MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ"

Transkrypt

1 MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym. Będziemy oznaczać : a n (b n, c n itd.) - n-ty wyraz ciągu (wyraz o numerze n), (a n ) 0 n=, (b n ) n= (lub krócej (a n ), (b n )...) cały ciąg. (Niektóre) sposoby określania ciągów liczbowych Przez wypisanie wszystkich wyrazów (tylko dla ciągu skończonego), np. 2, 5, 5 2, 3, 3, 2, 2π, 5, 6 (czyli: a = 2, a 2 = 5,, a 8 = 5 ). Przez podanie wzoru na wyraz ogólny, np. a n = n 2 6 więc w tym przypadku a = 5, a 2 = 2, a 3 = 3, a 0 = 94 Suma wyrazów ciągu liczbowego: Dla dwóch liczb całkowitych z, Z takich że z Z, (suma Z z + składników) W szczególności: (suma m składników). Z n=z m n= a n = a z + a z+ + + a Z. a n = a + a a m.

2 Proste przykłady: 8 n= 0 k=7 8 i=4 5 j= 5 5 n=0 n = = 36 ; k = = 34 ; (i 3) = (4 3) + (5 3) + (6 3) + (7 3) + (8 3) = 5 ; j 2 = ( 5) 2 + ( 4) = 0 ; 2 n = = = NAJWAŻNIEJSZE WŁASNOŚCI (a) Z (a n + b n ) = Z a n + Z (b) n=z z n=z a n = a z np. n=z 5 n=5 b n n=z n = 5 (c) Z (c a n ) = c n=z Z a n n=z np. 8 n=0 (7 n 2 ) = 7 8 n 2 n= (d) dla z w Z w n=z a n + Z n=w+ a n = Z a n n=z (np. 7 n= (2n ) + 9 (2n ) = 9 (2n ) ) n=8 n= (e) Z n=z c = (Z z + ) c np 9 n=3 5 = = 7 5 = OBLICZANIE 9 j= 3 n= 2 3 = 27 i podobnie 4 3 = 27; j=6 (2n + ) = 2 ( 2) ( )

3 a prościej: = 3 n= 2 2n + 3 n= 2 = 2 3 n= 2 n + 6 = 2 ; 6 k=3 k 2 = = 86 0 i= 0 i = 0 (dlaczego?) 4 j=0 (2 3 j ) = j = 242 j=0.4. ZAPISYWANIE Zapisać z użyciem znaku sumy: ; x + x 2 + x 3 + x 4 ; x 2 + x x 50 5 k=3 oraz k 4 x n 25 x 2k n= k= ; 5x 2 + 6x 4 + 7x x n=5 n (lub 25 (n + 4)) n= 25 n= (n + 4)x 2n.5. INTERPRETACJA Przykład: Sieć ma w mieście M = 4 bary (A, B, C, D), w każdym jest sprzedawane N = 5 gatunków piwa (H, K, L, T, Ż). Oznaczamy przez x ij liczbę litrów piwa typu j sprzedanych dziś w barze nr i. Wówczas: liczba litrów piwa sprzedanych dziś w barze nr 3 to 5 x 3j j= a liczba litrów Żywca nalanych dziś w całym mieście to 4 i= x i5. Jeżeli bar nr i kupuje piwo typu j po cenie p ij, a sprzedaje po z ij za litr, to jego dzisiejszy utarg na piwie wynosi 5 (z ij x ij ), a zysk j= 5 ((zij p ij ) x ij ).

4 A ile litrów piwa nalano dziś łącznie we wszystkich barach tej sieci? Sumując kolejno po wszystkich barach i łączną sprzedaż w barze (s i ) dostaniemy 4 i= s i = 4 5 x ij. i= j= Sumując kolejno po wszystkich typach piwa j łączną sprzedaż tego piwa w mieście (r j ) dostaniemy 5 r j = 5 4. j= Tę wielkość zapisujemy jako sumę podwójną: 4 5 i= j= j= x ij = 5 x ij i= 4 j= i= x ij..6. SUMA PODWÓJNA Definicja jak wyżej: Podstawowe właściwości: Y Z i=y j=z Y Z i=y j=z (a ij + b ij ) = Y Z i=y j=z (a i b j ) = Y a i i=y Z j=z Y Z x ij = Z Y x ij = i=y j=z j=z i=y = Y Z x ij = Z Y x ij. i=y j=z j=z i=y a ij + Y b j. Z i=y j=z b ij ; Przykład: ale prościej: = 4 3 m=0 n= m + n 4 = m=0 n= 4 (m + ) ( + 2 3) + ( ) ( ) m + = 4 3 (m + ) n m=0 n= n ( 3 = 5 n ) = = 65 6 ( ) = = 5 6 = 65 6 = 55 2.

5 .7. ŚREDNIA Średnia z liczb a, a 2, a n to ni= a i n. 2 i= i Na przykład średnia z liczb, 2,..., 2 to =. 2 Zazwyczaj średnią z liczb x, x 2, x n oznacza się przez x. Właściwości:. min(x, x 2, x n ) x max(x, x 2, x n ) i jeżeli liczby x, x 2, x n nie są wszystkie jednakowe, to obie nierówności są ostre; 2. n i= (x i x) = 0 (suma odchyleń wszystkich liczb od ich średniej = średnia odchyleń od średniej = 0)..8. ILOCZYN Na przykład: Z n=z a n = a z a z+ a Z. 5 j= j = = 20 = 5! ; 4 i=0 9 j= j = 0 ; 2 i = 2 4 i=0 i = 2 0 = 024 ; n k= n j= 2 n= 2 k = n! ; a = a n ; 5 n =.

6 . x y = 0 wektory x i y są prostopadłe 2. Algebra liniowa 2.. WEKTORY DZIAŁANIA, LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ Wektor n-wymiarowy x układ n liczb rzeczywistych: x = (x, x 2,, x n ). Często wektory utożsamia się z punktami przestrzeni n-wymiarowej R n (a w fizyce ze strzałkami prowadzącymi od początku układu do danego punktu). Będziemy je zapisywać jako wektory kolumnowe: x = lub jako wektory wierszowe: x = [x x 2 x n ]. Działania na wektorach Dodawanie (tylko wektorów tego samego wymiaru) : Dla x = [x x 2 x n ], y = [y y 2 y n ] R n np. [2 3 5] + [3 0 ] = [5 3 4]. Mnożenie wektora przez liczbę x x 2 x n x + y = [x + y x 2 + y 2 x n + y n ] Dla x = [x x 2 x n ] R n i liczby c R c x = [cx cx 2 cx n ] np. 3 [2 3 5] = [6 9 5]. Iloczyn skalarny (tylko wektorów tego samego wymiaru) Dla x = [x x 2 x n ], y = [y y 2 y n ] R n x y = x y + x 2 y 2 + x n y n = n x j y j (liczba), np. [2 3 5] [3 0 ] = ( 5) =. Uwaga (geometryczna) j=

7 2. x x = kwadrat długości wektora x. Wektor d R n jest kombinacją liniową wektorów a, a 2,, a k R n jeżeli istnieją liczby z, z 2,, z k (współczynniki kombinacji) takie że Jeśli z, z 2,, z k 0 i Np. wektor d = 3 8 k j= (bo d = 3a a 2 ), a wektor e = wektor a wektor 2 5 d = z a + z 2 a z k a k. z j =, to taka kombinacja jest kombinacją wypukłą. jest kombinacją liniową wektorów a = nie jest; jest kombinacją wypukłą wektorów 2 2 Wektory a, a 2,, a k liniową pozostałych. Np. wektory a = a, a 2 i a 4 = 6 3 i 0 6 jest ich kombinacją liniową, ale nie wypukłą. 3 3, 3 i a 2 = R n są liniowo niezależne, jeżeli żaden z nich nie jest kombinacją, a 2 = 0 2 i a 3 = są liniowo niezależne, a wektory nie są (bo a 4 = a 2a 2 ), czyli są liniowo zależne. Uwaga. Układ liniowo niezależnych wektorów w R n może składać się z co najwyżej n wektorów. Najprostszy układ wektorów liniowo niezależnych w R n : [ 0 0], [0 0 0],, [0 0 0 ] (baza kanoniczna układ wszystkich wersorów).

8 2.2. MACIERZE OKREŚLENIE Macierz wymiaru m n = Prostokątna tablica liczb o m wierszach i n kolumnach. A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Macierz wymiaru n wektor wierszowy długości n Macierz wymiaru m wektor kolumnowy długości m DZIAŁANIA NA MACIERZACH Transpozycja A T = ( A transponowana, wymiaru n m). Np. gdy A = (A T ) T = A , to A T = a a 2 a m a 2 a 22 a m2 a n a 2n a nn Mnożenie przez liczbę Gdy c R, A macierz wymiaru m n to c A taka macierz C wymiaru m n że dla każdego i, j c ij = c a ij. Np. gdy A = , to 4 A =

9 Dodawanie macierzy TYLKO TEGO SAMEGO WYMIARU! Gdy A, B macierze wymiaru m n to A + B taka macierz C wymiaru m n że dla każdego i, j c ij = a ij + b ij. Np. gdy A jak wyżej, B = A + B = , to Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne. Mnożenie macierzy przez wektor kolumnowy, A + 2 B = Gdy A macierz wymiaru m n, x wektor kolumnowy długości n, to y = A x wektor kolumnowy długości m otrzymany tak: y k = n (a kj x j ) dla k =, 2, m j= (iloczyn skalarny k-tego wiersza macierzy A i wektora x). Np = 3 ( 2) ( 2) = Przykład. W przykładzie z piwem z poprzednich zajęć: gdy X macierz (4 5) liczb litrów piwa poszczególnych rodzajów nalanych w poszczególnych barach, q wektor kolumnowy długości 5, gdzie x j cena sprzedaży litra piwa typu j to z = X q jest wektorem długości 4 ; z k = utarg baru nr k na piwie Mnożenie macierzy Gdy A macierz wymiaru m n, B macierz wymiaru n p. (TYLKO TAKIE MOŻNA MNOŻYĆ!) to C = A B macierz wymiaru m p otrzymana tak:. c kl = n (akj b jl ) dla k =, 2, m, l =, 2, p.

10 c kl = k-ty wiersz A l-ta kolumna B. Czyli: kolumny macierzy C powstają z pomnożenia A przez odpowiednie kolumny macierzy B. Na przykład: = ( 2) ( 2) = Innymi słowy : A B istnieje A ma tyle samo kolumn ile B ma wierszy wiersze A są tej samej długości co kolumny B. Macierz kwadratowa A (n n) jest : symetryczna A = A T i,j a ij = a ji np. trójkątna górna (i > j a ij = 0) trójkątna dolna (i < j a ij = 0) diagonalna (i j a ij = 0) jednostkowa a ij = gdy i = j, 0 gdy i j np. np. np ; ; ; ;. Macierz jednostkową wymiaru n n oznaczamy przez I n.

11 Własności mnożenia macierzy: jest łączne (tj. A (B C) = (A B) C ), nie jest przemienne może zachodzić A B B A nawet gdy oba iloczyny istnieją, iloczyn A A T zawsze istnieje i jest macierzą symetryczną, (A B) T = B T A T, dla dowolnej macierzy A wymiaru m n A I n = I m A = A DOPEŁNIENIA ALGEBRAICZNE I WYZNACZNIK tylko macierzy kwadratowych! Gdy A jest macierzą (n n), oznaczamy: A ij macierz wymiaru n n utworzona z A przez usunięcie i-tego wiersza i j-tej kolumny; det A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn wyznacznik macierzy A ; a D ij dopełnienie algebraiczne elementu a ij i określamy je tak: dla n = : a D nie istnieje, det [a ] = a ; dla n > a D ij = ( ) i+j det A ij, det A = n k= (a k a D k).

12 Przykład dla n = 2 : B = b D = ( ) + det B = det[ 3] = 3, b D 2 = ( ) +2 det B 2 = det[] =, b D 2 = ( ) 2+ det B 2 = det[4] = 4, b D 22 = ( ) 2+2 det B 22 = det[2] = 2. Więc macierz dopełnień algebraicznych macierzy B : B D = i wyznacznik: det B = b b D + b 2 b D 2 = 2 ( 3) + 4 ( ) = 0. Prosty wzór na wyznacznik macierzy 2 2 : det Przykład dla n = 3 : E = e D = ( ) + det E = det e D 2 = ( ) +2 det E 2 = det e D 3 = ( ) +3 det E 3 = det (uzupelnić!) i wyznacznik:. Mamy: a a 2 a 2 a 22 2 = a a 22 a 2 a 2. = 2 ( ) ( ) =, 0 = (0 ( ) ( )) =, 0 2 = 0 ( ) 2 ( ) = 2 det E = 3 (e k e D k) = 2 + ( ) =. k= Prosta metoda liczenia wyznacznika macierzy 3 3 schemat Sarrusa.

13 Właściwości wyznacznika: jeżeli A ma kolumnę (lub wiersz) samych zer, to det A = 0, jeżeli A ma dwie kolumny (lub dwa wiersze) równe lub proporcjonalne, to det A = 0, jeżeli A trójkątna lub diagonalna, to co? (praca domowa) dodanie do kolumny (wiersza) innej kolumny (wiersza) pomnożonej(-go) przez stałą nie zmienia wyznacznika macierzy, zamiana miejscami dwóch wierszy (lub kolumn) zmienia znak wyznacznika, det(c A) = c n det A, det(a B) = det A det B. Ponadto: det A = n (a k a D k) = n (a mk a D mk) k= dla dowolnego m =, 2, n, tzn. sumowanie możemy wykonać dla dowolnego (niekoniecznie pierwszego) wiersza macierzy. k= (Także dla dowolnej kolumny: det A = n (a km a D km)) rozwinięcie Laplace a według dowolnego wiersza lub kolumny. k= Jeszcze inne własności: det A T = det A, jeżeli A jest wymiaru m n i m > n, to det(a A T ) = 0. Macierz kwadratowa B jest osobliwa jeżeli det B = 0 ; w przeciwnym razie B jest nieosobliwa.

14 Interpretacja geometryczna wyznacznika det A = (gdy A jest macierzą 2 2) = pole równoległoboku (gdy A jest macierzą 3 3) = objętość równoległościanu którego bokami są wektory w R 2 (R 3 ) równe kolumnom macierzy A. Rząd macierzy A (niekoniecznie kwadratowej), rz A to największa liczba liniowo niezależnych wierszy macierzy A = największa liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy A = liczba różnych wersorów które można uzyskać w kolumnach macierzy otrzymanej z A przez operacje elementarne Uwaga.. Gdy macierz A jest wymiaru m n, to rz A min(m, n). (o których dalej). 2. Gdy macierz A jest wymiaru n n, to rz A = n wtedy i tylko wtedy, gdy det A 0.

15 2.5. MACIERZ ODWROTNA tylko macierzy kwadratowej nieosobliwej! Gdy A jest macierzą wymiaru n n i det A 0, określamy: A = macierz X taka, że A X = I n. Stwierdzenie: Dla macierzy A wymiaru n n. A istnieje A jest nieosobliwa rz A = n ; 2. A A = I n ( i wobec tego (A ) = A ); 3. jeżeli A istnieje, to jest wyznaczona jednoznacznie. Wzór: A = det A (AD ) T. Przykład: Dla macierzy A = więc A = det A (AD ) T = mamy A = 0 oraz A D = T = 0, 4 0, 7 0, 2 0, , Przykład: mamy: Dla macierzy F D = F = oraz det F = [3 2 3] [ 6 4 8] = 2, więc F = det F (FD ) T = = Inna metoda wyliczania: przez operacje elementarne (dalej).

16 2.6. UKŁADY (CRAMEROWSKIE) RÓWNAŃ LINIOWYCH Każdy układ m równań liniowych z n niewiadomymi postaci: można zapisać w postaci wektorowej : x a a 2 a m lub w postaci macierzowej : a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m + x 2 a 2 a 22 a m2 a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn + + x n x x 2 x n (czyli A x = b, gdzie A jest macierzą wymiaru m n, x x 2 x = jest wektorem z R n, b = x n b b 2 b m a n a 2n a mn = b b 2 b m wektorem z R m ). = b b 2 b m Szczególny przypadek: Gdy m = n (niewiadomych jest tyle ile równań) i macierz A jest nieosobliwa, układ równań o takiej macierzy nazywamy cramerowskim. Np. układ równań a układ 5x 3x 2 = 7 2x + x 2 = 6 jest cramerowski, x + 3x 2 + x 3 = 8 2x + 4x 2 + x 3 = nie.

17 ROZWIĄZYWANIE cramerowskich układów równań: Twierdzenie : Jeśli układ równań o postaci macierzowej A x = b jest cramerowski, to ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest nim wektor x = A b. Dowód: Skoro A x = b, to A (A x) = A b (A istnieje bo układ jest cramerowski, a więc det A 0), czyli I n x = x = A b. Stąd uniwersalna metoda rozwiązywania takich układów: Odwrócić macierz układu A i pomnożyć uzyskaną A przez prawą stronę, b. Inna metoda: Wzory Cramera : Rozwiązanie x cramerowskiego układu równań A x = b jest postaci x j = det A [j/b] det A j =, 2, n gdzie A [j/b] jest macierzą powstającą z A przez zastąpienie j-tej kolumny wektorem b. Przykład : Układ równań ma postać macierzową 2x x 2 = 4 2x 2 x 3 = 6 x x 2 + x 3 = x x 2 x 3 = i jego macierz (oznaczmy ją E) jest nieosobliwa bo det E =. Nadto E =

18 (sprawdzić!), a więc x = E x =, x 2 = 2, x 3 = = = 2 2 ; Lub z wzorów Cramera: E [b] = , E [2b] = , E [3b] = i det E [b] =, det E [2b] = 2, det E [3b] = 2 a więc x = / =, x 2 = 2/ = 2, x 3 = 2/ = 2. Jeszcze inna metoda (i jedyna która działa dla układów NIEcramerowskich) przez operacje elementarne.

19 Operacje elementarne na macierzy: zamiana wierszy : w i /w j pomnożenie wiersza przez stałą : c w i dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez stałą : w i + c w j. Mają one zastosowanie do: wyliczania macierzy odwrotnej macierzy nieosobliwej, wyliczania rzędu macierzy, rozwiązywania układów równań liniowych. Wpływ operacji elementarnych na wyznacznik (macierzy kwadratowej): w i /w j zmienia znak det, w i + c w j nie zmienia wyznacznika, c w i mnoży det przez c. Rozwiązywanie cramerowskich układów równań przez operacje elementarne:. Zapisać układ w postaci macierzowej 2. Obok jego macierzy wpisać prawą stronę układu (wektor wyrazów wolnych) 3. Przeprowadzać na obu naraz te same operacje elementarne aż do otrzymania po lewej stronie macierzy jednostkowej 4. W tym momencie po prawej stronie otrzymamy wektor będący rozwiązaniem układu równań. Przykład : Rozwiązać układ równań 5x 3x 2 + 6x 3 = 7 3x + 2x 2 4x 3 = 4 2x x 2 + 3x 3 = 6. w 3 w w + w 2 w 2 + 2w

20 w 2w 2 w w 2w 3 w /w rozwiązanie: x = 2, x 2 = 7, x 3 = 3. Odwracanie macierzy nieosobliwych przez operacje elementarne:. Obok odwracanej macierzy zapisać macierz jednostkową tego samego wymiaru. 2. Przeprowadzać na obu naraz te same operacje elementarne aż do otrzymania po lewej stronie macierzy jednostkowej 3. W tym momencie po prawej stronie otrzymamy macierz odwrotną do wyjściowej. Przykład. Odwrócenie macierzy z poprzedniego przykładu: w 3 w w + w 2 w 2 + 2w w /w macierz odwrotna po prawej stronie.

21 2.7. UKŁADY NIECRAMEROWSKIE Uwaga. Układ równań A x = b czyli a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wektor a a 2 a m, a 2 a 22 a m2,, a n a 2n a mn. b b 2 b m jest kombinacją liniową wektorów Tzn. gdy wektor b jest kombinacją liniową kolumn macierzy A. (Dowód oczywisty z postaci wektorowej układu; rozwiązania x, x n = współczynniki tej kombinacji). Dla takiego układu równań oznaczamy: A b macierz m (n + ) powstała przez dodanie do macierzy A kolumny wyrazów wolnych b. TWIERDZENIE. Układ m równań z n niewiadomymi A x = b (jak wyżej) : ma jedno rozwiązanie rz A = rz A b = n (tak jest w szczególności dla układów cramerowskich); ma nieskończenie wiele rozwiązań rz A = rz A b < n ; nie ma rozwiązań (jest sprzeczny) rz A < rz A b. Praktyczne rozwiązywanie przez operacje elementarne. Dla układów mających nieskończenie wiele rozwiązań dzielimy zmienne na bazowe te w których kolumnach występują różne wersory swobodne wszystkie pozostałe po czym za każdą zmienną swobodną wstawiamy osobny parametr i otrzymujemy rozwiązanie ogólne

22 Przykład. Układ równań x + x 2 + x 3 = 5 2x + 3x 2 + x 3 = 7 sprowadzamy przez operacje elementarne do postaci z dwoma różnymi wersorami w kolumnach [ ] w 2 2w [ ] w w 2 [ ] ; zmienne x i x 2 (odpowiadające kolumnom z różnymi wersorami) są bazowe, za zmienną swobodną x 3 wstawiamy parametr: x 3 = s i przepisujemy układ w postaci x + 2s = 8, x 2 + s = 3, czyli x = 8 2s, x 2 = s 3, x 3 = s ; rozwiązanie ogólne rodzina wszystkich rozwiązań, dla dowolnych wartości parametru s. Po podstawieniu dowolnej wartości s (np. s = 7) dostaniemy rozwiązanie szczególne (np. x = 6, x 2 = 4, x 3 = 7). Szczególny przypadek rozwiązania bazowe w zmiennych bazowych x 2, x 3 (x = 0) : s = 4 ; x = 0, x 2 =, x 3 = 4 w zmiennych bazowych x, x 3 (x 2 = 0) : s = 3 ; x = 2, x 2 = 0, x 3 = 3 w zmiennych bazowych x, x 2 (x 3 = 0) : s = 0 ; x = 8, x 2 = 3, x 3 = 0. Rozwiązania nieujemne czyli takie, że x, x 2, x 3 0 muszą spełniać czyli występują dla takich s że 3 s s 0, s 3 0, s 0 Przykład 2. Operacje elementarne: [ x 2x 2 + x 3 x 4 = 2 3x + 2x 2 + 3x 3 x 4 = 4 ] w 2 3w ; w 2 2 ; w + w 2 Zmienne bazowe: x 3, x 4 (można zamiast tego wziąć x i x 4 ), dwa parametry x = s i x 2 = t, [ rozwiązanie ogólne: x = s, x 2 = t, x 3 = 3 s 2t,, x 4 = 5 4t. ]

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3. Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N

Bardziej szczegółowo

, A T = A + B = [a ij + b ij ].

, A T = A + B = [a ij + b ij ]. 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

A A A A A A A A A n n

A A A A A A A A A n n DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j = 11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze... Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25 MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Wykład 7 Macierze i wyznaczniki

Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25 Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1, Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

2. Układy równań liniowych

2. Układy równań liniowych 2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /

Bardziej szczegółowo

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,... Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa 1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY

OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY Dodawanie i odejmowanie macierzy jest możliwe tylko dla dwóch macierzy o takich samych wymiarach! Wynikiem tych operacji jest macierz o takich samych

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Algebra liniowa. 1. Macierze. Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.

Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Układy Cramerowskie Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych: AX = B, w którym A jest macierzą

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub

Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza. Gabriel Laub "Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Układy równań liniowych. Ax = b (1) Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3

Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3 3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p. Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru. Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych

Bardziej szczegółowo

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n

Bardziej szczegółowo

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo