Wykład 10. Matematyka 2, semestr letni 2010/2011

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład 10. Matematyka 2, semestr letni 2010/2011"

Transkrypt

1 Wykład 1 Maemayka 2, semesr leni 21/211 Kolejny wykład poświęcony jes rozwiązywaniu liniowych równań wyższego rzędu(w wymiarze 1, zn na jedną funkcję Ogólna posać akiego równania o (1) d k x d kα k 1() dk 1 x d k 1+α k 2() dk 2 x d k 2+ +α 1() dx d +α ()x+β(), gdzie zwyczajowo wyraz z najwyższą poęgą zosawiliśmy po lewej sronie Właściwym posępowaniem okazuje się zamiana jednego równania rzędu k na układ k równań rzędu pierwszego poprzez wprowadzenie pomocniczych funkcji (2) y (),y 1 (),,y k 1 () akich,żeniewiadomafunkcjaxox()y (),pierwszapochodna dx() y 1 (x)iakdalej, d ażdopochodnejrzęduk 1: dk 1 x() y d k 1 k 1 ()Równanie(1)Zasępujemyukładem dy d y 1 dy 1 d y 2 (3) dy k 2 d dy k 1 d y k 1 α k 1 ()y k 1 +α k 2 ()y k 2 + +α 1 ()y 1 +α ()y +β() Powyższy układ jes układem liniowym, kóry można akże zapisać w posaci macierzowej: y 1 y y 1 1 y 1 y 2 y 2 (4) d d y k 2 y k 1 1 α α 1 α 2 α k 2 α k 1 y k 2 y k 1 + Wiemy już, że ogólna meoda rozwiązywania ego rodzaju równań jes znana w przypadku, kiedy macierz układu równań jes sała, zn niezależna od zmiennej Oznacza o, że funkcje α i sąsałe:α i ()α i Wakimprzypadkuukładrównań(4)rozwiązywaćmożnasosując wszyskie poznane wcześniej echniki Ze względu jednak na specyficzną posać macierzy układu równań można uzyskać(prosszą) meodę dososowaną do ego przypadku Tym bardziej, że ineresujenasylkopierwszawspółrzędna,czylifunkcjay Pozosałefunkcjemożnawyznaczyć różniczkujący odpowiedniowielerazyzeoriidoyczącejukładówrównańliniowychwiadomo, że powinniśmy uzyskać k liniowo niezależnych rozwiązań 1 b()

2 2 Oznaczamy macierz układu równań przez A A iwyznaczamywielomiancharakerysycznyω A : (5) ω A (λ)de α α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ 1 λ 1 λ λ 1 α α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ sosujemy rozwinięcie Laplace a względem pierwszego wiersza: ( λ)de λ 1 λ (1)de λ 1 α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ 1 λ λ 1 α α 2 α k 2 α k 1 λ pierwszą macierz zosawiamy, drugą rozwijamy względem pierwszej kolumny: (6) ( λ)de λ 1 λ (1)( 1) k α de λ 1 α 1 α 2 α k 2 α k 1 λ 1 λ λ 1 Teraz pierwsza macierz ma aką samą posać jak macierz wyjściowa Różnią się liczbą wierszy i kolumn Każda z ych macierzy charakeryzowana jes przez liczbę kolumn i wierszy oraz wyrazy macierzowe z osaniego wiersza Wprowadzamy więc oznaczenie D k (α,α 1,,α k 1 ) nawyznacznikmacierzyk k,kórawosanimwierszumaliczbyα,α 1,,α k 1,jakw(5) Ponieważ wyznacznik drugiej macierzy w(6) jes równy 1, wynik doychczasowych rachunków w nowych oznaczeniach ma posać D k (α,α 1,,α k )( λ)d k 1 (α 1,,α k )+( 1) p+1 α

3 3 WyznacznikD k (α,α 1,,α k )liczymykorzysajączrekurencji: D k (α,α 1,,α k )( λ)d k 1 (α 1,,α k )+( 1) k+1 α ( λ) ( λ)d k 2 (α 2,,α k )+( 1) k α 1 +( 1) k+1 α ( λ) 2 D k 2 (α 2,,α k )+( 1) k+1 α 1 λ+α ( λ) 2 ( λ)d k 3 (α 3,,α k )+( 1) k 1 α 2 +( 1) k+1 α 1 λ+α ( λ) 3 D k 3 (α 3,,α k )+( 1) k+1 α 2 λ 2 +α 1 λ+α ( λ) k 2 D 2 (α k 1,α k )+( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α WyznacznikD 2 (α k 1,α k )obliczamyjużbezpośrednio λ 1 D 2 (α k 1,α k )de ( λ) α k 2 α k 1 λ 2 α k 1 λ α k 2 i wsawiamy do rachunku: ( λ) k 2 D 2 (α k 1,α k )+( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ( λ) k 2 (λ 2 α k 1 λ α k 2 )+( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ( 1) k λ k +( 1) k 1 α k 1 λ k 1 +( 1) k 1 α k 2 λ k 2 +( 1) k+1 α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α Warunek czyli ( 1) k λ k +( 1) k+1 α k 1 λ k 1 +α k 2 λ k 2 +α k 3 λ k 3 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ma więc posać ( 1) k( λ k α k 1 λ k 1 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α ) ω A (λ) D k (α,α 1,,α k ) (7) λ k α k 1 λ k 1 + +α 2 λ 2 +α 1 λ+α To samo równanie orzymalibyśmy sosując radycyjne(i w ym wypadku dużo prossze) rozumowanie:załóżmy,żerozwiązaniemrównania(1)jesfunkcja x()e λ Wówczas d n x() d n λ n e λ Po wsawieniu ej propozycji rozwiązania do równania orzymujemy warunek na λ w posaci idenycznejz(7)załóżmyeraz,żeλ i dlai1rsąpierwiaskamirównaniacharakerysycznego,oznaczmyeżprzezn i kronośćpierwiaskaλ i Mamywedyr kin 1 +n 2 + +n r k Każdemu rzeczywisemu rozwiązaniu równania charakerysycznego odpowiada rozwiązanie równanie różniczkowego e λ i Rozwiązań ych jes najwyżej r(zazwyczaj jes o mniej niż k) Jedynie w przypadku, kiedy wszyskie pierwiaski są rzeczywise i jednokrone orzymujemy komple k niezależnych rozwiązań równania(1) Prose podsawienie, kóre można zasosować, żeby orzymać równanie charakerysyczne, nie daje odpowiedzi na pyanie skąd wziąć brakujące rozwiązania, jeśli równanie charakerysyczne ma pierwiaski rzeczywise wielokrone, zespolone jednokrone lub

4 4 zespolone wielokrone Trzeba sięgnąć do doświadczeń z rozwiązywania układów równań liniowych nie pochodzących od równań wyższego rzędu Rozwiązanie(4) ma, jak wiadomo posać: y C y 1 C 1 y k 1 exp(a) C k 1 Nas ineresuje jedynie pierwsza współrzędna, czyli iloczyn pierwszego wiersza macierzy exp(a) przez wekor złożony ze sałych C Wyznaczając warości funkcji exp na różnych macierzach swierdziliśmy, że isonie jednokronym warościom własnym macierzy A odpowiadają wyrazy ypue λ,alezauważyliśmyakże,żejeśliwarośćwłasnajesdwukronairzeczywisaow macierzypojawiająsiędodakowowyrażeniae λ,ajeśliwarośćwłasnaλjesczysourojona orzymujemy kombinacje funkcji sin i cos Opierając się więc na doświadczeniu możemy podać przepis na konsruowanie fundamenalnego układu rozwiązań dla dowolnego zesawu warości własnych: (1)Rzeczywisajednokronawarośćwłasna:λ i R,n i 1,rozwiązaniejesposaci Ce λ i, pojedynczej warości własnej odpowiada jeden dowolny paramer C (2)Rzeczywisadwukronawarośćwłasna:λ i R,n i 2,rozwiązaniejesposaci (C 1 +C )e λ i, podwójnejwarościwłasnejodpowiadajądwadowolneparameryc 1,C (3)Ogólnie:Rzeczywisan-kronawarośćwłasna:λ i R,n i n,rozwiązaniejes posaci (C n 1 n 1 +C n 2 n 2 + +C 1 +C )e λ i, n-kronejwarościwłasnejodpowiadandowolnychparamerówc n 1,,C (4)Zespolonajednokronawarośćwłasna:λ j C,n j 1Wakiejsyuacjiwarość własnaλ j a+bimazawszedoparywarośćwłasnąsprzężonąλ j a biparze sprzężonych jednokronych warości własnych odpowiada rozwiązanie e a (Csin(b)+Dcos(b)), mające dwa dowolne paramery (5)Zespolonadwukronawarośćwłasna:λ j C,n j 2Równieżwakiejsyuacji warośćwłasnaλ j a+bimazawszedoparydwukronąwarośćwłasnąsprzężoną λ j a biparzesprzężonychdwukronychwarościwłasnychodpowiadarozwiązanie e a (C 1 +c )sin(b)+(d 1 +D )cos(b), mające w sumie czery dowolne paramery (6)Ogólnie:Zespolonan-kronawarośćwłasna:λ j C,n j nwarośćwłasna λ j a+bimazawszedoparyn-kronąwarośćwłasnąsprzężonąλ j a biparze sprzężonych n-kronych warości własnych odpowiada rozwiązanie e a (C n 1 n 1 + +C 1 +c )sin(b)+(d n 1 n 1 + +D 1 +D )cos(b), mające w sumie 2n dowolnych paramerów

5 Przykład 1(absurdalny) Znaleźć ogólne rozwiązanie równania d 7 x x x x x x d 7 12d6 d 6+61d5 d 5 174d4 d 4+38d3 d 3 344d2 d 2+228dx d 72x Jes o liniowe jednorodne równanie siódmego rzędu Odpowiednie równanie charakerysyczne ma posać λ 7 12λ 6 +61λ 5 174λ 4 +38λ 3 344λ λ 72 Równanie charakerysyczne zapisane w posaci iloczynowej(nad R) o: (λ 2 2λ+2) 2 (λ 2)(λ 3) 2, anad C: λ (1+i) 2 λ (1 i) 2 (λ 2)(λ 3) 2 Mamy więc: parę podwójnych zespolonych warości własnych i odpowiadające im rozwiązanie λ 1 (1+i), λ 2 (1 i), n 1 n 2 2 x()e (A+B)sin()+(C+D)cos(), jednąpojedyncząrzeczywisąwarośćwłasnąλ 3 2,n 3 1zrozwiązaniem x()ee 2 ijednąpodwójną,rzeczywisąwarośćwłasnąλ 4 3,n 4 2zrozwiązaniem x()(f+g)e 3 Ogólne rozwiązanie naszego równania siódmego sopnia ma więc posać x()e (A+B)sin()+(C+D)cos()+Ee 2 +(F+G)e 3 W dalszym ciągu zajmiemy się poszukiwaniem szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego Najefekywniejszą meodą poszukiwania ego rozwiązania jes zgadywanie Znane są ogólne zasady przewidywania posaci rozwiązania w zależności od posaci niejednorodności O ym powiemy za chwilę Zdarza się jednak, że niejednorodność nie jes ypowa, wedy rzeba uciec się do meody uzmienniania sałych Pamięać jednak musimy, że meoda uzmiennania sałych zosała wymyślona dla równań rzędu pierwszego a nie rzędu drugiego i wyższych Można ją zaem sosować po przejściu od równania rzędu wyższego do układu równań rzędu pierwszego Omówimy o na przykładzie równania drugiego rzędu: d 2 x dx (8) d 2+α 1 d +α xb(), w innej noacji ẍ+α 1 ẋ+α xb() Wiadomo,żerównaniejednorodne(RJ)madwaniezależnerozwiązaniaOznaczmyjex 1 ix 2 RORJ zapisać możemy w posaci (9) x()c 1 x 1 ()+C 2 x 2 () Odpowiedni dla(8) układ równań o d y (1) d y 1 1 α α 1 y y 1 + b() 5

6 6 Rozwiązaniem ego układu jes funkcja o warościach wekorowych y () x() C1 x (11) 1 ()+C 2 x 2 () y 1 () ẋ() C 1 ẋ 1 ()+C 2 ẋ 2 () Sałe uzmienniamy w rozwiązaniu(11) poszukując rozwiązania układu równań(1), a nie w rozwiązaniu(9)poszukującrozwiązaniarównania(8)!trakujemyjakzwyklesałec 1 ic 2 jako funkcjec 1 ()ic 2 ()Rozwiązanieukładurównań(1)przewidujemywposaci y () C1 ()x (12) 1 ()+C 2 ()x 2 () y 1 () C 1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () Po zróżniczkowaniu d y () d C1 ()x 1 ()+C 2 ()x 2 () d y 1 () d C 1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () Ċ1 ()x 1 ()+Ċ2()x 2 () + Ċ 1 ()ẋ 1 ()+Ċ2()ẋ 2 () wsawiamy do równania: Ċ1 ()x 1 ()+Ċ2()x 2 () Ċ 1 ()ẋ 1 ()+Ċ2()ẋ 2 () C1 ()ẋ + 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () C 1 ()ẍ 1 ()+C 2 ()ẍ 2 () 1 α α 1 C1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () C 1 ()ẍ 1 ()+C 2 ()ẍ 2 () C1 ()x 1 ()+C 2 ()x 2 () C 1 ()ẋ 1 ()+C 2 ()ẋ 2 () + b() Częściniebieskieupraszczająsię,bowekorzłożonyzx 1,x 2 ipochodnychjesrozwiązaniem równania jednorodnego Zosaje Ċ1 ()x 1 ()+Ċ2()x 2 (), Ċ 1 ()ẋ 1 ()+Ċ2()ẋ 2 () b() co można zapisać nasępująco x1 x 2 ẋ 1 ẋ 2 Ċ1 Ċ 2 b() Macierz złożona z rozwiązań jes odwracalna, bo rozwiązania są niezależne Orzymujemy więc wzorynaċ1iċ 2 : 1 Ċ1 x1 x 2 ẋ 1 ẋ 2 b() Ċ 2 Przykład 2 Znaleźć rozwiązanie ogólne równania ẍ 2ẋ+x 1 e Szukamy(RORJ): Równanie charakerysyczne ma posać λ 2 2λ+1(λ 1) 2 Mamy jedną dwukroną warość własną λ 1, zaem fundamenalny układ rozwiązań składa sięz x 1 ()e i x 2 ()e

7 7 Zapisujemy(RORJ) zależne od dwóch dowolnych sałych x o Ae +Be Układ równań pierwszego rzędu odpowiadający równaniu drugiego rzędu ma posać d y 1 y (13) + 1 d y y 1 e Rozwiązaniem ogólnym układu jednorodnego jes wekor y () xo () Ae +Be y 1 () ẋ o () Ae +B(e +e ) W powyższym wekorze rakujemy sałe A, B jako funkcje zmiennej i wsawiamy do(13) e e Ȧ e +Ḃ e e e +e +A e +B +e 2e +e ( ) 1 e e A 1 2 e +B e +e + 1 e Wyrazy niebieskie i czerwone(wraz z macierzą) upraszczają się, bo wekory e e e, i e +e sąrozwiązaniamiukładujednorodnegopozosajerównanienapochodneȧiḃ e e Ȧ e +Ḃ e +e 1, e kóre inaczej można zapisać w posaci e e WyznaczamyȦiḂ: A Ḃ e e +e A Ḃ e e 1 1 e 1 1 i szukamy funkcji pierwonych: 1 A ( 1)d +cons, B dlog +cons Orzymujemy nasępujące rozwiązanie szczególne: x s ( )e +log e Pierwszy składnik jes proporcjonalny do jednego z rozwiązań fundamenalnych, można więc go pominąć Osaecznie(RORN) jes posaci x()ae +Be +log( )e Meodę zgadywania omówimy na nasępującym przykładzie

8 8 Przykład 3 Znaleźć rozwiązanie ogólne równania ẍ x2cos+e Powyższe równanie jes równaniem liniowym drugiego rzędu o sałych współczynnikach z dwiema niejednorodnościami(niejednorodnością, kóra jes sumą dwóch wyrazów) W akiej syuacji rozwiązanie szczególne jes sumą odpowiednich rozwiązań orzymanych oddzielnie dla każdego wyrazu Zaczynamy jak zwykle od(rorj) Równanie charkerysyczne λ 2 1(λ 1)(λ+1) madwapierwiaskiλ 1 1iλ 2 1Fundamenalnyukładrozwiązańo (RORJ) ma posać x 1 ()e, x 2 ()e x o ()Ae +Be Nie będziemy eraz uzmienniać sałych A i B, ylko spróbujemy odgadnąć posać rozwiązania szczególnegozaczynamyodpierwszejniejednorodności,znb 1 ()2cosWśródrozwiązań RJniemafunkcji cos,ani sin,znniejednorodnośćjesnierezonansowarozwiązanie szczególne przewidujemy w posaci podobnej do niejednorodności, czyli Różniczkujemyprzewidywanex s dwarazy x s ()(a+b)cos+(c+d)sin ẋ s ()(a+d+c)cos+( a b+c)sin, ẍ s ()( a+ b+2c)cos+( 2a d c)sin iwsawiamydorównaniazniejednorodnościąb 1 (): ( a+ b+2c)cos+( 2a d c)sin (a+b)cos+(c+d)sin2cos ( 2a 2b+2c)cos+( 2c 2a 2d)sin2cos Zporównaniaprawejilewejsronywynikająwarunkinaa,b,c,d: Z powyższych równań orzymujemy 2a2 2b+2c 2c 2a 2d a 1, b, c, d1, zn x s () cos+sin Druganiejednorodnośćb 2 ()e jesakżeypowa(funkcjawykładnicza)ponieważjeso jednocześnie rozwiązanie RJ, mamy do czynienia z zw rezonansem Nazwa pochodzi z analizy równania oscylaora harmonicznego Jeśli siła wymuszająca drgania oscylaora ma ę samą częsoliwość co częsoliwość własna oscylaora(zn jes proporcjonalna do jednego z rozwiązań

9 równania oscylaora harmonicznego) mamy do czynienia właśnie z rezonansem, kórego objawem jes wzrasanie ampliudy drgań W akim przypadku przewidywana posać rozwiązania szczególnego powinna być nasępująca: x s ()ae, znsopieńwielomianumnożącegoe (wsamejniejednorodnościrówny)powinienzosać zwiększony W celu wyznaczenia warości paramerów a i b wsawiamy przewidywaną posać x s dorównaniazniejednorodnościąb 2 (): ẋ s ()(a+a)e, ẍ s ()(a+2a)e (a+2a)e ae e 2ae e Orzymaliśmywarośća 1 2 znx s() 1 2 e Pełnerozwiązanierównaniazobydwomaniejednorodnościami o x()ae +Be cos+sin+ 1 2 e Więcej informacji na ema zgadywania rozwiązań szczególnych dla ypowych niejednorodności będzie na ćwiczeniach 9

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA KONSTRUKCJI

DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej

Bardziej szczegółowo

ψ przedstawia zależność

ψ przedstawia zależność Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Pobieranie próby. Rozkład χ 2

Pobieranie próby. Rozkład χ 2 Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) górotworu

Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) górotworu Henryk FILCEK Akademia Górniczo-Hunicza, Kraków Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) góroworu Sreszczenie W pracy podano rozważania na ema możliwości wzbogacenia reologicznego równania konsyuywnego

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe człony dynamiczne

Podstawowe człony dynamiczne Podsawowe człony dynamiczne charakerysyki czasowe. Człon proporcjonalny = 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny = = + 4. Człony całkujący rzeczywisy () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisy ()

Bardziej szczegółowo

( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =

( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: = ROZŁADOWANIE KONDENSATORA I. el ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia (i/lub prądu I ) rozładowania kondensaora w funkcji czasu : = (), wyznaczanie sałej czasowej τ =. II. Przyrządy: III. Lieraura:

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.

EKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar. EKONOMERIA wykład Prof. dr hab. Eugeniusz Ganar eganar@mail.wz.uw.edu.pl Przedziały ufności Dla paramerów srukuralnych modelu: P bˆ j S( bˆ z prawdopodobieńswem parameru b bˆ S( bˆ, ( m j j j, ( m j b

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Związek między ruchem harmonicznym a ruchem jednostajnym po okręgu

Związek między ruchem harmonicznym a ruchem jednostajnym po okręgu Związek międz ruchem harmonicznm a ruchem jednosajnm po okręgu Rozważm rzu Q i R punku P na osie i : Q cos v r R sin R Q P δ Q cos ( δ ) R sin ( δ ) Jeżeli punk P porusza się ruchem jednosajnm po okręgu,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki Poliechnika Gdańska Wydział Elekroechniki i Auomayki Kaedra Inżynierii Sysemów Serowania Podsawy Auomayki Repeyorium z Podsaw auomayki Zadania do ćwiczeń ermin T15 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz,

Bardziej szczegółowo

Lista nr Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) y = y t,

Lista nr Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) y = y t, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE B Lisa nr 1 1. Napisać równanie różniczkowe, jakie spełnia napięcie u = u() na okładkach kondensaora w obwodzie zawierającym połączone szeregowo oporność R i pojemność C,

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Silniki cieplne i rekurencje

Silniki cieplne i rekurencje 6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

POMIAR PARAMETRÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH METODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁU

POMIAR PARAMETRÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH METODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁU Pomiar paramerów sygnałów napięciowych. POMIAR PARAMERÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH MEODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZEWARZANIA SYGNAŁU Cel ćwiczenia Poznanie warunków prawidłowego wyznaczania elemenarnych paramerów

Bardziej szczegółowo

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Krzywe na płaszczyźnie.

Krzywe na płaszczyźnie. Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Metody prognozowania: Szeregi czasowe. Dr inż. Sebastian Skoczypiec. ver Co to jest szereg czasowy?

Metody prognozowania: Szeregi czasowe. Dr inż. Sebastian Skoczypiec. ver Co to jest szereg czasowy? Meody prognozowania: Szeregi czasowe Dr inż. Sebasian Skoczypiec ver. 11.20.2009 Co o jes szereg czasowy? Szereg czasowy: uporządkowany zbiór warości badanej cechy lub warości określonego zjawiska, zaobserwowanych

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 4 Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL, RC i RLC przy wymuszeniu stałym

ĆWICZENIE 4 Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL, RC i RLC przy wymuszeniu stałym ĆWIZENIE 4 Badanie sanów nieusalonych w obwodach, i przy wymuszeniu sałym. el ćwiczenia Zapoznanie się z rozpływem prądów, rozkładem w sanach nieusalonych w obwodach szeregowych, i Zapoznanie się ze sposobami

Bardziej szczegółowo

Rys.1. Podstawowa klasyfikacja sygnałów

Rys.1. Podstawowa klasyfikacja sygnałów Kaedra Podsaw Sysemów echnicznych - Podsawy merologii - Ćwiczenie 1. Podsawowe rodzaje i ocena sygnałów Srona: 1 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jes zapoznanie się z podsawowymi rodzajami sygnałów, ich

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Praca domowa nr 1. Metodologia Fizyki. Grupa 1. Szacowanie wartości wielkości fizycznych Zad Stoisz na brzegu oceanu, pogoda jest idealna,

Praca domowa nr 1. Metodologia Fizyki. Grupa 1. Szacowanie wartości wielkości fizycznych Zad Stoisz na brzegu oceanu, pogoda jest idealna, Praca domowa nr. Meodologia Fizyki. Grupa. Szacowanie warości wielkości fizycznych Zad... Soisz na brzegu oceanu, pogoda jes idealna, powierze przeźroczyse; proszę oszacować jak daleko od Ciebie znajduje

Bardziej szczegółowo

Badanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1

Badanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 adanie funkorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 1. Cel ćwiczenia Zapoznanie się z podsawowymi srukurami funkorów logicznych realizowanych w echnice TTL (Transisor Transisor Logic), ich podsawowymi paramerami

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie prognoz. - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz. - podstawowe metody kombinowania prognoz

Kombinowanie prognoz. - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz. - podstawowe metody kombinowania prognoz Noaki do wykładu 005 Kombinowanie prognoz - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz - podsawowe meody kombinowania prognoz - przykłady kombinowania prognoz gospodarki polskiej - zalecenia

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE mgr Żanea Pruska Ćwiczenia 2 Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X, wyrażona w ysiącach wyprodukowanych i dosarczonych szuk firmie Bea,

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

licencjat Pytania teoretyczne:

licencjat Pytania teoretyczne: Plan wykładu: 1. Wiadomości ogólne. 2. Model ekonomeryczny i jego elemeny 3. Meody doboru zmiennych do modelu ekonomerycznego. 4. Szacownie paramerów srukuralnych MNK. Weryfikacja modelu KMNK 6. Prognozowanie

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI PROSTOWNIKI

LABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI PROSTOWNIKI ZESPÓŁ LABORATORIÓW TELEMATYKI TRANSPORTU ZAKŁAD TELEKOMUNIKJI W TRANSPORCIE WYDZIAŁ TRANSPORTU POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ LABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PROSTOWNIKI DO UŻYTKU

Bardziej szczegółowo

specyfikacji i estymacji modelu regresji progowej (ang. threshold regression).

specyfikacji i estymacji modelu regresji progowej (ang. threshold regression). 4. Modele regresji progowej W badaniach empirycznych coraz większym zaineresowaniem cieszą się akie modele szeregów czasowych, kóre pozwalają na objaśnianie nieliniowych zależności między poszczególnymi

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie

Wykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Wykład 5 Elemeny eorii układów liniowych sacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie

Bardziej szczegółowo

20. Wyznaczanie ciepła właściwego lodu c pl i ciepła topnienia lodu L

20. Wyznaczanie ciepła właściwego lodu c pl i ciepła topnienia lodu L 20. Wyznaczanie ciepła właściwego lodu c pl i ciepła opnienia lodu L I. Wprowadzenie 1. Ciepło właściwe lodu i ciepło opnienia lodu wyznaczymy meodą kalorymeryczną sporządzając odpowiedni bilans cieplny.

Bardziej szczegółowo

Szeregi Fouriera. Powyższe współczynniki można wyznaczyć analitycznie z następujących zależności:

Szeregi Fouriera. Powyższe współczynniki można wyznaczyć analitycznie z następujących zależności: Trygonomeryczny szereg Fouriera Szeregi Fouriera Każdy okresowy sygnał x() o pulsacji podsawowej ω, spełniający warunki Dirichlea:. całkowalny w okresie: gdzie T jes okresem funkcji x(), 2. posiadający

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ

ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ Ćwiczenie 8 ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ. Cel ćwiczenia Analiza złożonego przebiegu drgań maszyny i wyznaczenie częsoliwości składowych harmonicznych ego przebiegu.. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Gr.A, Zad.1. Gr.A, Zad.2 U CC R C1 R C2. U wy T 1 T 2. U we T 3 T 4 U EE

Gr.A, Zad.1. Gr.A, Zad.2 U CC R C1 R C2. U wy T 1 T 2. U we T 3 T 4 U EE Niekóre z zadań dają się rozwiązać niemal w pamięci, pamięaj jednak, że warunkiem uzyskania różnej od zera liczby punków za każde zadanie, jes przedsawienie, oprócz samego wyniku, akże rozwiązania, wyjaśniającego

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1 ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1 mgr inż. Żanea Pruska Maeriał opracowany na podsawie lieraury przedmiou. Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X,

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ INSTTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WDZIAŁ INŻNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ INSTRUKCJA LABORATORJNA Tema ćwiczenia: WZNACZANIE WSPÓŁCZNNIKA PRZEWODZENIA CIEPŁA CIAŁ STAŁCH METODĄ STANU UPORZĄDKOWANEGO

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne MAP 3014, 3062 Lista zadań

Równania różniczkowe zwyczajne MAP 3014, 3062 Lista zadań Równania różniczkowe zwyczajne MAP 304, 306 Lisa zadań.zpewnejsubsancjiradioakywnejpoupływie4lazosało0gram,apoupływiedalszych4laylko 4 gramy. Wyznaczyć masę subsancji w chwili począkowej. (b) Polon-0 ma

Bardziej szczegółowo

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie Maeriał dla sudenów Niesacjonarne zmienne czasowe własności i esowanie (sudium przypadku) Nazwa przedmiou: ekonomeria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych i prognozowanie (13201); Kierunek sudiów:

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i symulacje

Prognozowanie i symulacje Prognozowanie i smulacje Lepiej znać prawdę niedokładnie, niż dokładnie się mlić. J. M. Kenes dr Iwona Kowalska ikowalska@wz.uw.edu.pl Prognozowanie meod naiwne i średnie ruchome Meod naiwne poziom bez

Bardziej szczegółowo

Ćw. S-II.2 CHARAKTERYSTYKI SKOKOWE ELEMENTÓW AUTOMATYKI

Ćw. S-II.2 CHARAKTERYSTYKI SKOKOWE ELEMENTÓW AUTOMATYKI Dr inż. Michał Chłędowski PODSAWY AUOMAYKI I ROBOYKI LABORAORIUM Ćw. S-II. CHARAKERYSYKI SKOKOWE ELEMENÓW AUOMAYKI Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jes zapoznanie się z pojęciem charakerysyki skokowej h(),

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne

Bardziej szczegółowo

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1)

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1) ĆWCZENE N 43 POMY OPO METODĄ TECHNCZNĄ Cel ćwiczenia: wyznaczenie warości oporu oporników poprzez pomiary naężania prądu płynącego przez opornik oraz napięcia na oporniku Wsęp W celu wyznaczenia warości

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzysano: M A T E M A T Y K A Wykład dla sudenów Część Krzyszo KOŁOWROCKI, ZBIÓR ZADAŃ Z RACHUNKU CAŁKOWEGO Krzyszo PISKÓRZ Deinicja CAŁKA NIEOZNACZONA Funkcję

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Transformata Laplace a

Wykład 4: Transformata Laplace a Rachunek prawdopodobieńwa MAP164 Wydział Elekroniki, rok akad. 28/9, em. leni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 4: Tranformaa Laplace a Definicja. Niech f() będzie funkcją określoną na R, przy czym

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK 1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE 2 hp://www.oucome-seo.pl/excel2.xls DODATEK SOLVER WERSJE EXCELA 5.0, 95, 97, 2000, 2002/XP i 2003. 3 Dodaek Solver jes dosępny w menu Narzędzia. Jeżeli Solver nie jes dosępny

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu o wielu stopniach swobody Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach

Bardziej szczegółowo

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD Pior Jankowski Akademia Morska w Gdyni IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD W arykule przedsawiono możliwości (oraz ograniczenia) środowiska Mahcad do analizy

Bardziej szczegółowo

drgania h armoniczne harmoniczne

drgania h armoniczne harmoniczne ver-8..7 drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne () An cos( nω + ϕ n ) N n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k E p ( ) jeden sopień swobody: -A A E p

Bardziej szczegółowo

Regulatory. Zadania regulatorów. Regulator

Regulatory. Zadania regulatorów. Regulator Regulaory Regulaor Urządzenie, kórego podsawowym zadaniem jes na podsawie sygnału uchybu (odchyłki regulacji) ukszałowanie sygnału serującego umożliwiającego uzyskanie pożądanego przebiegu wielkości regulowanej

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Przemysław Klęsk. Słowa kluczowe: analiza składowych głównych, rozmaitości algebraiczne

Przemysław Klęsk. Słowa kluczowe: analiza składowych głównych, rozmaitości algebraiczne Przemysław Klęsk O ALGORYTMIE PRINCIPAL MANIFOLDS OPARTYM NA PCA SŁUŻACYM DO ZNAJDOWANIA DZIEDZIN JAKO ROZMAITOŚCI ALGEBRAICZNYCH NA PODSTAWIE ZBIORU DANYCH, PROPOZYCJA MIAR JAKOŚCI ROZMAITOŚCI Sreszczenie

Bardziej szczegółowo

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych Poliechnika Częsochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informayki Sprawozdanie #2 z przedmiou: Prognozowanie w sysemach mulimedialnych Andrzej Siwczyński Andrzej Rezler Informayka Rok V, Grupa IO II

Bardziej szczegółowo

Metody badania wpływu zmian kursu walutowego na wskaźnik inflacji

Metody badania wpływu zmian kursu walutowego na wskaźnik inflacji Agnieszka Przybylska-Mazur * Meody badania wpływu zmian kursu waluowego na wskaźnik inflacji Wsęp Do oceny łącznego efeku przenoszenia zmian czynników zewnęrznych, akich jak zmiany cen zewnęrznych (szoki

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 5 listopada 2013 Czas 90 minut

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 5 listopada 2013 Czas 90 minut Wojewódzki Konkurs Maemayczny dla uczniów gimnazjów. Eap szkolny 5 lisopada 2013 Czas 90 minu ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. (1 punk) Liczby A = 0, 99, B = 0, 99 2, C = 0, 99 3, D = 0, 99, E=0, 99 1 usawiono

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk

Równania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk Analiza Matematyczna Równania różniczkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Analiza

Bardziej szczegółowo