FIZYCZNO-STATYSTYCZNY MODEL PRZEWODNICTWA HYDRAULICZNEGO W OŚRODKU POROWATYM

Transkrypt

1 FIZYCZNO-STATYSTYCZNY MODEL PZEWODNICTWA HYDAULICZNEGO W OŚODKU POOWATYM (A new physica-statistica mode of hydaic condctivity in poos medim) Bogsław Usowicz Institte of Agophysics, Poish Academy of Sciences. Doświadczana 4, Lbin 27, Poand e-mai: Usowicz@demete.ipan.bin.p Abstact A new mode of hydaic condctivity based on physica and statistica concepts is pesented. The cacations based on this new physica-statistica mode and compaison of the cacated ests with the data meased as we as statistica anaysis can be a basis to the statement, that this mode pedicts the hydaic condctivity with the satisfactoy accacy. Wstęp Badanie pocesów wymiany masy i enegii w ośod poowatym z egły spowadza się do obiczenia iości masy i enegii pzenoszonej w obębie jednego badanego ład b też pomiędzy ładami. Jedną z podstawowych właściwości ośoda poowatego deteminjącą ch cieczy jest pzewodność hydaiczna K [, 2, 3, 7, 9, 0, 2, 3, 5, 6, 7, 29, 3]. Znajomość tej właściwości jest niezbędna do opis ch cieczy w ośod poowatym, ma też ona istotne znaczenie patyczne w ształtowani dostęp wody i sładniów poamowych ośinie, czy też w pojetowani w meioacji [4, 5, 8,, 4, 8, 9, 20, 2, 22, 23, 24, 25, 26, 33]. Toteż znaezienie optymanego ozwiązania pobem wymiany masy w ośod poowatym w opaci o podstawowe, łatwo miezane właściwości ośoda, ja i wyjaśnienia sompiowanego poces pzepływ medim w ośod poowatym jest w centm zainteesowania wie dziedzin nai i stanowi główny ce badań podejmowanych w tym obszaze. W niniejszej pacy pzedstawiono poszczony opis wymiany masy w ośod poowatym w opaci o statystyczny mode pzewodności hydaicznej. Pzepływ wody w ośod poowatym Pzepływ cieczy w ośod poowatym opisywany jest posta zasadą zwaną pawem Dacy. Stwiedza ona, że szybość objętościowa pzepływ pzypadająca na jednostę powiezchni jest popocjonana do spad potencjał: Q ψ K A () gdzie Q ψ jest szybością objętościową pzepływ, K pzewodnością hydaiczną, spadiem potencjał w popze wastwy, A poem wastwy, jej miąższość, oponością. Wyideaizowanym modeem pzepływ cieczy w ośod poowatym jest ównanie Hagena - Poiseie a opisjące aminany i stacjonany pzepływ cieczy pzez postą apiaę o pzeoj oistym. Objętość cieczy, tóa w czasie t pod działaniem óżnicy ciśnień pzepływa pzez ę apianą o pomieni i dłgości obiczana jest ze wzo:

2 Q ψ 2 ρ g A K A (2) gdzie oznacza pomień apiay, g pzyśpieszenie ziemsie, η jest epością cieczy. ównanie to zachowje swoją sttę da iczby eynodsa nie więszej niż 4. Ostatni wane spełniony jest pzy dyspesyjnym pzepływie cieczy w ośod poowatym. Można pzyjąć, że ośode poowaty odwzoowywany będzie pzez ład (sieć) mniej b badziej cyindycznych anałów powiązanych między sobą. Pomień apiay może w jednym pzypad epezentować eementaną apiaę np. powstałą między cząsteczami geby, w dgim pzypad śedni pomień hydodynamiczny. Spojzenie na ośode poowaty jao sieć połączonych apia pozwaa na zastosowanie statystycznego podejścia do opis pzepływ cieczy. W sład ośoda poowatego wchodzi faza stała i to jej onfigacja decydje o ozładzie poów w tym ośod, a tym samym wanje ona pzebieg zywej etencji wodnej ośoda [5, 27, 28, 30]. Opis fizyczno-statystycznego mode pzewodności hydaicznej Fizyczno-statystyczny mode (ys. ) sonstowano ta, że jednostową objętość geby w sład, tóej wchodzą cząsti fazy stałej, ciełej i gazowej pzedstawiono jao ład zbdowany z eementanych fig geometycznych, tóe twozą wastwy naładające się na siebie. Pzyjęto, że ciecz b gaz, tóe występją między cząsteczami i ich pzepływ pzez ład zobazowany jest pzez ład apia (ys. a, b). Połączenia apia w wastwie będą odwzoowywane pzez ównoegłe połączenia oponiów hydaicznych, natomiast międzywastwowe połączenia apia pzez szeegowe połączenia oponiów (ys. c). Ze wzgęd, że nie jesteśmy w stanie znaeźć zeczywistego ozład cząste w ośod poowatym pzyjęto, że w mode będą ozważane wszystie możiwe ombinacje cząste wchodzące w jego sttę. a) b) c) ys.. Schemat onstcji mode statystycznego, a) jednostowa objętość ośoda, b) ład apia obazjących poy powstałe między cząsteczami, c) połączenia ównoegłe oponiów w wastwie i szeegowe między wastwami [3]. Fig.. Schematic diagam of the statistica mode constction, a) nit vome of soi, b) the system of capiaies that fom oveapping ayes, c) paae connection of esistos in the ayes and seies between ayes [3]. Pzewodnictwo hydaiczne eementanej apiay w sieci wyznacza się z ównania Hagena - Poiseie a: K ρ g (3) 2 ij ij Podobnie pzewodnictwo hydaiczne ośoda poowatego wyaża się popzez śedni pomień hydodynamiczny:

3 ρ g 2 K (4) Podstawiając powyższe zaeżności, do ównania na całowitą oponość ład połączeń ównoegłych i szeegowych oponiów (ys. c): n n j j j i ij. (5) oaz pzyjmjąc, że A odpowiada śednich powiezchni π 2, a A ij ówna się π ij 2, natomiast na dłgości występje n jednostowych połączeń szeegowych, po pzeształceniach otzymje się: ρ g K n n j i 4 ij ij (6) Ponieważ nie jesteśmy w stanie espeymentanie znaeźć ozład apia w badanej gebie, a pzez to i watości pod piewiastiem, datego też watość tę możemy zastąpić watością oczeiwaną teoetyczną, tóa to wzgędnia wszystie możiwe onfigacje cząste i pawdopodobieństwa wystąpienia tych onfigacji. Pawdopodobieństwo wyiczane będzie z ozład wieomianowego [6]:! x j x P ( x j j,..., xj ) f... f (7) x... x! j! j P(x ij ) podaje ono pawdopodobieństwo tego, że niezaeżnych póbach zysamy doładnie x ij wyniów typ j, jeśi pawdopodobieństwo wyni i w pojedynczej póbie wynosi f i, i, 2,...,. W naszym pzypad f, f 2,..., f, są to zawatości wody i powietza w jednostce objętości i są one tatowane jao pawdopodobieństwa zysania wyni typ i w pojedynczej póbie. Zastępjąc watości pod piewiastiem, watością oczeiwaną można zapisać ogóne ównanie pzewodności hydaicznej [3]: ρ g K L j x j P( x,..., x 4 j j x j ) 4 (8) gdzie: L jest iczbą wszystich możiwych ombinacji łożenia apia, x, x 2,..., x iczba apia powstałych między cząstami ośoda o pomieniach apia, 2,..., i dłgościach, 2,...,, pzy czym: i x ij, j,2,...,l. Spełniony msi być też wane: ( X x j ) L j P.

4 Dane pomiaowe do weyfiacji statystycznego mode pzewodności hydaicznej Dane pomiaowe pzewodności wodnej, poowatości, gęstości ośoda, gęstości fazy stałej, zawatości wody pzy óżnym jej potencjae pochodziły z pacy Boosa i Coeya [2]. Dane te obejmowały dwie zwięzłe sały sała Beea i Hygiene. Testowanie statystycznego mode pzewodności hydaicznej Testowania i weyfiacji zapoponowanego mode doonano na dodze anaizy sładowych jego eementów oaz na podstawie poównania watości obiczonych z mode ze zmiezonymi. Pzyjęto pewne poszczenia odnośnie ośoda poowatego. Opisywano go pzez sześć óżnych apia o jednaowych dłgościach. Wyznaczenia pomieni apia doonywano w opaci o zywe etencji wody w ośod (ys. 2), natomiast ich dłgości oaz stopnie swobody mode na dodze obiczeń, w tai sposób, aby zysać najepszą zgodność między watościami obiczonymi i zmiezonymi. Pawdopodobieństwo wyosowania w pojedynczej póbie oeśonej apiay w badanej póbce ośoda czy geby f i, i,..., wyznaczano ównież w opaci o zywe etencji wody w gebie. Pzyjęto, że zywe etencji wody dziei się na części, nieoniecznie ównych, ae mogą być też ówne. Da ażdej taiej części wyznaczano śedni pomień apiay (b potencjał wody) i odpowiadające im zawatości wody. 60 Potencjał wody (cm H2O) i Wigotność (m 3 m -3 ) ys. 2. Oeśenie śednich pomieni apia i i odpowiadających im zawatości wody, i,2,...,5 z zywej etencji wody. Dane żyte w pzyładzie pochodzą z pacy [2]. Fig. 2. Detemination of mean capiay adis and vometic wate content, i,2,...,5 fom etention cve of wate. Data sed in this exampe ae taen fom pape [2]. Z podstawowych danych fizycznych ośoda wyznaczano ównież poowatość ogóną. Otzymane ta dane były podstawowymi danymi wejściowymi do statystycznego mode pzewodnictwa hydaicznego w ośod poowatym. Pzy wyznaczani pzewodności wodnej ośoda poowatego oeśano zawatość wody w poszczegónych częściach (5 części) i zawatość powietza (6. część). Dzieąc ażdą z nich pzez poowatość ogóną otzymywano watości odpowiadające jednostce objętości f i,, i, 2,..., 6. Watości te są tatowane jao pawdopodobieństwa zysania wyni typ i w pojedynczej póbie. Pomień apiay odpowiadający szóstej części może być oeśany z pężności pay wodnej b też empiycznie, popzez tai jego dobó, aby dawał on najepszą zgodność wyniów obiczonych ze zmiezonymi. W pzypad tej pacy zastosowano dgi sposób empiyczny.

5 Poównanie wyniów pzewodności wodnej obiczonej z danymi pomiaowymi Za pomocą mode statystycznego pzepowadzono obiczenia pzewodności hydaicznej wody da dwóch sał. W piewszej fazie obiczeń wyznaczono z zywych etencji wodnej sał śednie pomienie hydaiczne i odpowiadające im zawatości wody, i,...,5. Dane te wpowadzono do statystycznego mode [32] oaz zestawiono w Tabei. Tabea. Paamety mode pzewodności wody [3] Tabe. Mode paametes of hydaic condctivity Indes Paamety mode pzewodności wody Sała Beea Sała Hygiene i θ i (m 3 m -3 ) i (µm) θ i (m 3 m -3 ) i (µm) θ ι zawatość wody odpowiadająca danem pomieniowi apiay i. Następnie ozystając z watości pzewodności hydaicznej wody w stefie pełnego jej nasycenia dobano dłgości apia ja i stopnie swobody popzez poównanie wyniów obiczonych i zmiezonych oaz zysanie najepszej zgodność między nimi. W stefie nienasyconej geby wodą onieczne jest oeśenie pomienia apiay odnoszącej się do pay wodnej (powietza ośoda), i 6. Podobnie ja wcześniej, wyznaczono ten pomień w opaci o poównanie i zgodność wyniów obiczonych ze zmiezonymi. Ta więc, aby oeśić ostatni pomień apiay naeży dysponować, co najmniej jednym pomiaem pzewodności hydaicznej wody w stefie nienasyconej. Ta dobane paamety mode wystaczą do wyznaczenia chaateystyi wodnej danego ośoda poowatego. Obiczone pzewodności hydaiczne wody da dwóch sał i zmiezone ich watości w fncji wigotności oaz ównania egesji pzedstawiono na ys. 3. Paamety mode statystycznego zostały staone i wynosiły one odpowiednio: stopień swobody ówny był 7 da ob sał, dłgości apia były óżne, ae stałe w całym zaesie badanych wigotności i wynosiły odpowiednio: sała Beea m i sała Hygiene m [3]. Anaiza zysanych wyniów wsazje na badzo dobą zgodność watości obiczonych ze zmiezonymi. Współczynnii ienowe ównań egesji są pawie ówne, wyaz wony jest bisi ze. Wysoie watości współczynniów deteminacji 2 > 0.99 wsazją, że pzyjęte poszczenia są dopszczane a zmienne osowe żyte pzy obiczeniach zostały wybane popawnie. Śedni błąd wadatowy, σ b, i masymany błąd wzgędny, η b, da sały Beea wynosił σ b , η b 8.6 %, a da sały Hygiene σ b , η b 26 %. Ta ostatnia watość odnosiła się do pzewodności wodnej sały obiczonej pzy najniższej watości wigotności, da pozostałych wigotności były one niższe od 35% (η b <35 %).

6 Pze wodność wodna (m s - ) 5.0E E E E-06.0E-06 zmiezona obiczona a) 2.0E-06.5E-06.0E E-07 zmiezona obiczona b) 0.0E Wigotność (m 3 m -3 ) 0.0E Wigotność (m 3 m -3 ) Pzewodność obiczona (m s - ) 5.E-06 4.E-06 3.E-06 2.E-06.E-06 : yax+b y.028x + 3E E-06.5E-06.0E-06 : yax+b y x - E E-07 c) d) 0.E+00 0.E+00.E-06 2.E-06 3.E-06 4.E-06 5.E-06 Pzewodność zmiezona (m s - ) 0.0E E E-07.0E-06.5E E-06 Pzewodność zmiezona (m s - ) ys. 3. Pzewodność hydaiczna sał obiczona i zmiezona w fncji jej wigotności a) sała Beea i b) sała Hygiene oaz poównanie pzewodności obiczonej z danymi pomiaowymi i odpowiadające im ównania egesji oaz współczynnii deteminacji, c) sała Beea, d) sała Hygiene [3]. Dane pomiaowe (+) pochodzą z pacy [2]. Fig. 3. Cacated and meased hydaic condctivity of ocs as a fnction of wate content a) Beea Sandstone and b) Hygiene Sandstone. Aso shown compaison of cacated and meased hydaic condctivity of ocs, paametes of inea egession and coefficients of detemination, c) Beea Sandstone, d) Hygiene Sandstone [3]. Piśmiennictwo. Adamson A.W.: Chemia fizyczna powiezchni. PWN, Waszawa, , Boos.H., Coey A.T.: Hydaic popeties of poos media. Hydoogy papes. Cooado State Univesity. Fot Coins, Cooado, 3, -27, Campbe G.S.: A simpe method fo detemining nsatated condctivity fom moiste etention data. Soi Sci., 7, 3-34, Coins-Geoge N.: eationship between ai and wate pemeabiities in poos media. Soi Sci., 76, , Czacho H.: Geometia fazy stałej i pzestzeni poów w oniczych ośodach gananych na pzyładzie geby mineanej. ozpawa habiitacyjna, Acta Agophysica 7, Instytt Agofizyi PAN, Lbin, -80, Eadie W.,T, Dijad D., James F.,E., oos M., Sadoet B: Metody statystyczne w fizyce doświadczanej. PWN. Waszawa, 63-64, Gemann P.F., DiPieto L.: When is poos-media fow pefeentia? A hydomechanica pespective. Geodema, 74, - 2, Genchten van, M.T.: A cosed-fom eqation pedicting the hydaic condctivity of nsatated sois. Soi Sci. Soc. Am. J., 44, , Hoowitz J., Hie D.: A theoetica appoach to the aea distibtion of soi sface condctivity. Soi Sci., 43, , Ktie M., Niesen D..: Soi Hydoogy. Cemingen-Destedt: Catena Ve.,, Majeca J., Nova V.: Simation of the soi-wate dynamics in the oot zone ding the vegetation peiod. I. Simation mode. Vodohosp. Cas., 40, , Masha T.J.: A eation between pemeabiity and size distibtion of poes. J. Soi Sci., 9, -8, Mehta B.K., Shiozawa S., Naano M.: Hydaic popeties of a sandy soi at ow wate contents. Soi Sci., 57, , 994.

7 4. Modp P., Hansen J.A., oston D.E., Yamagchi T.: Impoved simation of nsatated soi hydaic condctivity by the moving mean sope appoach. Soi Sci., 55, 8-4, Michies P., Hatman., de Stoope E.: Compaisons of the nsatated hydaic condctivity of a coaes-texted soi as detemined in the fied, in the aboatoy, and with mathematica modes. Soi Sci., 47, , Maem Y., Dagan G.: Hydaic condctivity of sois: Unified appoach to the statistica modes. Soi Sci. Soc. Am. J. 42, , Nitao J.J., Bea J.: Potentias and thei oe in tanspot in poos medim. Wate eso. es., 32, , Naai D., Zatman.E.: A compaison of the nsatated hydaic condctivities of cacaeos and noncacaeos sois. Soi Sci., 40, 79-83, Nova V.: Hysteesis of fx-gadient eations fo satated fow of wate thogh cay mateias. J. Soi. Sci., 23, , Osson K.A., ose C.W.: Hydaic popeties of ed-bown eath detemined fom in sit measements. Ast. J. Soi es., 6, 69-80, Phogat V.K., Aymoe L.A.G.: Comptation of hydaic condctivity of poos mateias sing compte-assisted tomogaphy. Ast. J. Soi es., 34, , Poovassiis A., Poychonides M., Keides P.: Evaation of vaios comptationa schemes in cacating nsatated hydaic condctivity. Agic. Wate Manage., 3, , agab., Feyen J., Hie D.: Compaative stdy of nmeica and aboatoy methods fom detemining the hydaic condctivity fnction of a sand. Soi Sci., 3, , ajai K., Kabos S., van Genchten M.Th., Jansson Pe-Ei: Estimation of wate-etention chaacteistics fom the b density and patice-size distibtion of Swedish sois. Soi Sci., 6, , ab Md.A., Wiatt S.T., Osson K.A.: Hydaic popeties of dpex soi detemined fom in sit measements. Ast. J. Soi es., 25, -7, eynods W.D., Eic D.E.: In sit measements of fied-satated hydaic condctivity, soptivity, and the α- paamete sing the Geph pemeamete. Soi Sci., 40, , osseova.: Pecoation theoy - appication fo detemination of etention cves of soi moiste content.. Mode; 2. Desciption of homogeneos and heteogeneos poos system. Vodohosp. Cas, 40, , Setiawan B.I., Naano M.: On the detemination of nsatated hydaic condctivity fom soi moiste pofies and fom wate etention cves. Soi Sci., 56, , Snyde V.A.: Statistica hydaic condctivity modes and scaing of capiay phenomena in poos media. Soi Sci. Soc. Am. J., 60, , Sobcz H.A.: Opis stan fizycznego geby jao ośoda niepoządowanego na pzyładzie zywych etencji wody. ozpawa habiitacyjna, Acta Agophysica, Instytt Agofizyi PAN, Lbin, -00, Usowicz B.: Statystyczno-fizyczne modee pzepływ masy i enegii w ośod poowatym. Acta Agophysica 29, Usowicz B.: Soi Eectic, Hydaic, Pnematic, Thema and Diffsivity Popeties Softwae Pacage.0. Copyight Institte of Agophysics PAS, Lbin, Wacza.: Modeowe badania zaeżności etencji wodnej od paametów fazy stałej geby. Pobemy Agofizyi 4, Załad Naodowy im. Ossińsich, Wocław, -69, 984.