ANALIZA KONSTRUKCJI PRĘ TOWO- TARCZOWYCH METODĄ ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH. 1. Wstę p

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA, 19 (1981) ANALIZA KONSTRUKCJI PRĘ TOWO- TARCZOWYCH METODĄ ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH EUGENIUSZ R U S I Ń S K I (WROCŁAW) 1. Wstę p W metodzie elementów skoń czonych, jk widomo, istotną sprwą jest wyznczenie mcierzy sztywnoś ci, z pomocą której wyrż się siły uogólnione w wę złch w funkcji przemieszczeń wę złowych. W konstrukcjch prę towo- trczowych wystę pują elementy prę towe i trczowe. Znne są w postci jwnej mcierze sztywnoś ci zrówno prę t, jk i trczy, które zostły omówione m.in. w [1], [],..., [9]. Dl przeprowdzeni nlizy konstrukcji prę towo- trczowej i skróceni czsu liczeni n EMC, celowe jest okreś lenie w postci jwnej mcierzy sztywnoś ci elementu prę towotrczowego. Pozwoli to bezpoś rednio podzielić konstrukcję tylko n elementy prę towo- trczowe.. Okreś lenie mcierzy sztywnoś ci elementu prostoką tnego prę towotrczowego Istnieją dwie drogi okreś leni mcierzy sztywnoś ci n drodze energetycznej lub też, jk to czyni się w niniejszej prcy, metodą superpozycji, polegją cej n złoż eniu mcierzy sztywnoś ci rmownicy skłdją cej się z 4 prę tów i mcierzy sztywnoś ci smej trczy (rys. 1). Mcierz sztywnoś ci elementu prę towotrczowego wyrż się równniem (.1.) Rys. 1. Prostoką tny element prę towo- trczowy. gdzie: [&,] mcierz sztywnoś ci rmownicy prę towej, [k t ] mcierz sztywnoś ci elementu trczy. Prostoką tny element trczy połą czony jest z dowolnymi elementmi prę towymi n, p, r, s wzdł uż krwę dzi trczy w sposób cią gły (rys. 1). Przy formułowniu funkcji ksztłtu

2 54 E. RUSIŃ SKI trczy, w celu zpewnieni cią głoś i c poł ą czeni prę tów z trczą, przyjmuje się jednkowe przemieszczeni dl trczy i prę tów w miejscu poł ą czeni..1. Mcierz sztywnoś ci prostoką tnego elementu trczy. Przedstwiony n rys. typowy element prostoką tny o wę złch i, j, k, I numerownych odwrotnie do ruchu wskzówek Rys.. Prostoką tny element trczy. zegr, m począ tek ukłdu współrzę dnych w wę źe li. Mcierz sztywnoś ci tkiego elementu m postć: (.1.1.) [k t ] = 1(1 - v ) Zl HO Z- l (1-.) 1 y (1- ) z 4 }d-.) zs 1 (l-») z 6 46 (1+ v) ^4, - {(1-. ) z s z Z = z s - ~b 6 - (1- v), z 4 = 6 6 \ (1 -,) 4o - + 6(1-1(1+,),4 T - 1(1-. ) ft z* Wyprowdzenie mcierzy sztywnoś ci prostoką tnego elementu trczy dl ukłdu współ rzę dnych w ś rodku cię ż kośi czostł o przedstwione w prcch [ i 4]... Mcierz sztywnoś ci rmownicy jednoobwodowej. Rozwż n rmownic jest zbudown z czterech prę tów (n, p, r i s) poł ą czonych ze sobą sztywno (rys. ). Mcierz sztywnoś ci [k r ] tkiej rmownicy jest zbudown z mcierzy sztywnoś ci [k] poszczególnych elementów prę towych trnsponownych do ukłdu współ rzę dnych rmownicy. Wyprowdzeni

3 ANALIZA KONSTRUKCJI PRĘ TOWO- TARCZOWYCH 55 mcierzy sztywnoś ci prę t obustronnie utwierdzonego przedstwiono mię dzy innymi w prcch [1], [4], [5], [6], [8]. Mcierze sztywnoś ci przykł dowego prę t «" m postć: Rys.. Rmownic prostoką tn jednoobwodow. EF (..1.) 1ET,. S 6E7, 4EJ- Zn 1E/, 6E/, Y EF M 1E/ r 6EJ ZH 4E/ In Trnsformcję poszczególnych mcierzy sztywnoś ci prę tów (..1.) przedstwić moż n zleż noś ąci (...)... [k m ] = [C] T [k m ]' [C] gdzie: [C] mcierz trnsformcji z ukł du globlnego rmownicy do ukł du loklnego prę t o wymirze ( x ), [C] T mcierz trnsponown mcierzy trnsformcji. Mcierz trnsformcji m postć cos/ sin/ sin/? cos/? (..) 1 cos/ S sin o - sin/ cos/ 1

4 56 E. RUSIŃ SKI W tym przypdku ką t /S przyjmuje dwie wrtoś ci (rys. ), zleż nie od położ eni prę t w rmownicy, lub 9. Uwzglę dnijąc (..1) i (..) orz dokonują c przeksztłceń mcierz sztywnoś ci rmownicy (rys. ) przedstwić moż n w postci (..4) [kr] = [k"l ] [kj- j] l] [ki- jl [kj- f] [kk- jl [kf_ k ] [k p k - ki [k[- k ] [ki-i ] [/< k,] [ki'-; gdzie: elementy [&,- _;] są podmcierzmi kwdrtowymi o wymirch ( x ). Podmcierze te wyznczono w postci jwnej i przykł dowo wynoszą : / " k" b \ J, F, ' b b 4(- ^L + ^ b (..5) - 1/, 1/ Zj 6/ z n i\ J n el * gdzie i b, J z, F oznczją odpowiednio: długoś ci prę tów, moment bezwłdnoś ci n zginnie i pole przekroju prę t... Mcierz sztywnoś ci elementu prostoką tnego prę towotrczowego. Po okreś leniu mcierzy sztywnoś ci prostoką tnego elementu trczy (.1.14) orz mcierzy sztywnoś ci rmownicy (..4) przeprowdzono dodwnie dwóch mcierzy według (1). Dodwnie to nie jest wykonywne wprost, gdyż mcierz opisn równniem (.1.14) jest o wymirze (8x8) i w tej mcierzy wystę pują tylko przemieszczeni u x,u y ~w kż dym wę ź. lentomist w wę z- łch, rmownicy oprócz przemieszczeń liniowych u x, u y wystę puje obrót. z wzglę dem osi z. Dltego też do wę złów trczy wprowdz się dodtkowo zerowy pozorny obrót! z = wzglę dem osi z, w wyniku czego uzyskuje się mcierz sztywnoś ci trczy o wymirze (1 x 1). Po przeksztł cenich i dodniu obu mcierzy otrzymno w jwnej postci mcierz sztywnoś ci elementu prostoką tnego prę towotrczowego (tbl. 1).

5 ANALIZA KONSTRUKCJI PRCTOWO- TARCZOWYCH 57. Mcierz sztywnoś ci elementu trójką tnego prę towotrczowego Postę pując podobnie jk wyż ej wyzncz się mcierz sztywnoś ci elementu trójką tnego, skłdją cego się z trczy połą czonej n swoich krwę dzich w ogólnym przypdku z trzem dowolnymi prę tmi (rys. 4). Rys. 4. Trójką tny element prę towo- trczowy. Kolejność numercji wę złów jest przeciwn do ruchu wskzówek zegr: i j k. Grubość trczy jest stł i wynosi t. Ukł d współ rzę dnych loklnych jest zczepiony w wę ź. lerozwż się pł ski stn nprę ż eń. Stn przemieszczeń wewną trz elementu jest podobny jk w elemencie prostoką tnym (rozdz. ). Wyznczoną w ten sposób mcierz sztywnoś ci elementu trójką tnego prę towotrczowego zmieszczono w tblicy. 4. Progrm PRTA Przedstwiono obliczeni konstrukcji z podził em n elementy prę towo- trczowe, wg metody elementów skoń czonych, zostł zprogrmowny n mszynę cyfrową, pod nzwą PRTA. Progrm ten npisno w ję zyku FORTRAN 19 i uruchomiono go n mszynie cyfrowej serii ODRA 1. Obliczeni moż n prowdzić dl dowolnych konstrukcji pł skich obcią ż onych w płszczyź nie, skłdją cych się z elementów: prę towo- trczowych (prostoką tnych i trójką tnych), prę towych (rmy płskie), trczowych (prostoką tnych i trójką tnych). Prę ty o stłym przekroju, w poł ą czeniu z trczą stnowią jej uż ebrownie lub wzmocnienie brzegów. Obcią ż eni e zewnę trzne musi być przykł dne w wę zł ch elementu. W dnych do progrmu nleży podć wielkoś ci geometryczne prę tów, trcz i obcią ż ńe zewnę trznych. Jko wyniki otrzymuje się przemieszczeni poszczególnych wę złów konstrukcji, siły wewnę trzne w prę tch i trczch. Pondto otrzymuje się nprę ż eni pochodzą ce od momentu gną cego o g, ś ciskją ce lub rozcią gją ce c i sumryczne cr sum w prę - tch, odksztłceni bezwzglę dne e x, s y, y xy orz nprę ż eni s, cr y i x xy w trczch. Ogrniczeni progrmu stnowi ogóln liczb elementów m <, co wynik z pojemnoś ci pmię ci opercyjnej mszyny serii ODRA 1. Jednk jest on zupeł nie wystrczją c dl celów prktycznych.

6 58 E. RUSIŃ SKI 5. Przykł d liczbowy "W celu sprwdzeni poprwnoś ci dziłń progrmu wykonno szereg obliczeń testują - cych. Uzyskne wyniki obliczeni prostych, konstrukcji prę towo- trczowych porównywno z wynikmi otrzymnymi metodmi nlitycznymi [1, 11, 1]. Porównnie to wykzł o, że już przy podzile n niewielką liczbę elementów uzyskuje się dobrą zgodność z wynikmi otrzymnymi z rozwią zń nlitycznych. Przeprowdzono przykłdowo obliczeni konstrukcji prę towo- trczowej obcią ż one j czterem sił mi skupionymi (rys. 5). Konstrukcję 1=1. Rys. 5. Przykłd konstrukcji prę towo- trczowej : ) ukłd obcią ż eń, b) rozkł d nprę ż eń stycznych. MES metod elementów skoń czonych, A rozwią znie ś cisłe. podzielono n dw prostoką tne elementy prę towo- trczowe (Tblic 1) zwierją c po 4 wę zły kż dy, w elementch tych wystę pują tylko prę ty n przeciwległych bokch. Wrtoś ci nprę ż eń w prę tch omwinej konstrukcji (rys. 5) według rozwią zni [1] wynoszą : P (T 4 = or, = 6 = o =, = <r 5 =, mksymln bezwzglę dn wrtość nprę ż eń stycznych p V, =,4 Ntomist wrtoś ci nprę ż eń, uzyskne przy wykorzystniu omwinej mcierzy sztywnoś ci w MES wynoszą : P P 4 = - o-j = <r 6 = - =,8, or = - <x s = -,4-- A A mksymlne nprę ż eni e styczne x =,4^- Njwię kszy błą d uzysknych wyników wystę puje w prę tch nr 1, i wynosi %, le obliczeni wg [1] dją w tym przypdku zwyż one wrtoś ci. Minowicie zkłd się, że w wę zł ch przyłoż eni sił (rys. 5), obcią ż eni e to jest przenoszone tylko przez prę ty, w rzeczywistoś ci czę ść obcią ż eni przenosi trcz co uwzglę dniono w przedstwionej prcy, któr jest sztywno połą czon z prę tmi. Ntomist w prę cie nr wynosi 4%, dl

7 ANALIZA KONSTRUKCJI PRĘ TOWO- TARCZOWYCH 59 nprę żń e stycznych 1%. Nleży przypuszczć, że przy zwię kszniu liczby elementów, n którą podzielono konstrukcję, otrzymne wyniki bę dą jeszcze bliż sze rozwią zniu dokł dnemu. Resumują c stwierdz się, że przeprowdzenie nlizy wytrzymłoś ciowej konstrukcji o elementch prę towo- trczowych, z uwzglę dnieniem mcierzy sztywnoś ci (tb. 1 i ), pozwl w znczny sposób skrócić efektywny czs liczeni orz mniejszą pmię ć EMC. Litertur cytown w tekś cie 1. J. S. PRZEMIENIECKI, Theory of Mtrix Structurl Anlysis, McGrw Hill O. C. ZIENKIEWICZ, The Finite Element Method in Structurl nd Continuum Mechnics, McGrw Hill J. H. AUGYRIS, Energy Theorems nd Structurl Anlysis, Aircrft Eng. 6,1954, 7, CH. MASSONNET, G. DEPREZ, R. MAQUOL, R. MXJLLER, G. FONDER, Clcul des structures sur ordinteur, Tome I, Anlyse mtricielle des structures. Pris G. RAKOWSKI, Metod elementów skoń czonychw mechnice budowli, Inż ynieri i Budownictwo, nr, E. RUSIŃ SKI, J. TEISSEYRE, Die Berechnungs methden mit Torsionsmoment helsteten rumlichen Stbtrgwerke, Politechnik Wrocłwsk, IKiEM, Komunikt nr 8, J. SZMELTER, S. DOBROCIŃ SKI, Zstosownie metody elementów skoń czonych do tworzeni mcierzy sztywnoś cielementu pł yty. Biuletyn WAT, nr 4,, 1969 r. 8. J. SZMELTER, M. DACKO, S. PYRAK, Anliz sttyczn przestrzennych ukł dów prę towych metodą elementów skoń czonych,pordnik Konstruktor nr 7, O. C. ZIENKIEWICZ, Metod elementów skoń czonych,arkdy Wrszw Z. BRZOSKA, Sttyk i sttecznoś ćkonstrukcji PWN, Wrszw S. TIMOSHENKO, S. WOINOSKY KRIEGER, Teori pł yt i powł ok, Arkdy, Wrszw Z. KACZKOWSKI, Pł yty, obliczeni sttyczne, Arkdy, Wrszw P e IO M e AHAJIH CTEPJKHE- CKJIAJiyATOft KOHCTPyKH,HH C nomomtk) METOflA KOHE^HBIX JIEMEHTOB IIpeflCTB.neH iwetofl pciet JIK>6ŁIX crep^he- ckjifl^tbix KOHcrpyKi;HH JieMeHTB. IIpHBefleHbi B HBHOM BHfle iwipimbi H<ecTKoCTH nphmoyrojibhoro H ipeyrojiłhoro ciep>kne- CKJiflqToro nemeim c Tpeiwst crenehhmh CBo6oflbi. B crephche- CKnffiTOM ojieiheirre y^łieh jim6h (Jiopiw ce^emr; Kwfloro crrep>khn:. OnpeflejieHti Tnwe MipHBi >KeCTi<ocTH nphmoyrojn>hoft CKJiflKH H pmhoh KOHCTpyKi(HHj cocioshueft H 4 ctepwheii. IIporpMM P R T A H nch H HbiKe «t O P T P AH 19 H TecTHpoBH H i(hdppoboh BbumcjiHTeJibHOH iwiiikhe OJI.PA 1. P6oT nphatepoiw. Summ ry AN ANALYSIS OF THE ROD- SHIELD CONSTRUCTIONS BY THE FINITE ELEMENT METHOD The wy of clculting ny rod- shield construction by the finite element method is shown in the pper. The rigidity mtrix of the rod- shield construction elements of rectngulr nd tringulr shpe with three degrees of freedom is given. In rod- shield element ny shpe of the rod cross- section my be pplied.

8 6 E. RUSIŃ SKI The rigidity mtrix of rectngulr shield nd of four brs frme is lso given in the pper. The PRTA progrmme ws writen in the FORTRAN 19 lnguge nd ws tested on the ODRA 1 computer. The pper is illustrted with n exmple. POLITECHNIKA WROCŁAWSKA Prc zostł złoż onw Redkcji dni 5 mrc 1979 roku.

9 k r,] - Ex Tblic 1. Mcierz sztywnoś ci prostoką tnego elementu prę towo- trczoweg o F n 1I H, b l " l t 8(1 - v) rt?(l- v) 8(1 - v ) 8(1 - x) 14,, b r(l-») 8(1 - v ) 64, t T46 ~ l 1(1 - v z ) L b (1-,)] 1/ Zn F 5 «' b + "* S / 64,, /, \ \ ' b j Y jr / (l- v) 8(1- v ) _ 1/ 8p ' ó ' "' 1/ z, m, " = 6/ rt ; 8(1 - v) c / z 6h P b %? 8(1- x) b *(l- v) 8(1 - v ) o b / (l- v) 8(1-6/,, b *i r 8(1- K) b % o 4 S t I" 4b ~ 1(1 v ) L b J t Vb 1(1 v ) L b t r 4 b (1-,)] ( - vj " 4 1(1- i- ) I b ] y Ci) Zj = 1 (1 V) I m -' i (x v } _ o j {ny \ V uj n 1 n i p 11 i nr prę t elementu (^) nr wę zł elementu M 14,, Ą «'i «% 4 (V + - T) r 8(1- v ) 64 P 6 14 P /^ 6 ' ' " J b f 8(1 - v) F, \ I Zr b / o I ZV b b 64, \ b j 8(1-1.) F r 1 " t- *) 8(1 - v ) F f 14, i / (I- V ) 8(1 v ) 14 r 8(1- v) 14, J 7., _, A 64, 4, 64, ft 64, \ + b)

10 r-,] = EX Tblic. Mcierz sztywnoś ci trójką tnego elementu prę towotrczowego d = +b bt A,= (1 - v ) / I l- v = A [ + \ e = e s - F Tu 1 F - I p ~~ ~d F p 7* 1/ z d 14 V+1 lb fl TA b A^ 1- V lb 14. l- v e*. T -1 / z R d \ll Zr \- v b_ V* 6/ r, l- v lb ft V - ^- A ~b~ d e 4 b "X* 6 -- A _ 4 d 6L Zp t* 6 *~ d e n <m ~- b 7' J d ' + b \I p 4 T _(- ".