WYKŁAD 5 (Pochodne Funkcji i ich Zastosowania)
|
|
- Jolanta Jankowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WYKŁAD (Pochodne Funkcji i ich Zastosowania) RozwaŜmy jakąkolwiek funkcję y f( pokazującą jak wartość zmiennej objaśnianej y zaleŝy od wartości zmiennej objaśniającej Naturalnym pytaniem jest jak szybko zmienia się wartość y (zmianę tę oznaczamy w () przez y ) w zaleŝności od zmiany -a (zmianę tę oznaczamy przez dla dowolnego punktu początkowego ) gdzie y f ) Aby dać odpowiedź na to pytanie zbadajmy wyraŝenie ( y () ( y gdzie y f ( ) ( ) + f czyli iloraz przyrostu wartości zmiennej objaśnianej y wywołanego przyrostem wartości zmiennej objaśniającej Na przykład jeśli czas zaś y reprezentuje drogę jaką przejechaliśmy dziś naszym samochodem do chwili to y oznacza średnią prędkość z jaką jechaliśmy naszym samochodem pomiędzy godziną a godziną + Jeśli ktoś zapyta nas z jaką prędkością jechaliśmy o godz 4: nie będziemy w stanie na to pytanie precyzyjnie odpowiedzieć podając co najwyŝej średnią prędkość naszego samochodu około godziny 4: Aby odpowiedzieć precyzyjnie na tak postawione pytanie musimy wprowadzić pojęcie pochodnej funkcji y f( w punkcie które definiujemy następująco: () y' f ( + f ( ) f '( ) lim gdy Na przykład jeśli y f( jest dowolną funkcją liniową czyli f( a +b < < to pochodna tej funkcji w dowolnym punkcie będzie równa a Rzeczywiście [ a( + + b] [ a + b] a f '( ) lim lim a Innymi słowy pochodną funkcji y +8 jest ; pochodną funkcji y -4+ jest -4 itp Podobnie moŝna pokazać Ŝe gdy y f( to f '( w kaŝdym punkcie Aby to udowodnić weźmy pod uwagę dowolny punkt Wówczas ( + ( ) + ( f '( ) lim lim + analogiczny sposób moŝna udowodnić Ŝe ( )' ; 4 ( )' 4 Rozumując w itp a nawet Ŝe
2 () ( A )' A A (gdzie A jest dowolną liczbą rzeczywistą) np ( )' 4 9 ; ( )' 8 9 ; ( ) ( )' ( ) Zgodnie z tym samym wzorem () dla A mamy (4) ( ' ( )' ( ) itp poniewaŝ A A To były przykłady pochodnych konkretnych funkcji Teraz podamy waŝne (aczkolwiek bardzo proste do udowodnienia) reguły róŝniczkowania dowolnych funkcji Oto one: () f ( + f ( ]' f '( + f '( ); [ (6) f ( f ( ]' f '( f '( ); [ af ( ]' af '( [ Wzór () czytamy w ten sposób Ŝe pochodna sumy -óch funkcji jest równa sumie pochodnych Wzór (6) czytamy w analogiczny sposób to jest natomiast ostatni z -ech powyŝszych wzorów czytamy w ten sposób Ŝe pochodna funkcji a razy większej niŝ f( jest a razy większa od pochodnej funkcji f( Przykłady 6 4 ( + + )' ; Wykorzystując wzór (4) oraz wzór () obliczamy ( ' Oto kolejne wzory na pochodne funkcji: (7) [sin (] cos( ; [cos (] - sin( ; [ln (] ; ( e )' e 9 Zatem [ + sin( ln(] cos( - Oto kolejne reguły róŝniczkowania funkcji czyli obliczania ich pochodnych: (8) f ( f ( ]' f '( f ( + f ( f '( ) np [ f( f' ( f ( f( f (9) ' f ( [ f ( ] sin( ) Zastosujmy ten wzór dla tg( otrzymując cos( '(
3 sin( cos( cos( sin( ( sin( sin ( + cos ( tg '( ' cos( cos ( cos ( cos ( z uwagi na znaną ze szkoły średniej toŝsamość sin ( ) + cos ( Ostatni wzór na róŝniczkowanie funkcji czyli obliczanie pochodnej jest bardziej skomplikowany niŝ wszystkie poprzednie Dotyczy on funkcji złoŝonej () ( f o g)( f [ g( ] której przykładami są np sin( ++ ) ln[+sin(] itp W przypadku funkcji sin( ++ ) mamy do czynienia z funkcjami f( sin( oraz g( ++ W przypadku funkcji ln[+sin(] mamy do czynienia z funkcjami f( ln( oraz g( +sin( Pochodna funkcji złoŝonej dana jest wzorem () ( f o g)'( f '( g( ) g' ( Zastosujmy ten zwór do -óch ostatnio rozwaŝanych funkcji: [sin( + + )]' cos( + + )( + ) ; tg( 4 + cos( + sin( ]' [4 + cos( ] 4 cos [ + sin( ] cos [ + sin( ] 4 [ 4 W przyszłości przyda się nam wzór () ( a )' ln( a)( a) który otrzymujemy w następujący sposób ( lna ln( a) ln( a) a )' [( e ) ]' [( e) ]' ln( a)[( e) ] ln( a)( a) stosując wzór na pochodną funkcji złoŝonej ( ln( a) e ) f[g(] gdzie f( e g( ln(a) oraz znany z wykładu fakt Ŝe ln( a) a ( e) Łatwo sprawdzić iŝ w wielu przypadkach () ( f og)( ( gof )( Podamy najpierw prosty przykład demonstrujący nierówność () Mianowicie niech f( sin( zaś g( Wówczas ( f o g)( ) f[g(] sin( zaś ( gof )( g[ f ( ] sin( a więc otrzymaliśmy dwie róŝne funkcje mianowicie y sin( oraz y sin( co widać na kolejnym wykresie (Rys ) Podamy jeszcze inny przykład gdy f( ln( zaś g( Wówczas ( f o g)( ) f[g(] ln( ) zaś ( g o f )( g[ f ( ] ln( Aby się przekonać Ŝe są to róŝne funkcje wystarczy podstawić za kilka wartości liczbowych np ½ itp Najlepiej będzie jednak jak przy wykorzysta-
4 4 niu Ecela zrobimy wykresy obu tych funkcji dla np -/ < < Otrzymamy wtedy zupełnie róŝne wykresy a więc dwie róŝne funkcje(rys ) porównanie wykresów funkcji y sin( y sin( Rys porównanie wykresów y ln( y ln( Rys Zanim przejdziemy do dalszych zastosowań pochodnych powiemy jak naleŝy definiować -ą pochodną f( -ą pochodna f( 4-ą pochodną f( itp Mianowicie -ą pochodną określamy jako pochodną -ej pochodnej to jest f ''( [ f '( ]' -ą pochodną określamy jako pochodną -ej pochodnej to jest f '''( [ f ''( ]' 4 itd A więc jeśli y f( + to y' f '( y '' f ''( 6 y' '' f '''( 7 y '''' f ''''( 7 itd ZASTOSOWANIA POCHODNYCH
5 Najprostsze zastosowania pochodnych są rezultatem wzoru (4) f + f ( ) + f '( ) + ε ( prawdziwego dla dowolnego punktu z czego wynika wzór na przybliŝoną wartość funkcji f( () f + f ( ) + f '( ) ( Wzór ten ma częste zastosowania w sytuacji gdy znana jest nam wartośc f ) a chcemy obliczyć wartość funkcji f( w punktach leŝących blisko Przykład (a) f( ; ; chcemy obliczyć 6 znając ; ( (b) f( ; 4 ; chcemy obliczyć 4 znając Rozwiązanie (a) Chcemy obliczyć f(6) f(+) f ( + gdy f( Ze wzoru () oraz (4) wynika iŝ f(6) f() + f '() + + poniewaŝ na mocy (4) ( ' ; (b) Chcemy obliczyć f(4) f(+4) f ( + gdy f( Wiemy Ŝe f(4) f() + f '()4 + (ln ) (4) poniewaŝ na mocy () zachodzi wzór ( )' ln()() A teraz rozwiąŝemy zadanie jakie rozwiązują studenci z uczelni o bardzo wysokim poziomie nauki Przykład (Eercise 66 str 66 z ksiąŝki Mathematics for Economics & Finance napisanej przez -óch matematyków z London School of Economics: MAnthony & N Biggs) 8 Funkcja popytu na dobro A dana jest wzorem f ( p) gdzie p jest ceną dobra p + A Jesli cena p zostanie zmniejszona z 9zł do 8zł to o ile wzrośnie popyt? Odpowiadając na to pytanie zastosuj wzór () Rozwiązanie
6 6 8 Mamy więc w przypadku gdyf ( p) p 9 + p p obliczyć róŝnicę f ( p p + p) f ( ) która na mocy () jest w przybliŝeniu równa f '( p ) p Najbardziej naturalnym sposobem rozwiązania byłoby obliczenie róŝnicy f(8)-f(9) 8 8 która w oczywisty sposób jest równa My (8) jednak mamy za zadanie wykorzystać wzór () który przy uŝyciu pochodnej podaje przybliŝoną wartość wzrostu popytu w związku ze spadkiem ceny o gr Biorąc pod uwagę Ŝe 8 6p (6) ' p + ( p + ) (kilka linijek poniŝej pokaŝemy Ŝe (6) jest rzeczywiście prawdziwe) oraz wzór f ( p p + p) f ( ) f '( p ) p otrzymujemy Ŝe z powodu spadku ceny z 9zł do 6(9) 8zł popyt w przybliŝeniu wzrośnie o ( ) 7 jednostek dobra (9 + ) A RóŜnica pomiędzy 6 a 7 jest stosunkowo duŝa co wynika z tego Ŝe zmiana ceny z 9zł na 8zł była stosunkowo duŝa Gdyby cena zmniejszyła się (lub zwiększyła) np o gr to zastosowanie wzoru () dałoby duŝo bardziej dokładny wynik Zgodnie z zapowiedzią pokaŝmy prawdziwość (6) ZauwaŜmy Ŝe jest funkcją + złoŝoną gdyŝ ( f o g)( f[g(] gdzie f ( i g( + + PoniewaŜ ( f og)'( f '( g( ) g' ( musimy umieć obliczyć pochodne funkcji f( i g( Skoro '( ( f )' ( ) (por wzór () i następujące po nim przykłady) oraz g'( ( + )' + będziemy mieć (7) ' + ( + ) ( + ) p czyli ' p + ( p + ) pokazać 8 6p z czego wynika iŝ ' co naleŝało p + ( p + )
7 7 BADANIE PRZEBIEGU FUNKCJI za pomocą pochodnych Fakt Jeśli y f ( < dla ( a b) to f( maleje na odcinku (ab) Fakt Jeśli y f ( > dla ( a b) to f( rośnie na odcinku (ab) Zadanie Pokazać Ŝe y ln( jest funkcją rosnącą dla wszystkich -ów dla których jest określona czyli dla << Rozwiązanie Wystarczy pokazać Ŝe dla << pochodna y ln( jest większa od zera Rzeczywiście tak jest gdyŝ na mocy (7) ln ( > > (por Rys) z uwagi na to Ŝe y ln y ln Rys Przykład Pokazać Ŝe funkcja y + 4 jest rosnąca na ( ) Rozwiązanie Wystarczy pokazać Ŝe jej pochodna jest dodatnia dla ( ) Ale tak jest gdyŝ y ' > co kończy dowód Fakt (twierdzenie Fermata) Jeśli f( ma ekstremum (maksimum lub minimum) w punkcie to f '( ) Ale jeśli f '( ) to niekoniecznie f( ma ekstremum w Na przykład f( nie ma ekstremum w (por Rys 4) chociaŝ pochodna funkcji f( w punkcie równa się zero poniewaŝ ( )' ( )
8 8 y ^ y ^ - - Rys 4 Fakt 4 (a) Funkcja y f( ma minimum w punkcie f ( ) oraz ' f ''( ) > ; (b) Funkcja y f( ma maksimum w punkcie f ( ) oraz ' f ''( ) < ; (c) jeśli f '( ) oraz f ''( ) to w dalszym ciągu nic nie wiemy Przykład 4 Niech y f( + + W których punktach funkcja ta osiąga maksimum i minimum? Jakie to są wartości? Rozwiązanie f '( jest funkcja kwadratową Wiemy z wykładu 4 Ŝe a + b+ c wtedy i tylko wtedy gdy (8) b a b+ gdzie b 4ac a W naszym przypadku a 6 b 6 c - a więc Zatem Czyli punktami podejrzanymi o ekstremum są Aby odpowiedzieć na pytanie w którym z nich funkcja osiąga maksimum a w którym minimum zgodnie z faktem 4 obliczmy drugie pochodne f( + + w punktach Mamy więc (8a) f ''( (6 + 6 )' + 6 i w konsekwencji f ''( ) ( ) + 6 8< czyli w punkcie zgodnie z faktem 4 funkcja y f( + + osiąga maksimum Natomiast skoro w punkcie : f ''() () + 6 8> to zgodnie z faktem 4
9 9 y f( + + osiąga minimum w punkcie Na koniec obliczmy maksymalną i minimalną wartość Zgodnie ze wzorem f( + + będziemy mieć f(-) oraz f() -6 co potwierdza Rys6 na którym innymi kolorami oznaczono część wklęsłą i wypukłą badanej funkcji wykres y ^+^ c częś wklęsła funkcji częśc wypukła funkcji -4 Rys 6 Funkcję y f( nazwiemy wypukłą jeśli (9) + f ( ) + f ( f ) dla dowolnych Fakt (a) Funkcja jest wypukła to znaczy zachodzi (9) wtedy i tylko wtedy gdy odcinek łączący dowolne punkty leŝące na wykresie y f( leŝy nad wykresem; (b) Funkcja jest wypukła to znaczy zachodzi (9) wtedy i tylko wtedy gdy f ''( dla kaŝdego (zob wykres funkcji wypukłej na Rys7) odcinek łączący funkcja wypukła Rys 7 Funkcję y f( nazwiemy wklęsłą jeśli
10 () + f ( ) + f ( f ) dla dowolnych Fakt (a) Funkcja jest wklęsła to znaczy zachodzi () wtedy i tylko wtedy gdy odcinek łączący dowolne punkty leŝące na wykresie y f( leŝy pod wykresem; (b) Funkcja jest wklęsła to znaczy zachodzi () wtedy i tylko wtedy gdy f ''( dla kaŝdego (zob wykres funkcji wklęsłej na Rys8) odcinek leŝy pod wykresem dla funkcji wklęsłych - - y -(-)^ y Rys 8 Wracając do funkcji y f( + + powstaje pytanie dla jakich funkcja ta jest wklęsła a dla jakich wypukła Łatwo to sprawdzić w oparciu o fakt 4 i fakt sprawdzając dla jakich zachodzi f ''( a dla jakich f ''( Na mocy (8a) f ''( / zaś f ''( + 6 / co zostało juŝ uwidocznione na Rys 6 ZASTOSOWANIA POCHODNYCH W EKONOMII Koszt krańcowy jako pochodna Niech C S ( koszty stałe przy produkcji sztuk wyrobu finalnego(czyli gotowego do sprzedaŝy); C Z ( koszty zmienne przy produkcji sztuk wyrobu finalnego; Zatem C( C S ( + C Z ( koszt całkowity przy produkcji sztuk wyrobu finalnego Kosztem marginalnym nazywamy róŝnicę C(+) C( czyli koszt wyprodukowania (+)-go wyrobu finalnego PoniewaŜ C( + ) C( C( + C( lim C'( gdy
11 to pochodna C ( kosztów całkowitych traktowana jest jako koszt marginalny (inaczej: koszt krańcowy) Jeśli Z( zysk ze sprzedaŝy produktów finalnych to Z(+)-Z( nazywamy zyskiem marginalnym (krańcowym) W praktyce przyjmujemy iŝ zysk marginalny Z ( Przykład (z ksiąŝki Mathematics for Economics & Finance str 9) Koszty stałe dla firmy produkującej rowery (wyroby finalne w naszej terminologii) wynoszą tygodniowo (a) $ ; (b) $ + Koszty zmienne za kaŝdy rower wynoszą w obu przypadkach $ Zatem funkcja kosztów całkowitych dana jest wzorem (a) C( + lub (b) C( + + Oblicz koszt marginalny przy produkcji rowerów Rozwiązanie (a) Kosztem marginalnym przy produkcji rowerów jest C ( niezaleŝnie od! Zatem przy produkcji rowerów koszt marginalny wynosi $ czyli jest równy kosztowi zmiennemu wyprodukowania -go roweru; (b) Kosztem marginalnym przy produkcji rowerów jest C ( + czyli przy produkcji rowerów koszt marginalny wynosi C () $7 Optymalny poziom produkcji wyrobów w firmie produkcyjnej / optymalny poziom ilości usług w firmie świadczącej usługi ZASADA OPTYMALNOŚCI (przypadek funkcji jednej zmiennej): Przy optymalnym poziomie produkcji (to jest przynoszącym maksymalny zysk) powinniśmy mieć równość: C ( ) p gdzie C( koszt całkowity wyprodukowania wyrobów C ( koszt krańcowy zaś p cena sprzedaŝy jednostki wyrobu finalnego Zatem jeśli firma produkuje wyrobów oraz C ( < p to powinna zwiększyć produkcję do takiego poziomu aby C ( ) p Jeśli natomiast C ( > p to firma powinna zmniejszyć produkcję do takiego poziomu aby C ( ) p o ile to jest w ogóle moŝliwe Przykład 6 Oblicz optymalny (tzn maksymalny) zysk firmy gdy koszty całkowite wynoszą C( (/ ) zaś cena sprzedaŝy produktu finalnego wynosi $6
12 Rozwiązanie Najpierw musimy wyznaczyć optymalny poziom produkcji dla którego zgodnie z zasadą optymalności C ( ) 6 a następnie od przychodów ze sprzedaŝy równych 6 odjąć koszty czyli C( ) W tym celu obliczmy kiedy C ( [ (/ ) ] czyli rozwiąŝmy równanie kwadratowe 6 4 które potrafimy juŝ rozwiązać przy pomocy W ogólnym przypadku b 4ac a więc tym razem (6) 4()( 4) Tak więc optymalnym poziomem produkcji będzie 68 gdyŝ rozwiązanie 8 nie ma Ŝadnego znaczenia ekonomicznego (poziom produkcji nie moŝe być ujemny!) Ostatecznie przychód ze sprzedaŝy 68 sztuk będzie wynosił 68($6) $448 zaś koszty produkcji C(68) 449 co daje optymalny zysk Z(68) Oznacza to Ŝe przy kaŝdym innym poziomie produkcji zysk będzie mniejszy! Przykład 7 Koszty całkowite w zaleŝności od produkcji rowerów wyścogowych podane są w poniŝszej tabeli Cena roweru wyścigowego wynosi zł Wyznacz optymalny poziom produkcji rowerów oraz przedyskutuj atrakcyjnośc tego rodzaju inwestycji Rozwiązanie Wykorzystując dane z powyŝszej tabeli za pomocą regresji wielomianowej stopnia znajdujemy wielomian stopnia który określa funkcję kosztów całkowitych mianowicie y f( którą przedstawiamy na Rys 9 Funkcja kosztów krańcowych równa jest zatem f '( 6+ 9 (zob Rys )
13 Rys 9 funkcja kosztów całkowitych uzyskana za pomocą regresji wielomianowej stopnia y Serie Serie Wielom (Serie) Wielom (Serie) Rys funkcja kosztów krańcow ych cena sprzedaŝy Z Rys widzimy Ŝe przy poziomie produkcji sztuk oraz 8 sztuk spełniona jest ZASADA OPTYMALNOŚCI tzn C () p oraz C (8) Wynika stąd wiele ciekawych wniosków Na przykład jeśli kapitał firmy pozwala jedynie na produkcję rowerów to powinniśmy zastanowic się czy w ogóle warto produkowac poniewaŝ na pierwszych rowerach ponosimy stratę (por Rys ) Ale jeśli moglibyśmy produkowac rowerów to naleŝy skupic się na produkcji 8 poniewaŝ poczawszy od 9 roweru ponosic będziemy stratę na kaŝdym kolejnym rowerze (Rys ) Jest to zgodne z zasadą optyma;lności która mówi iŝ w przypadku gdy C ( > p naleŝy zmniejszyc wielkośc produkcji (o ile jest to moŝliwe aby uzyskac C ( ) p)
14 4 Rys 4 funkcja zysku funkcja kosztów krańcowych cena sprzedaŝy Elastycznością przeciętną E funkcji f( na przedziale [ + ] nazywamy licz- p bę f ( + f ( ) () E p : f ( ) Jest to stosunek (iloraz) względnego przyrostu wartości funkcji f( czyli f ( + f ( do względnego przyrostu czyli do f ( ) Tak definiuje elastycz ność dla studentów którzy nie znają pojęcia pochodnej Varian autor znanego pod- ręcznika z mikroekonomii który jest profesorem na University of California Berkeley W Appendi podaje jednak precyzyjną definicję elastyczności przy uŝyciu pojęcia pochodnej którą przytoczymy poniŝej Wadą definicji elastyczności przy uŝyciu wzoru () jest to Ŝe długość przedziału z którego wylicza się przeciętną wartość elastyczności nie jest w ogóle określona! W związku z tym kaŝdy obliczający elastyczność w oparciu o wzór () otrzyma inny wynik! I wreszcie ostatnia uwaga dotycząca elastyczności w/g () jest taka Ŝe jeśli wartość wzrośnie o % to znaczy informacja intuicyjnie zrozumiałą to wartość funkcji f( wzrośnie o E p % co jest Elastycznością E[f( )] funkcji f( w punkcie nazywamy granicę elastyczności przeciętnych na przedziałach [ + ] gdy Jest to więc liczba określona
15 jednoznacznie!; nie zaleŝy bowiem od długości przedziału Łatwo podać wzór na E[f( )] mianowicie () f ( + f ( ) f '( ) Ef ( ) lim gdy f ( ) f ( ) Jeśli f( przedstawia popyt na dobro w zaleŝności od ceny to E[f(] nazywamy elastycznością cenową popytu Jeśli f( przedstawia popyt na dobro w zaleŝności od zarobków (dochodów) to E[f(] nazywamy elastycznością dochodową popytu Przykład 8 a T ( przedstawia popyt na dobro I-ej potrzeby (jest to funkcja + b Tornquista I-go rodzaju) Zatem zgodnie ze wzorem (9) T a ( a'( + b) a( + b)' a( + b) a ab ( ' + b ( + b) ( + b) ( + b) ' > czyli na mocy faktu popyt na dobra I-ej potrzeby rośnie wraz ze wzrostem dochodu poniewaŝ pochodna funkcji popytu jest zawsze większa od zera Łatwo teraz obliczyć elastyczność dochodową popytu gdy dochód konsumenta wynosi : () ET ( T '( ) ab ( + b) b ) T ( ) ( + b) a ( + b) czyli maleje ze wzrostem dochodu przyjmując najwyŝsza wartość gdy
1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowo4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie)
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowo5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoWykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoPOCHODNE. dr Sławomir Brzezowski
POCHODNE dr Sławomir Brzezowski Instytut Fizyki im Mariana Smoluchowskiego Uniwersytet Jagielloński Zawarte w tym opracowaniu materiały przeznaczone są do wspomagania pracy studentów w czasie zajęć laboratoryjnych
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowo8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe
8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie lato 2015/2016 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowolim = lim lim Pochodne i róŝniczki funkcji jednej zmiennej.
Niniejsze opracowanie ma na celu przybliŝyć matematykę (analizę matematyczną) i stworzyć z niej narzędzie do rozwiązywania zagadnień z fizyki. Definicje typowo matematyczne będą stosowane tylko wtedy gdy
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów definicja i przykłady
Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoII. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2
II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2 Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 1 / 34 1
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowo6. Teoria Podaży Koszty stałe i zmienne
6. Teoria Podaży - 6.1 Koszty stałe i zmienne Koszty poniesione przez firmę zwykle są podzielone na dwie kategorie. 1. Koszty stałe - są niezależne od poziomu produkcji, e.g. stałe koszty energetyczne
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoPodstawy ekonomii ELASTYCZNOŚCI W EKONOMII
Podstawy ekonomii ELASTYCZNOŚCI W EKONOMII Elastyczność krzyŝowa popytu Elastyczność dochodowa popytu Opracowanie: dr Tomasz Taraszkiewicz Elastyczność krzyŝowa popytu Elastyczność krzyŝowa popytu Elastyczność
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowo3.Funkcje elementarne - przypomnienie
3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51 1 Funkcje
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowoFunkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek
Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autorzy: Konrad Nosek 09 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autor: Konrad Nosek DEFINICJA Definicja : Funkcja pierwotna Rozważmy
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoOtrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na
Otrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na ograniczenie czasowe chciałam już dziś dać pewne wskazówki i porady,
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowoWPROWADZENIE DO EKONOMII MENEDŻERSKIEJ.
Wykład 1 Wprowadzenie do ekonomii menedżerskiej 1 WPROWADZENIE DO EKONOMII MENEDŻERSKIEJ. PODEJMOWANIE OPTYMALNYCH DECYZJI NA PODSTAWIE ANALIZY MARGINALNEJ. 1. EKONOMIA MENEDŻERSKA ekonomia menedżerska
Bardziej szczegółowoZAJĘCIA 25. Wartość bezwzględna. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej.
ZAJĘCIA 25. Wartość bezwzględna. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej. 1. Wartość bezwzględną liczby jest określona wzorem: x, dla _ x 0 x =, x, dla _ x < 0 Wartość bezwzględna liczby nazywana
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.2
Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x
Bardziej szczegółowoRekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie:
Rekurencje Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: T(n) = Θ(1) (dla n = 1) T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n) (dla n
Bardziej szczegółowoŚrednie. Średnie. Kinga Kolczyńska - Przybycień
Czym jest średnia? W wielu zagadnieniach praktycznych, kiedy mamy do czynienia z jakimiś danymi, poszukujemy liczb, które w pewnym sensie charakteryzują te dane. Na przykład kiedy chcielibyśmy sklasyfikować,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP
Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI JJ, IMiF UTP 05 MINIMUM LOKALNE y y = f () f ( 0 ) 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. MINIMUM LOKALNE y y
Bardziej szczegółowoArtykuł przedstawia w zarysie problematykę inŝynierii finansowej, wyjaśniając podstawowe pojęcia, takie jak:
InŜynieria finansowa Prof. Leszek S. Zaremba Autor jest wykładowcą w POU WyŜsza Szkoła Zarządzania / Polish Open University wprowadza do programu nauczania wykład poświęcony inŝynierii finansowej, przeznaczony
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoRównania kwadratowe. Zad. 4: (profil matematyczno-fizyczny) Dla jakich wartości parametru m równanie mx 2 + 2x + m 2 = 0 ma dwa pierwiastki mniejsze
Równania kwadratowe Zad : Dany jest wielomian W(x) = x mx + m m + a) Dla jakich wartości parametru m wielomian ten ma dwa pierwiastki, których suma jest o jeden większa od ich iloczynu? *b) Przyjmij, Ŝe
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoWykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
Bardziej szczegółowoWKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowo1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic
1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji -
Bardziej szczegółowoKurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,
Bardziej szczegółowoKONKURENCJA DOSKONAŁA. dr Sylwia Machowska
KONKURENCJA DOSKONAŁA dr Sylwia Machowska Definicja Konkurencja doskonała jest modelem teoretycznym opisującym jedną z form konkurencji na rynku; cechą charakterystyczną konkurencji doskonałej w odróŝnieniu
Bardziej szczegółowo1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Bardziej szczegółowoOtrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.
Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoSIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, Pochodna funkcji
SIMR 03/4, Analiza, wykład 5, 0--6 Pocodna funkcji Definicja: Niec będzie dana funkcja f : D R oraz punkt intd. Wtedy pocodną funkcji f w punkcie nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona): f f(
Bardziej szczegółowoZastosowanie wartości Shapleya w podejmowaniu decyzji przez importerów
Zastosowanie wartości Shapleya w podejmowaniu decyzji przez importerów dr hab. Leszek S. Zaremba 1. Postawienie problemu RozwaŜmy zagadnienie decyzyjne, jakie pojawia się w przypadku importerów pewnego
Bardziej szczegółowo8. WYBRANE ZASTOSOWANIA MODELI EKONOMETRYCZNYCH
39 8. WYBRANE ZASTOSOWANIA MODELI EKONOMETRYCZNYCH 8.1. Funkcje popytu i elastyczności popytu 8.1.1. Czynniki determinujące popyt i ich wpływ Załóżmy, że hipoteza ekonomiczna dotycząca kształtowania się
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Bardziej szczegółowoFunkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Bardziej szczegółowoWŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH
Dorota Sasiuk WŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH WSTĘP... WIADOMOŚCI WSTĘPNE... 3. DEFINICJA FUNKCJI:... 3. DZIAŁANIA ARYTMETYCZNE NA FUNKCJACH:... 3.3 ZŁOŻENIE FUNKCJI:... 3.4 FUNKCJA ODWROTNA:... 4.5 FUNKCJA
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoA B. Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych B: 1. da dt. A v. v t
B: 1 Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych 1. ZałóŜmy, Ŝe zmienna A oznacza stęŝenie substratu, a zmienna B stęŝenie produktu reakcji chemicznej
Bardziej szczegółowo