MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ"

Transkrypt

1 MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym. Będziemy oznaczać : a n (b n, c n itd.) - n-ty wyraz ciągu (wyraz o numerze n), (a n ) 0 n=, (b n ) n= (lub krócej (a n ), (b n )...) cały ciąg. (Niektóre) sposoby określania ciągów liczbowych Przez wypisanie wszystkich wyrazów (tylko dla ciągu skończonego), np. 2, 5, 5 2, 3, 3, 2, 2π, 5, 6 (czyli: a = 2, a 2 = 5,, a 8 = 5 ). Przez podanie wzoru na wyraz ogólny, np. a n = n 2 6 więc w tym przypadku a = 5, a 2 = 2, a 3 = 3, a 0 = 94 Suma wyrazów ciągu liczbowego: Dla dwóch liczb całkowitych z, Z takich że z Z, (suma Z z + składników) W szczególności: (suma m składników). Z n=z m n= a n = a z + a z+ + + a Z. a n = a + a a m.

2 Proste przykłady: 8 n= 0 k=7 8 i=4 5 j= 5 5 n=0 n = = 36 ; k = = 34 ; (i 3) = (4 3) + (5 3) + (6 3) + (7 3) + (8 3) = 5 ; j 2 = ( 5) 2 + ( 4) = 0 ; 2 n = = = NAJWAŻNIEJSZE WŁASNOŚCI (a) Z (a n + b n ) = Z a n + Z (b) n=z z n=z a n = a z np. n=z 5 n=5 b n n=z n = 5 (c) Z (c a n ) = c n=z Z a n n=z np. 8 n=0 (7 n 2 ) = 7 8 n 2 n= (d) dla z w Z w n=z a n + Z n=w+ a n = Z a n n=z (np. 7 n= (2n ) + 9 (2n ) = 9 (2n ) ) n=8 n= (e) Z n=z c = (Z z + ) c np 9 n=3 5 = = 7 5 = OBLICZANIE 9 j= 3 n= 2 3 = 27 i podobnie 4 3 = 27; j=6 (2n + ) = 2 ( 2) ( )

3 a prościej: = 3 n= 2 2n + 3 n= 2 = 2 3 n= 2 n + 6 = 2 ; 6 k=3 k 2 = = 86 0 i= 0 i = 0 (dlaczego?) 4 j=0 (2 3 j ) = j = 242 j=0.4. ZAPISYWANIE Zapisać z użyciem znaku sumy: ; x + x 2 + x 3 + x 4 ; x 2 + x x 50 5 k=3 oraz k 4 x n 25 x 2k n= k= ; 5x 2 + 6x 4 + 7x x n=5 n (lub 25 (n + 4)) n= 25 n= (n + 4)x 2n.5. INTERPRETACJA Przykład: Sieć ma w mieście M = 4 bary (A, B, C, D), w każdym jest sprzedawane N = 5 gatunków piwa (H, K, L, T, Ż). Oznaczamy przez x ij liczbę litrów piwa typu j sprzedanych dziś w barze nr i. Wówczas: liczba litrów piwa sprzedanych dziś w barze nr 3 to 5 x 3j j= a liczba litrów Żywca nalanych dziś w całym mieście to 4 i= x i5. Jeżeli bar nr i kupuje piwo typu j po cenie p ij, a sprzedaje po z ij za litr, to jego dzisiejszy utarg na piwie wynosi 5 (z ij x ij ), a zysk j= 5 ((zij p ij ) x ij ).

4 A ile litrów piwa nalano dziś łącznie we wszystkich barach tej sieci? Sumując kolejno po wszystkich barach i łączną sprzedaż w barze (s i ) dostaniemy 4 i= s i = 4 5 x ij. i= j= Sumując kolejno po wszystkich typach piwa j łączną sprzedaż tego piwa w mieście (r j ) dostaniemy 5 r j = 5 4. j= Tę wielkość zapisujemy jako sumę podwójną: 4 5 i= j= j= x ij = 5 x ij i= 4 j= i= x ij..6. SUMA PODWÓJNA Definicja jak wyżej: Podstawowe właściwości: Y Z i=y j=z Y Z i=y j=z (a ij + b ij ) = Y Z i=y j=z (a i b j ) = Y a i i=y Z j=z Y Z x ij = Z Y x ij = i=y j=z j=z i=y = Y Z x ij = Z Y x ij. i=y j=z j=z i=y a ij + Y b j. Z i=y j=z b ij ; Przykład: ale prościej: = 4 3 m=0 n= m + n 4 = m=0 n= 4 (m + ) ( + 2 3) + ( ) ( ) m + = 4 3 (m + ) n m=0 n= n ( 3 = 5 n ) = = 65 6 ( ) = = 5 6 = 65 6 = 55 2.

5 .7. ŚREDNIA Średnia z liczb a, a 2, a n to ni= a i n. 2 i= i Na przykład średnia z liczb, 2,..., 2 to =. 2 Zazwyczaj średnią z liczb x, x 2, x n oznacza się przez x. Właściwości:. min(x, x 2, x n ) x max(x, x 2, x n ) i jeżeli liczby x, x 2, x n nie są wszystkie jednakowe, to obie nierówności są ostre; 2. n i= (x i x) = 0 (suma odchyleń wszystkich liczb od ich średniej = średnia odchyleń od średniej = 0)..8. ILOCZYN Na przykład: Z n=z a n = a z a z+ a Z. 5 j= j = = 20 = 5! ; 4 i=0 9 j= j = 0 ; 2 i = 2 4 i=0 i = 2 0 = 024 ; n k= n j= 2 n= 2 k = n! ; a = a n ; 5 n =.

6 . x y = 0 wektory x i y są prostopadłe 2. Algebra liniowa 2.. WEKTORY DZIAŁANIA, LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ Wektor n-wymiarowy x układ n liczb rzeczywistych: x = (x, x 2,, x n ). Często wektory utożsamia się z punktami przestrzeni n-wymiarowej R n (a w fizyce ze strzałkami prowadzącymi od początku układu do danego punktu). Będziemy je zapisywać jako wektory kolumnowe: x = lub jako wektory wierszowe: x = [x x 2 x n ]. Działania na wektorach Dodawanie (tylko wektorów tego samego wymiaru) : Dla x = [x x 2 x n ], y = [y y 2 y n ] R n np. [2 3 5] + [3 0 ] = [5 3 4]. Mnożenie wektora przez liczbę x x 2 x n x + y = [x + y x 2 + y 2 x n + y n ] Dla x = [x x 2 x n ] R n i liczby c R c x = [cx cx 2 cx n ] np. 3 [2 3 5] = [6 9 5]. Iloczyn skalarny (tylko wektorów tego samego wymiaru) Dla x = [x x 2 x n ], y = [y y 2 y n ] R n x y = x y + x 2 y 2 + x n y n = n x j y j (liczba), np. [2 3 5] [3 0 ] = ( 5) =. Uwaga (geometryczna) j=

7 2. x x = kwadrat długości wektora x. Wektor d R n jest kombinacją liniową wektorów a, a 2,, a k R n jeżeli istnieją liczby z, z 2,, z k (współczynniki kombinacji) takie że Jeśli z, z 2,, z k 0 i Np. wektor d = 3 8 k j= (bo d = 3a a 2 ), a wektor e = wektor a wektor 2 5 d = z a + z 2 a z k a k. z j =, to taka kombinacja jest kombinacją wypukłą. jest kombinacją liniową wektorów a = nie jest; jest kombinacją wypukłą wektorów 2 2 Wektory a, a 2,, a k liniową pozostałych. Np. wektory a = a, a 2 i a 4 = 6 3 i 0 6 jest ich kombinacją liniową, ale nie wypukłą. 3 3, 3 i a 2 = R n są liniowo niezależne, jeżeli żaden z nich nie jest kombinacją, a 2 = 0 2 i a 3 = są liniowo niezależne, a wektory nie są (bo a 4 = a 2a 2 ), czyli są liniowo zależne. Uwaga. Układ liniowo niezależnych wektorów w R n może składać się z co najwyżej n wektorów. Najprostszy układ wektorów liniowo niezależnych w R n : [ 0 0], [0 0 0],, [0 0 0 ] (baza kanoniczna układ wszystkich wersorów).

8 2.2. MACIERZE OKREŚLENIE Macierz wymiaru m n = Prostokątna tablica liczb o m wierszach i n kolumnach. A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Macierz wymiaru n wektor wierszowy długości n Macierz wymiaru m wektor kolumnowy długości m DZIAŁANIA NA MACIERZACH Transpozycja A T = ( A transponowana, wymiaru n m). Np. gdy A = (A T ) T = A , to A T = a a 2 a m a 2 a 22 a m2 a n a 2n a nn Mnożenie przez liczbę Gdy c R, A macierz wymiaru m n to c A taka macierz C wymiaru m n że dla każdego i, j c ij = c a ij. Np. gdy A = , to 4 A =

9 Dodawanie macierzy TYLKO TEGO SAMEGO WYMIARU! Gdy A, B macierze wymiaru m n to A + B taka macierz C wymiaru m n że dla każdego i, j c ij = a ij + b ij. Np. gdy A jak wyżej, B = A + B = , to Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne. Mnożenie macierzy przez wektor kolumnowy, A + 2 B = Gdy A macierz wymiaru m n, x wektor kolumnowy długości n, to y = A x wektor kolumnowy długości m otrzymany tak: y k = n (a kj x j ) dla k =, 2, m j= (iloczyn skalarny k-tego wiersza macierzy A i wektora x). Np = 3 ( 2) ( 2) = Przykład. W przykładzie z piwem z poprzednich zajęć: gdy X macierz (4 5) liczb litrów piwa poszczególnych rodzajów nalanych w poszczególnych barach, q wektor kolumnowy długości 5, gdzie x j cena sprzedaży litra piwa typu j to z = X q jest wektorem długości 4 ; z k = utarg baru nr k na piwie Mnożenie macierzy Gdy A macierz wymiaru m n, B macierz wymiaru n p. (TYLKO TAKIE MOŻNA MNOŻYĆ!) to C = A B macierz wymiaru m p otrzymana tak:. c kl = n (akj b jl ) dla k =, 2, m, l =, 2, p.

10 c kl = k-ty wiersz A l-ta kolumna B. Czyli: kolumny macierzy C powstają z pomnożenia A przez odpowiednie kolumny macierzy B. Na przykład: = ( 2) ( 2) = Innymi słowy : A B istnieje A ma tyle samo kolumn ile B ma wierszy wiersze A są tej samej długości co kolumny B. Macierz kwadratowa A (n n) jest : symetryczna A = A T i,j a ij = a ji np. trójkątna górna (i > j a ij = 0) trójkątna dolna (i < j a ij = 0) diagonalna (i j a ij = 0) jednostkowa a ij = gdy i = j, 0 gdy i j np. np. np ; ; ; ;. Macierz jednostkową wymiaru n n oznaczamy przez I n.

11 Własności mnożenia macierzy: jest łączne (tj. A (B C) = (A B) C ), nie jest przemienne może zachodzić A B B A nawet gdy oba iloczyny istnieją, iloczyn A A T zawsze istnieje i jest macierzą symetryczną, (A B) T = B T A T, dla dowolnej macierzy A wymiaru m n A I n = I m A = A DOPEŁNIENIA ALGEBRAICZNE I WYZNACZNIK tylko macierzy kwadratowych! Gdy A jest macierzą (n n), oznaczamy: A ij macierz wymiaru n n utworzona z A przez usunięcie i-tego wiersza i j-tej kolumny; det A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn wyznacznik macierzy A ; a D ij dopełnienie algebraiczne elementu a ij i określamy je tak: dla n = : a D nie istnieje, det [a ] = a ; dla n > a D ij = ( ) i+j det A ij, det A = n k= (a k a D k).

12 Przykład dla n = 2 : B = b D = ( ) + det B = det[ 3] = 3, b D 2 = ( ) +2 det B 2 = det[] =, b D 2 = ( ) 2+ det B 2 = det[4] = 4, b D 22 = ( ) 2+2 det B 22 = det[2] = 2. Więc macierz dopełnień algebraicznych macierzy B : B D = i wyznacznik: det B = b b D + b 2 b D 2 = 2 ( 3) + 4 ( ) = 0. Prosty wzór na wyznacznik macierzy 2 2 : det Przykład dla n = 3 : E = e D = ( ) + det E = det e D 2 = ( ) +2 det E 2 = det e D 3 = ( ) +3 det E 3 = det (uzupelnić!) i wyznacznik:. Mamy: a a 2 a 2 a 22 2 = a a 22 a 2 a 2. = 2 ( ) ( ) =, 0 = (0 ( ) ( )) =, 0 2 = 0 ( ) 2 ( ) = 2 det E = 3 (e k e D k) = 2 + ( ) =. k= Prosta metoda liczenia wyznacznika macierzy 3 3 schemat Sarrusa.

13 Właściwości wyznacznika: jeżeli A ma kolumnę (lub wiersz) samych zer, to det A = 0, jeżeli A ma dwie kolumny (lub dwa wiersze) równe lub proporcjonalne, to det A = 0, jeżeli A trójkątna lub diagonalna, to co? (praca domowa) dodanie do kolumny (wiersza) innej kolumny (wiersza) pomnożonej(-go) przez stałą nie zmienia wyznacznika macierzy, zamiana miejscami dwóch wierszy (lub kolumn) zmienia znak wyznacznika, det(c A) = c n det A, det(a B) = det A det B. Ponadto: det A = n (a k a D k) = n (a mk a D mk) k= dla dowolnego m =, 2, n, tzn. sumowanie możemy wykonać dla dowolnego (niekoniecznie pierwszego) wiersza macierzy. k= (Także dla dowolnej kolumny: det A = n (a km a D km)) rozwinięcie Laplace a według dowolnego wiersza lub kolumny. k= Jeszcze inne własności: det A T = det A, jeżeli A jest wymiaru m n i m > n, to det(a A T ) = 0. Macierz kwadratowa B jest osobliwa jeżeli det B = 0 ; w przeciwnym razie B jest nieosobliwa.

14 Interpretacja geometryczna wyznacznika det A = (gdy A jest macierzą 2 2) = pole równoległoboku (gdy A jest macierzą 3 3) = objętość równoległościanu którego bokami są wektory w R 2 (R 3 ) równe kolumnom macierzy A. Rząd macierzy A (niekoniecznie kwadratowej), rz A to największa liczba liniowo niezależnych wierszy macierzy A = największa liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy A = liczba różnych wersorów które można uzyskać w kolumnach macierzy otrzymanej z A przez operacje elementarne Uwaga.. Gdy macierz A jest wymiaru m n, to rz A min(m, n). (o których dalej). 2. Gdy macierz A jest wymiaru n n, to rz A = n wtedy i tylko wtedy, gdy det A 0.

15 2.5. MACIERZ ODWROTNA tylko macierzy kwadratowej nieosobliwej! Gdy A jest macierzą wymiaru n n i det A 0, określamy: A = macierz X taka, że A X = I n. Stwierdzenie: Dla macierzy A wymiaru n n. A istnieje A jest nieosobliwa rz A = n ; 2. A A = I n ( i wobec tego (A ) = A ); 3. jeżeli A istnieje, to jest wyznaczona jednoznacznie. Wzór: A = det A (AD ) T. Przykład: Dla macierzy A = więc A = det A (AD ) T = mamy A = 0 oraz A D = T = 0, 4 0, 7 0, 2 0, , Przykład: mamy: Dla macierzy F D = F = oraz det F = [3 2 3] [ 6 4 8] = 2, więc F = det F (FD ) T = = Inna metoda wyliczania: przez operacje elementarne (dalej).

16 2.6. UKŁADY (CRAMEROWSKIE) RÓWNAŃ LINIOWYCH Każdy układ m równań liniowych z n niewiadomymi postaci: można zapisać w postaci wektorowej : x a a 2 a m lub w postaci macierzowej : a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m + x 2 a 2 a 22 a m2 a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn + + x n x x 2 x n (czyli A x = b, gdzie A jest macierzą wymiaru m n, x x 2 x = jest wektorem z R n, b = x n b b 2 b m a n a 2n a mn = b b 2 b m wektorem z R m ). = b b 2 b m Szczególny przypadek: Gdy m = n (niewiadomych jest tyle ile równań) i macierz A jest nieosobliwa, układ równań o takiej macierzy nazywamy cramerowskim. Np. układ równań a układ 5x 3x 2 = 7 2x + x 2 = 6 jest cramerowski, x + 3x 2 + x 3 = 8 2x + 4x 2 + x 3 = nie.

17 ROZWIĄZYWANIE cramerowskich układów równań: Twierdzenie : Jeśli układ równań o postaci macierzowej A x = b jest cramerowski, to ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest nim wektor x = A b. Dowód: Skoro A x = b, to A (A x) = A b (A istnieje bo układ jest cramerowski, a więc det A 0), czyli I n x = x = A b. Stąd uniwersalna metoda rozwiązywania takich układów: Odwrócić macierz układu A i pomnożyć uzyskaną A przez prawą stronę, b. Inna metoda: Wzory Cramera : Rozwiązanie x cramerowskiego układu równań A x = b jest postaci x j = det A [j/b] det A j =, 2, n gdzie A [j/b] jest macierzą powstającą z A przez zastąpienie j-tej kolumny wektorem b. Przykład : Układ równań ma postać macierzową 2x x 2 = 4 2x 2 x 3 = 6 x x 2 + x 3 = x x 2 x 3 = i jego macierz (oznaczmy ją E) jest nieosobliwa bo det E =. Nadto E =

18 (sprawdzić!), a więc x = E x =, x 2 = 2, x 3 = = = 2 2 ; Lub z wzorów Cramera: E [b] = , E [2b] = , E [3b] = i det E [b] =, det E [2b] = 2, det E [3b] = 2 a więc x = / =, x 2 = 2/ = 2, x 3 = 2/ = 2. Jeszcze inna metoda (i jedyna która działa dla układów NIEcramerowskich) przez operacje elementarne.

19 Operacje elementarne na macierzy: zamiana wierszy : w i /w j pomnożenie wiersza przez stałą : c w i dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez stałą : w i + c w j. Mają one zastosowanie do: wyliczania macierzy odwrotnej macierzy nieosobliwej, wyliczania rzędu macierzy, rozwiązywania układów równań liniowych. Wpływ operacji elementarnych na wyznacznik (macierzy kwadratowej): w i /w j zmienia znak det, w i + c w j nie zmienia wyznacznika, c w i mnoży det przez c. Rozwiązywanie cramerowskich układów równań przez operacje elementarne:. Zapisać układ w postaci macierzowej 2. Obok jego macierzy wpisać prawą stronę układu (wektor wyrazów wolnych) 3. Przeprowadzać na obu naraz te same operacje elementarne aż do otrzymania po lewej stronie macierzy jednostkowej 4. W tym momencie po prawej stronie otrzymamy wektor będący rozwiązaniem układu równań. Przykład : Rozwiązać układ równań 5x 3x 2 + 6x 3 = 7 3x + 2x 2 4x 3 = 4 2x x 2 + 3x 3 = 6. w 3 w w + w 2 w 2 + 2w

20 w 2w 2 w w 2w 3 w /w rozwiązanie: x = 2, x 2 = 7, x 3 = 3. Odwracanie macierzy nieosobliwych przez operacje elementarne:. Obok odwracanej macierzy zapisać macierz jednostkową tego samego wymiaru. 2. Przeprowadzać na obu naraz te same operacje elementarne aż do otrzymania po lewej stronie macierzy jednostkowej 3. W tym momencie po prawej stronie otrzymamy macierz odwrotną do wyjściowej. Przykład. Odwrócenie macierzy z poprzedniego przykładu: w 3 w w + w 2 w 2 + 2w w /w macierz odwrotna po prawej stronie.

21 2.7. UKŁADY NIECRAMEROWSKIE Uwaga. Układ równań A x = b czyli a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wektor a a 2 a m, a 2 a 22 a m2,, a n a 2n a mn. b b 2 b m jest kombinacją liniową wektorów Tzn. gdy wektor b jest kombinacją liniową kolumn macierzy A. (Dowód oczywisty z postaci wektorowej układu; rozwiązania x, x n = współczynniki tej kombinacji). Dla takiego układu równań oznaczamy: A b macierz m (n + ) powstała przez dodanie do macierzy A kolumny wyrazów wolnych b. TWIERDZENIE. Układ m równań z n niewiadomymi A x = b (jak wyżej) : ma jedno rozwiązanie rz A = rz A b = n (tak jest w szczególności dla układów cramerowskich); ma nieskończenie wiele rozwiązań rz A = rz A b < n ; nie ma rozwiązań (jest sprzeczny) rz A < rz A b. Praktyczne rozwiązywanie przez operacje elementarne. Dla układów mających nieskończenie wiele rozwiązań dzielimy zmienne na bazowe te w których kolumnach występują różne wersory swobodne wszystkie pozostałe po czym za każdą zmienną swobodną wstawiamy osobny parametr i otrzymujemy rozwiązanie ogólne

22 Przykład. Układ równań x + x 2 + x 3 = 5 2x + 3x 2 + x 3 = 7 sprowadzamy przez operacje elementarne do postaci z dwoma różnymi wersorami w kolumnach [ ] w 2 2w [ ] w w 2 [ ] ; zmienne x i x 2 (odpowiadające kolumnom z różnymi wersorami) są bazowe, za zmienną swobodną x 3 wstawiamy parametr: x 3 = s i przepisujemy układ w postaci x + 2s = 8, x 2 + s = 3, czyli x = 8 2s, x 2 = s 3, x 3 = s ; rozwiązanie ogólne rodzina wszystkich rozwiązań, dla dowolnych wartości parametru s. Po podstawieniu dowolnej wartości s (np. s = 7) dostaniemy rozwiązanie szczególne (np. x = 6, x 2 = 4, x 3 = 7). Szczególny przypadek rozwiązania bazowe w zmiennych bazowych x 2, x 3 (x = 0) : s = 4 ; x = 0, x 2 =, x 3 = 4 w zmiennych bazowych x, x 3 (x 2 = 0) : s = 3 ; x = 2, x 2 = 0, x 3 = 3 w zmiennych bazowych x, x 2 (x 3 = 0) : s = 0 ; x = 8, x 2 = 3, x 3 = 0. Rozwiązania nieujemne czyli takie, że x, x 2, x 3 0 muszą spełniać czyli występują dla takich s że 3 s s 0, s 3 0, s 0 Przykład 2. Operacje elementarne: [ x 2x 2 + x 3 x 4 = 2 3x + 2x 2 + 3x 3 x 4 = 4 ] w 2 3w ; w 2 2 ; w + w 2 Zmienne bazowe: x 3, x 4 (można zamiast tego wziąć x i x 4 ), dwa parametry x = s i x 2 = t, [ rozwiązanie ogólne: x = s, x 2 = t, x 3 = 3 s 2t,, x 4 = 5 4t. ]

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3. Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY

OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY Dodawanie i odejmowanie macierzy jest możliwe tylko dla dwóch macierzy o takich samych wymiarach! Wynikiem tych operacji jest macierz o takich samych

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.

Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Układy Cramerowskie Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych: AX = B, w którym A jest macierzą

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub

Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza. Gabriel Laub "Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Układy równań liniowych. Ax = b (1) Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Metody i analiza danych

Metody i analiza danych 2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach

Bardziej szczegółowo

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla

Bardziej szczegółowo

Macierze. Układy równań.

Macierze. Układy równań. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie

Bardziej szczegółowo

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

9 Układy równań liniowych

9 Układy równań liniowych 122 II PRZESTRZENIE WEKTOROWE 9 Układy równań liniowych 1 Istnienie rozwiązań układu równań liniowych W tym paragrafie przerwiemy chwilowo ogólną analizę struktur pojawiających się w przestrzeniach wektorowych,

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kierunek: Inżynieria biomedyczna Linear algebra and analytical geometry forma studiów: studia stacjonarne Kod przedmiotu: IB_mp_ Rodzaj przedmiotu:

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z?

Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Liczby naturalne porządkowe, (0 nie jest sztywno związane z N). Przykłady: 1, 2, 6, 148, Liczby całkowite to liczby naturalne, przeciwne

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami ZałóŜmy, Ŝe macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, Ŝe macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kierunek: Mechatronika Linear algebra and analytical geometry Kod przedmiotu: A01 Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Poziom

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: JFT s Punkty ECTS: 5. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: JFT s Punkty ECTS: 5. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: - Nazwa modułu: Matematyczne metody fizyki 1 Rok akademicki: 2013/2014 Kod: JFT-1-103-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Fizyki i Informatyki Stosowanej Kierunek: Fizyka Techniczna Specjalność: - Poziom studiów:

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Materiały pomocnicze dla studentów do wykładów Opracował (-li): 1 Prof dr hab Edward Smaga dr Anna Gryglaszewska 3 mgr Marta Kornafel 4 mgr Fryderyk Falniowski 5 mgr Paweł Prysak Materiały przygotowane

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne II. Układy równań liniowych

Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Układ równań liniowych Układem równań

Bardziej szczegółowo

MACIERZE. Definicja. Macierz liczbowa rzeczywista (krótko: macierz), jest to tablica prostokątna. której elementami Słownictwo. są liczby rzeczywiste.

MACIERZE. Definicja. Macierz liczbowa rzeczywista (krótko: macierz), jest to tablica prostokątna. której elementami Słownictwo. są liczby rzeczywiste. MACIERZE Definicja. Macierz liczbowa rzeczywista (krótko: macierz), jest to tablica prostokątna której elementami Słownictwo są liczby rzeczywiste. rzędy pionowe nazywamy kolumnami macierzy, rzędy poziome

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy

Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy Matematyka, królowa nauk Edycja X - etap 2 Bydgoszcz, 16 kwietnia 2011 Fordoński

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając

Bardziej szczegółowo

Semestr Pierwszy Liczby i działania

Semestr Pierwszy Liczby i działania MATEMATYKA KL. I 1 Semestr Pierwszy Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej podać odwrotność liczby porównać

Bardziej szczegółowo

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo