MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

Transkrypt

1 MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d) = 0. Kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc każdy ze składników sumy musi być równy zero, czyli a b = 0 i c d = 0. Zadanie. ( pkt) P.6. Uczeń wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym. Z definicji logarytmu otrzymujemy a =, b = i c = 0. Zadanie. ( pkt) P.8. Uczeń posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej. Ponieważ 00 =, więc liczby całkowite z przedziału 00 00, to,,...,, 0,,...,,. Jest ich + = 67. Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności. m = = = + Odpowiedź:. Zadanie. ( pkt) III.7.7. Uczeń za pomocą równań lub układów równań opisuje i rozwiązuje zadania osadzone w kontekście praktycznym. Niech x oznacza liczbę wykonanych w ciągu, h detali. Wtedy x 0 =,,,x = 0, x = 0. Zadanie 6. ( pkt) P.. Uczeń stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy a n = +,(n ) =,n,. Następnie rozwiązujemy nierówność,n, < 7, skąd n < 99.

2 Zadanie 7. ( pkt) P.. Uczeń określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego. Reszta z dzielenia przez 6 wynosi, a reszta z dzielenia 0 przez 6 wynosi. Zatem f() = i f(0) =. Stąd f () f ( 0 ) = 0,7. Zadanie 8. ( pkt) P.. Uczeń odczytuje z wykresu własności funkcji. Największą wartość w przedziale ; funkcja f przyjmuje dla argumentu x = i wynosi ona 0. Zadanie 9. ( pkt) P6.. Uczeń oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo korzystając z tablic lub kalkulatora przybliżoną). Ponieważ sin(90 a) = cos a, więc cos a =. Stąd a = 60, gdyż 0 < a < 90. Zadanie 0. ( pkt) P9.. Uczeń określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną. zworokąt GH jest prostokątem, w którym = i G = (G jest przekątną kwadratu o boku ). Zatem pole prostokąta GH jest równe =. Zadanie. ( pkt) P8.6. Uczeń oblicza odległość dwóch punktów. P8.7. Uczeń znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu. Wyznaczamy = (6, 8). Korzystamy ze wzoru na odległość pomiędzy dwoma punktami ( ) + = = 6 ( 6) ( 8 8) 0 Zadanie. ( pkt) P0.. Uczeń oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Obliczamy liczbę wszystkich kul w urnie: = 0. Obliczamy liczbę kul o numerach parzystych: + = 6. Wyznaczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli o numerze parzystym 6 0 =.

3 Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą. Zapisujemy nierówność (x )( x) > 6. Przekształcamy ją do postaci równoważnej x + 7x > 0. Zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci iloczynu 7 x x > 0. Szkicujemy wykres trójmianu kwadratowego y = x 7 x. Odcztytujemy z wykresu zbiór rozwiązań nierówności 0 < x <. Odpowiedź: 0 < x <. zapisanie nierówności i wyznaczenie pierwiastków trójmianu; naszkicowanie wykresu trójmianu i podanie zbioru rozwiązań nierówności. 7 6 Y 0 X Zadanie. ( pkt) P7.. Uczeń korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi. III.0.7. Uczeń stosuje twierdzenie Pitagorasa. Oznaczmy = a i = b. Z definicji funkcji tangens tg a = a b, więc a b = Skąd a = b. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie: a + b = ( ) 9 b + b = 7 9 b = 7 b = 8. Stąd b = 9 oraz a = 9 = 6. Zatem obwód tego trójkąta jest równy = +. Odpowiedź: +. wyznaczenie zależności a od b lub b od a; wyznaczenie obwodu trójkąta.

4 Zadanie. ( pkt) III.0.. Uczeń korzysta ze związków między kątami utworzonymi przez prostą przecinającą dwie proste równoległe. III.0.. Uczeń stosuje cechy przystawania trójkątów. Sporządzamy rysunek. H Zauważmy, że =, H = I (kąty wierzchołkowe) i H = I (katy naprzemianległe). Zatem trójkąt H przystaje do trójkata I (cecha kbk). Podobnie trójkąty GF i DGJ są przystające. Stąd P D = P FGDH + P H + P GF = P FGDH + P I + P GDJ = P HIFJ. uzasadnienie przystawania trójkątów H i I lub trójkatów GF i DGJ; uzasadnienie równości pól równoległoboku D i czworokąta HIFJ. D J G I F Zadanie 6. ( pkt) P8.. Uczeń wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt. P8.. Uczeń wyznacza współrzędne środka odcinka. Sporządzamy rysunek: Y Wyznaczamy równanie prostej : y = D x. 0 Wyznaczamy środek odcinka : = (, ). 9 Symetralna odcinka jest prostopadła do pro- 8 stej. Zatem y = x + b. Ponadto do symetralnej należy punkt, więc + b =, czyli b =. Zatem symetralna odcinaka ma równanie y = x +. Wyznaczamy równanie prostej : y = x + 0. Wyznaczamy punkt przecięcia symetralnej z prostą : x + = x X Skąd x =. by obliczyć y, podstawiamy y = ( ) + 0 =. Zatem D = (, ). wyznaczenie równania prostej ; wyznaczenie równania prostej ; wyznaczenie równania symetralnej odcinka ; wyznaczenie punktu przecięcia się odpowiednich prostych.

5 Zadanie 7. ( pkt) III... Uczeń oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym). Obliczamy objętość stożka dużego V = π. Niech h oznacza, na jaką wysokość należy nalać wodę, a r promień. Ponieważ kąty i D są proste oraz kąty i D mają tę samą miarę, więc trójkąty i D są podobne (cecha kkk). Z podobieństwa tych trójkątów otrzymujemy r h =, czyli r = h. Obliczamy objętość stożka wypełnionego wodą: V = πr h = 7 πh. Obliczamy, do jakiej wysokości ma zostać nalana woda: πh = 7 8 π. h = 7 8 D h r h =. Odpowiedź: Należy napełnić rożek do wysokości, dm. uzasadnienie podobieństwa trójkątów i D; wyznaczenie zależności pomiędzy r a h; ułożenie równania na h; wyznaczenie h.