WYKŁAD 5 (Pochodne Funkcji i ich Zastosowania)

Transkrypt

1 WYKŁAD (Pochodne Funkcji i ich Zastosowania) RozwaŜmy jakąkolwiek funkcję y f( pokazującą jak wartość zmiennej objaśnianej y zaleŝy od wartości zmiennej objaśniającej Naturalnym pytaniem jest jak szybko zmienia się wartość y (zmianę tę oznaczamy w () przez y ) w zaleŝności od zmiany -a (zmianę tę oznaczamy przez dla dowolnego punktu początkowego ) gdzie y f ) Aby dać odpowiedź na to pytanie zbadajmy wyraŝenie ( y () ( y gdzie y f ( ) ( ) + f czyli iloraz przyrostu wartości zmiennej objaśnianej y wywołanego przyrostem wartości zmiennej objaśniającej Na przykład jeśli czas zaś y reprezentuje drogę jaką przejechaliśmy dziś naszym samochodem do chwili to y oznacza średnią prędkość z jaką jechaliśmy naszym samochodem pomiędzy godziną a godziną + Jeśli ktoś zapyta nas z jaką prędkością jechaliśmy o godz 4: nie będziemy w stanie na to pytanie precyzyjnie odpowiedzieć podając co najwyŝej średnią prędkość naszego samochodu około godziny 4: Aby odpowiedzieć precyzyjnie na tak postawione pytanie musimy wprowadzić pojęcie pochodnej funkcji y f( w punkcie które definiujemy następująco: () y' f ( + f ( ) f '( ) lim gdy Na przykład jeśli y f( jest dowolną funkcją liniową czyli f( a +b < < to pochodna tej funkcji w dowolnym punkcie będzie równa a Rzeczywiście [ a( + + b] [ a + b] a f '( ) lim lim a Innymi słowy pochodną funkcji y +8 jest ; pochodną funkcji y -4+ jest -4 itp Podobnie moŝna pokazać Ŝe gdy y f( to f '( w kaŝdym punkcie Aby to udowodnić weźmy pod uwagę dowolny punkt Wówczas ( + ( ) + ( f '( ) lim lim + analogiczny sposób moŝna udowodnić Ŝe ( )' ; 4 ( )' 4 Rozumując w itp a nawet Ŝe

2 () ( A )' A A (gdzie A jest dowolną liczbą rzeczywistą) np ( )' 4 9 ; ( )' 8 9 ; ( ) ( )' ( ) Zgodnie z tym samym wzorem () dla A mamy (4) ( ' ( )' ( ) itp poniewaŝ A A To były przykłady pochodnych konkretnych funkcji Teraz podamy waŝne (aczkolwiek bardzo proste do udowodnienia) reguły róŝniczkowania dowolnych funkcji Oto one: () f ( + f ( ]' f '( + f '( ); [ (6) f ( f ( ]' f '( f '( ); [ af ( ]' af '( [ Wzór () czytamy w ten sposób Ŝe pochodna sumy -óch funkcji jest równa sumie pochodnych Wzór (6) czytamy w analogiczny sposób to jest natomiast ostatni z -ech powyŝszych wzorów czytamy w ten sposób Ŝe pochodna funkcji a razy większej niŝ f( jest a razy większa od pochodnej funkcji f( Przykłady 6 4 ( + + )' ; Wykorzystując wzór (4) oraz wzór () obliczamy ( ' Oto kolejne wzory na pochodne funkcji: (7) [sin (] cos( ; [cos (] - sin( ; [ln (] ; ( e )' e 9 Zatem [ + sin( ln(] cos( - Oto kolejne reguły róŝniczkowania funkcji czyli obliczania ich pochodnych: (8) f ( f ( ]' f '( f ( + f ( f '( ) np [ f( f' ( f ( f( f (9) ' f ( [ f ( ] sin( ) Zastosujmy ten wzór dla tg( otrzymując cos( '(

3 sin( cos( cos( sin( ( sin( sin ( + cos ( tg '( ' cos( cos ( cos ( cos ( z uwagi na znaną ze szkoły średniej toŝsamość sin ( ) + cos ( Ostatni wzór na róŝniczkowanie funkcji czyli obliczanie pochodnej jest bardziej skomplikowany niŝ wszystkie poprzednie Dotyczy on funkcji złoŝonej () ( f o g)( f [ g( ] której przykładami są np sin( ++ ) ln[+sin(] itp W przypadku funkcji sin( ++ ) mamy do czynienia z funkcjami f( sin( oraz g( ++ W przypadku funkcji ln[+sin(] mamy do czynienia z funkcjami f( ln( oraz g( +sin( Pochodna funkcji złoŝonej dana jest wzorem () ( f o g)'( f '( g( ) g' ( Zastosujmy ten zwór do -óch ostatnio rozwaŝanych funkcji: [sin( + + )]' cos( + + )( + ) ; tg( 4 + cos( + sin( ]' [4 + cos( ] 4 cos [ + sin( ] cos [ + sin( ] 4 [ 4 W przyszłości przyda się nam wzór () ( a )' ln( a)( a) który otrzymujemy w następujący sposób ( lna ln( a) ln( a) a )' [( e ) ]' [( e) ]' ln( a)[( e) ] ln( a)( a) stosując wzór na pochodną funkcji złoŝonej ( ln( a) e ) f[g(] gdzie f( e g( ln(a) oraz znany z wykładu fakt Ŝe ln( a) a ( e) Łatwo sprawdzić iŝ w wielu przypadkach () ( f og)( ( gof )( Podamy najpierw prosty przykład demonstrujący nierówność () Mianowicie niech f( sin( zaś g( Wówczas ( f o g)( ) f[g(] sin( zaś ( gof )( g[ f ( ] sin( a więc otrzymaliśmy dwie róŝne funkcje mianowicie y sin( oraz y sin( co widać na kolejnym wykresie (Rys ) Podamy jeszcze inny przykład gdy f( ln( zaś g( Wówczas ( f o g)( ) f[g(] ln( ) zaś ( g o f )( g[ f ( ] ln( Aby się przekonać Ŝe są to róŝne funkcje wystarczy podstawić za kilka wartości liczbowych np ½ itp Najlepiej będzie jednak jak przy wykorzysta-

4 4 niu Ecela zrobimy wykresy obu tych funkcji dla np -/ < < Otrzymamy wtedy zupełnie róŝne wykresy a więc dwie róŝne funkcje(rys ) porównanie wykresów funkcji y sin( y sin( Rys porównanie wykresów y ln( y ln( Rys Zanim przejdziemy do dalszych zastosowań pochodnych powiemy jak naleŝy definiować -ą pochodną f( -ą pochodna f( 4-ą pochodną f( itp Mianowicie -ą pochodną określamy jako pochodną -ej pochodnej to jest f ''( [ f '( ]' -ą pochodną określamy jako pochodną -ej pochodnej to jest f '''( [ f ''( ]' 4 itd A więc jeśli y f( + to y' f '( y '' f ''( 6 y' '' f '''( 7 y '''' f ''''( 7 itd ZASTOSOWANIA POCHODNYCH

5 Najprostsze zastosowania pochodnych są rezultatem wzoru (4) f + f ( ) + f '( ) + ε ( prawdziwego dla dowolnego punktu z czego wynika wzór na przybliŝoną wartość funkcji f( () f + f ( ) + f '( ) ( Wzór ten ma częste zastosowania w sytuacji gdy znana jest nam wartośc f ) a chcemy obliczyć wartość funkcji f( w punktach leŝących blisko Przykład (a) f( ; ; chcemy obliczyć 6 znając ; ( (b) f( ; 4 ; chcemy obliczyć 4 znając Rozwiązanie (a) Chcemy obliczyć f(6) f(+) f ( + gdy f( Ze wzoru () oraz (4) wynika iŝ f(6) f() + f '() + + poniewaŝ na mocy (4) ( ' ; (b) Chcemy obliczyć f(4) f(+4) f ( + gdy f( Wiemy Ŝe f(4) f() + f '()4 + (ln ) (4) poniewaŝ na mocy () zachodzi wzór ( )' ln()() A teraz rozwiąŝemy zadanie jakie rozwiązują studenci z uczelni o bardzo wysokim poziomie nauki Przykład (Eercise 66 str 66 z ksiąŝki Mathematics for Economics & Finance napisanej przez -óch matematyków z London School of Economics: MAnthony & N Biggs) 8 Funkcja popytu na dobro A dana jest wzorem f ( p) gdzie p jest ceną dobra p + A Jesli cena p zostanie zmniejszona z 9zł do 8zł to o ile wzrośnie popyt? Odpowiadając na to pytanie zastosuj wzór () Rozwiązanie

6 6 8 Mamy więc w przypadku gdyf ( p) p 9 + p p obliczyć róŝnicę f ( p p + p) f ( ) która na mocy () jest w przybliŝeniu równa f '( p ) p Najbardziej naturalnym sposobem rozwiązania byłoby obliczenie róŝnicy f(8)-f(9) 8 8 która w oczywisty sposób jest równa My (8) jednak mamy za zadanie wykorzystać wzór () który przy uŝyciu pochodnej podaje przybliŝoną wartość wzrostu popytu w związku ze spadkiem ceny o gr Biorąc pod uwagę Ŝe 8 6p (6) ' p + ( p + ) (kilka linijek poniŝej pokaŝemy Ŝe (6) jest rzeczywiście prawdziwe) oraz wzór f ( p p + p) f ( ) f '( p ) p otrzymujemy Ŝe z powodu spadku ceny z 9zł do 6(9) 8zł popyt w przybliŝeniu wzrośnie o ( ) 7 jednostek dobra (9 + ) A RóŜnica pomiędzy 6 a 7 jest stosunkowo duŝa co wynika z tego Ŝe zmiana ceny z 9zł na 8zł była stosunkowo duŝa Gdyby cena zmniejszyła się (lub zwiększyła) np o gr to zastosowanie wzoru () dałoby duŝo bardziej dokładny wynik Zgodnie z zapowiedzią pokaŝmy prawdziwość (6) ZauwaŜmy Ŝe jest funkcją + złoŝoną gdyŝ ( f o g)( f[g(] gdzie f ( i g( + + PoniewaŜ ( f og)'( f '( g( ) g' ( musimy umieć obliczyć pochodne funkcji f( i g( Skoro '( ( f )' ( ) (por wzór () i następujące po nim przykłady) oraz g'( ( + )' + będziemy mieć (7) ' + ( + ) ( + ) p czyli ' p + ( p + ) pokazać 8 6p z czego wynika iŝ ' co naleŝało p + ( p + )

7 7 BADANIE PRZEBIEGU FUNKCJI za pomocą pochodnych Fakt Jeśli y f ( < dla ( a b) to f( maleje na odcinku (ab) Fakt Jeśli y f ( > dla ( a b) to f( rośnie na odcinku (ab) Zadanie Pokazać Ŝe y ln( jest funkcją rosnącą dla wszystkich -ów dla których jest określona czyli dla << Rozwiązanie Wystarczy pokazać Ŝe dla << pochodna y ln( jest większa od zera Rzeczywiście tak jest gdyŝ na mocy (7) ln ( > > (por Rys) z uwagi na to Ŝe y ln y ln Rys Przykład Pokazać Ŝe funkcja y + 4 jest rosnąca na ( ) Rozwiązanie Wystarczy pokazać Ŝe jej pochodna jest dodatnia dla ( ) Ale tak jest gdyŝ y ' > co kończy dowód Fakt (twierdzenie Fermata) Jeśli f( ma ekstremum (maksimum lub minimum) w punkcie to f '( ) Ale jeśli f '( ) to niekoniecznie f( ma ekstremum w Na przykład f( nie ma ekstremum w (por Rys 4) chociaŝ pochodna funkcji f( w punkcie równa się zero poniewaŝ ( )' ( )

8 8 y ^ y ^ - - Rys 4 Fakt 4 (a) Funkcja y f( ma minimum w punkcie f ( ) oraz ' f ''( ) > ; (b) Funkcja y f( ma maksimum w punkcie f ( ) oraz ' f ''( ) < ; (c) jeśli f '( ) oraz f ''( ) to w dalszym ciągu nic nie wiemy Przykład 4 Niech y f( + + W których punktach funkcja ta osiąga maksimum i minimum? Jakie to są wartości? Rozwiązanie f '( jest funkcja kwadratową Wiemy z wykładu 4 Ŝe a + b+ c wtedy i tylko wtedy gdy (8) b a b+ gdzie b 4ac a W naszym przypadku a 6 b 6 c - a więc Zatem Czyli punktami podejrzanymi o ekstremum są Aby odpowiedzieć na pytanie w którym z nich funkcja osiąga maksimum a w którym minimum zgodnie z faktem 4 obliczmy drugie pochodne f( + + w punktach Mamy więc (8a) f ''( (6 + 6 )' + 6 i w konsekwencji f ''( ) ( ) + 6 8< czyli w punkcie zgodnie z faktem 4 funkcja y f( + + osiąga maksimum Natomiast skoro w punkcie : f ''() () + 6 8> to zgodnie z faktem 4

9 9 y f( + + osiąga minimum w punkcie Na koniec obliczmy maksymalną i minimalną wartość Zgodnie ze wzorem f( + + będziemy mieć f(-) oraz f() -6 co potwierdza Rys6 na którym innymi kolorami oznaczono część wklęsłą i wypukłą badanej funkcji wykres y ^+^ c częś wklęsła funkcji częśc wypukła funkcji -4 Rys 6 Funkcję y f( nazwiemy wypukłą jeśli (9) + f ( ) + f ( f ) dla dowolnych Fakt (a) Funkcja jest wypukła to znaczy zachodzi (9) wtedy i tylko wtedy gdy odcinek łączący dowolne punkty leŝące na wykresie y f( leŝy nad wykresem; (b) Funkcja jest wypukła to znaczy zachodzi (9) wtedy i tylko wtedy gdy f ''( dla kaŝdego (zob wykres funkcji wypukłej na Rys7) odcinek łączący funkcja wypukła Rys 7 Funkcję y f( nazwiemy wklęsłą jeśli

10 () + f ( ) + f ( f ) dla dowolnych Fakt (a) Funkcja jest wklęsła to znaczy zachodzi () wtedy i tylko wtedy gdy odcinek łączący dowolne punkty leŝące na wykresie y f( leŝy pod wykresem; (b) Funkcja jest wklęsła to znaczy zachodzi () wtedy i tylko wtedy gdy f ''( dla kaŝdego (zob wykres funkcji wklęsłej na Rys8) odcinek leŝy pod wykresem dla funkcji wklęsłych - - y -(-)^ y Rys 8 Wracając do funkcji y f( + + powstaje pytanie dla jakich funkcja ta jest wklęsła a dla jakich wypukła Łatwo to sprawdzić w oparciu o fakt 4 i fakt sprawdzając dla jakich zachodzi f ''( a dla jakich f ''( Na mocy (8a) f ''( / zaś f ''( + 6 / co zostało juŝ uwidocznione na Rys 6 ZASTOSOWANIA POCHODNYCH W EKONOMII Koszt krańcowy jako pochodna Niech C S ( koszty stałe przy produkcji sztuk wyrobu finalnego(czyli gotowego do sprzedaŝy); C Z ( koszty zmienne przy produkcji sztuk wyrobu finalnego; Zatem C( C S ( + C Z ( koszt całkowity przy produkcji sztuk wyrobu finalnego Kosztem marginalnym nazywamy róŝnicę C(+) C( czyli koszt wyprodukowania (+)-go wyrobu finalnego PoniewaŜ C( + ) C( C( + C( lim C'( gdy

11 to pochodna C ( kosztów całkowitych traktowana jest jako koszt marginalny (inaczej: koszt krańcowy) Jeśli Z( zysk ze sprzedaŝy produktów finalnych to Z(+)-Z( nazywamy zyskiem marginalnym (krańcowym) W praktyce przyjmujemy iŝ zysk marginalny Z ( Przykład (z ksiąŝki Mathematics for Economics & Finance str 9) Koszty stałe dla firmy produkującej rowery (wyroby finalne w naszej terminologii) wynoszą tygodniowo (a) $ ; (b) $ + Koszty zmienne za kaŝdy rower wynoszą w obu przypadkach $ Zatem funkcja kosztów całkowitych dana jest wzorem (a) C( + lub (b) C( + + Oblicz koszt marginalny przy produkcji rowerów Rozwiązanie (a) Kosztem marginalnym przy produkcji rowerów jest C ( niezaleŝnie od! Zatem przy produkcji rowerów koszt marginalny wynosi $ czyli jest równy kosztowi zmiennemu wyprodukowania -go roweru; (b) Kosztem marginalnym przy produkcji rowerów jest C ( + czyli przy produkcji rowerów koszt marginalny wynosi C () $7 Optymalny poziom produkcji wyrobów w firmie produkcyjnej / optymalny poziom ilości usług w firmie świadczącej usługi ZASADA OPTYMALNOŚCI (przypadek funkcji jednej zmiennej): Przy optymalnym poziomie produkcji (to jest przynoszącym maksymalny zysk) powinniśmy mieć równość: C ( ) p gdzie C( koszt całkowity wyprodukowania wyrobów C ( koszt krańcowy zaś p cena sprzedaŝy jednostki wyrobu finalnego Zatem jeśli firma produkuje wyrobów oraz C ( < p to powinna zwiększyć produkcję do takiego poziomu aby C ( ) p Jeśli natomiast C ( > p to firma powinna zmniejszyć produkcję do takiego poziomu aby C ( ) p o ile to jest w ogóle moŝliwe Przykład 6 Oblicz optymalny (tzn maksymalny) zysk firmy gdy koszty całkowite wynoszą C( (/ ) zaś cena sprzedaŝy produktu finalnego wynosi $6

12 Rozwiązanie Najpierw musimy wyznaczyć optymalny poziom produkcji dla którego zgodnie z zasadą optymalności C ( ) 6 a następnie od przychodów ze sprzedaŝy równych 6 odjąć koszty czyli C( ) W tym celu obliczmy kiedy C ( [ (/ ) ] czyli rozwiąŝmy równanie kwadratowe 6 4 które potrafimy juŝ rozwiązać przy pomocy W ogólnym przypadku b 4ac a więc tym razem (6) 4()( 4) Tak więc optymalnym poziomem produkcji będzie 68 gdyŝ rozwiązanie 8 nie ma Ŝadnego znaczenia ekonomicznego (poziom produkcji nie moŝe być ujemny!) Ostatecznie przychód ze sprzedaŝy 68 sztuk będzie wynosił 68($6) $448 zaś koszty produkcji C(68) 449 co daje optymalny zysk Z(68) Oznacza to Ŝe przy kaŝdym innym poziomie produkcji zysk będzie mniejszy! Przykład 7 Koszty całkowite w zaleŝności od produkcji rowerów wyścogowych podane są w poniŝszej tabeli Cena roweru wyścigowego wynosi zł Wyznacz optymalny poziom produkcji rowerów oraz przedyskutuj atrakcyjnośc tego rodzaju inwestycji Rozwiązanie Wykorzystując dane z powyŝszej tabeli za pomocą regresji wielomianowej stopnia znajdujemy wielomian stopnia który określa funkcję kosztów całkowitych mianowicie y f( którą przedstawiamy na Rys 9 Funkcja kosztów krańcowych równa jest zatem f '( 6+ 9 (zob Rys )

13 Rys 9 funkcja kosztów całkowitych uzyskana za pomocą regresji wielomianowej stopnia y Serie Serie Wielom (Serie) Wielom (Serie) Rys funkcja kosztów krańcow ych cena sprzedaŝy Z Rys widzimy Ŝe przy poziomie produkcji sztuk oraz 8 sztuk spełniona jest ZASADA OPTYMALNOŚCI tzn C () p oraz C (8) Wynika stąd wiele ciekawych wniosków Na przykład jeśli kapitał firmy pozwala jedynie na produkcję rowerów to powinniśmy zastanowic się czy w ogóle warto produkowac poniewaŝ na pierwszych rowerach ponosimy stratę (por Rys ) Ale jeśli moglibyśmy produkowac rowerów to naleŝy skupic się na produkcji 8 poniewaŝ poczawszy od 9 roweru ponosic będziemy stratę na kaŝdym kolejnym rowerze (Rys ) Jest to zgodne z zasadą optyma;lności która mówi iŝ w przypadku gdy C ( > p naleŝy zmniejszyc wielkośc produkcji (o ile jest to moŝliwe aby uzyskac C ( ) p)

14 4 Rys 4 funkcja zysku funkcja kosztów krańcowych cena sprzedaŝy Elastycznością przeciętną E funkcji f( na przedziale [ + ] nazywamy licz- p bę f ( + f ( ) () E p : f ( ) Jest to stosunek (iloraz) względnego przyrostu wartości funkcji f( czyli f ( + f ( do względnego przyrostu czyli do f ( ) Tak definiuje elastycz ność dla studentów którzy nie znają pojęcia pochodnej Varian autor znanego pod- ręcznika z mikroekonomii który jest profesorem na University of California Berkeley W Appendi podaje jednak precyzyjną definicję elastyczności przy uŝyciu pojęcia pochodnej którą przytoczymy poniŝej Wadą definicji elastyczności przy uŝyciu wzoru () jest to Ŝe długość przedziału z którego wylicza się przeciętną wartość elastyczności nie jest w ogóle określona! W związku z tym kaŝdy obliczający elastyczność w oparciu o wzór () otrzyma inny wynik! I wreszcie ostatnia uwaga dotycząca elastyczności w/g () jest taka Ŝe jeśli wartość wzrośnie o % to znaczy informacja intuicyjnie zrozumiałą to wartość funkcji f( wzrośnie o E p % co jest Elastycznością E[f( )] funkcji f( w punkcie nazywamy granicę elastyczności przeciętnych na przedziałach [ + ] gdy Jest to więc liczba określona

15 jednoznacznie!; nie zaleŝy bowiem od długości przedziału Łatwo podać wzór na E[f( )] mianowicie () f ( + f ( ) f '( ) Ef ( ) lim gdy f ( ) f ( ) Jeśli f( przedstawia popyt na dobro w zaleŝności od ceny to E[f(] nazywamy elastycznością cenową popytu Jeśli f( przedstawia popyt na dobro w zaleŝności od zarobków (dochodów) to E[f(] nazywamy elastycznością dochodową popytu Przykład 8 a T ( przedstawia popyt na dobro I-ej potrzeby (jest to funkcja + b Tornquista I-go rodzaju) Zatem zgodnie ze wzorem (9) T a ( a'( + b) a( + b)' a( + b) a ab ( ' + b ( + b) ( + b) ( + b) ' > czyli na mocy faktu popyt na dobra I-ej potrzeby rośnie wraz ze wzrostem dochodu poniewaŝ pochodna funkcji popytu jest zawsze większa od zera Łatwo teraz obliczyć elastyczność dochodową popytu gdy dochód konsumenta wynosi : () ET ( T '( ) ab ( + b) b ) T ( ) ( + b) a ( + b) czyli maleje ze wzrostem dochodu przyjmując najwyŝsza wartość gdy