eoria i zasosowania 47 VII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI. Równanie ruchu dla zagadnienia dynamicznego Q, (7.) gdzie M NxN macierz mas, C NxN macierz łumienia, K NxN macierz
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoPobieranie próby. Rozkład χ 2
Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.
7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoDynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) górotworu
Henryk FILCEK Akademia Górniczo-Hunicza, Kraków Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) góroworu Sreszczenie W pracy podano rozważania na ema możliwości wzbogacenia reologicznego równania konsyuywnego
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )
Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13 Geomeria różniczkowa Geomeria różniczkowa o dział maemayki, w kórym do badania obieków geomerycznych wykorzysuje się meody opare na rachunku różniczkowym. Obieky geomeryczne
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoPodstawowe człony dynamiczne
Podsawowe człony dynamiczne charakerysyki czasowe. Człon proporcjonalny = 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny = = + 4. Człony całkujący rzeczywisy () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisy ()
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne zadań dla sudenów kierunku Auomayka i roboyka WEAIiIB AGH Michał Góra Wydział Maemayki Sosowanej AGH I. Równania o zmiennych rozdzielonych: y = f (y)f () Zadanie. Rozwiąż
Bardziej szczegółowoSformułowanie Schrödingera mechaniki kwantowej. Fizyka II, lato
Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwanowej Fizyka II, lao 018 1 Wprowadzenie Posać funkcji falowej dla fali de Broglie a, sin sin k 1 Jes o przypadek jednowymiarowy Posać a zosała określona meodą zgadywania.
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowo( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =
ROZŁADOWANIE KONDENSATORA I. el ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia (i/lub prądu I ) rozładowania kondensaora w funkcji czasu : = (), wyznaczanie sałej czasowej τ =. II. Przyrządy: III. Lieraura:
Bardziej szczegółowoDyskretny proces Markowa
Procesy sochasyczne WYKŁAD 4 Dyskreny roces Markowa Rozarujemy roces sochasyczny X, w kórym aramer jes ciągły zwykle. Będziemy zakładać, że zbiór sanów jes co najwyżej rzeliczalny. Proces X, jes rocesem
Bardziej szczegółowowięc powyższy warunek będzie zapisany jako dy dt
Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz Wprowadzenie DEFINICJA. Równaniem różniczkowm zwczajnm rzędu pierwszego nazwam równanie posaci gdzie f : f (, ), () U jes daną funkcją. Rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoMatematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia
Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoWYKŁAD FIZYKAIIIB 2000 Drgania tłumione
YKŁD FIZYKIIIB Drgania łumione (gasnące, zanikające). F siła łumienia; r F r b& b współczynnik łumienia [ Nm s] m & F m & && & k m b m F r k b& opis różnych zjawisk izycznych Niech Ce p p p p 4 ± Trzy
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoRuch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( τ) ( t) = 0
Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 1 OBLICZANIE WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU Meoda układu dołączonego do obliczenia wraŝliwości układu dynamicznego w dziedzinie czasu. Wyznaczane będą zmiany
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoZwiązek między ruchem harmonicznym a ruchem jednostajnym po okręgu
Związek międz ruchem harmonicznm a ruchem jednosajnm po okręgu Rozważm rzu Q i R punku P na osie i : Q cos v r R sin R Q P δ Q cos ( δ ) R sin ( δ ) Jeżeli punk P porusza się ruchem jednosajnm po okręgu,
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.
EKONOMERIA wykład Prof. dr hab. Eugeniusz Ganar eganar@mail.wz.uw.edu.pl Przedziały ufności Dla paramerów srukuralnych modelu: P bˆ j S( bˆ z prawdopodobieńswem parameru b bˆ S( bˆ, ( m j j j, ( m j b
Bardziej szczegółowoLista nr Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) y = y t,
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE B Lisa nr 1 1. Napisać równanie różniczkowe, jakie spełnia napięcie u = u() na okładkach kondensaora w obwodzie zawierającym połączone szeregowo oporność R i pojemność C,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Poliechnika Gdańska Wydział Elekroechniki i Auomayki Kaedra Inżynierii Sysemów Serowania Podsawy Auomayki Repeyorium z Podsaw auomayki Zadania do ćwiczeń ermin T15 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz,
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I. Kinemayka punku maerialnego Kaedra Opyki i Fooniki Wydział Podsawowych Problemów Techniki Poliechnika Wrocławska hp://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.hml Miejsce konsulacji: pokój
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoPodstawowe wyidealizowane elementy obwodu elektrycznego Rezystor ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) i t i t u ( ) u t u t i ( ) i t. dowolny.
Tema. Opracował: esław Dereń Kaedra Teorii Sygnałów Insyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akusyki Poliechnika Wrocławska Prawa auorskie zasrzeżone Podsawowe wyidealizowane elemeny obwodu elekrycznego
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowo4.2. Obliczanie przewodów grzejnych metodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego
4.. Obliczanie przewodów grzejnych meodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego Meodą częściej sosowaną w prakyce projekowej niż poprzednia, jes meoda dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego. W
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoSilniki cieplne i rekurencje
6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoPOMIAR PARAMETRÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH METODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁU
Pomiar paramerów sygnałów napięciowych. POMIAR PARAMERÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH MEODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZEWARZANIA SYGNAŁU Cel ćwiczenia Poznanie warunków prawidłowego wyznaczania elemenarnych paramerów
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowocx siła z jaką element tłumiący działa na to ciało.
Drgania układu o jedny sopniu swobody Rozparzy układ składający się z ciała o asie połączonego z nierucoy podłoże za poocą eleenu sprężysego o współczynniku szywności k oraz eleenu łuiącego o współczynniku
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowoKrzywe na płaszczyźnie.
Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać
Bardziej szczegółowoMetody prognozowania: Szeregi czasowe. Dr inż. Sebastian Skoczypiec. ver Co to jest szereg czasowy?
Meody prognozowania: Szeregi czasowe Dr inż. Sebasian Skoczypiec ver. 11.20.2009 Co o jes szereg czasowy? Szereg czasowy: uporządkowany zbiór warości badanej cechy lub warości określonego zjawiska, zaobserwowanych
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH
POLIECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGEYKI INSYU MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGEYCZNYCH IDENYFIKACJA PARAMERÓW RANSMIANCJI Laboraorium auomayki (A ) Opracował: Sprawdził: Zawierdził:
Bardziej szczegółowoPraca domowa nr 1. Metodologia Fizyki. Grupa 1. Szacowanie wartości wielkości fizycznych Zad Stoisz na brzegu oceanu, pogoda jest idealna,
Praca domowa nr. Meodologia Fizyki. Grupa. Szacowanie warości wielkości fizycznych Zad... Soisz na brzegu oceanu, pogoda jes idealna, powierze przeźroczyse; proszę oszacować jak daleko od Ciebie znajduje
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoRównania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych
Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowoE k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny
E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL, RC i RLC przy wymuszeniu stałym
ĆWIZENIE 4 Badanie sanów nieusalonych w obwodach, i przy wymuszeniu sałym. el ćwiczenia Zapoznanie się z rozpływem prądów, rozkładem w sanach nieusalonych w obwodach szeregowych, i Zapoznanie się ze sposobami
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoTemat VIII. Drgania harmoniczne
Tema VIII Drgania harmoniczne Równanie ruchu F k Siła k m Równanie ruchu sin cos Położenie równowagi w ruchu drgającym Położenie równowagi o akie położenie, w kórym siły wymuszające ruch równoważą się
Bardziej szczegółowoRys.1. Podstawowa klasyfikacja sygnałów
Kaedra Podsaw Sysemów echnicznych - Podsawy merologii - Ćwiczenie 1. Podsawowe rodzaje i ocena sygnałów Srona: 1 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jes zapoznanie się z podsawowymi rodzajami sygnałów, ich
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowooznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x 3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x x x e x lim x lim
WYKŁAD 9 34 Pochodna nkcji w pnkcie Inerpreacja geomerczna pochodnej Własności pochodnch Twierdzenia Rolle a Lagrange a Cach ego Regla de lhôspiala Niech ( ) O( ) będzie nkcją określoną w pewnm ooczeni
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoBadanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1
adanie funkorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 1. Cel ćwiczenia Zapoznanie się z podsawowymi srukurami funkorów logicznych realizowanych w echnice TTL (Transisor Transisor Logic), ich podsawowymi paramerami
Bardziej szczegółowoKombinowanie prognoz. - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz. - podstawowe metody kombinowania prognoz
Noaki do wykładu 005 Kombinowanie prognoz - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz - podsawowe meody kombinowania prognoz - przykłady kombinowania prognoz gospodarki polskiej - zalecenia
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowolicencjat Pytania teoretyczne:
Plan wykładu: 1. Wiadomości ogólne. 2. Model ekonomeryczny i jego elemeny 3. Meody doboru zmiennych do modelu ekonomerycznego. 4. Szacownie paramerów srukuralnych MNK. Weryfikacja modelu KMNK 6. Prognozowanie
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoPROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1
PROGNOZOWANIE I SYMULACJE mgr Żanea Pruska Ćwiczenia 2 Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X, wyrażona w ysiącach wyprodukowanych i dosarczonych szuk firmie Bea,
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR
LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowo20. Wyznaczanie ciepła właściwego lodu c pl i ciepła topnienia lodu L
20. Wyznaczanie ciepła właściwego lodu c pl i ciepła opnienia lodu L I. Wprowadzenie 1. Ciepło właściwe lodu i ciepło opnienia lodu wyznaczymy meodą kalorymeryczną sporządzając odpowiedni bilans cieplny.
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowo