ADAM KONSTANTYNOWICZ ANNA KONSTANTYNOWICZ

Transkrypt

1

2 ADAM KONSTANTYNOWICZ ANNA KONSTANTYNOWICZ

3 Korekt: Mrek Kowlik Projekt okłdki: Teres Chylińsk-Kur, KurkStudio Projekt mkiety i oprcowie grficze: Kj Mikoszewsk Producet wydwiczy i redktor serii: Mrek Jsz Copyright y Wydwictwo Ligo sp. j., Wrszw 08 Wydwictw Ligo szukj też : ISBN: ISBN wydi elektroiczego: Skłd i łmie: Kj Mikoszewsk

4 WSTĘP 3 Mtemtyk. Repetytorium mturzysty to jowsz pulikcj z serii OldSchool, zrzem doskoł powtórk dl wszystkich przygotowujących się do mtury z mtemtyki. Niiejsze repetytorium zwier treści zgode z podstwą progrmową i przezczoe jest do przygotowi do egzmiu dojrzłości poziomie podstwowym. Now podstw zkłd róży stopień opowi widomości i umiejętości przez ucziów, ztem i sz pulikcj zwier zdi o różym poziomie trudości. Zdi są dore zgodie z zsdą przystępości, poglądowości i stopiowi trudości. Rozdziły i ich kolejość pokrywją się z dziłmi i ich kolejością w podstwie progrmowej. Książk pis jest przystępym językiem, ułtwijącym zrozumieie i zpmiętie mteriłu, tkże dl osó iemtemtyczych. N początku kżdego dziłu zjdują się zgdiei teoretycze wrz z odpowiedimi, rozwiązymi przykłdmi. Rozwiązi zdń otwrtych dokłdie tłumczą kolejość postępowi, choć ie podją wszystkich możliwych sposoów. Repetytorium jest zkomitym uzupełieiem podręczików do mtemtyki, może yć rówież wykorzyste przez ucziów smodzielie przygotowujących się do mtury. W dziei, że choć troszkę pomożemy zrozumieć mtemtykę i przyliżymy umiejętość rozwiązywi zdń, życzymy powodzei mturze! Autorzy

5 4 MATEMATYKA REPETYTORIUM MATURZYSTY SPIS TREŚCI. LICZBY RZECZYWISTE 7. Róże postci licz rzeczywistych 8. Wrtość liczow wyrżei rytmetyczego 8 3. Pierwistek dowolego stopi 4. Potęg o wykłdiku wymierym 5. Logrytmy 3 6. Błąd ezwzględy i łąd względy 4 7. Przedziły liczowe 5 8. Oliczei procetowe 0 Sprwdź się 5. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 9. Wyrżei lgericze 30 Sprwdź się RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI 35. Rówi stopi pierwszego z jedą iewidomą 36 Sprwdź się FUNKCJE 7. Sposoy opisywi fukcji 7. Włsości fukcji Wykresy fukcji Fukcj liiow Fukcj kwdrtow Fukcj Fukcj wykłdicz 98 Sprwdź się 0 STARA DOBRA SZKOŁA

6 SPIS TREŚCI 5 5. CIĄGI 3. Pojęcie ciągu 4. Ciąg rytmetyczy 5 3. Ciąg geometryczy 9 Sprwdź się 4 6. TRYGONOMETRIA 3. Fukcje trygoometrycze kąt ostrego 3. Fukcje trygoometrycze dowolego kąt Zleżości między fukcjmi trygoometryczymi 37 Sprwdź się 4 7. PLANIMETRIA 47. Kąty w okręgu 48. Stycz do okręgu 5 3. Okręgi stycze Trójkąty podoe Pole trójkąt ostrokątego Fukcje trygoometrycze w oliczeich geometryczych 58 Sprwdź się 6 8. GEOMETRIA ANALITYCZNA 69. Rówie prostej płszczyźie 70. Wzjeme położeie prostych Proste rówoległe i proste prostopdłe Środek odcik Odległość dwóch puktów 8 6. Symetri względem osi ukłdu współrzędych Symetri środkow względem początku ukłdu współrzędych 84 Sprwdź się 88

7 6 MATEMATYKA REPETYTORIUM MATURZYSTY 9. STEREOMETRIA 97. Gristosłupy 98. Ostrosłupy Wlec Stożek 3 5. Kul 7 Sprwdź się 0. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ I TEORII PRAWDOPODOBIEŃSTWA 33. Średi rytmetycz i średi wżo zestwu dych 34. Medi zestwu dych Odchyleie stdrdowe Proste sytucje komitorycze Reguł możei i reguł dodwi 4 6. Prwdopodoieństwo zdrzeń 43 Sprwdź się 49 STARA DOBRA SZKOŁA

8 . LICZBY RZECZYWISTE Pojęcie licz rzeczywistych możliwe jest dzięki osi ukierukowej. Zrozumieie ciągłości licz rzeczywistych może ułtwić fkt, że wypełiją oe cłkowicie oś, ie pozostwijąc żdej dziury.

9 8 MATEMATYKA REPETYTORIUM MATURZYSTY. Róże postci licz rzeczywistych Liczy rzeczywiste to wszystkie liczy wymiere i iewymiere. Liczy wymiere to te, które mją rozwiięcie dziesięte skończoe 5 lu ieskończoe okresowe, p. ; ; 0,(3);,; ; 5; 8,4545; , Kżdą z tych licz moż przedstwić w postci ułmk zwykłego ieskończeie wiele sposoów. Spośród licz wymierych możemy wyróżić liczy turle {0,,, 3, 4, 5, } i liczy cłkowite { 3,,, 0,,, 3, 4, }. Liczy, które mją rozwiięcie dziesięte ieskończoe, le ieokresowe są liczmi iewymierymi, p. π ; ;, Licz iewymierych ie moż zpisć w postci ilorzu dwóch licz: cłkowitej przez cłkowitą różą od zer. PRZYKŁAD 3 Wśród licz: ; 0,(3); 3; 8 ; 0,5; ; 38; 7 turle orz liczy iewymiere ; π; 5 wskż liczy Liczmi turlymi są liczy 3; 8 = 9 ; i 38. Liczmi iewymierymi są liczy π i 5, poiewż mją rozwiięci dziesięte ieskończoe, ieokresowe.. Wrtość liczow wyrżei rytmetyczego Przy olicziu wrtości liczowej wyrżei rytmetyczego leży pmiętć o kolejości wykoywi dziłń. Jeżeli w wyrżeiu występuje tylko dodwie i odejmowie, tylko możeie i dzieleie lo tylko potęgowie i pierwistkowie, to wykoujemy je w kolejości od lewej do prwej. Gdy w wyrżeiu występuje dodwie, odejmowie, możeie, dzieleie, STARA DOBRA SZKOŁA

10 . LICZBY RZECZYWISTE 9 potęgowie lu pierwistkowie, to jpierw wykoujemy potęgowie i pierwistkowie, stępie możeie i dzieleie, potem dodwie i odejmowie. W wyrżeich zwierjących wisy jpierw wykoujemy dziłi w tych wisch, które ie zwierją iych wisów. Zstępując zk dzielei kreską ułmkową, trktujemy wyrżei w licziku i miowiku tk, jky yły ujęte w wisy. Wykoując oliczei, w których występują ułmki zwykłe i dziesięte, możemy ułmki dziesięte zmieić ułmki zwykłe lu o ile to możliwe zmieić ułmki zwykłe dziesięte, stępie wykoywć dziłi zgodie z kolejością. PRZYKŁAD Olicz wrtości wyrżeń: ), , + 0,03, ) 3 3 : 6 : c) 0, 4, : (,7) 3 00 ), , + 0,03, = 5,6 + 0, + 0,03, = 5,4 + 0,03, = 6,47 ) 3 3 : 6 : = 3 8 : 4 : 4 7 = 4 : 4 : 4 7 = 6 : 4 7 = 3 7 = = = 0,5 c)

11 0 MATEMATYKA REPETYTORIUM MATURZYSTY Oliczjąc wrtość wyrżei rytmetyczego, wrto korzystć z włsości dziłń: przemieości dodwi: + = + łączości dodwi: ( + ) + c = + ( + c) przemieości możei: = łączości możei: ( ) c = ( c) rozdzielości możei względem dodwi: ( + c) = + c Pmiętjmy rówież o tym, że: dodjąc zero, ie zmieimy wrtości wyrżei: + 0 = możąc przez jede, ie zmieimy wrtości wyrżei: = gdy jedym z czyików iloczyu jest zero, to iloczy wyosi zero: 0 = 0 PRZYKŁAD O ile licz jest miejsz od liczy, jeśli = ( ) 3 i 7 : = :, = ( ) = 5 = 5 = 5 = 0, : : = = = = = =, :, =,5 ( 0,3) =,5 + 0,3 =,63 Odpowiedź: Licz jest miejsz od liczy o,63. STARA DOBRA SZKOŁA

12 . LICZBY RZECZYWISTE PRZYKŁAD 3 Zjdź liczę, której 3 ( 3) Oliczmy wrtość wyrżei. ( ) jest rówe wrtości liczowej wyrżei = 3 = = = Ozczmy przez x szuką liczę, ukłdmy rówie i rozwiązujemy je. x = x = 3 Odpowiedź: Szuk licz to. x = 3. Pierwistek dowolego stopi Pierwistkiem -tego stopi z liczy ieujemej zywmy tką liczę ieujemą, że = =, o = Pierwistkowie stopi ieprzystego jest wykole dl wszystkich licz rzeczywistych. =, jeśli < 0 i = k +, k jest liczą turlą większą od 0. PRZYKŁAD Olicz: ) 4 8 ) 3 6 c) 5 3 d) 0 04 ) 4 8 = 3, o 3 4 = 8 3 =, o = 3 5 c) ( ) 5 ) 3 6 = 6, o 6 3 = 6 d) =, o = 04

13 MATEMATYKA REPETYTORIUM MATURZYSTY Oliczjąc pierwistek z iloczyu, możemy zpisć pierwistek jko iloczy pierwistków poszczególych czyików, zś oliczjąc pierwistek z ilorzu jko ilorz pierwistków dzielej i dzielik. Przy stosowych złożeich mmy więc: = orz = PRZYKŁAD Olicz wrtość wyrżei : : 8 6 : = = = = = Wyłączie czyik przed zk pierwistk poleg zpisiu liczy podpierwistkowej jko iloczyu dwóch licz, z których z jedej d się oliczyć pierwistek. PRZYKŁAD 3 Uprość wyrżeie = = = 3 4. Potęg o wykłdiku wymierym Potęgę o wykłdiku wymierym moż zpisć z pomocą pierwistk, p =, 5 = 5. m m =, gdzie m jest liczą wymierą i > 0 Oliczjąc wrtości liczowe wyrżeń zwierjących potęgi, możemy stosowć włsości dziłń potęgch. STARA DOBRA SZKOŁA

14 . LICZBY RZECZYWISTE 3 Możąc przez sieie potęgi o tej smej podstwie, przepisujemy podstwę, wykłdiki dodjemy, p. =. m = +m Dzieląc przez sieie potęgi o tej smej podstwie, przepisujemy podstwę, wykłdiki odejmujemy, p. : =. : m = m Podosząc potęgę do potęgi, przepisujemy podstwę, wykłdiki możymy przez sieie, p. = 9 9 ( ) m m = PRZYKŁAD Olicz wrtość wyrżei : ( ) ( ) = = = = 5 3 : 3 : : : 7 = = 8 ( ) 5. Logrytmy Logrytmem przy podstwie liczy zywmy tką liczę c, że c =. Logrytm istieje wówczs, gdy > 0 i orz > 0. log = c, gdy c = PRZYKŁAD Olicz: ) log 5 ) log 4 c) log ) log 5 = 3, o 5 = 5 5

15 4 MATEMATYKA REPETYTORIUM MATURZYSTY ) = = = log 4, o 4 c) log 3 =, o 9 = 9 = 3 9 Dl dowolych licz rzeczywistych dodtich,, c tkich, że, prwdziwe są stępujące włsości logrytmów: log = 0 log = log + log c = log c log log c = log c log = log, gdzie jest dowolą liczą rzeczywistą PRZYKŁAD Olicz. ) log 6 + log 4,5 ) log 56 log 8 c) log 0 log ) log 6 + log 4,5 = log 6 4,5 = log 7 = ) log 56 log 8 = log = log 7 = c) log 0 log 6 = log 0 log 6 = log 00 log 4 = = log = log 5 = Błąd ezwzględy i łąd względy Przy wykoywiu oliczeń często ich wyik podjemy w przyliżeiu. Jeśli przyliżo wrtość jest większ od rzeczywistej, to przyliżeie jest z dmirem, jeśli miejsze, to z iedomirem. Błąd ezwzględy to wrtość ezwzględ różicy dej liczy i jej przyliżei. Błąd ezwzględy oliczmy ze wzoru, gdzie to d licz, to jej przyliżeie. STARA DOBRA SZKOŁA

16 . LICZBY RZECZYWISTE 5 Błąd względy pokzuje, jką częścią dej liczy jest wrtość, o jką powiększyliśmy lu pomiejszyliśmy liczę. Błąd względy oliczmy ze wzoru, gdzie to d licz, to jej przyliżeie. Błąd względy moż wyrzić wrtością procetową 00%. PRZYKŁAD Pi Mrysi powiedził, że m około 30 lt. Olicz łąd ezwzględy i łąd względy procetowy przyliżei, wiedząc, że pi Mrysi m 38 lt. Błąd ezwzględy: = 8 = 8 Błąd względy procetowy: % = 00% 0,05 00%,05% Przedziły liczowe Kżdemu puktowi osi liczowej odpowid dokłdie jed licz rzeczywist (współrzęd), kżdej liczie rzeczywistej moż przyporządkowć dokłdie jede pukt osi liczowej. PRZYKŁAD ) Odczytj współrzęde puktów A i B umieszczoych osi liczowej. A ) Zzcz osi liczowej pukty C = 3 4 i D =. 0 B ) A =, B = 4 ) 0 C D

17 6 MATEMATYKA REPETYTORIUM MATURZYSTY Jeśli i są liczmi rzeczywistymi i <, wówczs możemy wyróżić stępujące ogriczoe przedziły liczowe: przedził domkięty (oustroie), tworzą go wszystkie liczy rzeczywiste x spełijące wruek x przedził otwrty (oustroie) (, ) tworzą go wszystkie liczy rzeczywiste x spełijące wruek < x < przedził lewostroie domkięty, ) tworzą go wszystkie liczy rzeczywiste x spełijące wruek x < przedził prwostroie domkięty (, tworzą go wszystkie liczy rzeczywiste x spełijące wruek < x STARA DOBRA SZKOŁA

18 . LICZBY RZECZYWISTE 7 Podoie możemy określić przedziły ieogriczoe: tworzą go wszystkie liczy spełijące wruek x > (, ) tworzą go wszystkie liczy spełijące wruek x, ) tworzą go wszystkie liczy spełijące wruek x < (,) tworzą go wszystkie liczy spełijące wruek x (, PRZYKŁAD Określ, do jkiego przedziłu leży x, jeśli: ) x > 3 i x < 5 ) 4x 8 i 3x < 9,03 c) 0,5x 5, ) ( 3; 5) ) ;3,0 ) c) 30,; )

19 8 MATEMATYKA REPETYTORIUM MATURZYSTY PRZYKŁAD 3 ) Zzcz osi liczowej wszystkie liczy leżące do przedziłu ( 3,5. ) Opisz z pomocą przedziłu ziór licz zzczoych osi liczowej. 7 ) ) (,7) 3 5 Jedym z wżiejszych termiów dotyczących licz rzeczywistych jest pojęcie wrtości ezwzględej. Wrtość ezwzględą liczy ozczmy symolem. Wrtością ezwzględą liczy dodtiej jest t sm licz, p. 4 = 4. Wrtością ezwzględą liczy ujemej jest licz do iej przeciw, p. 5 = 5. Wrtością ezwzględą liczy zero jest zero, 0 = 0. PRZYKŁAD 4 Opuść wrtość ezwzględą: ) 3 ) 3 ) 3 = 3 ) 3 = ( 3 ) = 3 STARA DOBRA SZKOŁA

20 . LICZBY RZECZYWISTE 9 Wrtość ezwzględą iterpretujemy jko odległość puktów osi liczowej. Jeśli <, to odległość licz i wyosi. Jeśli >, to odległość licz i jest rów. PRZYKŁAD 5 Olicz π 3,4 3,4 π. π 3,4 3,4 π = π 3,4 (π 3,4) = = π 3,4 π + 3,4 = 0 = 0 PRZYKŁAD 6 Zzcz osi liczowej przedził opisy ierówością. ) x < 4 ) x ) )

21 0 MATEMATYKA REPETYTORIUM MATURZYSTY 8. Oliczei procetowe W prktyce często spotykmy się z olicziem procetu dej liczy. Ay oliczyć procet dej liczy, leży przedstwić procet w postci ułmk zwykłego lu dziesiętego i pomożyć ułmek przez tę liczę. PRZYKŁAD Ceę spodi kosztujących 5 zł oiżoo o 5%. Ile wyosi oiżk? 5% z 5 = 0,5 5 = 3,5 (zł) Odpowiedź: Oiżk wyosi 3,5 zł. Czsmi ie zmy pewej wielkości, le wiemy, ile wyosi jej procet. Ay oliczyć liczę podstwie jej procetu: możemy przedstwić procet w postci ułmk zwykłego lu dziesiętego i dą liczę podzielić przez te ułmek, zmieić procet ułmek i ułożyć odpowiedie rówie. PRZYKŁAD Olicz liczę, której % wyosi 30. x szuk licz % z x = 30 0, x = 30 x = 30 : 0, x = 50 Odpowiedź: Szuk licz to 50. STARA DOBRA SZKOŁA

22 . LICZBY RZECZYWISTE Ay oliczyć, jkim procetem jedej liczy jest drug licz, leży ustlić, jkim ułmkiem jedej liczy jest drug, stępie wyrzić te ułmek w procetch. PRZYKŁAD 3 W klsie jest dziewczyek i 3 chłopców. Jki procet ucziów cłej klsy stowią dziewczęt? Oliczmy, ilu ucziów liczy kls: + 3 = 5. Wyzczmy, jkim ułmkiem liczy wszystkich ucziów jest licz dziewcząt. = Wyrżmy te ułmek w procetch. 00% = 48% 5 Odpowiedź: Dziewczęt stowią 48% ucziów cłej klsy. Procet skłdy to sposó oprocetowi kpitłu polegjący tym, że dochód w postci odsetek doliczy jest do kpitłu i procetuje wrz z im w stępym okresie. Kpitł K złożoy do ku lt, procet skłdy, przy stłym p oprocetowiu p%, po ltch wyosi: K = K

23 MATEMATYKA REPETYTORIUM MATURZYSTY PRZYKŁAD 4 Olicz kwotę, którą otrzym złożyciel lokty kowej w wysokości zł złożoej 5 lt przy roczym oprocetowiu wyoszącym 3,5%. p Stosujemy wzór K = K ,5 5 5 K = = ( + 0,035) = 0000 (,035) = 00 = 0000, ,86 (zł) Odpowiedź: Złożyciel otrzym 876,86 zł. Kpitł K złożoy do ku lt, przy oprocetowiu roczym p% i kpitlizcji m rzy w roku, po ltch wyosi: m p K = K + 00 m PRZYKŁAD 5 Olicz kwotę, którą otrzym złożyciel lokty kowej w wysokości zł złożoej lt przy roczym oprocetowiu wyoszącym 3% z kwrtlą kpitlizcją odsetek. m p Stosujemy wzór K = K m K = = = ( + 0,0075) = = (,0075) 8 =00000, ,88 (zł) Odpowiedź: Złożyciel otrzym 06 59,88 zł. STARA DOBRA SZKOŁA

24 . LICZBY RZECZYWISTE 3 ZAPAMIĘTAJ Liczmi turlymi są liczy: 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, Liczmi cłkowitymi są liczy:, 3,,, 0,,, 3, Liczy i, i, 3 i 3, to pry licz przeciwych. Kżdą liczę, którą d się przedstwić w postci ułmk zwykłego, o licziku ędącym dowolą liczą cłkowitą i miowiku ędącym liczą cłkowitą różą od zer, zywmy liczą wymierą. Liczy, które mją rozwiięcie dziesięte skończoe lu ieskończoe okresowe, są liczmi wymierymi. Liczy, które mją rozwiięcie dziesięte ieskończoe, le ieokresowe, są liczmi iewymierymi. Njpierw wykoujemy dziłi w wisch, stępie potęgujemy i pierwistkujemy, potem możymy i dzielimy, końcu dodjemy i odejmujemy. Włsości dziłń: przemieość dodwi: + = +, łączość dodwi: ( + ) + c = + ( + c), przemieość możei: =, łączość możei: ( ) c = ( c), rozdzielość możei względem dodwi: ( + c) = + c. Pierwistkiem -tego stopi z liczy ieujemej zywmy tką liczę ieujemą, że =. Przy stosowych złożeich mmy: = =. Potęgę o wykłdiku wymierym moż zpisć z pomocą m m pierwistk =, gdzie m jest liczą wymierą i > 0.

25 4 MATEMATYKA REPETYTORIUM MATURZYSTY Włsości potęg: m = +m : m = ( ) m m m =. Logrytmem przy podstwie liczy zywmy tką liczę c, że c =. Logrytm istieje wówczs, gdy > 0 i orz > 0. Włsości logrytmów: log = 0 log = log + log c = log c log log c = log c log = log, gdzie jest dowolą liczą rzeczywistą Błąd ezwzględy oliczmy ze wzoru, gdzie to d licz, to jej przyliżeie. Błąd względy oliczmy ze wzoru, gdzie to d licz, to jej przyliżeie., przedził domkięty (oustroie) (, ) przedził otwrty (oustroie), ) przedził lewostroie domkięty (, przedził prwostroie domkięty (, ),, ),, (, przedziły ieogriczoe, ( ) Ay oliczyć procet dej liczy, leży przedstwić procet w postci ułmk zwykłego lu dziesiętego i pomożyć ułmek przez tę liczę. Ay oliczyć liczę podstwie jej procetu, możemy przedstwić procet w postci ułmk zwykłego lu dziesiętego i dą liczę podzielić przez te ułmek. Ay oliczyć, jkim procetem jedej liczy jest drug licz, leży ustlić, jkim ułmkiem jedej liczy jest drug, stępie wyrzić te ułmek w procetch. Kpitł K złożoy do ku lt, procet skłdy, przy p stłym oprocetowiu p%, po ltch wyosi: K = K STARA DOBRA SZKOŁA

26 . LICZBY RZECZYWISTE 5 Kpitł K złożoy do ku lt, przy oprocetowiu roczym p% i kpitlizcji m rzy w roku, po ltch wyosi: m p K = K + 00 m CIEKAWOSTKA W IX wieku rski uczoy Al-Fri poszerzył pojęcie liczy o liczy wymiere i iewymiere dodtie. Dw wieki późiej rski mtemtyk Omr Chjjm sformułowł ogólą teorię liczy. Do licz wymierych dodł tkie elemety, y wszystkie wielkości mogły zostć zmierzoe. Sprwdź się Zd.. Wśród pierwistków kwdrtowych pierwszych dziesięciu licz turlych liczmi iewymierymi są: A.,, 3, 5, 7, 9, 0. C. 0,, 3, 5, 7, 9, 0. B., 3, 5, 6, 7, 8, 0. D., 3, 5, 6, 7, 9, 0. : 8 Zd.. Wrtością wyrżei 3 : jest 56 : 3 A.. B.. C D Zd. 3. Podj liczę przeciwą do liczy ędącej wrtością wyrżei

27 6 MATEMATYKA REPETYTORIUM MATURZYSTY Zd. 4. Podj liczę odwrotą do liczy ędącej wrtością wyrżei Zd. 5. Wrtością wyrżei : ie jest licz A B. 0,8. C D. 4. Zd. 6. Olicz wrtość wyrżei log log Zd. 7. Podczs trsmisji mistrzostw świt w lekkiej tletyce kiic usłyszł, że długość rzutu młotem Aity Włodrczyk wyosi 79 metrów i 68 cetymetrów. Poprwy wyik wyosił 79 metrów i 86 cetymetrów. Jk duży łąd względy procetowy popełił kiic? Zd. 8. Zpisz z pomocą przedziłu rozwiązie ierówości x 7. Zd. 9. Ceę spodi kosztujących 5 zł oiżoo o %, po miesiącu podwyższoo o %. Ile wyosi oec ce spodi? Zd. 0. Jką kwotę otrzym włściciel lokty kowej w wysokości zł złożoej 3 lt przy roczym oprocetowiu wyoszącym 3,5% z półroczą kpitlizcją odsetek. STARA DOBRA SZKOŁA

28 . LICZBY RZECZYWISTE ROZWIĄZANIA 7 Rozwiązi Zd.. B., 3, 5, 6, 7, 8, 0 Zd.. D : : = = = : Zd = = 5 5 = 5 5 = 5 = 5 Licz przeciw to 5. Zd. 4. ( )( + ) 43 3 = = = = (89 80)( ) Licz odwrot to 3. Zd. 5. A. Zd = = 3 = 3 = : log log 8 = log log 8 = log 44 log 9 = log = log 6 = log 9 = log = log 6 = Zd ,86 79,68 0,8 00% = 00% = 0,3% 79,86 79,86 Zd. 8. x 7,7 Zd % % = 88% = 0,88 0,88 5 = 0 (zł) 00% + % = % =,, 0 = 3,0 (zł) Odpowiedź: Oec ce spodi wyosi 3,0 zł.

29 8 MATEMATYKA REPETYTORIUM MATURZYSTY Zd ,5 3,5 6 K = = + = (,075) = ,0970 = = , ,7 (zł) STARA DOBRA SZKOŁA