ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 1.nb 1. Wykład 1

Transkrypt

1 ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad.nb Wykład. Sformułowanie problemu optymalizacyjnego Z ksiąŝki Practical Optimization Methods: With Mathematica Applications by: M.A.Bhatti, M.Asghar Bhatti ü Przykład. (Zagadnienie transportowe) Przedsiębiorstwo dostarcza towary spoŝywcze do duŝego sklepu spoŝywczego. Sklep zgłasza zapotrzebowanie na co najmniej 50 m 3 mroŝonek i 30 m 3 świeŝych produktów. Przedsiębiorstwo dysponuje dwoma typami samochodów, z których kaŝdy ma powierzchnią chłodniczą i powierzchnią do przewozu świeŝych produktów. Pojemności obu typów samochodów (w m 3 ) i zuŝycie paliwa (w litrach) na dojazd do sklepu podane są w tabelce:. pow.chłod. pow.świeŝa zuŝycie Typ I Typ II Ile samochodów naleŝy uŝyć, aby zapewnić dostawę produktów przy minimalnych kosztach? ü Przykład 2. (Portfel akcji) Obserwujemy zyski (średnie zyski) w % z akcji A, A 2,..., A r w t okresach czasu. Chcemy skonstruować portfel z tych akcji w taki sposób, aby średni zysk wyniósł co najmniej p % przy minimalizacji ryzyka duŝych strat. Rozwiązać to zagadnienie dla przykładu: miesiąc styc luty marz średnia AKCJE AKCJE AKCJE AKCJE ü Składniki zadania optymalizacyjnego Aby sformułować zadanie optymalizacyjne naleŝy : ) wybrać zmienne, występujące w zadaniu w przykładzie. zmiennymi są: liczba samochodów typu I Hx L i liczba samochodów typu II Hx 2 L; w przykładzie 2. zmiennymi są frakcje akcji w portfelu Hx, x 2,..., x r L

2 ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad.nb 2 2) określić funkcję celu, która wyraŝa wielkość, którą chcemy minimalizować (maksymalizować) w przykładzie. funkcja celu wyraŝa zuŝycie paliwa; w przykładzie 2. funkcja celu opisuje ryzyko duŝych strat 3) podać ograniczenia typu nierówności w przykładzie. ograniczeniami typu nierówności są: warunki określajace minimalne wielkości dostawy mroŝonek i świeŝych produktów i nieujemność liczby samochodów I i II typu; w przykładzie 2. oprócz nieujemności zmiennych występuje warunek na osiągnięcie zysku co najmniej p % ) podać ograniczenia typu równości w przykładzie. takie ograniczenia nie występują w przykładzie 2. suma frakcji musi być równa (w portfelu są wyłącznie akcje spośród wymienionych rodzajów) Obszar, spełniający wszystkie ograniczenia i mieszczący się w dziedzinie funkcji celu nazywamy obszarem dopuszczalnym. Zapiszemy treść obu przykładów w postaci zadań optymalizacyjnych. ü Przykład. (c.d.) Zmienne: x - liczba samochodów typu I, x 2 - liczba samochodów typu II; zmienne powinny przyjmować wartości całkowite; Funkcja celu: fhx, x 2 L = 300 x x 2, f = min!; Ograniczenia typu nierówności: 5 x + 5 x 2 50, (dostawa mroŝonek) 25 x + 0 x 2 30, (dostawa produktów świeŝych) x 0, x 2 0 ü Przykład 2. (c.d.) Zmienne: x, x 2,..., x r - frakcje akcji w portfelu. Oznaczmy x=hx, x 2,..., x r L T Funkcja celu: W tym przypadku określenie funkcji celu będzie wymagało pewnych rachunków. Zapiszmy dane o zyskach z akcji w postaci macierzy A : i j k a a 2... a t a 2 a a 2 t a r a r2... a rt gdzie element a ij oznacza zyski z akcji "AKCJA i" w okresie j. Oznaczmy przez m wektor wartości średnich dla akcji za analizowany okres. Łatwo wyrazić m poprzez A: m = ÅÅÅÅ t A t T, gdzie t jest wektorem, składającym się z t jedynek. ZauwaŜmy, Ŝe liczba x a + x 2 a x r a r jest oczekiwanym zyskiem przy zastosowaniu portfela x w pierwszym okresie. Podobnie, liczba x a 2 + x 2 a x r a r2 jest oczekiwanym zyskiem przy zastosowaniu portfela x w drugim okresie. Wektor A T x wyraŝa więc oczekiwane zyski, jakie uzyskiwano w poprzednich t y, z {

3 ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad.nb 3 okresach.gdyby portfel x był stabilny to oczekiwane zyski byłyby stałe w czasie i były równe t m T x. Miarą niestabilności porfela moŝe być kwadrat odległości między tymi wektorami, czyli»» A T x - t m T x»» 2. Po prostych przekształceniach wyraŝenie to jest równe t x T C x, gdzie C = ÅÅÅÅ t HA - m t T L HA T - t m T L jest macierzą kowariancji dla danych w macierzy A.Funkcję celu, którą będziemy minimalizować, jest więc wyraŝenie fhxl = t x T C x. Ograniczenia typu nierówności: Ograniczena typu równości: m T x p, (warunek na minimalny zysk) x 0, x 2 0,..., x r 0 (ograniczenia zakresu) x + x x r = (warunek zupełności portfela) W naszym konkretnym przykładzie liczbowym mamy: i y m =H L T, C = ÅÅÅÅÅ j z k { Zadanie optymalizacyjne będzie postaci fhxl = 3 x T C x = 98 x 2 + x x x x x x + +8 x x 2 x x 2 x + +2 x x 3 x x 2 = min! przy ograniczeniach: 5 x + 6 x x 3 + x 5, x 0, x 2 0, x 3 0, x 0, x + x 2 + x 3 + x = ü Standardowa postać zadania optymalizacyjnego Aby uniknąć wieloznaczności warunków w róŝnych zadaniach optymalizacyjnych, stosuje się standardowy zapis zadania optymalizacyjnego min f(x) g i HxL 0, i =, 2,...,m (ograniczeniale) h j HxL = 0, j =, 2,..., p (ograniczenia EQ) x kl x k x ku, k =, 2,...,n (zakres) Uwaga :Czasami łączy się nierówności zakresu i ograniczeń LE. Uwaga 2: Powinno być p < n. Jeśli p > n to więcej ograniczeń, niŝ zmiennych, jeśli p = n to mamy do czynienia z układem równań n równań z n niewiadomymi i nie jest to istotne zadanie optymalizacyjne Uwaga 3: Zagadnienie na maksimum f(x) daje się sformułować jako zagadnienie minimum funkcji -f(x): fhx 0 L fhxl iff - fhx 0 L - fhxl,

4 ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad.nb Podobnie, nierówności moŝna zamienić na, mnoŝąc obie strony przez -. Po prawej stronie nierówności/równości moŝna wprowadzić 0, przenosząc wszystko na lewą stronę. ü Graficzne rozwiązanie zadania optymalizacyjnego. Zadanie, zawierające dwie zmienne moŝna w przybliŝeniu rozwiązać graficznie. Rysujemy obszary dopuszczalne oraz poziomice funkcji celu. Staramy się zgadnąć połoŝenie minimum na podstawie obserwacji izolinii. ü Przykład. (c.d.) Funkcje g i g 2 są liniowymi ograniczeniami typu nierówność. Obszar dopuszczalny jest przekrojem dwóch hiperpłaszczyzn. Na rysunku strona niezacieniona jest hiperpłaszczyzną dopuszczalną.funkcja celu jest liniowa, więc poziomice są równoległymi prostymi. 0 x g g x Jak widać z rysunku, poziomica, odpowiadająca minimum funkcji celu zawarta jest między prostymi 300 x x 2 = 620 i 300 x x 2 = Poziomica ta musi przechodzić przez wierzchołek kąta, utworzonego przez proste g = 5 x + 5 x 2 = 50 i g 2 = 25 x + 0 x 2 = 30. Ten punkt przecięcia ma współrzędne (całkowite!) x = 2 i x 2 = 8, co daje rozwiazanie naszego zadania. Wartość minimalna funkcji celu wynosi Optymalizacja bez ograniczeń O optymalizacji bez ograniczeń mówimy, gdy zbiór ograniczeń (typu LE i EQ) jest pusty. Zadanie optymalizacyjne przybierze prostą postać: f HxL = min! Przypomnimy warunki konieczne i dostateczne istnienia minimum gładkiej funkcji bez ograniczeń.

5 ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad.nb 5 ü 2. Rozkład Taylora ü 2.. Rozkład Taylora funkcji jednej zmiennej Twierdzenie. Dla funkcji jednej zmiennej, mającej w otoczeniu punktu êê x pochodną rzędu k + zachodzi, dla x z otoczenia êê x, toŝsamość: fhxl = fhx êê L + f ' Hx êê L Hx - êê xl + ÅÅÅÅ 2 f '' Hxêê L Hx - êê xl ÅÅÅÅÅ k! f HkL Hx êê L Hx - êê xl k + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hk+L! f Hk+L Hx 0 L Hx - êê xl k+ Punkt x 0 leŝy między x a êê x. ü Przykład 2. Rozkład Taylora jest dobry jedynie w otoczeniu punktu wokół którego rozwijamy szereg. Rozwińmy funkcję fhxl = x 2 coshxl w otoczeniu punktu ÅÅÅÅ p z dokładnością do wyrazów i 2 stopnia. Pochodne pierwszego i drugiego stopnia wynoszą: f'@xd = 2xCos@xD x 2 Sin@xD, f''@xd = 2Cos@xD x 2 Cos@xD xsin@xd Rozwinięcie Taylora pierwszego i drugiego stopnia w otoczeniu punktu ÅÅÅÅ p ma postać: = H xl t = H xl H xl