Zastosowanie wartości Shapleya w podejmowaniu decyzji przez importerów

Transkrypt

1 Zastosowanie wartości Shapleya w podejmowaniu decyzji przez importerów dr hab. Leszek S. Zaremba 1. Postawienie problemu RozwaŜmy zagadnienie decyzyjne, jakie pojawia się w przypadku importerów pewnego surowca. Wielkość upustu oferowanego przez zagranicznego eksportera (wyraŝona w %) zaleŝy od kwoty importu, co pokazuje poniŝsza tabela. Tabela 1. ZaleŜność upustu od kwoty importu. Wielkość firmy Dolna granica kwoty importu Procent upustu Bardzo duŝa 700 mln zł 4 DuŜa 300 mln zł 3 Średnia 125 mln zł 2 Mała 50 mln zł 1 Bardzo mała 0 mln zł 0 Zakładamy, Ŝe na rynku działa wielu importerów tego surowca, w tym dotychczasowi konkurenci A, B, C, D, E, których coroczne wydatki na zakup tego surowca pokazuje w pierwszej wersji Tabela 2a i w drugiej wersji Tabela 2b. Tabela 2a. Wielkość importu poszczególnych firm. 310 mln zł 150 mln zł 130 mln zł 100 mln zł 60 mln zł Tabela 2b. Wielkość importu poszczególnych firm. 290 mln zł 150 mln zł 130 mln zł 100 mln zł 60 mln zł Doradca finansowy A, B, C, D, E podsunął im myśl, aby połączyli siły, występując jako pojedynczy importer, gdyŝ wtedy uzyskają znacznie większe upusty, niŝ gdyby działali pojedynczo. Importerzy A, B, C, D, E zaakceptowali ten pomysł, powołując do Ŝycia spółkę celową, której zadaniem jest występowanie w imieniu ich wszystkich i sprowadzanie surowca za 750 mln zł (Tabela 2a) lub za 730 mln zł (Tabela 2b). Kiedy jednak doszło do dyskusji, jak podzielić się większym upustem, doszło do burzliwej dyskusji. Postanowiono zasięgnąć porady eksperta specjalizującego się w metodach ilościowych w finansach, który rozwiązał ten problem decyzyjny za pomocą teorii gier kooperacyjnych. PoniŜej znajduje się rozwiązanie. Problem 1

2 Zaproponuj taki podział 4-procentowego upustu na poszczególnych importerów, aby kaŝdy z nich był przekonany, Ŝe jego udział w tym podziale odzwierciedla we właściwy sposób to, co on jako importer wniósł do tego maksymalnego upustu. Modelem matematycznym, jaki zaproponujemy do rozwiązania tego niełatwego problemu, będą gry kooperacyjne [Malawski, Wieczorek, Sosnowska, ss ]. KaŜda taka gra zadana jest przez swą postać charakterystyczną przedstawiającą wypłaty w (K) dla wszystkich moŝliwych koalicji K w grze. W badanym przypadku wypłatami są po prostu upusty w mln zł (Tabela 3a), jakie są w stanie zapewnić sobie poszczególne koalicje w oparciu o Tabelę 1. Tabela 3a. Postać charakterystyczna gry oparta na Tabeli 2a. A, B, C, D, E 30 A, B, E 15,6 B, C 5,6 A, B, C, D 20,7 A, C, E 15 B, D 5 A, B, C, E 19,5 B, C, E 10,2 B, E 4,2 A, B, D, E 18,6 A, D, E 14,1 C, D 4,6 A, C, D, E 18 B, D, E 9,3 C, E 3,8 B, C, D, E 13,2 C, D, E 5,8 D, E 3,2 A, B, C 17,7 A, B 13,8 A 9,3 A, B, D 16,8 A, C 13,2 B 3 A, C, D 16,2 A, D 12,3 C 2,6 B, C, D 11,4 A, E 11,1 D 1 E 0,6 Wyjaśnijmy przykładowo, dlaczego koalicje {A, C, E} oraz {B, D} uzyskają upusty odpowiednio 15 mln zł oraz 5 mln zł. OtóŜ skoro importerzy A, C, E sprowadzają co roku z zagranicy surowiec za = 500 mln zł, to uzyskają 3-procentowy upust, czyli 15 mln zł. Natomiast importerzy B i E, działając razem, sprowadzą z zagranicy surowiec za 250 mln zł, co upowaŝnia ich do 2-procentowego upustu, a więc zapłacą mniej o 5 mln zł. W ten sam sposób będziemy wyliczać upusty w Tabeli 3b. Tabela 3b. Postać charakterystyczna gry oparta na Tabeli 2b. A, B, C, D, E 29,2 A, B, E 15 B, C 5,6 A, B, C, D 20,1 A, C, E 14,4 B, D 5 A, B, C, E 18,9 B, C, E 10,2 B, E 4,2 A, B, D, E 18 A, D, E 13,5 C, D 4,6 A, C, D, E 17,4 B, D, E 9,3 C, E 3,8 B, C, D, E 13,2 C, D, E 5,8 D, E 3,2 A, B, C 17,1 A, B 13,2 A 5,8 A, B, D 16,2 A, C 12,6 B 3 A, C, D 15,6 A, D 11,7 C 2,6 B, C, D 11,4 A, E 10,5 D 1 E 0,6

3 W artykule tym przypomnimy 2 znane koncepcje rozwiązania gry, a mianowicie rdzeń gry (definicje 1 i 2) oraz wartość Shapleya. Następnie rozwiąŝemy problem 1 za pomocą wartości Shapleya [Malawski, Wieczorek, Sosnowska, ss ], która zawsze istnieje i jest jednoznacznie określona, i pokaŝemy, Ŝe rozwiązanie to naleŝy do rdzenia gry. 2. Rozwiązanie problemu metodą wartości Shapleya Definicja 1a [Thomas, s. 90] Przez podział wypłaty {A, B, C, D, E} przypadającej na koalicję {A, B, C, D, E} dla kaŝdego uczestnika koalicji rozumieć będziemy dowolny wektor (x A, x B, x C, x D, x E ), dla którego x A + x B + x C + x D + x E = {A, B, C, D, E}. Takich podziałów jest nieskończenie wiele, przy czym rzadko się zdarza, aby przypadkowo wybrany podział zadowalał wszystkich uczestników koalicji. Weźmy na przykład pod uwagę podział wypłaty 29,2 = {A, B, C, D, E} (Tabela 3b) w taki sposób, Ŝe gracz E będący uczestnikiem tej koalicji otrzyma 29 mln zł, a pozostali uczestnicy resztę, obojętnie w jakiej proporcji. Jest zrozumiałe, Ŝe gracze A, B, C, D będą bardzo przeciwni takiemu podziałowi. Naszym celem jest znalezienie takich podziałów wypłat, które w mniejszym lub większym stopniu zadowolą wszystkich uczestników gry kooperacyjnej, a nie tylko 1 czy 2 graczy. Takie podziały zostały juŝ wymyślone i nazywają się koalicyjnie racjonalnymi. Definicja 1b [Thomas, s. 92] Powiemy, Ŝe podział wypłaty {A, B, C, D, E} pomiędzy uczestników koalicji jest koalicyjnie racjonalny, jeśli suma wypłat z tego podziału przypadających dla uczestników kaŝdej koalicji K (włączając nawet 1-osobowe koalicje) jest większa lub równa wypłacie w {K} podanej w Tabeli 3a lub 3b, którą gwarantuje swoim członkom koalicja K. ZauwaŜmy, Ŝe gdyby warunek o którym mowa w definicji 1b nie był spełniony dla jakiejś koalicji K, to na pewno ta koalicja nie zgodziłaby się na taki podział, czyli Ŝe naleŝałoby szukać od nowa innego podziału. Definicja 2 [Thomas, s. 92] Zbiór wszystkich koalicyjnie racjonalnych podziałów nazwiemy rdzeniem gry. Od tej pory wiemy juŝ, Ŝe rozwiązanie, którego poszukujemy (podział upustu przypadającego na koalicję wszystkich graczy), powinno naleŝeć do rdzenia gry. ZauwaŜmy, Ŝe nie jest to łatwe zadanie, poniewaŝ wszystkich koalicji jest 31 = 2 5 1, a zatem wskazany przez nas podział kwoty {A, B, C, D, E} musi spełniać aŝ 31 nierówności, o których mowa w definicji 1b. Naturalnym kandydatem do rozwiązania problemu 1, czyli koncepcją, która w pewien specyficzny sposób uwzględnia to, co wnosi kaŝdy gracz (importer) do 4-procentowego

4 upustu, jest wartość Shapleya [Thomas, ss ]. Mówiąc jeszcze nie do końca precyzyjnie, wartość Shapleya (x A *, x B *, x C *, x D *, x E * jest takim podziałem kwoty w {A, B, C, D, E}, którego współrzędne x A *, x B *, x C *, x D *, x E * reprezentują średni wkład kaŝdego z graczy w doprowadzenie do uzyskania wypłaty w {A, B, C, D, E}. Czym jest ten średni wkład? Aby móc kontynuować precyzyjnie nasze rozumowanie, ustalmy, Ŝe będziemy się zajmować aŝ do odwołania Tabelą 2a, którą przytaczamy jeszcze raz poniŝej: 310 mln zł 150 mln zł 130 mln zł 100 mln zł 60 mln zł Aby określić, co Shapley rozumiał przez średni wkład, rozwaŝmy koalicję firm A, B, C, D, E, którą tworzy najpierw gracz E, po czym dołącza do niego gracz D, następnie gracze C, B, i A. Taką permutację 5 graczy będziemy zapisywać jako [E, D, C, B, A]. ZauwaŜmy od razu, Ŝe wszystkich takich permutacji jest 5! = 120 i postawmy pytanie, ile do (w tej kolejności powstałej) koalicji wnosił kaŝdy z graczy, kiedy do niej przystępował, czyli ile koalicja wszystkich graczy mu zawdzięcza. OtóŜ gracz E jako pierwszy wniósł wartość (upust w badanym przypadku) w {E} = 60 x 1% mln zł, poniewaŝ zgodnie z Tabelą 1 E jest małym importerem, któremu przysługuje tylko 1% upustu. Następnie gracz D, przyłączając się do E, spowodował powiększenie upustu do w {D, E} = 160 x 2% = 3,2 mln zł, czyli jego wkład w zwiększenie upustu wyniósł 3,2 0,6 = 2,6 mln zł. Wyjaśnijmy, dlaczego w {D, E} = 3,2. OtóŜ obaj są postrzegani przez rynek (Tabela 1) jako średnia firma importująca za 160 mln zł, a więc przysługujący jej upust wynosi 2% od kwoty 160 mln zł, czyli 3,2 mln zł. Analogicznie, gdy C przystąpił do koalicji {D, E}, to razem byli odbierani w dalszym ciągu jako średni importer (pomiędzy 125 a 300 mln zł). Przysługujący im upust wyniósł więc 290 x 2% = 5,8 = w {C, D, E}, co oznacza, Ŝe koalicja zawdzięcza graczowi C zwiększenie upustu o 5,8 3,2 = 2,6 mln zł. Gdy do graczy C, D, E przyłączył się jeszcze gracz B, to powstała juŝ duŝa firma importująca za 440 mln zł, której przysługuje 3-procentowy upust. Przystąpienie B do koalicji {C, D, E} powiększyło więc upust do 440 x 3% = 13,2 mln zł, co oznacza, Ŝe koalicja zawdzięcza graczowi B zwiększenie upustu o 13,2 5,8 = 7,4 mln zł. Gdy wreszcie jako piąty do koalicji {B, C, D, E} przystąpił A, powstała bardzo duŝa firma, której przysługuje upust 4% od kwoty 750 mln zł. Daje to upust w wysokości 750 x 4% = 30 mln zł i dlatego wkład A w zwiększenie upustu wyniósł aŝ 30 13,2 = 16,8 mln zł. W analogiczny sposób obliczamy wkłady (zasługi) poszczególnych graczy dla permutacji [C, B, D, A, E]; zob. Tabela 4. Tabela 4. y graczy w zwiększanie upustu w trakcie powstawania koalicji na przykładzie dwóch spośród 120 moŝliwych sytuacji. Kolejność powstawania Łącznie koalicji [E, D, C, B, A] 16,8 7,4 2,6 2,6 0,6 30

5 [C, B, D, A, E] 9,3 3 2,6 5,8 9,3 30 Po rozpatrzeniu jeszcze 118 permutacji, czyli sposobów dochodzenia do koalicji wszystkich graczy, będziemy w stanie obliczyć średni wkład kaŝdego z 5 graczy w zwiększanie upustu (jako średnią arytmetyczną). Oznaczmy tę średnią arytmetyczną dla A przez x A *, średnią arytmetyczną dla B przez x B * itd., otrzymując w ten sposób wektor (x A *, x B *, x C *, x D *, x E *) Napisany specjalnie program obliczeniowy Shapley dokonał potrzebnych obliczeń, znajdując poszukiwany przez nas podział upustów. Twierdzenie 1 Wartością Shapleya gry kooperacyjnej o postaci charakterystycznej zadanej w Tabeli 3a jest następujący podział kwoty 30 mln zł: (11,68 mln zł; 5,89 mln zł; 5,14 mln zł; 4,11 mln zł; 3,18 mln zł). Dzieląc współrzędne tego wektora przez kwoty importu graczy A, B, C, D, E, otrzymujemy ten podział w ujęciu procentowym (3,77%; 3,93%; 3,95%; 4,11%; 5,29%). Twierdzenie 2 Wartość Shapleya wyliczona dla gry kooperacyjnej o postaci charakterystycznej zadanej w Tabeli 3a naleŝy do rdzenia gry. Dowód Wystarczy upewnić się, Ŝe upusty (11,68; 5,89; 5,14; 4,11; 3,18), jakie uzyskują importerzy zgodnie z wartością Shapleya, sumują się w przypadku kaŝdej z 31 koalicji do kwot (Tabela 5a) większych niŝ odpowiadające im kwoty z Tabeli 3a. To ćwiczenie pozostawiamy do wykonania czytelnikowi, ograniczając się przykładowo do koalicji {A, C, E}. Sumując upusty, jakie przypadają na graczy A, C, E zgodnie z wartością Shapleya, otrzymamy 11,68 + 5,14 + 3,18 = 20 mln zł, czyli znacznie więcej niŝ upust 15 mln zł z Tabeli 3a, który jest w stanie zapewnić sobie ta koalicja, importując surowiec za = 500 mln zł, co upowaŝnia ją do 3-procentowego upustu (500 x 3%=15). MoŜna powiedzieć, Ŝe czysty zysk dla tej koalicji po połączeniu sił z mi B, D wynosi 5 mln zł (20 15 = 5). Tabela 5a. Suma upustów przypadająca na kaŝdą koalicję zgodnie z rozwiązaniem Shapleya dla kwot importowych z Tabeli 2a. A, B, C, D, E 30 A, B, E 20,75 B, C 11,03 A, B, C, D 26,82 A, C, E 20 B, D 10 A, B, C, E 25,89 B, C, E 14,21 B, E 9,07 A, B, D, E 24,86 A, D, E 18,97 C, D 9,25 A, C, D, E 24,11 B, D, E 13,18 C, E 8,32 B, C, D, E 18,32 C, D, E 12,43 D, E 7,29 A, B, C 22,71 A, B 17,57 A 11,68 A, B, D 21,68 A, C 16,82 B 5,89 A, C, D 20,93 A, D 15,79 C 5,14

6 B, C, D 15,14 A, E 14,86 D 4,11 E 3,18 W ten sposób dowód twierdzenia 2 został zakończony. Przeprowadźmy teraz to samo rozumowanie dla wariantu z Tabeli 2b przekopiowanej poniŝej dla wygody czytelnika. 290 mln zł 150 mln zł 130 mln zł 100 mln zł 60 mln zł Po rozpatrzeniu 120 sposobów dochodzenia do 5-osobowej koalicji będziemy w stanie obliczyć średni wkład kaŝdego z 5 graczy w zwiększanie upustu w tym wariancie. Program obliczeniowy Shapley podaje nam następujące rozwiązanie. Twierdzenie 3 Wartością Shapleya gry kooperacyjnej o postaci charakterystycznej zadanej w Tabeli 3b jest podział (x A *, x B *, x C *, x D *, x E *) = (10,47 mln zł; 6 mln zł; 5,24 mln zł; 4,22 mln zł; 3,28 mln zł). Dzieląc współrzędne tego wektora przez kwoty importu graczy A, B, C, D, E, otrzymujemy ten podział w ujęciu procentowym (3,61%; 4%; 4,03%; 4,22%; 5,47%). Twierdzenie 4 Wartość Shapleya wyliczona dla gry kooperacyjnej o postaci charakterystycznej zadanej w Tabeli 3b naleŝy do rdzenia gry. Dowód przebiega w taki sam sposób jak w przypadku twierdzenia 2 z tą róŝnicą, Ŝe rolę Tabel 3a i 5a odgrywają teraz Tabele 3b oraz 5b (poniŝej). Tabela 5b. Suma upustów przypadająca na kaŝdą koalicję w rozwiązaniu Shapleya dla kwot importowych z Tabeli 2b. A, B, C, D, E 29,21 A, B, E 19,75 B, C 11,24 A, B, C, D 25,93 A, C, E 18,99 B, D 10,22 A, B, C, E 24,99 B, C, E 14,52 B, E 9,28 A, B, D, E 23,97 A, D, E 17,97 C, D 9,46 A, C, D, E 23,21 B, D, E 13,5 C, E 8,52 B, C, D, E 18,74 C, D, E 12,74 Copyright PRET SA przy współpracy z WyŜszą

7 Szkołą Zarządzania / Polish Open