Wykład 10. Matematyka 2, semestr letni 2010/2011

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład 10. Matematyka 2, semestr letni 2010/2011"

Transkrypt

1 Wykład 1 Maemayka 2, semesr leni 21/211 Kolejny wykład poświęcony jes rozwiązywaniu liniowych równań wyższego rzędu(w wymiarze 1, zn na jedną funkcję Ogólna posać akiego równania o (1) d k x d kα k 1() dk 1 x d k 1+α k 2() dk 2 x d k 2+ +α 1() dx d +α ()x+β(), gdzie zwyczajowo wyraz z najwyższą poęgą zosawiliśmy po lewej sronie Właściwym posępowaniem okazuje się zamiana jednego równania rzędu k na układ k równań rzędu pierwszego poprzez wprowadzenie pomocniczych funkcji (2) y (),y 1 (),,y k 1 () akich,żeniewiadomafunkcjaxox()y (),pierwszapochodna dx() y 1 (x)iakdalej, d ażdopochodnejrzęduk 1: dk 1 x() y d k 1 k 1 ()Równanie(1)Zasępujemyukładem dy d y 1 dy 1 d y 2 (3) dy k 2 d dy k 1 d y k 1 α k 1 ()y k 1 +α k 2 ()y k 2 + +α 1 ()y 1 +α ()y +β() Powyższy układ jes układem liniowym, kóry można akże zapisać w posaci macierzowej: y 1 y y 1 1 y 1 y 2 y 2 (4) d d y k 2 y k 1 1 α α 1 α 2 α k 2 α k 1 y k 2 y k 1 + Wiemy już, że ogólna meoda rozwiązywania ego rodzaju równań jes znana w przypadku, kiedy macierz układu równań jes sała, zn niezależna od zmiennej Oznacza o, że funkcje α i sąsałe:α i ()α i Wakimprzypadkuukładrównań(4)rozwiązywaćmożnasosując wszyskie poznane wcześniej echniki Ze względu jednak na specyficzną posać macierzy układu równań można uzyskać(prosszą) meodę dososowaną do ego przypadku Tym bardziej, że ineresujenasylkopierwszawspółrzędna,czylifunkcjay Pozosałefunkcjemożnawyznaczyć różniczkujący odpowiedniowielerazyzeoriidoyczącejukładówrównańliniowychwiadomo, że powinniśmy uzyskać k liniowo niezależnych rozwiązań 1 b()

2 2 Oznaczamy macierz układu równań przez A A iwyznaczamywielomiancharakerysycznyω A : (5) ω A (λ)de α α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ 1 λ 1 λ λ 1 α α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ sosujemy rozwinięcie Laplace a względem pierwszego wiersza: ( λ)de λ 1 λ (1)de λ 1 α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ 1 λ λ 1 α α 2 α k 2 α k 1 λ pierwszą macierz zosawiamy, drugą rozwijamy względem pierwszej kolumny: (6) ( λ)de λ 1 λ (1)( 1) k α de λ 1 α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ 1 λ λ 1 Teraz pierwsza macierz ma aką samą posać jak macierz wyjściowa Różnią się liczbą wierszy i kolumn Każda z ych macierzy charakeryzowana jes przez liczbę kolumn i wierszy oraz wyrazy macierzowe z osaniego wiersza Wprowadzamy więc oznaczenie D k (α,α 1,,α k 1 ) nawyznacznikmacierzyk k,kórawosanimwierszumaliczbyα,α 1,,α k 1,jakw(5) Ponieważ wyznacznik drugiej macierzy w(6) jes równy 1, wynik doychczasowych rachunków w nowych oznaczeniach ma posać D k (α,α 1,,α k )( λ)d k 1 (α 1,,α k )+( 1) p+1 α

3 3 WyznacznikD k (α,α 1,,α k )liczymykorzysajączrekurencji: D k (α,α 1,,α k )( λ)d k 1 (α 1,,α k )+( 1) k+1 α ( λ) ( λ)d k 2 (α 2,,α k )+( 1) k α 1 +( 1) k+1 α ( λ) 2 D k 2 (α 2,,α k )+( 1) k+1 α 1 λ+α ( λ) 2 ( λ)d k 3 (α 3,,α k )+( 1) k 1 α 2 +( 1) k+1 α 1 λ+α ( λ) 3 D k 3 (α 3,,α k )+( 1) k+1 α 2 λ 2 +α 1 λ+α ( λ) k 2 D 2 (α k 1,α k )+( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α WyznacznikD 2 (α k 1,α k )obliczamyjużbezpośrednio λ 1 D 2 (α k 1,α k )de ( λ) α k 2 α k 1 λ 2 α k 1 λ α k 2 i wsawiamy do rachunku: ( λ) k 2 D 2 (α k 1,α k )+( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ( λ) k 2 (λ 2 α k 1 λ α k 2 )+( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ( 1) k λ k +( 1) k 1 α k 1 λ k 1 +( 1) k 1 α k 2 λ k 2 +( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α Warunek czyli ( 1) k λ k +( 1) k+1 α k 1 λ k 1 +α k 2 λ k 2 +α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ma więc posać ( 1) k( λ k α k 1 λ k 1 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ) ω A (λ) D k (α,α 1,,α k ) (7) λ k α k 1 λ k 1 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α To samo równanie orzymalibyśmy sosując radycyjne(i w ym wypadku dużo prossze) rozumowanie:załóżmy,żerozwiązaniemrównania(1)jesfunkcja x()e λ Wówczas d n x() d n λ n e λ Po wsawieniu ej propozycji rozwiązania do równania orzymujemy warunek na λ w posaci idenycznejz(7)załóżmyeraz,żeλ i dlai1rsąpierwiaskamirównaniacharakerysycznego,oznaczmyeżprzezn i kronośćpierwiaskaλ i Mamywedyr kin 1 +n 2 + +n r k Każdemu rzeczywisemu rozwiązaniu równania charakerysycznego odpowiada rozwiązanie równanie różniczkowego e λ i Rozwiązań ych jes najwyżej r(zazwyczaj jes o mniej niż k) Jedynie w przypadku, kiedy wszyskie pierwiaski są rzeczywise i jednokrone orzymujemy komple k niezależnych rozwiązań równania(1) Prose podsawienie, kóre można zasosować, żeby orzymać równanie charakerysyczne, nie daje odpowiedzi na pyanie skąd wziąć brakujące rozwiązania, jeśli równanie charakerysyczne ma pierwiaski rzeczywise wielokrone, zespolone jednokrone lub

4 4 zespolone wielokrone Trzeba sięgnąć do doświadczeń z rozwiązywania układów równań liniowych nie pochodzących od równań wyższego rzędu Rozwiązanie(4) ma, jak wiadomo posać: y C y 1 C 1 y k 1 exp(a) C k 1 Nas ineresuje jedynie pierwsza współrzędna, czyli iloczyn pierwszego wiersza macierzy exp(a) przez wekor złożony ze sałych C Wyznaczając warości funkcji exp na różnych macierzach swierdziliśmy, że isonie jednokronym warościom własnym macierzy A odpowiadają wyrazy ypue λ,alezauważyliśmyakże,żejeśliwarośćwłasnajesdwukronairzeczywisaow macierzypojawiająsiędodakowowyrażeniae λ,ajeśliwarośćwłasnaλjesczysourojona orzymujemy kombinacje funkcji sin i cos Opierając się więc na doświadczeniu możemy podać przepis na konsruowanie fundamenalnego układu rozwiązań dla dowolnego zesawu warości własnych: (1)Rzeczywisajednokronawarośćwłasna:λ i R,n i 1,rozwiązaniejesposaci Ce λ i, pojedynczej warości własnej odpowiada jeden dowolny paramer C (2)Rzeczywisadwukronawarośćwłasna:λ i R,n i 2,rozwiązaniejesposaci (C 1 +C )e λ i, podwójnejwarościwłasnejodpowiadajądwadowolneparameryc 1,C (3)Ogólnie:Rzeczywisan-kronawarośćwłasna:λ i R,n i n,rozwiązaniejes posaci (C n 1 n 1 +C n 2 n 2 + +C 1 +C )e λ i, n-kronejwarościwłasnejodpowiadandowolnychparamerówc n 1,,C (4)Zespolonajednokronawarośćwłasna:λ j C,n j 1Wakiejsyuacjiwarość własnaλ j a+bimazawszedoparywarośćwłasnąsprzężonąλ j a biparze sprzężonych jednokronych warości własnych odpowiada rozwiązanie e a (Csin(b)+Dcos(b)), mające dwa dowolne paramery (5)Zespolonadwukronawarośćwłasna:λ j C,n j 2Równieżwakiejsyuacji warośćwłasnaλ j a+bimazawszedoparydwukronąwarośćwłasnąsprzężoną λ j a biparzesprzężonychdwukronychwarościwłasnychodpowiadarozwiązanie e a (C 1 +c )sin(b)+(d 1 +D )cos(b), mające w sumie czery dowolne paramery (6)Ogólnie:Zespolonan-kronawarośćwłasna:λ j C,n j nwarośćwłasna λ j a+bimazawszedoparyn-kronąwarośćwłasnąsprzężonąλ j a biparze sprzężonych n-kronych warości własnych odpowiada rozwiązanie e a (C n 1 n 1 + +C 1 +c )sin(b)+(d n 1 n 1 + +D 1 +D )cos(b), mające w sumie 2n dowolnych paramerów

5 Przykład 1(absurdalny) Znaleźć ogólne rozwiązanie równania d 7 x x x x x x d 7 12d6 d 6+61d5 d 5 174d4 d 4+38d3 d 3 344d2 d 2+228dx d 72x Jes o liniowe jednorodne równanie siódmego rzędu Odpowiednie równanie charakerysyczne ma posać λ 7 12λ 6 +61λ 5 174λ 4 +38λ 3 344λ λ 72 Równanie charakerysyczne zapisane w posaci iloczynowej(nad R) o: (λ 2 2λ+2) 2 (λ 2)(λ 3) 2, anad C: λ (1+i) 2 λ (1 i) 2 (λ 2)(λ 3) 2 Mamy więc: parę podwójnych zespolonych warości własnych i odpowiadające im rozwiązanie λ 1 (1+i), λ 2 (1 i), n 1 n 2 2 x()e (A+B)sin()+(C+D)cos(), jednąpojedyncząrzeczywisąwarośćwłasnąλ 3 2,n 3 1zrozwiązaniem x()ee 2 ijednąpodwójną,rzeczywisąwarośćwłasnąλ 4 3,n 4 2zrozwiązaniem x()(f+g)e 3 Ogólne rozwiązanie naszego równania siódmego sopnia ma więc posać x()e (A+B)sin()+(C+D)cos()+Ee 2 +(F+G)e 3 W dalszym ciągu zajmiemy się poszukiwaniem szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego Najefekywniejszą meodą poszukiwania ego rozwiązania jes zgadywanie Znane są ogólne zasady przewidywania posaci rozwiązania w zależności od posaci niejednorodności O ym powiemy za chwilę Zdarza się jednak, że niejednorodność nie jes ypowa, wedy rzeba uciec się do meody uzmienniania sałych Pamięać jednak musimy, że meoda uzmiennania sałych zosała wymyślona dla równań rzędu pierwszego a nie rzędu drugiego i wyższych Można ją zaem sosować po przejściu od równania rzędu wyższego do układu równań rzędu pierwszego Omówimy o na przykładzie równania drugiego rzędu: d 2 x dx (8) d 2+α 1 d +α xb(), w innej noacji ẍ+α 1 ẋ+α xb() Wiadomo,żerównaniejednorodne(RJ)madwaniezależnerozwiązaniaOznaczmyjex 1 ix 2 RORJ zapisać możemy w posaci (9) x()c 1 x 1 ()+C 2 x 2 () Odpowiedni dla(8) układ równań o d y (1) d y 1 1 α α 1 y y 1 + b() 5

6 6 Rozwiązaniem ego układu jes funkcja o warościach wekorowych y () x() C1 x (11) 1 ()+C 2 x 2 () y 1 () ẋ() C 1 ẋ 1 ()+C 2 ẋ 2 () Sałe uzmienniamy w rozwiązaniu(11) poszukując rozwiązania układu równań(1), a nie w rozwiązaniu(9)poszukującrozwiązaniarównania(8)!trakujemyjakzwyklesałec 1 ic 2 jako funkcjec 1 ()ic 2 ()Rozwiązanieukładurównań(1)przewidujemywposaci y () C1 ()x (12) 1 ()+C 2 ()x 2 () y 1 () C 1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () Po zróżniczkowaniu d y () d C1 ()x 1 ()+C 2 ()x 2 () d y 1 () d C 1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () Ċ1 ()x 1 ()+Ċ2()x 2 () + Ċ 1 ()ẋ 1 ()+Ċ2()ẋ 2 () wsawiamy do równania: Ċ1 ()x 1 ()+Ċ2()x 2 () Ċ 1 ()ẋ 1 ()+Ċ2()ẋ 2 () C1 ()ẋ + 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () C 1 ()ẍ 1 ()+C 2 ()ẍ 2 () 1 α α 1 C1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () C 1 ()ẍ 1 ()+C 2 ()ẍ 2 () C1 ()x 1 ()+C 2 ()x 2 () C 1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () + b() Częściniebieskieupraszczająsię,bowekorzłożonyzx 1,x 2 ipochodnychjesrozwiązaniem równania jednorodnego Zosaje Ċ1 ()x 1 ()+Ċ2()x 2 (), Ċ 1 ()ẋ 1 ()+Ċ2()ẋ 2 () b() co można zapisać nasępująco x1 x 2 ẋ 1 ẋ 2 Ċ1 Ċ 2 b() Macierz złożona z rozwiązań jes odwracalna, bo rozwiązania są niezależne Orzymujemy więc wzorynaċ1iċ 2 : 1 Ċ1 x1 x 2 ẋ 1 ẋ 2 b() Ċ 2 Przykład 2 Znaleźć rozwiązanie ogólne równania ẍ 2ẋ+x 1 e Szukamy(RORJ): Równanie charakerysyczne ma posać λ 2 2λ+1(λ 1) 2 Mamy jedną dwukroną warość własną λ 1, zaem fundamenalny układ rozwiązań składa sięz x 1 ()e i x 2 ()e

7 7 Zapisujemy(RORJ) zależne od dwóch dowolnych sałych x o Ae +Be Układ równań pierwszego rzędu odpowiadający równaniu drugiego rzędu ma posać d y 1 y (13) + 1 d y y 1 e Rozwiązaniem ogólnym układu jednorodnego jes wekor y () xo () Ae +Be y 1 () ẋ o () Ae +B(e +e ) W powyższym wekorze rakujemy sałe A, B jako funkcje zmiennej i wsawiamy do(13) e e Ȧ e +Ḃ e e e +e +A e +B +e 2e +e ( ) 1 e e A 1 2 e +B e +e + 1 e Wyrazy niebieskie i czerwone(wraz z macierzą) upraszczają się, bo wekory e e e, i e +e sąrozwiązaniamiukładujednorodnegopozosajerównanienapochodneȧiḃ e e Ȧ e +Ḃ e +e 1, e kóre inaczej można zapisać w posaci e e WyznaczamyȦiḂ: A Ḃ e e +e A Ḃ e e 1 1 e 1 1 i szukamy funkcji pierwonych: 1 A ( 1)d +cons, B dlog +cons Orzymujemy nasępujące rozwiązanie szczególne: x s ( )e +log e Pierwszy składnik jes proporcjonalny do jednego z rozwiązań fundamenalnych, można więc go pominąć Osaecznie(RORN) jes posaci x()ae +Be +log( )e Meodę zgadywania omówimy na nasępującym przykładzie

8 8 Przykład 3 Znaleźć rozwiązanie ogólne równania ẍ x2cos+e Powyższe równanie jes równaniem liniowym drugiego rzędu o sałych współczynnikach z dwiema niejednorodnościami(niejednorodnością, kóra jes sumą dwóch wyrazów) W akiej syuacji rozwiązanie szczególne jes sumą odpowiednich rozwiązań orzymanych oddzielnie dla każdego wyrazu Zaczynamy jak zwykle od(rorj) Równanie charkerysyczne λ 2 1(λ 1)(λ+1) madwapierwiaskiλ 1 1iλ 2 1Fundamenalnyukładrozwiązańo (RORJ) ma posać x 1 ()e, x 2 ()e x o ()Ae +Be Nie będziemy eraz uzmienniać sałych A i B, ylko spróbujemy odgadnąć posać rozwiązania szczególnegozaczynamyodpierwszejniejednorodności,znb 1 ()2cosWśródrozwiązań RJniemafunkcji cos,ani sin,znniejednorodnośćjesnierezonansowarozwiązanie szczególne przewidujemy w posaci podobnej do niejednorodności, czyli Różniczkujemyprzewidywanex s dwarazy x s ()(a+b)cos+(c+d)sin ẋ s ()(a+d+c)cos+( a b+c)sin, ẍ s ()( a+ b+2c)cos+( 2a d c)sin iwsawiamydorównaniazniejednorodnościąb 1 (): ( a+ b+2c)cos+( 2a d c)sin (a+b)cos+(c+d)sin2cos ( 2a 2b+2c)cos+( 2c 2a 2d)sin2cos Zporównaniaprawejilewejsronywynikająwarunkinaa,b,c,d: Z powyższych równań orzymujemy 2a2 2b+2c 2c 2a 2d a 1, b, c, d1, zn x s () cos+sin Druganiejednorodnośćb 2 ()e jesakżeypowa(funkcjawykładnicza)ponieważjeso jednocześnie rozwiązanie RJ, mamy do czynienia z zw rezonansem Nazwa pochodzi z analizy równania oscylaora harmonicznego Jeśli siła wymuszająca drgania oscylaora ma ę samą częsoliwość co częsoliwość własna oscylaora(zn jes proporcjonalna do jednego z rozwiązań

9 równania oscylaora harmonicznego) mamy do czynienia właśnie z rezonansem, kórego objawem jes wzrasanie ampliudy drgań W akim przypadku przewidywana posać rozwiązania szczególnego powinna być nasępująca: x s ()ae, znsopieńwielomianumnożącegoe (wsamejniejednorodnościrówny)powinienzosać zwiększony W celu wyznaczenia warości paramerów a i b wsawiamy przewidywaną posać x s dorównaniazniejednorodnościąb 2 (): ẋ s ()(a+a)e, ẍ s ()(a+2a)e (a+2a)e ae e 2ae e Orzymaliśmywarośća 1 2 znx s() 1 2 e Pełnerozwiązanierównaniazobydwomaniejednorodnościami o x()ae +Be cos+sin+ 1 2 e Więcej informacji na ema zgadywania rozwiązań szczególnych dla ypowych niejednorodności będzie na ćwiczeniach 9

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ

ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ Ćwiczenie 8 ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ. Cel ćwiczenia Analiza złożonego przebiegu drgań maszyny i wyznaczenie częsoliwości składowych harmonicznych ego przebiegu.. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie Maeriał dla sudenów Niesacjonarne zmienne czasowe własności i esowanie (sudium przypadku) Nazwa przedmiou: ekonomeria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych i prognozowanie (13201); Kierunek sudiów:

Bardziej szczegółowo

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD Pior Jankowski Akademia Morska w Gdyni IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD W arykule przedsawiono możliwości (oraz ograniczenia) środowiska Mahcad do analizy

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków

Bardziej szczegółowo

LINIA DŁUGA Konspekt do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu TECHNIKA CYFROWA

LINIA DŁUGA Konspekt do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu TECHNIKA CYFROWA LINIA DŁUGA Z Z, τ e u u Z L l Konspek do ćwiczeń laboraoryjnych z przedmiou TECHNIKA CYFOWA SPIS TEŚCI. Definicja linii dłuiej... 3. Schema zasępczy linii dłuiej przedsawiony za pomocą elemenów o sałych

Bardziej szczegółowo

BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele:

BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele: 1 BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW Leszek S. Zaremba (Polish Open Universiy) W ym krókim i maemaycznie bardzo prosym arykule pragnę osiągnąc cele: (a) pokazac że kupowanie

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH SaSof Polska, el. 12 428 43 00, 601 41 41 51, info@sasof.pl, www.sasof.pl WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH Joanna Maych, Krajowy Depozy Papierów

Bardziej szczegółowo

Metody analizy i prognozowania szeregów czasowych

Metody analizy i prognozowania szeregów czasowych Meody analizy i prognozowania szeregów czasowych Wsęp 1. Modele szeregów czasowych 2. Modele ARMA i procedura Boxa-Jenkinsa 3. Modele rendów deerminisycznych i sochasycznych 4. Meody dekompozycji szeregów

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

Laseryimpulsowe-cotojest?

Laseryimpulsowe-cotojest? Laseryimpulsowe-coojes? Pior Migdał marca5 Laseryciągłe Prawie każdy widział laser, choćby w posaci breloczka z odpowiednią diodą LED. Co jes charakerysyczne dla promienia emiowanego z akiego urządzenia?

Bardziej szczegółowo

Równoległy algorytm analizy sygnału na podstawie niewielkiej liczby próbek

Równoległy algorytm analizy sygnału na podstawie niewielkiej liczby próbek Nauka Zezwala się na korzysanie z arykułu na warunkach licencji Creaive Commons Uznanie auorswa 3.0 Równoległy algorym analizy sygnału na podsawie niewielkiej liczby próbek Pior Kardasz Wydział Elekryczny,

Bardziej szczegółowo

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2 2006 Bogusław GUZIK* SZACOWANIE MODELU RNKOWEGO CKLU ŻCIA PRODUKTU Przedsawiono zasadnicze podejścia do saysycznego szacowania modelu rynkowego cyklu

Bardziej szczegółowo

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE Janusz Sowiński, Rober Tomaszewski, Arur Wacharczyk Insyu Elekroenergeyki Poliechnika Częsochowska Aky prawne

Bardziej szczegółowo

Kobiety w przedsiębiorstwach usługowych prognozy nieliniowe

Kobiety w przedsiębiorstwach usługowych prognozy nieliniowe Pior Srożek * Kobiey w przedsiębiorswach usługowych prognozy nieliniowe Wsęp W dzisiejszym świecie procesy społeczno-gospodarcze zachodzą bardzo dynamicznie. W związku z ym bardzo zmienił się sereoypowy

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODEE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Joanna Małgorzaa andmesser Szkoła Główna

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Kaarzyna Halicka Poliechnika Białosocka, Wydział Zarządzania, Kaedra Informayki Gospodarczej i Logisyki, e-mail: k.halicka@pb.edu.pl Jusyna Godlewska

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie technologii SDF do lokalizowania źródeł emisji BPSK i QPSK

Zastosowanie technologii SDF do lokalizowania źródeł emisji BPSK i QPSK Jan M. KELNER, Cezary ZIÓŁKOWSKI Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Elekroniki, Insyu Telekomunikacji doi:1.15199/48.15.3.14 Zasosowanie echnologii SDF do lokalizowania źródeł emisji BPSK i QPSK Sreszczenie.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

z graniczną technologią

z graniczną technologią STUDIA OECOOMICA POSAIESIA 23, vol., no. (25) Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej emil.panek@ue.poznan.pl iesacjonarny model von

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK)

KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK) KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK) Kaarzyna Kuziak Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W 1994 roku insyucja finansowa JP Morgan opublikowała

Bardziej szczegółowo

WPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW POCHODNYCH

WPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW POCHODNYCH Tadeusz Czernik Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach WPŁYW NIEPEWNOŚCI OZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INTRUMENTÓW POCHODNYCH Wprowadzenie Jednym z filarów współczesnych finansów jes eoria wyceny insrumenów

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE

POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE Anea Kłodzińska, Poliechnika Koszalińska, Zakład Ekonomerii POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE Sopy procenowe w analizach ekonomicznych Sopy procenowe

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie temperatury i wysokości podstawy chmur

Wyznaczanie temperatury i wysokości podstawy chmur Wyznaczanie emperaury i wysokości podsawy chmur Czas rwania: 10 minu Czas obserwacji: dowolny Wymagane warunki meeorologiczne: pochmurnie lub umiarkowane zachmurzenie Częsoliwość wykonania: 1 raz w ciągu

Bardziej szczegółowo

Analiza efektywności kosztowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego kosztu jednostkowego

Analiza efektywności kosztowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego kosztu jednostkowego TRANSFORM ADVICE PROGRAMME Invesmen in Environmenal Infrasrucure in Poland Analiza efekywności koszowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego koszu jednoskowego dr Jana Rączkę Warszawa, 13.06.2002 2 Spis reści

Bardziej szczegółowo

O pewnym algorytmie rozwiązującym problem optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE

O pewnym algorytmie rozwiązującym problem optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE O pewnym algorymie rozwiązującym problem opymalnej alokacji zasobów Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE W kierowaniu firmą Zarząd częso saje wobec problemu rozdysponowania (alokacji)

Bardziej szczegółowo

Estymacja stopy NAIRU dla Polski *

Estymacja stopy NAIRU dla Polski * Michał Owerczuk * Pior Śpiewanowski Esymacja sopy NAIRU dla Polski * * Sudenci, Szkoła Główna Handlowa, Sudenckie Koło Naukowe Ekonomii Teoreycznej przy kaedrze Ekonomii I. Auorzy będą bardzo wdzięczni

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

WYTRZYMAŁOŚĆ KOMPOZYTÓW WARSTWOWYCH

WYTRZYMAŁOŚĆ KOMPOZYTÓW WARSTWOWYCH WYTRZYMAŁOŚĆ KOMPOZYTÓW WARTWOWYCH Zagadnienia wyrzymałościowe w przypadku maeriałów kompozyowych, a mówiąc ściślej włóknisych kompozyów warswowych (np. laminay zbrojone włóknami) należy rozparywać na

Bardziej szczegółowo

O EFEKTACH ZASTOSOWANIA PEWNEJ METODY WYZNACZANIA PROGNOZ JAKOŚCIOWYCH ZMIAN CEN AKCJI W WARUNKACH KRYZYSU FINANSOWEGO 2008 ROKU

O EFEKTACH ZASTOSOWANIA PEWNEJ METODY WYZNACZANIA PROGNOZ JAKOŚCIOWYCH ZMIAN CEN AKCJI W WARUNKACH KRYZYSU FINANSOWEGO 2008 ROKU Arykuł opublikowany w: Rynki kapiałowe a koniunkura gospodarcza, red. A. Szablewski, R. Wójcikowski, Wydawnicwo Poliechniki Łódzkiej, Łódź 009, s. 95-07 Doroa Wiśniewska Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu

Bardziej szczegółowo

XXXIV Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Kraków 31 marca 2011. Test dla grupy elektronicznej

XXXIV Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Kraków 31 marca 2011. Test dla grupy elektronicznej XXXIV Olimpiada Wiedzy lekrycznej i lekronicznej Kraków marca Tes dla grupy elekronicznej.ezysancja zasępcza widziana z zacisków B wynosi:,,4,6,8 B. W poniższym układzie do wyznaczenia prądu w rezysancji

Bardziej szczegółowo

Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń

Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Przegląd i porównanie meod oceny modeli VaR Wsęp - Miara VaR Warość zagrożona (warość narażona

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW

MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW Wprowadzenie Współczesne zarządzanie ryzykiem

Bardziej szczegółowo

PREDYKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WYKORZYSTANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WYBRANE MODELE EKONOMETRYCZNE I PERCEPTRON WIELOWARSTWOWY

PREDYKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WYKORZYSTANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WYBRANE MODELE EKONOMETRYCZNE I PERCEPTRON WIELOWARSTWOWY B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2004 Aleksandra MAUSZEWSKA Doroa WIKOWSKA PREDKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WKORZSANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WBRANE MODELE EKONOMERCZNE I PERCEPRON WIELOWARSWOW

Bardziej szczegółowo

Sprawujesz osobistą opiekę nad dzieckiem? Przeczytaj koniecznie!

Sprawujesz osobistą opiekę nad dzieckiem? Przeczytaj koniecznie! Sprawujesz osobisą opiekę nad dzieckiem? Przeczyaj koniecznie! Czy z yułu sprawowania osobisej opieki nad dzieckiem podlegasz ubezpieczeniom społecznym i zdrowonemu Od 1 września 2013 r. osoba sprawująca

Bardziej szczegółowo

Prognoza skutków handlowych przystąpienia do Europejskiej Unii Monetarnej dla Polski przy użyciu uogólnionego modelu grawitacyjnego

Prognoza skutków handlowych przystąpienia do Europejskiej Unii Monetarnej dla Polski przy użyciu uogólnionego modelu grawitacyjnego Bank i Kredy 40 (1), 2009, 69 88 www.bankikredy.nbp.pl www.bankandcredi.nbp.pl Prognoza skuków handlowych przysąpienia do Europejskiej Unii Monearnej dla Polski przy użyciu uogólnionego modelu grawiacyjnego

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Wsęp Od zaproponowania przez Engla w 1982 roku jednowymiarowego modelu klasy ARCH, modele

Bardziej szczegółowo

OCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ

OCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ Tadeusz Czernik Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Kaedra Maemayki Sosowanej adeusz.czernik@ue.kaowice.pl daniel.iskra@ue.kaowice.pl OCEN TRKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ KCJI N PODSTWIE CZSU PRZEBYWNI

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarowe

Niepewności pomiarowe Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki

Bardziej szczegółowo

OeconomiA copernicana. Małgorzata Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

OeconomiA copernicana. Małgorzata Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu OeconomiA copernicana 2011 Nr 4 Małgorzaa Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu TESTOWANIE PRZYCZYNOWOŚCI W WARIANCJI MIĘDZY WYBRANYMI INDEKSAMI RYNKÓW AKCJI NA ŚWIECIE

Bardziej szczegółowo

WENTYLACJA i KLIMATYZACJA 2. Ćwiczenia nr 1

WENTYLACJA i KLIMATYZACJA 2. Ćwiczenia nr 1 Insyu Inżynierii Cieplnej i Ochrony Powierza Poliechniki Krakowskiej Zakład Wenylacji Klimayzacji i Chłodnicwa WENTYLACJA i KLIMATYZACJA 2 Ćwiczenia nr 1 Urządzenia do uzdania powierza w klimayzacji Dr

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Ę Ą Ó Ż Ą Ą ĄĄĘ ż ż Ź ż Ż Ą Ś Ż ż Ż Ą ż ż Ś ż Ó ż Ś ż ż ĄĄ Ż ż ż Ź Ó ż ż Ż Ś Ż ż Ż Ż ż Ó ć Ó Ś ż Ś Ś Ż Ź ż ć Ść Ó Ó Ż ż ż Ż Ż ć Ś Ś Ó Ś Ż ź Ż ż Ź Ę Ż Ż Ó Ę Ż Ś ż ż ż ż ż ć ż Ó Ó ż ż ż Ś Ź ż Ś Ą Ó Ść Ż

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH. dr inż. Robert Stachniewicz

EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH. dr inż. Robert Stachniewicz EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH dr inż. Rober Sachniewicz METODY OCENY EFEKTYWNOŚCI PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Jednymi z licznych celów i zadań przedsiębiorswa są: - wzros warości przedsiębiorswa

Bardziej szczegółowo

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych**

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych** Ekonomia Menedżerska 2009, nr 6, s. 119 128 Marek Łukasz Michalski* Analiza meod oceny efekywności inwesycji rzeczowych** 1. Wsęp Podsawowymi celami przedsiębiorswa w długim okresie jes rozwój i osiąganie

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 768 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 63 2013

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 768 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 63 2013 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 768 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 63 2013 MAŁGORZATA BOŁTUĆ Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu ZALEŻNOŚĆ POMIĘDZY RYNKIEM SWAPÓW KREDYTOWYCH

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 MAŁGORZATA WASILEWSKA PORÓWNANIE METODY NPV, DRZEW DECYZYJNYCH I METODY OPCJI REALNYCH W WYCENIE PROJEKTÓW

Bardziej szczegółowo

dr inż. MARCIN MAŁACHOWSKI Instytut Technik Innowacyjnych EMAG

dr inż. MARCIN MAŁACHOWSKI Instytut Technik Innowacyjnych EMAG dr inż. MARCIN MAŁACHOWSKI Insyu Technik Innowacyjnych EMAG Wykorzysanie opycznej meody pomiaru sężenia pyłu do wspomagania oceny paramerów wpływających na możliwość zaisnienia wybuchu osiadłego pyłu węglowego

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE

O PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE MEODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH om XIII/3, 01, sr 43 5 O EWNYCH KRYERIACH INWESOWANIA W OCJE NA AKCJE omasz Warowny Kaedra Meod Ilościowych w Zarządzaniu oliechnika Lubelska e-mail: warowny@pollubpl

Bardziej szczegółowo

Laboratorium PODSTAWY BIOFOTONIKI. Interstycjalna termoterapia laserowa symulacje komputerowe

Laboratorium PODSTAWY BIOFOTONIKI. Interstycjalna termoterapia laserowa symulacje komputerowe Wydział PPT Ćwiczenie nr 1 Laboraorium PODSTAWY BIOFOTONIKI Inersycjalna ermoerapia laserowa symulacje kompuerowe Cel ćwiczenia: Zapoznanie z ideą inersycjalnej erapii laserowej oraz paramerami mającymi

Bardziej szczegółowo

EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE

EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE Paweł Kobus, Rober Pierzykowski Kaedra Ekonomerii i Informayki SGGW e-mail: pawel.kobus@saysyka.info EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE Sreszczenie: Do modelowania asymerycznego wpływu dobrych i złych informacji

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA Makroekonomia II Wykład 3 POLITKA PIENIĘŻNA POLITKA FISKALNA PLAN POLITKA PIENIĘŻNA. Podaż pieniądza. Sysem rezerwy ułamkowej i podaż pieniądza.2 Insrumeny poliyki pieniężnej 2. Popy na pieniądz 3. Prowadzenie

Bardziej szczegółowo

Struktura sektorowa finansowania wydatków na B+R w krajach strefy euro

Struktura sektorowa finansowania wydatków na B+R w krajach strefy euro Rozdział i. Srukura sekorowa finansowania wydaków na B+R w krajach srefy euro Rober W. Włodarczyk 1 Sreszczenie W arykule podjęo próbę oceny srukury sekorowej (sekor przedsiębiorsw, sekor rządowy, sekor

Bardziej szczegółowo

Transakcje insiderów a ceny akcji spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie S.A.

Transakcje insiderów a ceny akcji spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie S.A. Agaa Srzelczyk Transakcje insiderów a ceny akcji spółek noowanych na Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie S.A. Wsęp Inwesorzy oczekują od każdej noowanej na Giełdzie Papierów Warościowych spółki

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE

Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE Rozwiązanie uogólnionego problemu opymalnej alokacji zasobów Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE Niniejszy arykuł rozwiązuje problem owary posawiony w [4], dzięki czemu będzie można znaleźć

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 Lista zadań

Analiza matematyczna 2 Lista zadań Analiza maemayczna Lisa zadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: d) + ; b) arccg; e) +) ; c) 4+3

Bardziej szczegółowo

Efekty agregacji czasowej szeregów finansowych a modele klasy Sign RCA

Efekty agregacji czasowej szeregów finansowych a modele klasy Sign RCA Joanna Górka * Efeky agregacji czasowej szeregów finansowych a modele klasy Sign RCA Wsęp Wprowadzenie losowego parameru do modelu auoregresyjnego zwiększa możliwości aplikacyjne ego modelu, gdyż pozwala

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania z Fizyki rok szkolny 2009/2010

Przedmiotowy System Oceniania z Fizyki rok szkolny 2009/2010 Przedmioowy Sysem Oceniania z Fizyki rok szkolny 2009/2010 1. Z dniem 31.08.2009 w Gimnazjum nr 1 w Lubinie wprowadza Przedmioowy Sysem Oceniania z fizyki w klasach gimnazjum I III sanowiący załącznik

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL cz.2 Formuły i funkcje macierzowe, obliczenia na liczbach zespolonych, wykonywanie i formatowanie wykresów.

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL cz.2 Formuły i funkcje macierzowe, obliczenia na liczbach zespolonych, wykonywanie i formatowanie wykresów. Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni z przedmiotu Podstawy Informatyki Kod przedmiotu: ENS1C 100 003 oraz ENZ1C 100 003 Ćwiczenie pt. ARKUSZ KALKULACYJNY

Bardziej szczegółowo

U b e zpieczenie w t eo r ii użyteczności i w t eo r ii w yceny a ktywów

U b e zpieczenie w t eo r ii użyteczności i w t eo r ii w yceny a ktywów dr Dariusz Sańko Kaedra Ubezpieczenia Społecznego Szkoła Główna Handlowa dariusz.sanko@gmail.com lisopada 006 r., akualizacja i poprawki: 30 sycznia 008 r. U b e zpieczenie w eo r ii użyeczności i w eo

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z fizyki w roku szkolnym 2012/2013 w Gimnazjum nr 2 w Kolbuszowej

Wymagania na poszczególne oceny z fizyki w roku szkolnym 2012/2013 w Gimnazjum nr 2 w Kolbuszowej Wymagania na poszczególne oceny z fizyki w roku szkolnym 2012/2013 w Gimnazjum nr 2 w Kolbuszowej 1. Wykonujemy pomiary Lp. Tema lekcji Wymagania konieczne 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Wielkości fizyczne, kóre

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE TESTU PERRONA DO BADANIA PUNKTÓW ZWROTNYCH INDEKSÓW GIEŁDOWYCH: WIG, WIG20, MIDWIG I TECHWIG

ZASTOSOWANIE TESTU PERRONA DO BADANIA PUNKTÓW ZWROTNYCH INDEKSÓW GIEŁDOWYCH: WIG, WIG20, MIDWIG I TECHWIG Doroa Wikowska, Anna Gasek Kaedra Ekonomerii i Informayki SGGW dwikowska@mors.sggw.waw.pl ZASTOSOWANIE TESTU PERRONA DO BADANIA PUNKTÓW ZWROTNYC INDEKSÓW GIEŁDOWYC: WIG, WIG2, MIDWIG I TECWIG Sreszczenie:

Bardziej szczegółowo

Optymalne strategie inwestycyjne wobec ryzyka modelu

Optymalne strategie inwestycyjne wobec ryzyka modelu Dariusz Zawisza Opymalne sraegie inwesycyjne wobec ryzyka modelu Praca dokorska Insyu Maemayki Wydział Maemayki i Informayki Uniwersye Jagielloński Promoor: dr hab. Armen Edigarian KRAKÓW 1 Spis reści

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE KURSÓW WALUTOWYCH NA PRZYKŁADZIE MODELI KURSÓW RÓWNOWAGI ORAZ ZMIENNOŚCI NA RYNKU FOREX

MODELOWANIE KURSÓW WALUTOWYCH NA PRZYKŁADZIE MODELI KURSÓW RÓWNOWAGI ORAZ ZMIENNOŚCI NA RYNKU FOREX Krzyszof Ćwikliński Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu Wydział Zarządzania, Informayki i Finansów Kaedra Ekonomerii krzyszof.cwiklinski@ue.wroc.pl Daniel Papla Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu Wydział

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII

MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII KRZYSZTOF JAJUGA Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII. Modele makroekonomiczne a modele sóp procenowych wprowadzenie Nie do podważenia

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

2. Równania nieliniowe i ich uk lady Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?

Bardziej szczegółowo

4.1 Obsługa oscyloskopu(f10)

4.1 Obsługa oscyloskopu(f10) 164 Fale 4.1 Obsługa oscyloskopu(f10) Bezpośrednim celem ćwiczenia jes zapoznanie się z działaniem i obsługą oscyloskopuak,abywprzyszłościmożnabyłoprzyjegopomocywykonywaćpomiary.wym celu należy przeprowadzić

Bardziej szczegółowo

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015 Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-86 Nr 29 205 Alicja Ganczarek-Gamro Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Kaedra Demografii

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE ZUŻYCIA CIEPŁEJ I ZIMNEJ WODY W SPÓŁDZIELCZYCH ZASOBACH MIESZKANIOWYCH

PROGNOZOWANIE ZUŻYCIA CIEPŁEJ I ZIMNEJ WODY W SPÓŁDZIELCZYCH ZASOBACH MIESZKANIOWYCH STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 15 Barbara Baóg Iwona Foryś PROGNOZOWANIE ZUŻYCIA CIEPŁEJ I ZIMNEJ WODY W SPÓŁDZIELCZYCH ZASOBACH MIESZKANIOWYCH Wsęp Koszy dosarczenia wody

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne 3. Umie

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Anna Krauze Uniwersye Warmińsko-Mazurski

Bardziej szczegółowo

O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH STRUKTUR PRZESTRZENNYCH

O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH STRUKTUR PRZESTRZENNYCH STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 26 Krzyszof Heberlein Uniwersye Szczeciński O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH STRUKTUR PRZESTRZENNYCH STRESZCZENIE W arykule

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W osanich kilkunasu laach na świecie obserwuje się dynamiczny

Bardziej szczegółowo

Wymagania przedmiotowe z fizyki - klasa III (obowiązujące w roku szkolnym 2013/2014)

Wymagania przedmiotowe z fizyki - klasa III (obowiązujące w roku szkolnym 2013/2014) Wymagania przedmioowe z izyki - klasa III (obowiązujące w roku szkolnym 013/014) 8. Drgania i ale sprężyse!wskazuje w ooczeniu przykłady ciał wykonujących ruch drgający!podaje znaczenie pojęć: położenie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z fizyki- klasa 2 i 3. 1. Podstawa programowa

Wymagania edukacyjne z fizyki- klasa 2 i 3. 1. Podstawa programowa Wymagania edukacyjne z fizyki- klasa 2 i 3 1. Podsawa programowa Cele kszałcenia wymagania ogólne I. Wykorzysanie wielkości fizycznych do opisu poznanych zjawisk lub rozwiązania prosych zadań obliczeniowych.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 12 MIKROEKONOMICZNE PODSTAWY MODELI NOWEJ EKONOMII KLASYCZNEJ

ROZDZIAŁ 12 MIKROEKONOMICZNE PODSTAWY MODELI NOWEJ EKONOMII KLASYCZNEJ Kaarzyna Szarzec ROZDZIAŁ 2 MIKROEKONOMICZNE PODSTAWY MODELI NOWEJ EKONOMII KLASYCZNEJ. Uwagi wsępne Program nowej ekonomii klasycznej, w kórej nazwie podkreślone są jej związki z ekonomią klasyczną i

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA - zna i rozumie pojęcia, zna własności figur: ogólne równanie prostej, kierunkowe równanie prostej okrąg, równanie okręgu - oblicza odległość dwóch punktów na płaszczyźnie -

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia roku Instrukcja dla ucznia W zadaniach o numerach od do są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D Dokładnie jeden z nich jest poprawny

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo