Zastosowanie entropii Shannona do określenia ważności atrybutów w AHP

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zastosowanie entropii Shannona do określenia ważności atrybutów w AHP"

Amelia Chmiel
5 lat temu
Przeglądów:

1 Zastosowane entrop Shannona do określena ważnośc atrybutów w AHP Mrosław Kweselewcz Ewa van Uden Poltechnka Gdańska, Wydzał Elektrotechnk Autoatyk ul. Narutowcza /, Gdańsk Streszczene. W pracy rozważa sę zagadnene weloatrybutowego szeregowana czynnków w sense AHP. Zakłada sę, że w rozważany procese decyzyjny stneją uszeregowana czynnków względe poszczególnych atrybutów. W oparcu o entropę Shannona określa sę lość nforacj nesonej przez dane uszeregowane na tej podstawe dokonuje sę uszeregowana atrybutów. Zaproponowaną etodę lustruje sę przykłade oblczenowy.. Wstęp Jedną z szeroko stosowanych etod w weloatrybutowych (welokryteralnych) zagadnenach podejowana decyzj jest AHP (ang. Analytc Herarchy Process) (Saaty 977,980). Herarchczny proces podejowana decyzj posada następujące cechy: a charakter welopozoowy, o drzewastej strukturze, poszczególne waranty decyzj charakteryzowane są weloa atrybuta, atrybuty ogą posadać postać lczbową lub lngwstyczną, poszczególny atrybuto ogą być przypsane wag, na poszczególnych pozoach decyzyjnych ogą występować różn eksperc bądź grupy ekspertów, wówczas ay do czynena z grupowy podejowane decyzj, podstawę procesu podejowana decyzj na każdy pozoe stanow acerz decyzyjna której wersze odpowadają alternatywo (waranto) natoast koluny atrybuto (krytero). W etodze AHP (Saaty 977,980) uszeregowana dla poszczególnych podatrybutów tworzone są w oparcu o etodę porównywana para, natoast agregacja najczęścej dokonywana jest za poocą prostej addytywnej etody wagowej (MacCron 968). Proces szeregowana alternatyw (czynnków) z wykorzystane etody porównywana para został

2 zaproponowany przez Davda (963) rozwnęty przez Saaty'ego (977,980), który ostateczne zaproponował następującą procedurę: określene przez eksperta preferencj jednego czynnka w stosunku do drugego dla każdej pary czynnków; przyporządkowane każdej parze lczby ze zdefnowanej uprzedno skal; oblczene uszeregowana przy wykorzystanu etody aksyalnej wartośc własnej (stosuje sę równeż etody logarytcznych najnejszych kwadratów lub najnejszych kwadratów); dokonane arytetycznej noralzacj wynku. Przykład dwupozoowego procesu decyzyjnego przedstawony jest na rys.. Wynka z nego, że proble welokryteralnego podejowana decyzj oże być zdekoponowany na poszczególne podprobley. Podprobley te rozwązuje sę nezależne stosując opsaną wyżej procedurę. Uszeregowane kryterów w ( w,, ) T w n wag w w w Uszeregowane obektów kryteru, ( ) T s, n Uszeregowane obektów kryteru, ( ) T s, n Uszeregowane obektów kryteru 3 s (,, ) T n, w, w, w w j j Rys.. Herarchczny proces decyzyjny Fg.. Analytc Herarchy Process j

3 W lteraturze z ostatnch lat pojawły sę pozycje, które wykorzystują entopę Shannona w etodze AHP w rozatych aspektach. Sanchez Soyer (998) użyl entrop Shannona jako kryteru do zaprzestana dalszych porównań dla acerzy dużych wyarów z brakujący dany operając sę o poysł Harkera (985) uzupełnana brakujących danych. Mon, Cheng Ln (994) zastosowal entropę Shannona do otrzyana wektora uszeregowana w rozytej wersj AHP. Cheng (996) użył entrop Shannona do wyboru najlepszego systeu pocskowego dla arynark wojennej, uwzględnając klka kryterów. Cele nnejszej pracy jest pokazane, w jak sposób ożna zastosować entropę Shannona do określena relatywnej ważnośc poszczególnych kryterów z punktu wdzena lośc nforacj przypsanej poszczególny krytero, a erzonej właśne entropą Shannona. W punkce zdefnowane zostaną podstawowe pojęca przytoczone pewne własnośc entrop Shanonna, w punkce 3 sforułowane zostane zagadnene optyalzacyjne dotyczące wyboru kryteru nosącego najwększą lość nforacj, natoast w punkce 4 podany zostane przykład oblczenowy dla przedstawonego podejśca. W posuowanu znajdą sę uwag wnosk oraz propozycje dalszych badań w rozważanej dzedzne.. Entropa Shannona jej podstawowe własnośc Przyjjy za Sancheze Soyere (998), że ( p,, ) p oznacza wektor uszeregowana względe określonego kryteru, po noralzacj arytetycznej (sua współrzędnych wektora równa ). Dla tego wektora defnuje sę entropę jako p n n () ln( ) H p p p. () W teor nforacj entropa H jest zdefnowana jako ara nepewnośc w odnesenu do dyskretnej zennej losowej X, która przyjuje skończone wartośc ( x,, ) że P ( X x ) p x n take,. W kontekśce AHP współrzędne p wektora uszeregowana p ożna nterpretować jako prawdopodobeństwo zdarzena, że podejujący decyzję wyberze właśne - tą alternatywę. Wśród najważnejszych własnośc entrop wyenć ożna za Sobczake (977):

4 ( X ) 0 H. () Entropa zennej losowej dyskretnej jest neujena. Entropa jest równa zeru, jeżel zerują sę jednocześne wszystke składnk suy (). Jest to ożlwe jedyne wówczas, gdy jedna z wartośc zennej losowej występuje z prawdopodobeństwe równy jednośc, a pozostałe wartośc występują z prawdopodobeństwa zerowy. W takej sytuacj ne stneje żadna nepewność odnośne do tego, jaką wartość przyje zenna losowa. Entropa posada jedno aksu, które jest osągane dla rozkładu jednostajnego wynos H ( / n,,/ n) ln n. (3) Ta własność zgodna jest z nterpretacją entrop jako ary nepewnośc - najwększa wartość jest osągana, gdy wszystke wartośc zennej losowej X są jednakowo prawdopodobne. Ponadto entropa jest funkcją wypukłą w górę. W teor nepewnośc stosuje sę trzy ożlwe zasady: Zasada aksyalnej nepewnośc, zasada nalnej nepewnośc zasada nezennośc nepewnośc (Klr Yan, 995). Kerując sę przesłanką, że nejsza entropa, ty wększa lość nesonej nforacj, skorzystay z zasady nalnej nepewnośc, żeby przekonać sę, które z kryterów jest w stane dostarczyć podejująceu decyzję najwęcej nforacj. 3. Sforułowane probleu określana ważnośc atrybutów Załóży, że ay dany proble decyzyjny składający sę z n ożlwych alternatyw A,,,n rozpatrywanych względe kryterów K, j,,. Jako rezultat porównywana para alternatyw względe poszczególnych kryterów otrzyuje sę wektory uszeregowana odpowadające dany krytero - oznaczy je jako j ( v,, v ), j, v. (4) j j jn, Następne przeprowadza sę agregację względe kryterów. Najprostszą etodą jest ważona sua współczynnków suujących sę do jednośc. Najczęścej podejujący decyzję sa dobera współczynnk wagowe wyrażające jego preferencje odnośne rozpatrywanych kryterów.

5 Zdarza sę równeż, że krytera są porównywane para względe sebe wektor współczynnków wagowych otrzyuje sę jako efekt tych porównań, np. (Laarhoven Pedrycz 983, Saaty 980). Załóży, że współczynnk wagowe arytetycznej noralzacj: a,,a są newadoe spełnają warunek a j j, (5) oraz a j 0 j,,. (6) Rezultate agregacj jest wynkowy wektor uszeregowana v postac: v a v + + v (7) a Pytane postawone przez autorów brz: przy jakej wartośc współczynnków a,,a entropa wektora v osągne wartość nalną? Odpowada to nterpretacj: dla jakch wartośc współczynnków a,,a podejujący decyzję uzyska aksu nforacj. Powyższe rozważana doprowadzły do sforułowana zagadnena optyalzacyjnego następującej postac: Znalzować funkcję n () H v v ln v (8) gdze v j a j v j (9) przy ogranczenach (5) oraz (6).

6 4. Przykład oblczenowy Załóży, że ay dane 3 alternatywy 4 krytera. Wektory uszeregowana odpowadające kolejny krytero ają forę: v [/,/ 6,/ 3]; v [/ 4,/ 4,/ ]; v 3 [/ 5,3/ 5,/ 5]; v 4 [/ 3,/ 3,/ 3]; Po oblczenu nalnej wartośc funkcj () przy ogranczenach (5) (6) okazało sę, że wartośc współczynnków wagowych wynosły odpowedno: a, a 0, a, a 0. Stąd wywnoskować ożna, że trzece kryteru nese najwększą lość nforacj. Powyższą procedurę zastosowano do pozostałych wektorów v, v, v 4. Wartośc współczynnków wynosły odpowedno a, a 0, a4 0. Wektor v z powyższych trzech dostarcza najwększej lośc nforacj. Ostatne zastosowane procedury dotyczyło wektorów v, v 4. W ty przypadku wartośc współczynnków wynosły a, a4 0, co daje ostateczne uszeregowane kryterów: K 3, K, K, K 4 od kryteru nosącego najwększą lość nforacj, do kryteru nosącego najnejszą lość nforacj. Warto zwrócć uwagę, że kryteru czwarte znalazło sę na ostatn ejscu, co wynka z własnośc (3). 5. Podsuowane W nnejszej pracy w oparcu o pojęce entrop Shannona przedstawono algoryt do wyróżnena kryteru, które oże podejująceu decyzję dostarczyć najwększej lośc nforacj. W konsekwencj welokrotne zastosowane zaproponowanego algorytu pozwala na uszeregowane kryterów względe lośc nesonej przez ne nforacj, jak równeż na elnację z procesu decyzyjnego kryterów wnoszących ałą lość nforacj. Przedstawona etoda oże być bardzo użyteczne, kedy w rozważany procese decyzyjny występuje bardzo dużo kryterów decydent chcałby zredukować ch lczbę. W dalszych pracach planuje sę rozwnęce zaproponowanej etody do postac rozytej gdze uszeregowana ogą przedstawone w postac jakoścowej, przy wykorzystanu zennych lngwstycznych.

7 Lteratura Cheng C.H. (996). Evaluatng naval tactcal ssle systes by fuzzy AHP based on the grade value of ebershp functon. European Journal of Operatonal Research 96, Cheng C.H., Mon D.L. (994). Evaluatng weapon syste by Analytcal Herarchy Process based on fuzzy scales. Fuzzy Sets and Systes 63, -0. Davd H.A. (963). The Method of Pared Coparsons, Grffn, London, 963. Harker P.T. (987). Incoplete parwse coparsons n the analytc herarchy process. Matheatcal Modellng 9 (), Klr G.J., Yan B. (995). Fuzzy sets and fuzzy logc theory and applcatons. Prentce-Hall Internatonal, Inc. London. Laarhoven P.J.M van, Pedrycz (983). W. A fuzzy extenton of Saaty's prorty theory. Fuzzy Sets and Systes, 9-4. MacCron K.R. (968) Decson Makng Aong Multple-Attrbute Alternatves: A Survey and Consoldated Approach. RAND Meorandu, RM-483-ARPA. Saaty T.L. (977). A scalng ethod for prortes n herarchcal structures, Journal of Matheatcal Psychology, 5, Saaty T.L. (980). The Analytc Herarchy Process, Mc-Graw Hll, New York. Sanchez P.P., Soyer R. (998). Inforaton concepts and parwse coparson atrces. Inforaton Processng Letters 68, Sobczak W. (97). Metody statystyczne w elektronce. Wydawnctwa Naukowo-Technczne, Warszawa.

Podobne dokumenty

OKREŚLANIE PARZYSTOŚCI LICZB W RESZTOWYM SYSTEMIE LICZBOWYM Z WYKORZYSTANIEM KONWERSJI DO SYSTEMU Z MIESZANYMI PODSTAWAMI

POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 76 Electrcal Engneerng 2013 Mrosław PLEBANEK* OKREŚLANIE PARZYSTOŚCI LICZB W RESZTOWYM SYSTEMIE LICZBOWYM Z WYKORZYSTANIEM KONWERSJI DO SYSTEMU Z