Opis i wyznaczanie impedancji dwójników niestacjonarnych

Transkrypt

1 Opis i wyzaczaie ipedacji dwójików iestacjoarych Poiary Autoatyka Robotyka 7-8/2004 Radosław Kłosiński * W dziedziie czasu dyskretego związek iędzy sygałai zaciskowyi dwójika o okresowo zieych paraetrach oża zapisać za poocą ipedacyjego operatora cykloparaetryczego w postaci acierzy. Przeiesieie go do dziedziy widowej daje operator ipedacji widowej. Do wyzaczeia ipedacji dwójików iestacjoarych stosuje się orygialy algoryt idetyfikacji. Dwójiki iestacjoare charakteryzują się zależością od przesuięcia w czasie oraz ożliwością ieszaia i geerowaia haroiczych. Descriptio ad deteriatio of tie-varyig two-terial ipedace Descriptio ad deteriatio of tie-varyig two-terial ipedace. Perforace of teporary tie-varyig twoterials ay be described usig a ipedace circular paraetric operator which is of real eleets atrix for. The origial idetificatio algorith ay be used to deteriatio tie-varyig ipedace. Behavior of tie-varyig two-terials depeds o tie shift ad they have realizability to ix ad to geerate haroics. Wstęp Pod wpływe siusoidalego zasilaia apięciowego, przez dwójik klasy SLS (skupioe, liiowe, stacjoare) płyie siusoidaly prąd. Ipedacja zespoloa takiego dwójika jest zdefiiowaa jako stosuek wartości skuteczej zespoloej apięcia do wartości skuteczej zespoloej prądu [1]: (1) Określeie ipedacji dwójików o paraetrach zieych w czasie, klasy SLN (skupioe, liiowe, iestacjoare) ie jest takie oczywiste. Zieość paraetrów powoduje, że odpowiedź układu a siusoidale wyuszeie zazwyczaj ie jest siusoidala. Aby posługiwać się ipedacją zespoloą w podoby rozuieiu jak dla układów SLS, jest wyagae uzyskaie okresowego stau ustaloego. Wtedy odkształcoy prąd dwójika wywołay siusoidaly apięcie oże być przedstawioy za poocą szeregu Fouriera: (2) Jak w taki wypadku określić ipedację? Praca dotyczy dwójików klasy SLN o paraetrach zieych w czasie okresowo, sychroiczie ze ziaai wyuszeia, bo tylko takie układy ogą osiągąć okresowy sta ustaloy [2]. Dwójik jest aalizoway jako układ typu jedo wejście jedo wyjście. Jeżeli sygałe wejściowy (wyuszający) jest prąd, a sygałe wyjściowy (odpowiedzią) apięcie, to operator opisujący działaie takiego układu a charakter ipedacji. Rozważaia są prowadzoe w dziedziie czasu dyskretego oraz w dziedziie widowej, a zasadzie porówaia układów SLS i SLN. Opis układu SLS W dziedziie czasu dyskretego związek iędzy próbkai sygałów wejściowego x() i wyjściowego y() układu SLS jest opisay za poocą rówaia różicowego [3]: (3) Rozwiązaie rówaia różicowego (3) jest dae w postaci suy: (4) h(,) odpowiedź ipulsowa a ipuls Kroeckera δ( ). Kształt dyskretej odpowiedzi ipulsowej układu stacjoarego ie zależy od przesuięcia w czasie i o- * Dr iż. Radosław Kłosiński Uiwersytet Zieloogórski, Istytut Metrologii Elektryczej 169

2 Poiary Autoatyka Robotyka 7-8/2004 że oa być traktowaa jak fukcja jedej zieej: (5) Tak więc, związek iędzy sygałai wejścia i wyjścia dyskretego układu klasy SLS jest opisay za poocą splotu dyskretego: (6) Działaie operatora a okresowy sygał wejściowy opisuje wyrażeie: (11) Wyażając, dokoując podstawieia pn oraz wykorzystując defiicję segetu (10), otrzyuje się: (12) Opis układu SLN W dziedziie czasu dyskretego związek iędzy próbkai sygałów wejścia x() i wyjścia y() układu SLN oża wyrazić za poocą liiowego rówaia różicowego o współczyikach zależych od czasu dyskretego : (7) Rozwiązaie rówaia różicowego (7) jest dae w postaci suy: (8) h(,) odpowiedź ipulsowa a ipuls Kroeckera δ( ). Kształt odpowiedzi ipulsowej układu iestacjoarego zależy od przesuięcia w czasie, więc odpowiedź ipulsowa ie oże być traktowaa jak fukcja jedej zieej. Sygały okresowe w dyskretych układach liiowych W dziedziie czasu dyskretego sygał N okresowy oże być przedstawioy za poocą foruły Poissoa [4]: (9) gdzie tzw. jądro cyklicze: (13) Dla układu o N-okresowo zieych paraetrach odpowiedzi a ipulsy oddaloe o N próbek ają taki sa kształt (zachowaie układu powtarza się co okres zia paraetrów). w związku z ty jądro cyklicze opisujące układ o N okresowo zieych paraetrach a właściwość okresowości: (14) Ozacza to N-okresową odpowiedź y() a N-okresowe wyuszeie x(): (15) Moża ją wyzaczyć, posługując się tzw. operatore cykloparaetryczy day w postaci acierzy: (16) lub krócej: (17) operator cykloparaetryczy układu, x, y wektory próbek sygałów wyuszeia i odpowiedzi. Dla układów stacjoarych (klasy SLS) acierz cykloparaetrycza po uwzględieiu (5) przechodzi do postaci acierzy cykliczej: (18) gdzie tzw. seget: (10) (19) tzw. cyklicza odpowiedź ipulsowa. Koluy acierzy cykliczej zawierają koleje próbki cykliczej odpowiedzi ipulsowej i różią się iędzy sobą jedyie przesuięcie. Ele- 170

3 Poiary Autoatyka Robotyka 7-8/2004 ety ułożoe a kieruku główej przekątej ają taką saą wartość. Wyrażeie (18) jest dyskrety splote cykliczy używay do wyzaczaia okresowej odpowiedzi a okresowe wyuszeie w staie ustaloy dla układu SLS: (20) x(), y() sygały N okresowe, ( ) zak odejowaia odulo N. Widowy opis dyskretych układów liiowych Próbki sygału okresowego ogą być wyrażoe za poocą szeregu zespoloych aplitud składowych haroiczych [1, 5]: τ p okres próbkowaia; X : dla (21) aplituda zespoloa -tej haroiczej, dla sprzężoa aplituda zespoloa (N )-tej haroiczej, dla = 0 X 0 podwója wartość składowej stałej; N liczba próbek a okres sygału,. Wartości aplitud zespoloych oża wyzaczyć a postawie próbek z zależości [1, 5]: (22) Przekształceie widowe (21), (22) to dyskrete przekształceie Fouriera. Ciąg uzyskay ze wzoru (22) jest N-okresowy, podobie jak sygał. Wzory (21) i (22) oża zapisać w postaci acierzowej: (23) (24) x wektor próbek sygału; X wektor zespoloych aplitud oraz zespoloych aplitud sprzężoych; F tzw. acierz Fouriera,, Aby zaleźć widowy odpowiedik acierzy cykloparaetryczej, ależy obie stroy rówaia (17) poożyć lewostroie przez i podstawić rówaie (23). Uwzględiając rówaie (24) dla sygału y, otrzyuje się: skąd ostateczie : (25) Właściwości acierzy ipedacji widowej (26) Jeżeli wyuszeie jest prąd a odpowiedzią układu jest apięcie, to operator cykloparaetryczy a charakter ipedacji. Taki operator ipedacyjy określoy w dziedziie czasu dyskretego w postaci acierzy cykloparaetryczej zawiera w sobie iforacje o ipedacji układu dla haroiczych, które oża zakodować w N próbkach przypadających a okres zia sygału. Działaie operatora obejuje zjawiska ieszaia i geerowaia haroiczych. Właściwości te oża lepiej iterpretować po przeiesieiu rówaia (16) do dziedziy częstotliwościowej. Operator widowy dla układu o okresowo zieych paraetrach jest acierzą wypełioą liczbai zespoloyi i a budowę pseudosyetryczą. Każdy eleet acierzy a swój odpowiedik w postaci eleetu sprzężoego zajdującego się po przeciwej stroie względe środka acierzy [6]. K-ta kolua operatora widowego określa w jaki sposób k-ta haroicza wyuszeia jest przetwarzaa a poszczególe haroicze odpowiedzi. Natoiast k-ty wiersz acierzy widowej zawiera eleety decydujące o sposobie przetwarzaia wszystkich haroiczych wyuszeia w k-tą haroiczą odpowiedzi układu. Dla układu stacjoarego acierz jest cyklicza i po przekształceiu zgodie z (26) do dziedziy widowej acierz przyjuje postać acierzy diagoalej. W ty wypadku widać rozdzieleie haroiczych, tz. określoa haroicza sygału wyjściowego zależy tylko od tej haroiczej sygału wejściowego. Układ typu SLS ie oże geerować haroiczych. Wyzaczaie ipedacji a drodze poiarowej Peły poiar ipedacji o okresowo zieych paraetrach to wyzaczeie wszystkich eleetów acierzy cykloparaetryczej lub operatora ipedacji widowej. Aby wyzaczyć zgodie z defiicją (16), ależałoby dokoać poiaru (zebrać próbki) N apięciowych, przesuiętych o okres próbkowaia cykliczych odpowiedzi ipulsowych (a cyklicze ipulsy prądowe), a astępie wpisać je w odpowiedi sposób do acierzy. Ia etoda to podaie a wejście układu N iezależych liiowo prądowych sygałów wyuszeia i zebraie N apięciowych odpowiedzi a te sygały, a astępie wyzaczeie operatora a zasadzie rozwiązaia N układów rówań liiowych N-tego stopia [4]. Próba bezpośrediego wyzaczeia operatora ipedacji widowej to seria poiarów próbek apięcia przy ooharoiczych wyuszeiach prą- 171

4 Poiary Autoatyka Robotyka 7-8/2004 dowych o różych częstotliwościach, a astępie rozkład uzyskaych sygałów apięcia a składowe haroicze i rozwiązaie układów zespoloych rówań liiowych o postaci: (27) aplitudy zespoloe k-tych haroiczych apięcia uzyskaych przy zasilaiu dwoa prądai l-tej haroiczej, o różych fazach początkowych, o aplitudach zespoloych ; wyzaczae eleety operatora ipedacji widowej. Zazwyczaj peła zajoość operatora ipedacji widowej ie jest potrzeba, tak jak dla układów stacjoarych rzadko potrzeba jest cała charakterystyka częstotliwościowa. Może się okazać, że wystarczy określić zachowaie układu jedyie przy siusoidaly sygale wyuszający o określoej częstotliwości. W takiej sytuacji ipedację dwójika SLN reprezetującą zjawisko odkształcaia oraz wrażliwość a przesuięcie w czasie staowią dwie (skojarzoe ze sobą) koluy operatora. Wielu probleów związaych z poiare ipedacji o okresowo zieych paraetrach oża uikąć, stosując odpowiedi aparat ateatyczy. Dobry rozwiązaie wydaje się stosowaie orygialego algorytu idetyfikacji operatora cykloparaetryczego [7]. Algoryt idetyfikacji operatora cykloparaetryczego Podstawą idetyfikacji jest rówaie acierzowe wyikające z zależości (17): (28) X acierz N K sygałów wyuszających, każda kolua to wektor próbek jedego sygału wyuszającego; Y acierz N K sygałów odpowiedzi układu, każda kolua to wektor próbek jedego sygału odpowiedzi. Gdy N<K, wówczas rówaie acierzowe (28) oże ieć ieskończeie wiele rozwiązań, wśród których ależy wybrać jedo ajbardziej optyale. Niech kryteriu optyalizacyjy będzie jak ajiejsza zieość paraetrów układu, przy jedoczesy spełiaiu rówaia (28). Zadaie optyalizacji warukowej oże być postawioe w astępujący sposób [7]: (29) (30) wektor zawierający eleety -tego wiersza acierzy, wektor -tych próbek wszystkich K sygałów odpowiedzi układu (eleety -tego wiersza acierzy Y), wektor przyrostów eleetów acierzy, dla -tego wiersza tej acierzy, defiiowaych astępująco: (31) zak odejowaia odulo N. Kryteriu optyalizacyje (29) ozacza iializację przyrostów eleetów acierzy wzdłuż przekątej główej i podprzekątych do iej rówoległych. Takie podejście wyika z faktu, że dla układu stacjoarego operator a postać acierzy cykliczej (18). Wtedy przyrosty zdefiiowae za poocą wyrażeia (31) są rówe zeru. Zastosowaie etody Lagrage a prowadzi do iteracyjego rozwiązaia postawioego zadaia [7]: acierz jedostkowa, (32) acierz cykliczego opóźieia jedostkowego. Iteracje oża realizować pod warukie: (33) ozaczający liiową iezależość sygałów wyuszających. Przykłady idetyfikacji Rys. 1 przedstawia graficzy obraz ipedacyjych operatorów cykloparaetryczych dwójika stacjoarego oraz dwójika o zieych paraetrach. Widać, że dla dwójika iestacjoarego wartości eleetów wzdłuż główej przekątej się zieiają. Widowe operatory ipedacji tych dwójików pokazuje rys. 2. Dla układu SLN iezerowe eleety pojawiają się rówież poza główą przekątą. Na rys. 3 przedstawioo wyik działaia algorytu idetyfikacji. Dayi do idetyfikacji były trzy pierwsze haroicze prądu wraz z uzyskayi dla ich apięciai. Podsuowaie Dwójiki o okresowo zieych paraetrach w dziedziie czasu dyskretego w okresowy staie ustaloy ogą być opisae za poocą ipedacyjego 172

5 Poiary Autoatyka Robotyka 7-8/2004 b) (, ) (, ) Rys. 1. Operatory cykloparaetrycze ipedacji dwójików: stacjoarego SLS, b) iestacjoarego SLN (ω) b) (ω) Rys. 2. Widowe operatory ipedacji (część rzeczywist dwójików: stacjoarego SLS, b) iestacjoarego SLN (ω) b) (ω) Rys. 3. Widowe operatory ipedacji (część rzeczywist dwójików: stacjoarego SLS, b) iestacjoarego SLN, uzyskae w wyiku idetyfikacji trzea pierwszyi haroiczyi operatora cykloparaetryczego w postaci acierzy. Przeiesieie operatora do dziedziy częstotliwościowej daje operator ipedacji widowej, którego eleety wskazują związki iędzy haroiczyi apięcia i prądu. Do poiaru ipedacji dwójika o okresowo zieych paraetrach, a więc do wyzaczaia eleetów acierzy lub szczególie jest przydaty algoryt idetyfikacji operatora cykloparaetryczego. Operatory uzyskae w wyiku idetyfikacji zawierają te iforacje, które są w sygałach wprowadzaych do algorytu. Bibliografia [1] Siwczyński M.: Teoria obwodów i sygałów, cz. 1. Obwody elektrycze liiowe, RWNT Uiwersytet Zieloogórski, Zieloa Góra [2] Siwczyński M.: Eergetycza teoria obwodów, Wydawictwo IGSMiE PAN, Kraków [3] Dąbrowski A., Figlak P., Gołębiewski R., Marciiak T.: Przetwarzaie sygałów przy użyciu procesorów sygałowych, Wydawictwo Politechiki Pozańskiej, Pozań [4] Siwczyński M.: Metody optyalizacyje w teorii ocy obwodów elektryczych, oografia 183, Politechika Krakowska, Kraków [5] Papoulis A.: Obwody i układy, WKŁ Warszawa [6] Siwczyńska Z.: Syteza cyfrowych liiowych filtrów paraetryczych w dziedziie częstotliwości, XX SPETO Gliwice Ustroń [7] Kłosiński R.: Kocepcja poiaru ipedacji iestacjoarych cz. 2.: Algoryt idetyfikacji operatora cykloparaetryczego, iterpretacja wyików poiaru ipedacji. Międzyarodowe Seiariu Metrologów Rzeszów