WŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH"

Transkrypt

1 Dorota Sasiuk WŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH WSTĘP... WIADOMOŚCI WSTĘPNE DEFINICJA FUNKCJI: DZIAŁANIA ARYTMETYCZNE NA FUNKCJACH: ZŁOŻENIE FUNKCJI: FUNKCJA ODWROTNA: FUNKCJA ROSNĄCA: FUNKCJA NIEROSNĄCA: FUNKCJA MALEJĄCA: FUNKCJA NIEMALEJĄCA: FUNKCJA MONOTONICZNA: FUNKCJA STAŁA: ODWROTNOŚĆ DODATNIEJ FUNKCJI MALEJĄCEJ: PODSTAWOWE WŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH SUMA FUNKCJI NIEMALEJĄCYCH SUMA FUNKCJI NIEROSNĄCYCH ILOCZYN DODATNICH FUNKCJI ROSNĄCYCH MNOŻENIE FUNKCJI MONOTONICZNEJ PRZEZ LICZBĘ DODATNIĄ ZŁOŻENIE FUNKCJI NIEMALEJĄCYCH ROSNĄCY CIĄG FUNKCJI KILKA INNYCH WŁASNOŚCI RÓŻNICA FUNKCJI ROSNĄCEJ I MALEJĄCEJ ILORAZ DODATNICH FUNKCJI ROSNĄCYCH LITERATURA... 7

2 Wstęp Pracując z uczniami w szkole spotykamy się z pojęciem funkcji już w gimnazjum. Na początku są to przykłady wzięte prosto z życia codziennego. Mówi się o funkcji jako o przyporządkowaniu każdemu elementowi z jednego zbioru dokładnie jednego elementu ze zbioru drugiego. Później wprowadzane jest pojęcie funkcji liniowej określonej pewnym wzorem ogólnym. Omawiając własności funkcji liniowej wprowadzamy pojęcie funkcji rosnącej, malejącej i stałej. Wspominamy, że takie funkcje są monotoniczne, jednak nie definiujemy ich. Uczniowie ustalają na podstawie tabeli, wykresu, wzoru, czy opisu słownego jaki typ monotoniczności posiada dana funkcja liniowa, gdyż nauczyciel już wcześniej podał im regułę według której należy to rozpoznawać. Uczniowie poznają parabolę i hiperbolę jako przykłady innych funkcji, ich wykresy i własności, które można z niego odczytać. Na poziomie gimnazjum nie podaje się matematycznych definicji funkcji monotonicznych. Definicje te pojawiają się w szkole średniej. Uczniowie na ich podstawie sprawdzają, czy dana funkcja jest rosnąca, malejąca, czy stała. Poznają także inne funkcje oprócz liniowych: trygonometryczne, logarytmiczne, wykładnicze, potęgowe, wielomianowe, wymierne. Badając własności danej funkcji zauważają, że nie musi być ona monotoniczna lub na przykład, że w pewnym przedziale jest rosnąca, a w innym malejąca... Praca ta zawiera pewne wybrane własności funkcji monotonicznych, które można pokazać uczniom zarówno w szkole średniej, jak też w gimnazjum. Są one przedstawione jak twierdzenia. Każda własność jest udowodniona oraz poparta przykładem. Temat ten nie jest objęty programem nauczania, ale dla ucznia zainteresowanego matematyką na pewno będzie ciekawy. Na niższym etapie edukacyjnym nie trzeba dowodzić podanych własności. Można je zilustrować na wykresie dobierając takie typy funkcji, które uczniowie w gimnazjum już znają. Uczniowie, których wiedza matematyczna jest już bardziej zaawansowana sami będą potrafili sprawdzić poprawność danej własności oraz podać przykłady takich funkcji, które daną własność obrazują.

3 Wiadomości wstępne W rozdziale tym wprowadzę kilka ogólnych pojęć dotyczących funkcji o wartościach liczbowych, które będą wykorzystane w dalszej części pracy.. Definicja funkcji: Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami niepustymi. Podzbiór iloczynu kartezjańskiego X Y spełniający warunki: ( x, y) f x X y Y x X y Y y Y (( x, y ) f ( x y ) f y = y ), nazywamy funkcją określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y ( f X Y ) f jest funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y. :. Zapis f : X Y oznacza, że. Działania arytmetyczne na funkcjach: Jeśli f : E R i g E R :, gdzie E jest dowolnym zbiorem, to przez g f +, f g, a f (gdzie f a R jest liczbą), f g, g oznaczamy funkcje określone wzorami: ( f g)( x) = f ( x) + g( x) +, ( f g)( x) = f ( x) g( x) ( a f )( x) = a f ( x), ( f g)( x) = f ( x) g( x), f g ( x) f ( x) g( x) = i nazywamy je odpowiednio sumą (lub różnicą), iloczynem funkcji przez liczbę, iloczynem funkcji oraz ich ilorazem (w przypadku ilorazu zakładamy oczywiście, że g ( x) 0 dla każdego x )..3 Złożenie funkcji: Jeżeli dane są funkcje f : X Y i g Y Z :, to istnieje funkcja h : X Z określona wzorem: h ( x) ( g f )( x) = g( f ( x)) = o zwana złożeniem funkcji f z funkcją g. 3

4 .4 Funkcja odwrotna: Jeśli funkcja f : X Y jest różnowartościowa [ ] x x f ( x) f ( x ) x X x X i odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, to funkcję f : Y X określoną następująco: dla dowolnego y y wartością f ( ) jest jedyny element x taki, że f ( x) = y, nazywamy odwrotną do funkcji f..5 Funkcja rosnąca: Niech E R. Funkcję f : E R nazywamy rosnącą (w zbiorze E swojej dziedzinie), jeśli: ( x < x f ( x ) < f ( x )). x E x E.6 Funkcja nierosnąca: x E x E Niech E R. Funkcję f : E R nazywamy nierosnącą (w zbiorze E) jeśli: ( x < x f ( x ) f ( x ))..7 Funkcja malejąca: x E x E Niech E R. Funkcję f : E R nazywamy malejącą (w zbiorze E) jeśli: ( x < x f ( x ) > f ( x ))..8 Funkcja niemalejąca: x E x E Niech E R. Funkcję f : E R nazywamy niemalejącą (w zbiorze E) jeśli: ( x < x f ( x ) f ( x ))..9 Funkcja monotoniczna: Bezpośrednio z czterech poprzednich definicji wynika, że jeśli funkcja jest rosnąca to jest niemalejąca, a jeśli jest malejąca to jest nierosnąca. 4

5 Funkcję, która jest nierosnąca lub niemalejąca nazywa się monotoniczną..0 Funkcja stała: Funkcja f : X Y jest funkcją stałą jeżeli: f ( x) = c. c Y x X Jedynie funkcja niemalejąca i nierosnąca jednocześnie jest funkcją stałą.. Odwrotność dodatniej funkcji malejącej: Niech funkcja f ( x) będzie dodatnią funkcją malejącą. Wówczas odwrotność dodatniej funkcji malejącej f ( x) jest dodatnią funkcją rosnącą. 5

6 3 Podstawowe własności funkcji monotonicznych Zmiana wartości funkcji w zależności od zmiany wartości argumentu widoczna jest we wzorze określającym tę funkcję. Elementarnymi rachunkami można ze wzoru dość łatwo zorientować się co do monotoniczności funkcji, a więc czy funkcja rośnie lub czy maleje, a gdy mamy jej wykres, to potrafimy jeszcze ocenić czy rośnie lub maleje szybko, czy też powoli. Wniosek z twierdzenia Lagrange`a pozwala algebraicznie sprawdzić monotoniczność danej funkcji: Twierdzenie: Jeśli funkcja f określona i różniczkowalna w przedziale (a, ma pochodną dodatnią (ujemną) w całym przedziale (a,, to jest w tym przedziale rosnąca (malejąca). Dowód: (dla funkcji malejącej dowód jest analogiczny) Niech f : ( a, R Przypuśćmy, że f nie jest funkcją rosnącą, czyli f ( x) > 0 dla ( a, Wówczas istnieją liczby ( a, ) Funkcja (, x ) f : ( x, x ) R x takie, że: x b i ( a, x. x takie, że x x f x ) f ( ) < ( x. spełnia założenia twierdzenia Lagrange`a, czyli istnieje ξ w przedziale f ( x ) ( ) ( ) f x f ξ = 0, co jest sprzeczne z założeniem. x x W dalszej części pracy przytoczę kilka ciekawych własności funkcji monotonicznych. Będą one poparte dowodami i przykładami. 3. Suma funkcji niemalejących Suma dwóch funkcji niemalejących jest funkcją niemalejącą. Dowód Niech funkcje f :( a, R oraz g ( a, R : będą funkcjami niemalejącymi. 6

7 Dowiedziemy, że ( f + g) jest też funkcją niemalejącą. Niech x i x będą dowolnymi elementami przedziału (a,. Wtedy ( x ) = f ( x ) + g( x ) f ( x ) + g( x ) f ( x ) + g( x ) = ( f g)( ). ( f + g) + x Z dowolności wyboru punktów x i x wynika, że )( x ) ( f + g)( x )). ( x < x ( f + g x ( a, x ( a, Oznacza to, że funkcja f + g jest niemalejąca. Przykład Weźmy dwie funkcje liniowe rosnące: f ( x) = x oraz ( x) = x g. Funkcja ( + g)( x) = 3x f jest też funkcją rosnącą. Sporządźmy wykresy tych funkcji: Suma funkcji rosnących f ( x) = x g ( x) = x ( f + g)( x) = 3x 7

8 3. Suma funkcji nierosnących Suma dwóch funkcji nierosnących jest funkcją nierosnącą. Dowód Analogiczny do poprzedniego. Przykład Weźmy dwie funkcje malejące: f ( x) = x 6x + 8, gdzie f ( 0,3) R g ( x) = x +, gdzie g :( 0,3) R Funkcja ( + g)( x) = x 7x + 0 : oraz f też jest funkcją malejącą. Sporządźmy wykresy tych funkcji: Suma funkcji malejących ,5,5,5 3-3 f ( x) = x 6x + 8 g ( x) = x + ( f + g)( x) = x 7x + 0 8

9 3.3 Iloczyn dodatnich funkcji rosnących Iloczyn dwóch funkcji rosnących jest funkcją rosnącą, ale tylko wtedy, gdy obie są dodatnie. Dowód + + Niech funkcje f : ( a, R oraz g ( a, R Dowiedziemy, że ( f g) jest też funkcją rosnącą. : będą funkcjami rosnącymi. Niech x i x będą dowolnymi elementami przedziału (a,. Wtedy ( x ) = f ( x ) g( x ) < f ( x ) g( x ) < f ( x ) g( x ) = ( f g)( ). ( f g) x Z dowolności wyboru punktów x i x wynika, że )( x ) < ( f g)( x )). ( x < x ( f g x ( a, x ( a, Oznacza to, że funkcja f g jest rosnąca. Przykład Weźmy dwie funkcje rosnące. + + Niech f ( x) = x i f : ( 0, ) R oraz g( x) = x i g ( 0, ) R + Wówczas: ( f g)( x) = x i f g ( 0, ) R :. : jest też funkcją rosnącą. Iloczyn funkcji rosnących ,5,5 f ( x) = x g( x) = x ( f g)( x) = x 9

10 f(x)=/x g(x)=3/x 0

11 3.5 Złożenie funkcji niemalejących Złożenie dwóch funkcji rosnących (niemalejących) jest funkcją rosnącą (niemalejącą). Dowód Niech funkcje f : ( a, ( c, d ) oraz g ( c, d ) R : będą funkcjami rosnącymi (niemalejącymi). Dowiedziemy, że g o f : ( a, b ) R jest też funkcją rosnącą (niemalejącą). Niech x, x będą dowolnymi elementami przedziału (a,. Wtedy: ( x ) f ( ) f < z uwagi na to, że funkcja f jest rosnąca. x Ponieważ funkcja g też jest rosnąca, zatem: ( f ( x )) g( f ( )) g < czyli x )( x ) ( g o f )( ). ( g o f < x Przykład f, gdzie : (,5 ) ( 0,6) Niech ( x) = x + g ( x) = x, gdzie g ( 0,6) R f oraz :. Wówczas ( g o f )( x) = ( x +) i g f : (, 5) R o też jest funkcją rosnącą. Złożenie funkcji rosnących f ( x) = x + g ( x) = ( g o f )( x) = ( x +) x

12 3.6 Rosnący ciąg funkcji Jeśli ( f n ) jest ciągiem funkcji rosnących i f n f, to funkcja f jest niemalejąca. Dowód Niech x < x. Ciąg ( f n ) jest ciągiem funkcji rosnących czyli prawdziwa jest nierówność: f ( x ) fn ( x ) Ale f n ( x ) f ( ) i f n ( x ) f ( ). x x Więc f ( x ) f ( ), czyli f jest funkcją niemalejącą. x n <. Przykład Weźmy ciąg funkcji określonych wzorem ( x) Niech : ( 0,) ( 0,) f. n 00 n n f n = x +, gdzie 0 < n < Wówczas f n f, gdzie f(x)= jest funkcją stałą czyli także niemalejącą. Ciąg funkcji rosnących 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8

13 3.7 Kilka innych własności 3.7. Jeżeli funkcja f jest funkcją rosnącą, a > 0, b R, to funkcja g = af + b też jest rosnąca. Dowód Niech funkcja f ( a, R : będzie funkcją rosnącą. Wówczas dla x > x ( x ) f ( x ) > 0 f. Należy pokazać, że ( x ) g( x ) 0 g >. Niech g ( x ) = a f ( x) + b i g ( x ) = a f ( x ) + b Wówczas ( x ) g( x ) = a f ( x ) + b a f ( x ) b = a [ f ( x ) f ( x )] 0. g >. Przykład Niech f ( x) = x + jest funkcją rosnącą, = 3 a, b = 7. Wówczas g( x) = 3x jest również funkcją rosnącą. Sporządźmy wykresy tych funkcji: f ( x) = x + g ( x) = 3x Podobnie można zapisać, że: 3

14 3.7. Jeżeli funkcja f jest funkcją rosnącą, a < 0, b R, to funkcja g = af + b jest malejąca Jeżeli funkcja f jest funkcją malejącą, a > 0, b R, to funkcja g = af + b też jest malejąca Jeżeli funkcja f jest funkcją malejącą, a < 0, b R, to funkcja g = af + b jest rosnąca Niech f będzie funkcją f : R R, a b. Można wykazać, że jeżeli f ( a) = b i f () b = a, to f nie jest funkcją rosnącą Można wykazać, że jeżeli f jest rosnąca na przedziale A i f jest rosnąca na przedziale B oraz A B 0, to f jest rosnąca na przedziale A B. 3.8 Różnica funkcji rosnącej i malejącej Jeżeli funkcja f : R R jest funkcją rosnącą, g R R określona wzorem h( x) = f ( x) g( x) jest funkcją rosnącą. : jest funkcją malejącą, to funkcja h Dowód Niech funkcja f : R R będzie funkcją rosnącą oraz funkcja g R R : będzie funkcją malejącą. Wówczas dla x > x f ( x ) f ( x ) > 0 oraz ( x ) g( x ) < 0 Należy pokazać, że jeśli funkcja h określona jest wzorem h( x) = f ( x) g( x), to ( x ) h( x ) 0 g. h >. Mamy: h( x ) h( x ) = f ( x ) g( x ) [ f ( x ) g( x )] = f ( x ) g( x ) f ( x ) + g( x ) = f ( x ) f ( x ) ( g( x ) g( x )) 0 > 4

15 Przykład Niech f ( x) = x będzie funkcją rosnącą, g ( x) = x + - funkcją malejącą. Wówczas h ( x) = 3x jest funkcją rosnącą. Różnica funkcji rosnącej i malejącej ,5-3 -,5 - -,5 - -0,5-0 0,5,5,5 3 3, ( x) = x g ( x) = x + h ( x) = 3x f 3.9 Iloraz dodatnich funkcji rosnących Iloraz dodatniej funkcji rosnącej i dodatniej funkcji malejącej jest funkcją rosnącą. Dowód Niech funkcja f : ( a, R + będzie dodatnią funkcją rosnącą oraz funkcja g : ( a, R + będzie dodatnią funkcją malejącą. Wówczas g jest dodatnią funkcją rosnącą. Niech x będzie dowolnym elementem przedziału (a,. f Funkcja ( ) ( x) h x = = f ( x) jest iloczynem dwóch funkcji rosnących dodatnich. Czyli g( x) g( x) funkcja h ( x) jest funkcją rosnącą, gdyż jak to zostało pokazane wcześniej, iloczyn dwóch funkcji rosnących dodatnich jest zawsze funkcją rosnącą. 5

16 Przykład Niech f ( x ) = x + i f : R + R + będzie dodatnią funkcją rosnącą. 4 Niech g( x) g : R + R będzie dodatnią funkcją malejącą. = i + x f ( x) x + 3 h x = = x + x g( x) 4 4 x Wówczas ( ) = dla x > 0 jest funkcją rosnącą. Iloraz dodatniej funkcji rosnącej i dodatniej funkcji malejącej ,5,5,5 3 3,5 4 f ( x ) = x + g( x) = h( x) 4 x = f g ( x) ( x) = x x Z pewnością nie są to wszystkie własności funkcji monotonicznych. Przedstawione zostały tutaj przede wszystkim te, które zachowują monotoniczność. Na ich podstawie można tworzyć swoje prawidłowości i sprawdzać, czy są one prawdziwe. Z wszystkich powyżej przytoczonych przykładów wynika jedna ważna własność: jeżeli f jest funkcją rosnącą (malejącą), to f jest funkcją różnowartościową. Ale z faktu, że f jest funkcją różnowartościową nie wynika, że jest funkcją rosnącą lub funkcją malejącą. Np. f ( x) x dla x 0 lub = x dla 0 < x < x 6

17 4 Literatura Birkholc Andrzej - Analiza matematyczna dla nauczycieli, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 977, Bryński Maciej, Dróbka Norbert - Matematyka podręcznik dla klasy pierwszej liceum i technikum, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 998, Cewe Alicja, Nahorska Halina, Pancer Irena Tablice matematyczne, Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk 999, Dobrowolska Małgorzata Matematyka 3 podręcznik dla klasy trzeciej gimnazjum, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk 00, Fudali Stanisław - Analiza matematyczna, wybrane podstawowe zagadnienia, Wydawnictwa Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 974, Grabowski Mirosław Ćwiczenia z analizy matematycznej dla nauczycieli, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 980, Stachowski Edward, Szurek Michał I ty zostaniesz Euklidesem zbiór zadań nie tylko dla asa do klasy pierwszej szkół średnich, Oficyna Wydawniczo Poligraficzna Adam, Warszawa 7

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze. 1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej

Bardziej szczegółowo

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd. Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI

FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

Ciąg monotoniczny. Autorzy: Katarzyna Korbel

Ciąg monotoniczny. Autorzy: Katarzyna Korbel Ciąg monotoniczny Autorzy: Katarzyna Korbel 07 Ciąg monotoniczny Autor: Katarzyna Korbel Ciągi, tak jak funkcje, mogą mieć różne własności, których znajomość może przyczynić się do dalszej analizy ich

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Funkcje elementarne. Matematyka 1 Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje

FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Rachunek Różniczkowy

Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji 1. Informacje wst pne: 2. Program nauczania: 3. Temat zaj 4. Integracja: 5. Cele lekcji: Ucze potrafi:

Scenariusz lekcji 1. Informacje wst pne: 2. Program nauczania: 3. Temat zaj 4. Integracja: 5. Cele lekcji: Ucze potrafi: Scenariusz lekcji 1. Informacje wstępne: Data: 25 września 2012r. Klasa: II a 2 liceum (profil bezpieczeństwo wewnętrzne); Czas trwania zajęć: 45 minut; Nauczany przedmiot: matematyka. 2. Program nauczania:

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk

WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,

Bardziej szczegółowo

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n

Bardziej szczegółowo

Funkcje elementarne. Ksenia Hladysz Własności 2. 3 Zadania 5

Funkcje elementarne. Ksenia Hladysz Własności 2. 3 Zadania 5 Funkcje elementarne Ksenia Hladysz 16.10.014 Spis treści 1 Funkcje elementarne. 1 Własności 3 Zadania 5 1 Funkcje elementarne. Są to funkcje określone wzorami zawierającymi skończoną ilość operacji algebraicznych

Bardziej szczegółowo

Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43

Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x

Bardziej szczegółowo

1. LICZBY RZECZYWISTE. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli:

1. LICZBY RZECZYWISTE. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE POZIOM PODSTAWOWY KLASA 1 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

S n = a 1 1 qn,gdyq 1

S n = a 1 1 qn,gdyq 1 Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory... 10 Obliczenia... 18 Ciągi... 27 Własności funkcji... 31 Funkcje liniowe i kwadratowe... 39 Wielomiany i wyrażenia wymierne... 45 Funkcje wykładnicze

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 1b, 2016/2017r.

Plan wynikowy matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 1b, 2016/2017r. Jolanta Pająk Plan wynikowy matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 1b, 016/017r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Uczeń: Elementy logiki matematycznej rozpoznaje spójniki logiczne, zna wartości logiczne

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA

MATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA MATEMATYKA Wymagania edukacyjne i zakres materiału dla klasy drugiej poziom podstawowy w roku szkolnym 2013/2014 ZAKRES MATERIAŁU, TREŚCI NAUCZANIA 1. Funkcje i ich własności. odróżnić przyporządkowanie,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych

Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych Wymagania dla kl. 1 Zakres podstawowy Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. LICZBY RZECZYWISTE 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej podaje przykłady

Bardziej szczegółowo

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI (2 LEKCJE) W III KLASIE GIMNAZJUM OPRACOWAŁA RENATA WOŁCZYŃSKA

KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI (2 LEKCJE) W III KLASIE GIMNAZJUM OPRACOWAŁA RENATA WOŁCZYŃSKA KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI (2 LEKCJE) W III KLASIE GIMNAZJUM OPRACOWAŁA RENATA WOŁCZYŃSKA Temat: Powtórzenie i utrwalenie wiadomości o funkcji liniowej Cel ogólny Przykłady funkcji; odczytywanie własności

Bardziej szczegółowo

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry

Bardziej szczegółowo

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady : WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019 PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019 Przedmiotowy system oceniania jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 10 czerwca 2015 r. w

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony

Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE I (ZAKRES PODSTAWOWY)

ZAŁOŻENIA DO PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE I (ZAKRES PODSTAWOWY) 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE I (ZAKRES PODSTAWOWY) Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 100 Kursywą zaznaczone zostały treści,

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z

Bardziej szczegółowo

3.Funkcje elementarne - przypomnienie

3.Funkcje elementarne - przypomnienie 3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51 1 Funkcje

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres materiału i wymagania edukacyjne, KLASA PIERWSZA. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia LICZBY RZECZYWISTE.

Matematyka. Zakres materiału i wymagania edukacyjne, KLASA PIERWSZA. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia LICZBY RZECZYWISTE. Matematyka Zakres materiału i wymagania edukacyjne, KLASA PIERWSZA Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia LICZBY RZECZYWISTE 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 1. Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające - dopuszczający;

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02 Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. Liczby naturalne definicja dzielnika

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę.

FUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę. FUNKCJE Lekcja 61-6. Dziedzina i miejsce zerowe funkcji str. 140-14 Co to jest funkcja. Może przykłady. W matematyce funkcje najczęściej przedstawiamy za pomocą wzorów. Przykłady. Dziedzina to zbiór argumentów

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II Zadanie 12 (3 pkt) Z warunków zadania : 2 AM = MB > > n Wprowadzenie oznaczeń, naprzykład: A = (x, y) i obliczenie współrzędnych wektorów n Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE I (ZAKRES ROZSZERZONY)

ZAŁOŻENIA DO PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE I (ZAKRES ROZSZERZONY) 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE I (ZAKRES ROZSZERZONY) Liczba godzin nauki w tygodniu: 5 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 150 Kursywą zaznaczone zostały treści,

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1 Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1 Liczby rzeczywiste: Uczeń otrzymuje ocenę ( jeśli rozumie i stosuje podpowiedź nauczyciela)oraz

Bardziej szczegółowo

zna wykresy i własności niektórych funkcji, np. y = x, y =

zna wykresy i własności niektórych funkcji, np. y = x, y = Wymagania edukacyjne dla uczniów klasy II z podstawowym programem nauczania matematyki, niezbędne do uzyskania śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki Nauczyciel: mgr Karolina Bębenek

Bardziej szczegółowo

Temat (rozumiany jako lekcja) Propozycje środków dydaktycznych. Liczba godzin. Uwagi

Temat (rozumiany jako lekcja) Propozycje środków dydaktycznych. Liczba godzin. Uwagi Roczny plan dydaktyczny z matematyki dla pierwszej klasy szkoły branżowej I stopnia dla uczniów będących absolwentami ośmioletniej szkoły podstawowej, uwzględniający kształcone umiejętności i treści podstawy

Bardziej szczegółowo

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x. Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu

Bardziej szczegółowo

KLASA PIERWSZA POLTECHNICZNA

KLASA PIERWSZA POLTECHNICZNA Matematyka Zakres materiału i wymagania edukacyjne, KLASA PIERWSZA POLTECHNICZNA Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. LICZBY RZECZYWISTE 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres materiału i wymagania edukacyjne, KLASA PIERWSZA. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia. Uczeń:

Matematyka. Zakres materiału i wymagania edukacyjne, KLASA PIERWSZA. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia. Uczeń: Matematyka Zakres materiału i wymagania edukacyjne, KLASA PIERWSZA Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej cechy

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z matematyki. Zeszyt 1 Funkcje i ciągi liczbowe

Ćwiczenia z matematyki. Zeszyt 1 Funkcje i ciągi liczbowe Ćwiczenia z matematyki Janusz Górczyński Zeszyt Funkcje i ciągi liczbowe Zeszyt ten jest pierwszą pozycją w serii materiałów dydaktycznych Ćwiczenia z matematyki W najbliższym czasie ukażą się kolejne

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo