Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

Transkrypt

1 Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki Stosowanej

2 Obiekty techniczne działanie zmiennych obciążeń Metoda badania analiza modalna (zachowanie obiektu) Zastosowanie: Wykrywanie/usuwanie usterek Symulacja, Optymalizacja Diagnostyka Badania doświadczalne dokładność (obiekt rzeczywisty) koszt czas nie zawsze możliwe Symulacje numeryczne koszt możliwość analizy wielu wariantów możliwość analizy różnych warunków dokładność: błędy modelu, metody,...

3 Analiza modalna - przykład Model Odpowiedź Wymuszenie Odpowiedź w dziedzinie czasu i częstotliwości

4 Belka element jednowymiarowy, który oprócz obciążeń rozciągających, ściskających i skręcających przenosi także obciążenie poprzeczne Drgania poprzeczne- drgania, które wywołują przemieszczenia prostopadłe do osi ciała. Analiza modalna określenie częstości drgań własnych oraz postaci drgań własnych (postaci głównych) danego układu. Metody numeryczne metody stosowane do rozwiązywania problemów matematycznych, których nie można rozwiązać metodami analitycznymi, lub zbyt złożonych obliczeniowo Metoda Elementów Skończonych przybliżona metoda rozwiązywania układów równań różniczkowych.

5 Założenia: wymiary poprzeczne belki są małe w porównaniu z długością parametry belki zmieniają się łagodnie wzdłuż osi y belka może się uginać wyłącznie w kierunku osi z pomija się bezwładność obrotową odkształcenia belki są małe przekroje poprzeczne belki nie ulegają spaczeniu własności sprężyste materiału belki opisuje prawo Hooke'a pomija się wpływ odkształceń pochodzących od ścinania belka jest utwierdzona i obciążona jak na rys.

6 Rozwiązanie układu równań algebraicznych (liniowych), obliczenia uzupełniające MES Minimalizacja funkcjonału Podział na elementy skończone i przyjęcie funkcji kształtu Macierz sztywności, układ równań liniowych Warunki brzegowe, Modyfikacja układu równań

7 Element skończony - prosta figurą geometryczną dla której określone zostały pewne punkty - węzły. element liniowy (węzły tylko w wierzchołkach) funkcje kształtu funkcje aproksymujące wartości parametru wewnątrz elementu w oparciu o wartości w węzłach. w węzłach których dotyczą przyjmują wartość 1, w pozostałych 0. Przedstawienie funkcjonału jako funkcji wielu zmiennych.

8 Analiza modalna określenie częstości drgań własnych oraz postaci drgań własnych (postaci głównych) danego układu. Mx + Kx = 0 Postać rozwiązania: x t = A sin ωt + α ω 2 MA sin ωt + α + KA sin ωt + α = 0 K ω 2 M A = 0 Równanie char.: Δ = det K ω 2 M = 0 ω 1, ω 2 Częstości drgań własnych rozwiązania równania charakterystycznego. zależą one tylko od charakterystyk mechanicznych układu. Postać drgań własnych - uporządkowana para liczb określająca stosunek amplitud drgań poszczególnych stopni swobody w warunkach drgań harmonicznych z częstością własną. dyskretyzacja przestrzenna ruch belki opisany zbiorem funkcji zależnych tylko od czasu

9 Ćwiczenie: wyznaczenie częstości i postaci drgań własnych jednorodnej belki o danych własnościach sztywnościowych i masowych badania wpływu podziału belki na elementy na dokładność wyznaczanych częstości i postaci badanie wpływu dodatkowej masy na częstości i postacie drgań belki wyznaczenie częstości i postaci drgań skrzydła z podwieszeniami porównanie otrzymanych rezultatów z rozwiązaniami analitycznymi