LABORATORIUM WIBROAKUSTYKI MASZYN. Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Instytut Mechaniki Stosowanej Zakład Wibroakustyki i Bio-Dynamiki Systemów

Transkrypt

1 LABORAORIUM WIBROAKUSYKI MASZYN Wydział Budowy Maszyn i Zaządzania Instytut Mechaniki Stosowanej Zakład Wiboakustyki i Bio-Dynamiki Systemów Ćwiczenie n WYZNACZANIE PARAMERÓW DYNAMICZNYCH UKŁADÓW metodą dgań swobodnych Ce ćwiczenia: Poznanie zasad modeowania obiektów zeczywistych zastąpienie obiektu badanego (beka jedno- ub dwu- wsponikowa z dodatkową masą) modeem fizycznym i matematycznym (układ zastępczy mode fizyczny o jednym stopniu swobody). Okeśenie na dodze anaityczno-ekspeymentanej da każdego z badanych układów paametów dynamicznych: masy zedukowanej, zastępczego współczynnika tłumienia i zastępczego współczynnika spężystości. Wyposażenie stanowiska: Stanowisko składa się z dwóch układów: a) zeczywistego układu mechanicznego złożonego z: podstawy umożiwiającej jedno- ub dwustonne mocowanie beek, pzymiau miimetowego umocowanego na podstawie, kiku beek o óżnej gubości, kiku mas mocowanych wymiennie na bekach; b) układu pomiaowego zawieającego: piezoeektyczny pzetwonik pzyspieszeń dgań, mienik dgań ze wzmacniaczem i układem całkującym, oscyoskop, pzetwonik anaogowo-cyfowy (A-C), kompute z opogamowaniem oscyoskop cyfowy. Liteatua:. C. Cempe: Dgania mechaniczne. Wpowadzenie, skypt PP N 6 984; st. 8-6; Z. Osiński: eoia dgań, PWN Waszawa 978. st. 79-9, Z. Osiński: łumienie dgań mechanicznych. PWN Waszawa 986. st Z. Paszewski: Dgania i dynamika maszyn. WN Waszawa 988, st K. Piszczek, J. Waczak: Dgania w budowie maszyn. PWN Waszawa 98, st Zagadnienia kontone:. Zasady modeowania układów zeczywistych.. Znajomość układania ównań uchu da układów o jednym stopniu swobody.. Sposoby ozwiązywania ównań óżniczkowych zwyczajnych iniowych o stałych współczynnikach. 4. Intepetacja paametów dynamicznych układów. 5. Chaakteystyka ampitudowo-częstotiwościowa układu o jednym stopniu swobody.

2 . PODSAWY EOREYCZNE W wieu zagadnieniach technicznych np. w zadaniu minimaizacji dgań układów zeczywistych, pzy okeśeniu bezpiecznego zakesu pacy ze wzgędu na odpowiedź obiektu na występujące wymuszenia (np. siłami w maszynie), pzy optymaizacji konstukcji pod wzgędem wytzymałościowym i w wieu innych pzypadkach, istotna jest znajomość własności dynamicznych obiektów. Duża złożoność budowy wieu układów zeczywistych powoduje, że ównież ich modee fizyczne i matematyczne chaakteyzują się dużą złożonością. Datego też, w piewszym pzybiżeniu, układy takie zastępuje się modeami postszymi np. układami o jednym ub dwóch stopniach swobody i da nich okeśa się paamety dynamiczne. Rozpatzmy dwa poste układy mechaniczne pzedstawione na ysunku a i b. W każdym pzypadku jest to beka pyzmatyczna o długości i masie m b z masą skupioną M zamocowaną w punkcie o współzędnej a. Obydwa układy óżnią się jedynie waunkami bzegowymi. Obydwa te układy zastąpimy modeem dysketnym iniowym o jednym stopniu swobody (ysunek c) pzyjmując, że jedynie możiwy ich uch to dgania giętne z piewszą postacią własną. a) m b a M c) k m b) m b a M c Rys.. Rozpatywane obiekty zeczywiste beka pyzmatyczna z masą skupioną: a) jednostonnie utwiedzona, b) obustonnie pzegubowo podpata, c) mode obiektu zeczywistego. W ceu okeśenia paametów dynamicznych modeu wykozystamy dwie metody: enegetyczną tzw. metodę Rayeigh'a da okeśenia masy zedukowanej m i sztywności zedukowanej k (metoda anaityczna), opatą na kyteium ówności pzemieszczeń dgań swobodnych wybanego punktu obiektu zeczywistego (punktu edukcji) i modeu da okeśenia sztywności zedukowanej k i zedukowanego współczynnika tłumienia c (metoda ekspeymentana). Z powyższego widać, że masę zedukowaną m możemy okeśić na podstawie obiczeń numeycznych zaś zedukowany współczynnik tłumienia c na dodze ekspeymentanej. Jedynie zedukowaną sztywność k możemy wyznaczyć na dodze anaitycznej, a także pzy założeniu znajomości watości m doświadczanie.

3 Na początku wykozystajmy enegetyczną metodę modeowania. W metodzie tej zakłada się, że obiekt mechaniczny jest układem zachowawczym, tzn., że nie uwzgędniamy stat enegii (paktycznie tłumienie jest niewiekie tzn. c ). Watości m i k wyznaczamy w opaciu o kyteium ówności enegii kinetycznej i enegii potencjanej V : V obiektu obiektu V modeu modeu Zakładając, że beka dga z piewszą postacią własną, uch dowonego punktu beki możemy opisać zaeżnością: x,t Y x cos t () y gdzie Y(x) jest maksymanym wychyeniem dowonego punktu beki, ω jest piewszą częstością własną. y(a,t) = y (t) () y x dx a M x k m y Rys.. Schemat ideowy wykozystywany pzy wyznaczaniu zedukowanych paametów dynamicznych obiektu mechanicznego metodą enegetyczną. Na podstawie ysunku enegię kinetyczną (a) i potencjaną (b) beki z masą skupioną i modeu możemy wyazić następująco: obiektu mod eu V V obiektu mod eu dy m dt S M x a x, t xa d y x,t EI dx dx k y x.t xa dy x, t dt gdzie: ρ gęstość mateiału beki w [kg/m ], S poe pzekoju popzecznego w [m ], M masa skupiona w [kg], E moduł Younga mateiału beki w [ N/m ]. I moment bezwładności pzekoju popzecznego beki wzgędem osi obojętnej w [m 4 ], m masa zedukowana w [kg], dx, (a) (b)

4 k a sztywność zedukowana modeu w [N/m], położenie masy skupionej i jednocześnie punkt do któego edukujemy własności masowo spężyste obiektu zeczywistego w [m] (w ogóności można wybać inny punkt obiektu). da x a x a deta Diac a da x a Stąd na podstawie kyteium podobieństwa obiektu zeczywistego i modeu (), wykozystując zaeżności () i (), otzymamy: m M Y Y ( x )dx mb, ( a ) x m b S, d y dx k EI Y a Z zaeżności (4) można obiczyć watości paametów dynamicznych modeu jeśi znamy postać funkcji Y(x). Omawiana metoda jest metodą pzybiżoną i stąd w zaeżnościach (4) naeży pzyjąć pzybiżoną postać tej funkcji. Ogónie zakłada się, że funkcja Y(x) może być dowoną funkcją spełniającą waunki bzegowe. Jednakże najmniejszy błąd popełniamy jeśi do obiczeń weźmiemy: Y(x) = {statyczna inia ugięcia osi beki pod obciążeniem własnym} (5) Pzyjmując, zgodnie z ysunkiem, obciążenie beki w postaci obciążenia ciągłego o gęstości obciążenia q = m b g/ i obciążenia dysketnego P = M g (g pzyspieszenie ziemskie) działającego mb w punkcie a otzymamy: qx g M x a. (4) mb g q x const. P Mg y a x Rys.. Schemat do obiczenia inii ugięcia beki. da beki jednostonnie utwiedzonej z masą skupioną: Yx mb g { 4 [( x a ) H( x a ) ( x a )x ] x ( x 4x 6 )} (6) 4EI da beki obustonnie swobodnie podpatej z masą skupioną: mb g Y( x ) { 4 [( x a ) H( x a ) ( x a ) [ x a( a )] x( x x )} (7) 4EI 4

5 gdzie: μ = M/m b,, x =x/, a =a/, Hx a da x a funkcja skoku jednostkowego da x Po podstawieniu zaeżności (6) i (7) do (4) otzymamy związki opisujące watości zedukowanej masy m i zedukowanej sztywności k. W niniejszym opacowaniu nie pzedstawiono końcowych zaeżności powyższych obiczeń z uwagi na ich złożoną postać. Obiczenia numeyczne da konketnych układów można pzepowadzić wykozystujące pogamy "BELKA" i "BELKA". Pzykładowo da układu: z ysunku a: gdy a= mamy: EI m M.4mb, k z ysunku b: gdy a =.5 mamy: EI m M.49mb, k 48. Pzejdźmy teaz do omówienia, dugiej metody. Wyznaczenie watości zedukowanej sztywności k i zedukowanego współczynnika c pzepowadzimy w opaciu o założenie ówności pzemieszczeń dgań punktu edukcji a obiektu zeczywistego i modeu: Y a,t y t (8) Rozpatzmy zatem uch modeu pzedstawionego na ysunku c. Równanie uchu dgań swobodnych modeu zapiszemy w postaci: z waunkami początkowymi: c d y m dt dy c k y (9) dt dy, y t y, () dt t Rozwiązanie ównania (9) z waunkami początkowymi () da tłumienia podkytycznego k m ma następującą postać: y (t ) Aexp( t ) cos( t a ) () gdzie: k częstość własna modeu, m stopień tłumienia modeu, k c m y v A y maksymana ampituda dgań swobodnych, ( ) y v actg ( ) pzesunięcie fazowe. y 5

6 Z anaizy ozwiązania () (ysunek 4) ównania uchu modeu (9) wynika, że masa m dga wokół położenia ównowagi z częstością: Zatem okes dgań swobodnych tłumionych wynosi:. (). () Zaś koejne maksymane wychyenia twozą ciąg geometyczny o ioazie ównym: y (t ) Ai exp( ) (4). y (t ) A i y (t) / A 4 5 t / - Rys. 4. Wykes dgań swobodnych tłumionych uzyskany na podstawie ozwiązania () da ξ =. nazywanym dekementem tłumienia dgań. Badzo często wykozystuje się ogaytmiczny dekement tłumienia dgań A zdefiniowany następująco: Ai n( ) n( A i ) Stąd na podstawie zaeżności (-5) da znanej watości zedukowanej masy układu m możemy obiczyć watości zedukowanego współczynnika tłumienia c i zedukowanej sztywności k : c k m 4m gdzie watości ogaytmicznego współczynnika tłumienia i okesu dgań swobodnych tłumionych okeśamy na. podstawie pzebiegu pzemieszczeń dgań swobodnych punktu edukcji obiektu zeczywistego. (5) (6) 6

7 . OPIS SANOW[SKA Stanowisko aboatoyjne składa się z dwóch części: mechanicznej i eektonicznego układu badawczego (ysunek 5). pzetwonik dgań a(t) a(t) a) b) mienik dgań wzmocnienie i / ub całkowanie sygnału, wstępna obsewacja pzebiegów czasowych a(t) ub v(t) ub x(t) pzetwonik A/C pzetwazanie sygnału anaogowego na jego epezentację cyfową {a j } ub {v j } ub {x j } kompute obsewacja pzebiegów czasowych, twozenie bazy danych (piki tekstowe) do daszej anaizy Rys. 5. Schemat stanowiska aboatoyjnego: a, b badane układy zeczywiste. Układ mechaniczny składa się ze statywu, w któym mocujemy bekę w układzie a ub b. Do beki, w dowonym punkcie jej czynnej długości, mocujemy dodatkową masę M. Piewszym eementem eektonicznego układu pomiaowego jest piezoeektyczny pzetwonik pzyspieszeń dgań mocowany do dodatkowej masy układu mechanicznego. Umożiwia on tansfomację wiekości mechanicznych na eektyczne. Zatem uwzgędniając własności pzetwonika uzyskujemy sygnał eektyczny o napięciu popocjonanym do pzyspieszenia dgań. Następnie sygnał ten może być wzmocniony i daej dwukotnie scałkowany (wzmacniacz z układem całkującym). Umożiwia to obsewację i następnie badania koejnych wiekości mechanicznych pędkości i pzemieszczenia dgań. Wykozystując pzetwonik anaogowo cyfowy uzyskujemy epezentację cyfową sygnałów anaogowych w układzie wygodnym do daszej anaizy z wykozystaniem odpowiednio opogamowanego komputea.. SPOSÓB PRZEPROWADZENIA ĆWICZENIA. Ekspeyment najepiej pzepowadzić zgodnie z podanymi poniżej wytycznymi: 7

8 Da wskazanego pzez powadzącego układu mechanicznego (ysunek a ub b) okeśić watości wiekości mateiałowo-geometycznych: masę M (masa dodatkowego ciężaka + masa uchwytu + masa czujnika dgań), długość czynną beki. współzędną mocowania masy skupionej a, masę czynnej części beki m b (m b = ρbh ; gdzie ρ gęstość mateiału beki, można pzyjąć, że beka jest staowa: da stai ρ = 78 [kg/m ]; b szeokość beki, h gubość beki; uwaga: masę czynnej części beki można wyznaczyć też z popocji ważąc bekę abo wyznaczając gęstość mateiału beki ρ, moment bezwładności pzekoju beki wzgędem osi obojętnej I (da beki o pzekoju postokątnym I = bh /, gdzie b szeokość beki, h gubość beki), Uwaga: w obiczeniach współczynnika spężystości k pzyjąć watość moduł Younga E mateiału beki da stai E =. [N/m ], Kozystając ze wzoów (4) i (6) ub (7) wzgędnie z pogamów "BELKA" ub "BELKA" obiczyć watości zedukowanej masy m i zedukowanej sztywności k układu oaz jego częstotiwość własną zgodnie ze wzoem: f k m [Hz] Pobudzić układ do dgań (wychyić układ z położenia ównowagi) i zaejestować pzebieg dgań gasnących w komputeze a następnie na własnym nośniku. Na podstawie zaejestowanych pzebiegów dgań własnych układu dokonać obiczeń zgodnie z poniższą poceduą: y (t) 4 A A A A 4 A 5 A A A A 4 A 5 t 4 o Rys. 6. Wykes dgań swobodnych tłumionych: A ij watości koejnych maksymanych pzemieszczeń układu, tj okes dgań swobodnych tłumionych. Obiczyć śednią watość okesu dgań swobodnych ś i ogaytmicznego dekementu tłumienia Δ ś zgodnie z zaeżnościami: 8

9 ś n n m j j, ij tij tij j m, (7) j k Aij A j ś n n (8) k j Aij j A j gdzie i = dotyczy dodatniej a i = ujemnej części wykesu. o Kozystając ze wzoów (6) obiczyć watości zedukowanego współczynnika tłumienia c i zedukowanej sztywności k oaz stopień tłumienia ξ pzyjmując wcześniej wyznaczoną masę zedukowaną m. o Naysować pzybiżoną chaakteystykę ampitudowo-częstotiwościową badanego układu. Chaakteystyka ta zawiea infomację o zachowaniu się układu zeczywistego pod działaniem hamonicznej siły wymuszającej o częstotiwości biskiej częstotiwości własnej układu, gdyż definicyjnie jest to funkcja ampitudy dgań wymuszonych ustaonych A w w zaeżności od częstotiwości siły wymuszającej f, A w = A w (f). o Na podstawie pzepowadzonych badań anaityczno-ekspeymentanych, kozystając z danych zawatych w [] (ozdział 4), możemy wyznaczyć chaakteystyczne punkty funkcji A w (f). I tak: A y w st Q Q ś Q da da da da da f f f f f f f f f f ys.7 punkt B punkt D punkt C punkt E gdzie: y st = F /k ugięcie statyczne, F o ampituda siły wymuszającej, Q doboć układu; wiekość opisująca zdoność układu do akumuowania enegii. f f f szeokość połówkowa kzywej ezonansowej, f. Q 9

10 Q C Q / D E Aw/yst f B f f [Hz] Rys. 7. Pzybiżona chaakteystyka ampitudowo-częstotiwościowa układu. 4. ZAWAROŚĆ OPRACOWANIA. Opacowanie ćwiczenia powinno zawieać następujące eementy: ce ćwiczenia, schemat stanowiska badawczego, pzebieg dgań zanikających badanego układu, zestawienie watości paametów dynamicznych układu wyznaczonych na dodze obiczeń numeycznych i badań ekspeymentanych: o zedukowanej masy m, o zedukowanej sztywności k, o zedukowanego współczynnika tłumienia c, zestawienie innych watości paametów chaakteyzujących dgania swobodne układu o jednym stopniu swobody: o częstotiwość dgań swobodnych tłumionych ω i nietłumionych ω o, o stopień tłumienia ξ, o ogaytmiczny dekement tłumienia Δ, o pzybiżoną chaakteystykę ampitudowo-częstotiwościową układu.