5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
|
|
- Jakub Głowacki
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 1 / 43
2 Badanie przebiegu zmienności funkcji - wstęp Podstawowym i najpopularniejszym zastosowaniem rachunku pochodnych jest tak zwane badanie przebiegu zmienności funkcji. Na czym to polega? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 2 / 43
3 Badanie przebiegu zmienności funkcji - wstęp Podstawowym i najpopularniejszym zastosowaniem rachunku pochodnych jest tak zwane badanie przebiegu zmienności funkcji. Na czym to polega? Jeśli nawet wyznaczymy wzór na zależność między jakimiś wielkościami np. ekonomicznymi, niekoniecznie kończy to analizę danego problemu. Wzór może być na tyle skomplikowany, że nie widać na pierwszy rzut oka jakościowych zależności między tymi wartościami: kiedy jedna z nich rośnie, bądź maleje? kiedy osiąga wartość optymalną? czy rośnie/maleje coraz szybciej, czy coraz wolniej? czy rośnie szybciej niż jakaś inna wielkość? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 2 / 43
4 Badanie przebiegu zmienności funkcji - wstęp Podstawowym i najpopularniejszym zastosowaniem rachunku pochodnych jest tak zwane badanie przebiegu zmienności funkcji. Na czym to polega? Jeśli nawet wyznaczymy wzór na zależność między jakimiś wielkościami np. ekonomicznymi, niekoniecznie kończy to analizę danego problemu. Wzór może być na tyle skomplikowany, że nie widać na pierwszy rzut oka jakościowych zależności między tymi wartościami: kiedy jedna z nich rośnie, bądź maleje? kiedy osiąga wartość optymalną? czy rośnie/maleje coraz szybciej, czy coraz wolniej? czy rośnie szybciej niż jakaś inna wielkość? Na wszystkie te pytania możemy odpowiedzieć, obliczając pochodne odpowiedniej funkcji i stosując informacje z tej części wykładu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 2 / 43
5 Badanie przebiegu zmienności - przykłady zastosowań rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 3 / 43
6 Badanie przebiegu zmienności - przykłady zastosowań Optymalizacja np. wyznaczenie wielkości produkcji dla której firma osiągnie maksymalny zysk. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 3 / 43
7 Badanie przebiegu zmienności - przykłady zastosowań Optymalizacja np. wyznaczenie wielkości produkcji dla której firma osiągnie maksymalny zysk. Badanie trendu np. badanie czy dla danego przedziału procentowego, podwyższenie podatków zwiększy, czy zmniejszy dochody budżetu państwa, albo czy w danym okresie czasowym liczba emigrantów wzrośnie, czy zmaleje. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 3 / 43
8 Pochodne i monotoniczność Zaczniemy od przypomnienia twierdzenia, które pojawiło się już w rozdziale 3, a które odgrywa decydującą rolę w tej części wykładu: Pochodne i monotoniczność Jeśli f jest funkcją różniczkowalną w przedziale (a, b), to: a) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) > 0, to funkcja f jest rosnąca w (a, b). b) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) < 0, to funkcja f jest malejąca w (a, b). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 4 / 43
9 Pochodne i monotoniczność Zaczniemy od przypomnienia twierdzenia, które pojawiło się już w rozdziale 3, a które odgrywa decydującą rolę w tej części wykładu: Pochodne i monotoniczność Jeśli f jest funkcją różniczkowalną w przedziale (a, b), to: a) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) > 0, to funkcja f jest rosnąca w (a, b). b) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) < 0, to funkcja f jest malejąca w (a, b). Jeszcze raz podkreślę: to, że funkcja jest rosnąca/malejąca w przedziale (a, b) i w przedziale (c, d) nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w sumie tych przedziałów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 4 / 43
10 Ekstrema lokalne Ekstrema lokalne Mówimy, że f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x 0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x) < f (x 0 ). Dla x 0 R możemy ten warunek formalnie zapisać: ɛ>0 x (x0 ɛ,x 0 +ɛ)f (x) < f (x 0 ). Mówimy, że f ma w punkcie x 0 minimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x 0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x) > f (x 0 ). Dla x 0 R możemy ten warunek formalnie zapisać: ɛ>0 x (x0 ɛ,x 0 +ɛ)f (x) > f (x 0 ). Wszystkie minima i maksima nazywamy ekstremami funkcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 5 / 43
11 Ekstrema lokalne Ekstrema lokalne Mówimy, że f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x 0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x) < f (x 0 ). Dla x 0 R możemy ten warunek formalnie zapisać: ɛ>0 x (x0 ɛ,x 0 +ɛ)f (x) < f (x 0 ). Mówimy, że f ma w punkcie x 0 minimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x 0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x) > f (x 0 ). Dla x 0 R możemy ten warunek formalnie zapisać: ɛ>0 x (x0 ɛ,x 0 +ɛ)f (x) > f (x 0 ). Wszystkie minima i maksima nazywamy ekstremami funkcji. Jeśli w powyższych zdaniach możemy uzyskać tylko słabe nierówności to mówimy o słabym maksimum/minimum lokalnym. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 5 / 43
12 Ekstrema - rysunek Na powyższym rysunku A, B, C są maksimami lokalnymi, a D i E - minimami lokalnymi. Wszystkie nazywamy ekstremami lokalnymi. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 6 / 43
13 Uwaga o lokalności ekstremów rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 7 / 43
14 Uwaga o lokalności ekstremów Słowo lokalne w powyższych definicjach definicjach jest istotne (aczkolwiek często opuszczane). W szczególności oznacza to, że ekstremum lokalne wykryte za pomocą pochodnych nie musi być rozwiązaniem optymalnym badanego procesu. Może się okazać, że bardziej optymalne wartości badana funkcja przyjmuje w innych ekstremach, a nawet poza ekstremami. Na przykład na powyższym rysunku A i B są maksimami lokalnymi, ale na pewno nie globalnymi (wartość maksimum C jest większa). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 7 / 43
15 Pochodne i ekstrema lokalne Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeśli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x 0 oraz jest w tym punkcie różniczkowalna to f (x 0 ) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 8 / 43
16 Pochodne i ekstrema lokalne Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeśli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x 0 oraz jest w tym punkcie różniczkowalna to f (x 0 ) = 0. Twierdzenie to oznacza, że, jeśli funkcja jest różniczkowalna, to nie może mieć ekstremów w punktach innych niż te, w których pochodna się zeruje. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 8 / 43
17 Warunek konieczny istnienia ekstremum - założenia Założenie o różniczkowalności w warunku koniecznym istnienia ekstremum jest ważne: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 9 / 43
18 Warunek konieczny istnienia ekstremum - założenia Założenie o różniczkowalności w warunku koniecznym istnienia ekstremum jest ważne: Na przykład f (x) = x ma minimum lokalne w 0, a nie da się tego udowodnić jedynie za pomocą pochodnych, bo funkcja ta nie jest różniczkowalna w 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 9 / 43
19 Warunek konieczny istnienia ekstremum - twierdzenie odwrotne Twierdzenie odwrotne do warunku koniecznego nie musi być prawdziwe tj. z faktu, że pochodna funkcji w jakimś punkcie się zeruje nie wynika istnienie ekstremum lokalnego w tym punkcie, a jedynie taka możliwość. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 10 / 43
20 Warunek konieczny istnienia ekstremum - twierdzenie odwrotne Twierdzenie odwrotne do warunku koniecznego nie musi być prawdziwe tj. z faktu, że pochodna funkcji w jakimś punkcie się zeruje nie wynika istnienie ekstremum lokalnego w tym punkcie, a jedynie taka możliwość. Na przykład f (x) = x 3 nie ma ekstremum lokalnego w 0, mimo, że f (0) = 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 10 / 43
21 Warunek wystarczający istnienia ekstremum Warunek wystarczający istnienia ekstremum - postać formalna Jeśli funkcja f jest ciągła w otoczeniu punktu x 0 R oraz różniczkowalna w jego otoczeniu oraz istnieje ɛ > 0 takie, że f (x) > 0 dla każdego x (x 0 ɛ, x 0 ) i f (x) < 0 dla każdego x (x 0, x 0 + ɛ), to w punkcie x 0 funkcja f ma maksimum lokalne. Jeśli funkcja f jest ciągła w otoczeniu punktu x 0 R oraz różniczkowalna w jego otoczeniu oraz istnieje ɛ > 0 takie, że f (x) < 0 dla każdego x (x 0 ɛ, x 0 ) i f (x) > 0 dla każdego x (x 0, x 0 + ɛ), to w punkcie x 0 funkcja f ma minimum lokalne. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 11 / 43
22 Warunek wystarczający istnienia ekstremum Warunek wystarczający istnienia ekstremum - postać nieformalna Jeśli pochodna funkcji ciągłej f zmienia (patrząc od lewej strony) w punkcie x 0 znak z + na, to w tym punkcie funkcja f ma maksimum lokalne. Jeśli pochodna funkcji ciągłej f zmienia (patrząc od lewej strony) w punkcie x 0 znak z na +, to w tym punkcie funkcja f ma minimum lokalne. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 12 / 43
23 Warunek wystarczający istnienia ekstremum - ilustracja graficzna To twierdzenie można sobie zawsze logicznie wyprowadzić, analizując wykres funkcji: jeśli najpierw rośnie, a potem maleje, to w punkcie przejścia musi mieć górkę czyli maksimum. Gdy jest na odwrót, mamy dolinkę, czyli minimum. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 13 / 43
24 Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x x 4 40x x Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 14 / 43
25 Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x x 4 40x x Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 14 / 43
26 Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x x 4 40x x Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R. Następnie obliczamy pochodną: f (x) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 14 / 43
27 Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x x 4 40x x Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R. Następnie obliczamy pochodną: f (x) = 15x 4 15x 3 120x x = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 14 / 43
28 Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x x 4 40x x Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R. Następnie obliczamy pochodną: f (x) = 15x 4 15x 3 120x x = 15x(x + 3)(x 2) 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 14 / 43
29 Badanie monotoniczności - przykład f (x) = 15x(x + 3)(x 2) 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 15 / 43
30 Badanie monotoniczności - przykład f (x) = 15x(x + 3)(x 2) 2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 15 / 43
31 Badanie monotoniczności - przykład f (x) = 15x(x + 3)(x 2) 2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem. f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 15 / 43
32 Badanie monotoniczności - przykład f (x) = 15x(x + 3)(x 2) 2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem. f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ). f (x) < 0 x ( 3, 0). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 15 / 43
33 Badanie monotoniczności - przykład f (x) = 15x(x + 3)(x 2) 2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem. f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ). f (x) < 0 x ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 15 / 43
34 Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43
35 Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43
36 Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43
37 Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43
38 Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w ( 3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na ), rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43
39 Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w ( 3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na ), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z na +). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43
40 Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w ( 3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na ), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43
41 Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w ( 3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na ), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = , f (0) = 1, f (2) = 77. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43
42 Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x x 4 40x x Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 17 / 43
43 Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x x 4 40x x Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać): x (, 3) 3 ( 3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, + ) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 17 / 43
44 Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x x 4 40x x Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać): x (, 3) 3 ( 3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, + ) f (x) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 17 / 43
45 Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x x 4 40x x Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać): x (, 3) 3 ( 3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, + ) f (x) f (x) (maks) 4 1 (min) 77 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 17 / 43
46 Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x x 4 40x x Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać): x (, 3) 3 ( 3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, + ) f (x) f (x) (maks) 4 1 (min) 77 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 17 / 43
47 Przykład ekonomiczny Konstrukcja modelu Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x) i kosztu C(x) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x) ma postać π(x) = R(x) C(x). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 18 / 43
48 Przykład ekonomiczny Konstrukcja modelu Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x) i kosztu C(x) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x) ma postać π(x) = R(x) C(x). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku? Oczywiście R (x) > 0 i C (x) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 18 / 43
49 Przykład ekonomiczny Konstrukcja modelu Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x) i kosztu C(x) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x) ma postać π(x) = R(x) C(x). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku? Oczywiście R (x) > 0 i C (x) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R (0) > C (0) (czyli π (0) > 0). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 18 / 43
50 Przykład ekonomiczny Konstrukcja modelu Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x) i kosztu C(x) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x) ma postać π(x) = R(x) C(x). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku? Oczywiście R (x) > 0 i C (x) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R (0) > C (0) (czyli π (0) > 0). Dla odpowiednio dużego poziomu produkcji X wzrost kosztów będzie szybszy od wzrostu przychodów (R (X ) < C (X )), czyli π (X ) < 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 18 / 43
51 Przykład ekonomiczny Konstrukcja modelu Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x) i kosztu C(x) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x) ma postać π(x) = R(x) C(x). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku? Oczywiście R (x) > 0 i C (x) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R (0) > C (0) (czyli π (0) > 0). Dla odpowiednio dużego poziomu produkcji X wzrost kosztów będzie szybszy od wzrostu przychodów (R (X ) < C (X )), czyli π (X ) < 0. Z własności Darboux, musi istnieć punkt x 0 w (0, X ) taki, że π (x 0 ) = 0 i pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 18 / 43
52 Przykład ekonomiczny Konstrukcja modelu Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x) i kosztu C(x) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x) ma postać π(x) = R(x) C(x). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku? Oczywiście R (x) > 0 i C (x) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R (0) > C (0) (czyli π (0) > 0). Dla odpowiednio dużego poziomu produkcji X wzrost kosztów będzie szybszy od wzrostu przychodów (R (X ) < C (X )), czyli π (X ) < 0. Z własności Darboux, musi istnieć punkt x 0 w (0, X ) taki, że π (x 0 ) = 0 i pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny. W x 0 funkcja zysku ma maksimum. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 18 / 43
53 Przykład ekonomiczny Konstrukcja modelu Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x) i kosztu C(x) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x) ma postać π(x) = R(x) C(x). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku? Oczywiście R (x) > 0 i C (x) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R (0) > C (0) (czyli π (0) > 0). Dla odpowiednio dużego poziomu produkcji X wzrost kosztów będzie szybszy od wzrostu przychodów (R (X ) < C (X )), czyli π (X ) < 0. Z własności Darboux, musi istnieć punkt x 0 w (0, X ) taki, że π (x 0 ) = 0 i pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny. W x 0 funkcja zysku ma maksimum. Zachodzi wtedy R (x 0 ) = C (x 0 ), czyli przychód krańcowy dla optymalnej wielkości produkcji musi być równy kosztowi krańcowemu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 18 / 43
54 Przykład ekonomiczny 2 Analogicznie możemy podejść do funkcji użyteczności u dochodu pojedynczego konsumenta uzyskiwanego dzięki jego wysiłkowi: jeśli przez g oznaczymy funkcję pożytku jaki konsument może mieć z konsumpcji dóbr uzyskanych dzięki wysiłkowi, a przez c, koszt pozyskania tych dóbr (np. włożony w to wysiłek), to u = g c. Kiedy konsument zoptymalizuje swoją użyteczność? Jak zinterpretować ten warunek? (ćwiczenie) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 19 / 43
55 Ekstrema lokalne i globalne Globalnie, największe i najmniejsze wartości funkcji nie muszą znajdować się w ekstremach lokalnych - a nawet funkcja nie musi ich w ogóle osiągać. Przykładowo, badana funkcja f (x) = 3x x 4 40x x osiąga największe wartości w pobliżu +, a najmniejsze w pobliżu, mimo że posiada też lokalne maksimum i minimum. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 20 / 43
56 Ekstrema lokalne i globalne Jeśli jednak szukamy ekstremów globalnych funkcji na przedziale domkniętym, sprawa wygląda inaczej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 21 / 43
57 Ekstrema lokalne i globalne Jeśli jednak szukamy ekstremów globalnych funkcji na przedziale domkniętym, sprawa wygląda inaczej. Zgodnie z twierdzeniem Wieierstrassa, na przedziale domkniętym każda funkcja ciągła przyjmuje najmniejszą i największą wartość. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 21 / 43
58 Ekstrema lokalne i globalne Jeśli jednak szukamy ekstremów globalnych funkcji na przedziale domkniętym, sprawa wygląda inaczej. Zgodnie z twierdzeniem Wieierstrassa, na przedziale domkniętym każda funkcja ciągła przyjmuje najmniejszą i największą wartość. Jeśli funkcja jest różniczkowalna, globalne ekstrema na przedziale domkniętym może przyjmować tylko w swoich ekstremach lokalnych i na końcach przedziałów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 21 / 43
59 Ekstrema lokalne i globalne Jeśli jednak szukamy ekstremów globalnych funkcji na przedziale domkniętym, sprawa wygląda inaczej. Zgodnie z twierdzeniem Wieierstrassa, na przedziale domkniętym każda funkcja ciągła przyjmuje najmniejszą i największą wartość. Jeśli funkcja jest różniczkowalna, globalne ekstrema na przedziale domkniętym może przyjmować tylko w swoich ekstremach lokalnych i na końcach przedziałów. Szukając największej i najmniejszej wartości funkcji w takim przedziale, najpierw obliczamy wartości funkcji na krańcach przedziału, a potem w punktach dla których f (x) = 0. Nie musimy sprawdzać, czy te punkty faktycznie są ekstremami. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 21 / 43
60 Ekstrema lokalne i globalne Jeśli jednak szukamy ekstremów globalnych funkcji na przedziale domkniętym, sprawa wygląda inaczej. Zgodnie z twierdzeniem Wieierstrassa, na przedziale domkniętym każda funkcja ciągła przyjmuje najmniejszą i największą wartość. Jeśli funkcja jest różniczkowalna, globalne ekstrema na przedziale domkniętym może przyjmować tylko w swoich ekstremach lokalnych i na końcach przedziałów. Szukając największej i najmniejszej wartości funkcji w takim przedziale, najpierw obliczamy wartości funkcji na krańcach przedziału, a potem w punktach dla których f (x) = 0. Nie musimy sprawdzać, czy te punkty faktycznie są ekstremami. Jeśli istnieją punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna, to dla nich również musimy policzyć wartości. Następnie spośród wszystkich obliczonych wartości wybieramy największą i najmniejszą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 21 / 43
61 Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 22 / 43
62 Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Obliczamy pochodną funkcji f : f (x) = 2x(x 2) 2 +2x 2 (x 2) = 2x(x 2)(x 2+x) = 4x(x 1)(x 2). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 22 / 43
63 Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Obliczamy pochodną funkcji f : f (x) = 2x(x 2) 2 +2x 2 (x 2) = 2x(x 2)(x 2+x) = 4x(x 1)(x 2). Jak widać, f (x) = 0, gdy x = 0, x = 1 lub x = 2 - i te punkty dopisujemy do listy podejrzanych. Dodatkowo na liście są końce przedziałów: x = 2 i x = 3. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 22 / 43
64 Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43
65 Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43
66 Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43
67 Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43
68 Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f ( 2) = 64, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43
69 Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f ( 2) = 64, f (3) = 9. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43
70 Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f ( 2) = 64, f (3) = 9. Z tej listy widzimy, że najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w 0 i 2 i tą wartością jest 0, zaś największą wartość w 2 i tą wartością jest 64. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43
71 Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f ( 2) = 64, f (3) = 9. Z tej listy widzimy, że najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w 0 i 2 i tą wartością jest 0, zaś największą wartość w 2 i tą wartością jest 64. Warto zauważyć, że maksimum globalne ( 2) nie jest w tym wypadku maksimum lokalnym (bo f ( 2) 0). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43
72 Wklęsłość i wypukłość - przypomnienie definicji Wklęsłość i wypukłość Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 24 / 43
73 Wklęsłość i wypukłość - przypomnienie definicji Wklęsłość i wypukłość Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) > αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 24 / 43
74 Wklęsłość i wypukłość - przypomnienie definicji Wklęsłość i wypukłość Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) > αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Jeśli w powyższych definicjach mamy do czynienia ze słabymi nierównościami, mówimy o słabej wypukłości/wklęsłości. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 24 / 43
75 Interpretacja geometryczna wypukłości - przypomnienie Dla funkcji wypukłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży ponad wykresem. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 25 / 43
76 Interpretacja geometryczna wypukłości - przypomnienie Dla funkcji wypukłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży ponad wykresem. Dla funkcji wklęsłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży pod wykresem. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 25 / 43
77 Wklęsłość i wypukłość - interpretacja Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 26 / 43
78 Wklęsłość i wypukłość - interpretacja Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji: otóż wypukłość oznacza, że funkcja ma tendencję wzrostową, a wklęsłość, że ma tendencję spadkową. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 26 / 43
79 Wklęsłość i wypukłość - interpretacja Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji: otóż wypukłość oznacza, że funkcja ma tendencję wzrostową, a wklęsłość, że ma tendencję spadkową. Innymi słowy: jeśli funkcja jest rosnąca i wypukła, to znaczy, że rośnie coraz szybciej, jeśli jest rosnąca i wklęsła, to rośnie coraz wolniej, jeśli jest malejąca i wypukła to maleje coraz wolniej, a jeśli jest malejąca i wklęsła to maleje coraz szybciej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 26 / 43
80 Wklęsłość i wypukłość - przykłady f (x) = x 2 jest wypukła w całej dziedzinie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 27 / 43
81 Wklęsłość i wypukłość - przykłady f (x) = x 2 jest wypukła w całej dziedzinie. f (x) = x jest wklęsła w całej dziedzinie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 27 / 43
82 Druga pochodna i wklęsłość/wypukłość Dzięki drugiej pochodnej, możemy określić, czy funkcja jest w danym przedziale wklęsła, czy wypukła - a w praktyce, jak zmienia się prędkość zmiany wartości funkcji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 28 / 43
83 Druga pochodna i wklęsłość/wypukłość Dzięki drugiej pochodnej, możemy określić, czy funkcja jest w danym przedziale wklęsła, czy wypukła - a w praktyce, jak zmienia się prędkość zmiany wartości funkcji. Pochodne i wklęsłość/wypukłość Jeśli f jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale (a, b), to: a) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) > 0, to funkcja f jest wypukła w (a, b). b) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) < 0, to funkcja f jest wklęsła w (a, b). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 28 / 43
84 Druga pochodna i wklęsłość/wypukłość Dzięki drugiej pochodnej, możemy określić, czy funkcja jest w danym przedziale wklęsła, czy wypukła - a w praktyce, jak zmienia się prędkość zmiany wartości funkcji. Pochodne i wklęsłość/wypukłość Jeśli f jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale (a, b), to: a) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) > 0, to funkcja f jest wypukła w (a, b). b) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) < 0, to funkcja f jest wklęsła w (a, b). Jeszcze raz podkreślę: to, że funkcja jest wklęsła/wypukła w przedziale (a, b) i w przedziale (c, d) nie oznacza, że jest wklęsła/wypukła w sumie tych przedziałów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 28 / 43
85 Przykład ekonomiczny - prawo Gossena Jak pamiętamy z wcześniejszych zajęć (oraz z mikroekonomii) prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej głosi, że wraz ze wzrostem ilości posiadanego dobra, użyteczność krańcowa z kolejnej jednostki dobra maleje (a przynajmniej nie rośnie). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 29 / 43
86 Przykład ekonomiczny - prawo Gossena Jak pamiętamy z wcześniejszych zajęć (oraz z mikroekonomii) prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej głosi, że wraz ze wzrostem ilości posiadanego dobra, użyteczność krańcowa z kolejnej jednostki dobra maleje (a przynajmniej nie rośnie). W języku matematycznym można powiedzieć, że jeśli u(x) jest funkcją użyteczności z posiadanego dobra w zależności od ilości tego dobra (x) to funkcja u (x) jest malejąca. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 29 / 43
87 Przykład ekonomiczny - prawo Gossena Jak pamiętamy z wcześniejszych zajęć (oraz z mikroekonomii) prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej głosi, że wraz ze wzrostem ilości posiadanego dobra, użyteczność krańcowa z kolejnej jednostki dobra maleje (a przynajmniej nie rośnie). W języku matematycznym można powiedzieć, że jeśli u(x) jest funkcją użyteczności z posiadanego dobra w zależności od ilości tego dobra (x) to funkcja u (x) jest malejąca. Skoro funkcja różniczkowalna jest malejąca, gdy jej pochodna jest ujemna, to prawo Gossena można sformułować tak: Prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej Jeśli wartość dwukrotnie różniczkowalnej funkcji użyteczności u zależy tylko od ilości posiadanego pojedynczego dobra x, to u (x) < 0 dla dowolnego x > 0 z dziedziny tej funkcji. Czasem w prawie Gossena zakłada się tylko słabą nierówność na u. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 29 / 43
88 Wklęsłość/wypukłość w ekonomii Podobnie formułuje się inne założenia na temat wielkości ekonomicznych. Zwykle te działające korzystnie mają drugą pochodną ujemną (np. prawo malejących przychodów krańcowych), a te niepożądane dodatnią (np. rosnące koszty krańcowe). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 30 / 43
89 Wklęsłość/wypukłość w ekonomii Podobnie formułuje się inne założenia na temat wielkości ekonomicznych. Zwykle te działające korzystnie mają drugą pochodną ujemną (np. prawo malejących przychodów krańcowych), a te niepożądane dodatnią (np. rosnące koszty krańcowe). Przykład Wracamy do przykładu z użytecznością dochodu zaprezentowaną jako różnica pomiędzy korzyścią z jego skonsumowania g i kosztem uzyskania dochodu c (u(x) = g(x) c(x), gdzie x jest danym dochodem). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 30 / 43
90 Wklęsłość/wypukłość w ekonomii Podobnie formułuje się inne założenia na temat wielkości ekonomicznych. Zwykle te działające korzystnie mają drugą pochodną ujemną (np. prawo malejących przychodów krańcowych), a te niepożądane dodatnią (np. rosnące koszty krańcowe). Przykład Wracamy do przykładu z użytecznością dochodu zaprezentowaną jako różnica pomiędzy korzyścią z jego skonsumowania g i kosztem uzyskania dochodu c (u(x) = g(x) c(x), gdzie x jest danym dochodem). Założenia, które analizowaliśmy wcześniej sprowadzają się do prostszego zapisu: g < 0 i c > 0, skąd wynika, że korzyść krańcowa jest malejąca, a koszt krańcowy - rosnący, co jak pokazaliśmy wcześniej (slajd 18) wystarcza by zapewnić, że istnieje optimum użyteczności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 30 / 43
91 Funkcje popytu i elastyczność Przykład Rozważmy Q(p) - funkcję popytu w zależności od ceny. Jak ze wzrostem ceny zmienia się wartość bezwzględna elastyczności cenowej popytu? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 31 / 43
92 Funkcje popytu i elastyczność Przykład Rozważmy Q(p) - funkcję popytu w zależności od ceny. Jak ze wzrostem ceny zmienia się wartość bezwzględna elastyczności cenowej popytu? Wydaje się, że zazwyczaj przy dużej cenie, popyt powinien stawać się elastyczny. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 31 / 43
93 Funkcje popytu i elastyczność Przykład Rozważmy Q(p) - funkcję popytu w zależności od ceny. Jak ze wzrostem ceny zmienia się wartość bezwzględna elastyczności cenowej popytu? Wydaje się, że zazwyczaj przy dużej cenie, popyt powinien stawać się elastyczny. Jednak, np. dla funkcji Q(p) = 1 p możemy obliczyć E p Q(p) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 31 / 43
94 Funkcje popytu i elastyczność Przykład Rozważmy Q(p) - funkcję popytu w zależności od ceny. Jak ze wzrostem ceny zmienia się wartość bezwzględna elastyczności cenowej popytu? Wydaje się, że zazwyczaj przy dużej cenie, popyt powinien stawać się elastyczny. Jednak, np. dla funkcji Q(p) = 1 p możemy obliczyć E p Q(p) = p ( 1 2 ) p 3 = 1 p Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 31 / 43
95 Funkcje popytu i elastyczność Przykład Rozważmy Q(p) - funkcję popytu w zależności od ceny. Jak ze wzrostem ceny zmienia się wartość bezwzględna elastyczności cenowej popytu? Wydaje się, że zazwyczaj przy dużej cenie, popyt powinien stawać się elastyczny. Jednak, np. dla funkcji Q(p) = 1 p możemy obliczyć E p Q(p) = p ( 1 2 p 3 ) = 1 1 p 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 31 / 43
96 Funkcje popytu i elastyczność Przykład Rozważmy Q(p) - funkcję popytu w zależności od ceny. Jak ze wzrostem ceny zmienia się wartość bezwzględna elastyczności cenowej popytu? Wydaje się, że zazwyczaj przy dużej cenie, popyt powinien stawać się elastyczny. Jednak, np. dla funkcji Q(p) = 1 p możemy obliczyć E p Q(p) = p ( 1 2 p 3 ) = 1 1 p 2. W takim przypadku elastyczność popytu jest stała i popyt dla każdej ceny jest nieelastyczny. Jednak możemy intuicyjny rezultat o elastyczności uzyskać dla wklęsłych funkcji popytu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 31 / 43
97 Funkcje popytu i elastyczność Wklęsłość popytu i elastyczność Wklęsłe funkcje popytu mają rosnącą wartość bezwzględną elastyczności tj. jeśli Q(p) jest malejąca i wklęsła (i różniczkowalna), to E p Q jest funkcją rosnącą (czyli samo E p Q jest funkcją malejącą). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 32 / 43
98 Funkcje popytu i elastyczność Wklęsłość popytu i elastyczność Wklęsłe funkcje popytu mają rosnącą wartość bezwzględną elastyczności tj. jeśli Q(p) jest malejąca i wklęsła (i różniczkowalna), to E p Q jest funkcją rosnącą (czyli samo E p Q jest funkcją malejącą). E p Q (p) = ( pq (p) Q(p) ) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 32 / 43
99 Funkcje popytu i elastyczność Wklęsłość popytu i elastyczność Wklęsłe funkcje popytu mają rosnącą wartość bezwzględną elastyczności tj. jeśli Q(p) jest malejąca i wklęsła (i różniczkowalna), to E p Q jest funkcją rosnącą (czyli samo E p Q jest funkcją malejącą). E p Q (p) = ( pq (p) Q(p) ) = (Q (p) + pq (p))q(p) pq (p) Q (p) Q 2 (p) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 32 / 43
100 Funkcje popytu i elastyczność Wklęsłość popytu i elastyczność Wklęsłe funkcje popytu mają rosnącą wartość bezwzględną elastyczności tj. jeśli Q(p) jest malejąca i wklęsła (i różniczkowalna), to E p Q jest funkcją rosnącą (czyli samo E p Q jest funkcją malejącą). E p Q (p) = ( pq (p) Q(p) ) = (Q (p) + pq (p))q(p) pq (p) Q (p) < Q 2 (p) < 0 p(q (p)) 2 Q 2 (p) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 32 / 43
101 Funkcje popytu i elastyczność Wklęsłość popytu i elastyczność Wklęsłe funkcje popytu mają rosnącą wartość bezwzględną elastyczności tj. jeśli Q(p) jest malejąca i wklęsła (i różniczkowalna), to E p Q jest funkcją rosnącą (czyli samo E p Q jest funkcją malejącą). E p Q (p) = ( pq (p) Q(p) ) = (Q (p) + pq (p))q(p) pq (p) Q (p) < Q 2 (p) < 0 p(q (p)) 2 Q 2 (p) < 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 32 / 43
102 Funkcje popytu i elastyczność Wklęsłość popytu i elastyczność Wklęsłe funkcje popytu mają rosnącą wartość bezwzględną elastyczności tj. jeśli Q(p) jest malejąca i wklęsła (i różniczkowalna), to E p Q jest funkcją rosnącą (czyli samo E p Q jest funkcją malejącą). E p Q (p) = ( pq (p) Q(p) ) = (Q (p) + pq (p))q(p) pq (p) Q (p) < Q 2 (p) < 0 p(q (p)) 2 Q 2 (p) < 0. Stąd E p Q jest malejąca i E p Q jest rosnąca - czyli popyt staje się coraz bardziej elastyczny, o ile jego funkcja jest wklęsła. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 32 / 43
103 Pierwsza i druga pochodna a wykres funkcji Ze względu na znak pochodnych funkcji f w zadanym przedziale (a, b), przy szkicowaniu wykresu funkcji możemy wyróżnić 4 przypadki: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 33 / 43
104 Pierwsza i druga pochodna a wykres funkcji Ze względu na znak pochodnych funkcji f w zadanym przedziale (a, b), przy szkicowaniu wykresu funkcji możemy wyróżnić 4 przypadki: f > 0, f > 0 f rośnie coraz szybciej ( ). Przykład: f (x) = x 2, dla x > 0, albo f (x) = e x w całej dziedzinie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 33 / 43
105 Pierwsza i druga pochodna a wykres funkcji Ze względu na znak pochodnych funkcji f w zadanym przedziale (a, b), przy szkicowaniu wykresu funkcji możemy wyróżnić 4 przypadki: f > 0, f > 0 f rośnie coraz szybciej ( ). Przykład: f (x) = x 2, dla x > 0, albo f (x) = e x w całej dziedzinie. f > 0, f < 0 f rośnie coraz wolniej ( ). Przykład: f (x) = ln x, albo f (x) = x w całej dziedzinie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 33 / 43
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie)
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoII. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2
II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2 Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 1 / 34 1
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoWKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoFakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji
Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.
Bardziej szczegółowo1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic
1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji -
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP
Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI JJ, IMiF UTP 05 MINIMUM LOKALNE y y = f () f ( 0 ) 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. MINIMUM LOKALNE y y
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowo8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe
8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie lato 2015/2016 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych
Bardziej szczegółowo2. Ciągłość funkcji. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. zima 2016/2017
2. Ciągłość funkcji Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/2017 1 / 28 1 Motywacja
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoWykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowo9 Funkcje Użyteczności
9 Funkcje Użyteczności Niech u(x) oznacza użyteczność wynikającą z posiadania x jednostek pewnego dobra. Z założenia, 0 jest punktem referencyjnym, czyli u(0) = 0. Należy to zinterpretować jako użyteczność
Bardziej szczegółowo6. Teoria Podaży Koszty stałe i zmienne
6. Teoria Podaży - 6.1 Koszty stałe i zmienne Koszty poniesione przez firmę zwykle są podzielone na dwie kategorie. 1. Koszty stałe - są niezależne od poziomu produkcji, e.g. stałe koszty energetyczne
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowo3.Funkcje elementarne - przypomnienie
3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51 1 Funkcje
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoIII. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów definicja i przykłady
Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności
Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoEGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n
EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy
Bardziej szczegółowoTemat: Zastosowania pochodnej
Temat: Zastosowania pochodnej A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga A n n a R a j u r a, M a
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowo3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych
3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoBADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoTO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoAnaliza - lista zagadnień teoretycznych
Analiza - lista zagadnień teoretycznych Ostatnie zadanie na egzaminie będzie się składać z jednego bardziej złożonego lub dwóch prostych pytań teoretycznych. Pytanie takie będzie dotyczyło zagadnień poruszanych
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - Przykładowe zestawy egzaminacyjne
Analiza matematyczna - Przykładowe zestawy egzaminacyjne Ogólne informacje Egzamin będzie trwać 90 minut. Zestaw egzaminacyjny składa się z pięciu zadań: czterech praktycznych i jednego teoretycznego.
Bardziej szczegółowoWzory funkcji cyklometrycznych (kołowych)
Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Mateusz Kowalski www.kowalskimateusz.pl 19.07.01 Streszczenie Wzory funkcji cyklometrycznych wraz z wyprowadzeniami. 1 A co to za funkcje? Funkcje cyklometryczne
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej
Bardziej szczegółowoZastosowania pochodnych
Zastosowania pochodnych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ Przykład: objętość kuli Kulka z łożyska tocznego ma średnicę 2,3 mm, co oznacza, że objętość
Bardziej szczegółowoTeoria popytu. Popyt indywidualny konsumenta
Teoria popytu Popyt indywidualny konsumenta Koszyk towarów Definicja 1 Wektor x=(x 1,x 2,x 3,...,x n ) taki, że x i 0 dla każdego i,w którym i-ta współrzędna oznacza ilość towaru nr i, którą konsument
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoZbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty
Wstęp do analizy i algebry - II. Funkcje: podstawowe własności i przegląd funkcji elementarnych I. Funkcje - definicja, dziedzina, przeciwdziedzina, wykres, funkcje w ekonomii Matematyka pozwala nam opisywać
Bardziej szczegółowoMetoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoZadania optymalizacyjne
Zadania optymalizacyjne Zadania optymalizacyjne, to zadania, w których należy obliczyć, jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna wielkość osiągała największą lub najmniejszą wartość Żeby żądane warunki
Bardziej szczegółowoMetoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1. Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient. Dla prostoty ograniczymy się do
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę.
FUNKCJE Lekcja 61-6. Dziedzina i miejsce zerowe funkcji str. 140-14 Co to jest funkcja. Może przykłady. W matematyce funkcje najczęściej przedstawiamy za pomocą wzorów. Przykłady. Dziedzina to zbiór argumentów
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowo