Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu."

Transkrypt

1 Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WMRiT PP Przedmiot: Optymalizacja w transporcie Specjalność: LT, TD, TŻ Wersja: Agenda Kluczowe elementy wykładu WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. PROBLEM PORTFELOWY Istota. Sformułowanie matematyczne. Rozwiązanie. Analiza rozwiązania ZADANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Uogólnienie zadania programowania liniowego (zpl). Cechy zpl PODSUMOWANIE Resume. Dyskusja 2 transporcie 1

2 Wprowadzenie Cel i zakres wykładu à Cel rozpoznanie specyfiki problemu portfelowego zbudowanie modelu matematycznego rozwiązanie problemu (metodą graficzną i z zastosowaniem Solver-a) uogólnienie problemów o charakterze liniowym Grafika: 3 Wprowadzenie Ramowy program zajęć wadzenie acja zajęć, kluczowe! M1: dobór i wykorzystanie zasobów budowa portfela produktowego (programowanie liniowe) ustalanie kompozycji floty (programowanie całkowitoliczbowe) załadunek problem plecakowy (programowania całkowitoliczbowe) harmonogramowanie pracy (programowanie binarne) warsztat podsumowujący M1 à 3 moduły tematyczne (grupy problemów) M0: wprowadzenie M1: dobór i wykorzystanie zasobów M2: lokalizacja obiektów i ustalanie zasięgu ich działania M3: ustalanie tras M4: podsumowanie 4 transporcie 2

3 Agenda Kluczowe elementy wykładu WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. PROBLEM PORTFELOWY Istota. Sformułowanie matematyczne. Rozwiązanie. Analiza rozwiązania ZADANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Uogólnienie zadania programowania liniowego (zpl). Cechy zpl PODSUMOWANIE Resume. Dyskusja 5 Definicja problemu à Ustalenie zestawu produktów, lub usług (zasobów) gwarantujących osiągnięcie najkorzystniejszego rezultatu rynkowego w zdefiniowanych warunkach oferta usług logistycznych rodzaj przewozów w firmie transportowej 6 transporcie 3

4 Definicja problemu A: Dobór metody rozwiązania. B: Rozwiązanie problemu A: Interpretacja rozwiązania B: Analiza wrażliwości à Analiza problemu na przykładzie 4-etapowy proces rozwiązywania 7 : Identyfikacja Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Analiza przypadku problem sformułowany w postaci zadania programowania liniowego zobacz treść przypadku: Firma ForkLift Service (FLS) jest jednym z ( ) 8 transporcie 4

5 : matematycznego. Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Zmienne decyzyjne 2 zmienne S: liczba sprzedanych wózków widło-wych typu 20S oferowana przez FLS H: liczba sprzedanych wózków widło-wych typu 45H oferowana przez FLS à Parametry zyskowność koszt jednostkowy vs. budżet pracochłonność vs. zatrudnienie dostępność 9 : matematycznego. Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Funkcja celu maksymalizacja zysku Z ze sprzedaży wózków widłowych typu 20S i 45H Max Z(S,H) jak ustalić zysk wynikający ze sprzedaży obu typów wózków? Z=z S +z H gdzie: z S - jednostkowy zysk ze sprzedaży wózka typu 20S z H - jednostkowy zysk ze sprzedaży wózka typu 45H 10 transporcie 5

6 : matematycznego. Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Funkcja celu zyskowność ze sprzedaży każdego typu modelu z s = 0, [ ] S = 2.850S z H = 0, [ ] H = 6.270H ostateczne sformułowanie funkcji celu jeżeli Z=z S +z to Max Z(S, H) = 2.850S H 11 : matematycznego. Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Ograniczenia (identyfikacja) (1) zasoby finansowe firmy FLS max [ /rok] (2) dostępny fundusz czasu pracy poświęcany przez pracowników FLS na sprzedaż wózków 20S i 45H max. 520 [rbh/rok] (3) dostępność wózków u producenta 20S: max 100 [szt./rok] 45H: max 75 [szt./rok] (4) minimalna wielkość zamówienia u producenta 20S: min 10 [szt.] 45H: min 5 [szt.] 12 transporcie 6

7 : matematycznego Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Ograniczenia (zapis) (1) zasoby finansowe firmy FLS: max [ ], stąd: S H [ ] (2) dostępny fundusz czasu pracy: max. 520 [rbh/rok], stąd: 6 S + 4 H 520 [rbh/rok] 13 : matematycznego Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Ograniczenia (zapis) (3) możliwości produkcyjne firmy Clark w zakresie dostarczenia firmie FLS wózków widłowych typu 20S i 45H dostępność wózków 20S S 100 [szt./rok] dostępność wózków 45H H 75 [szt./rok] 14 transporcie 7

8 : matematycznego Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Ograniczenia (zapis) (4) minimalna liczba wózków w jednorazowym zamówieniu, zapewniająca ciągłość sprzedaży przy jednoczesnym zachowaniu satysfakcji klientów firmy FLS zapotrzebowanie firmy FLS na wózki typu 20S S 10 [szt./rok] zapotrzebowanie firmy FLS na wózki typu 45H H 5 [szt./rok] 15 : matematycznego Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Ograniczenia (zapis) (5) formalnie: poszukiwane rozwiązanie (S, H) nie powinno przyjmować wartości ujemnych dla wózków typu 20S S 0 [szt./rok] dla wózków typu 45H H 0 [szt./rok] 16 transporcie 8

9 : matematycznego Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Ostateczna postać modelu matematycznego funkcja celu Max Z(S, H) = 2.850S H przy ograniczeniach (1) 19S + 33H (2) 6S + 4H 520 (3.1) S 100 (3.2) H 75 (4.1) S 10 (4.2) H 5 (5.1) S 0 (5.2) H 0 17 : Dobór metody i rozwiązanie A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu Metoda graficzna 18 transporcie 9

10 H 140 (4.1) S 10 Obszar rozwiązań niedopuszczalnych (3.1) S 100 : Dobór metody i rozwiązanie Metoda graficzna Funkcja celu: Max Z(S, H) = 2.850S H (5.1) 10 Obszar rozwiązań dopuszczalnych dla ograniczeń (3.1) (5.2) S 0 H 0 (5.2) H 75 Ograniczenia (5.1) i (5.2) są nieaktywne (3.2) H 5 (4.2) S Ograniczenia: (1) 19S + 33H (2) 6S + 4H 520 (3.1) S 100 (3.2) H 75 (4.1) S 10 (4.2) H 5 (5.1) S 0 (5.2) H 0 19 H (4.1) (0;130) (2) S 10 Ograniczenie (3.1) staje się nieaktywne 6S + 4H = 520 (3.1) S 100 H 75 (3.2) : Dobór metody i rozwiązanie Metoda graficzna Funkcja celu: Max Z(S, H) = 2.850S H Ograniczenia: (1) 19S + 33H (2) 6S + 4H (5.1) S 0 H 0 (5.2) (86,7; 0) H 5 (4.2) ograniczenie (2) 6S + 4H = 520 jeżeli S = 0 to H = 130; (0;130) jeżeli H = 0 to S = 86,7; (86,7;0) S 20 transporcie 10

11 H 140 (130) (4.1) S 10 (3.1) S 100 : Dobór metody i rozwiązanie Metoda graficzna Funkcja celu: Max Z(S, H) = 2.850S H (2) (0; 72,7) 6S + 4H = 520 H 75 (3.2) Ograniczenia: (1) 19S + 33H (2) 6S + 4H (5.1) 10 S 0 H 0 (5.2) (1) 19S +33H = (126,3; 0) H 5 20 (86,7) (4.2) S ograniczenie (1) 19 S + 33 H = jeżeli S = 0 to H = 72,7 (0;72,7) jeżeli H = 0 to S = 126,3 (126,3;0) 21 H 140 S = 10 S = 100 : Dobór metody i rozwiązanie Metoda graficzna (130) 100 6S + 4H = 520 Ostatni wierzchołek określanie kierunku zmiany wartości funkcji celu (tu kierunek przyrostu FC) Max Z(S, H) = 2.850S H 2.850S H = 0 75 H = 75 Z 2 = Z 1 = (40; 40) 19S +33H = jeżeli S = 10 to H = -4,5 (10; -4,5) jeżeli S = 20 to H = -9 (20; -9) 20 (40; 20) Z= 2 850S H 5 H = 5 0-4, (86,7) (126,3) S 22 transporcie 11

12 H 140 (130) S = 10 6S + 4H = 520 (10; 66,96) S = 100 H = 75 19S +33H = H = S (86,7) (126,3) : Dobór metody i rozwiązanie Metoda graficzna określanie parametrów wierzchołka (określenie punktu przecięcia prostych) S = 10 19S + 33H = H = -19/33 S /33 S = 10; H = 66,96 określanie wartości funkcji celu jeżeli S = 10 i H = 66,96 to Z = à Z max 23 : Dobór metody i rozwiązanie Metoda graficzna à Algorytm metody graficznej (1) narysuj obszar rozwiązań dopuszczalnych i określ jego wierzchołki jeżeli obszar rozwiązań jest pusty à wszystkie rozwiązania są niedopuszczalne à ponownie rozważ sformułowanie ograniczeń (2) narysuj 2 różne wykresy funkcji celu (FC) i określ kierunek optymalizacji (max vs. min) jeżeli problem dotyczy max FC równolegle przesuń linię reprezentującą FC w kierunku przyrostu jej wartości jeżeli problem polega na min FC przesuń linię w kierunku przeciwnym, tj. zmniejszania się wartości FC (3) przesuń funkcję celu znajdując ostatni wierzchołek w przypadku, gdy FC jest równoległa do jednego z boków obszaru rozwiązań dopuszczalnych (ORD), wówczas problem posiada szereg rozwiązań alternatywnych leżących pomiędzy wierzchołkami ORD (4) równania prostych, które przecinają się w punkcie wierzchołkowym (patrz p.3) tworzą układ równań określających współrzędne punktu optymalnego 24 transporcie 12

13 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu A: Interpretacja rozwiązania B: Analiza wrażliwości à Rozwiązanie optymalne optymalna liczba sprzedanych wózków widłowych 20S wynosi S=10 [szt.] optymalna liczba sprzedanych wózków widłowych 45H wynosi H=66,96 [szt.] w praktyce: H=66 lub H=67* (*- rozwiązanie poza obszarem rozwiązań dopuszczalnych) zysk ze sprzedaży wózków obu typów Z=2.850S H S=10 [szt.] i H=66,96 [szt.] Z= [ ] à Z max lub S=10 i H=66 à Z= [ ] 25 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu A: Interpretacja rozwiązania B: Analiza wrażliwości à Analiza ograniczeń ograniczenie (1) dostępne zasoby finansowe LHS* RHS* S H jeżeli S=10 [szt.] i H=66,96 [szt.] to LHS 1 = [ ] RHS 1 = 0 [ ] (brak zasobów!) * LHS ang. left-hand side; RHS- ang. right-hand side 26 transporcie 13

14 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu A: Interpretacja rozwiązania B: Analiza wrażliwości à Analiza ograniczeń ograniczenie (2) dostępna liczba roboczogodzin 6S + 4H 520 jeżeli S=10 szt. i H=66,96 [szt.] to LHS 2 = 327,84 [rbh] RHS 2 =192,16 [rbh] (wolne zasoby) 27 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu A: Interpretacja rozwiązania B: Analiza wrażliwości à Analiza ograniczeń ograniczenie (3.1) dostępność wózków 20S S 100 jeżeli S=10 szt. i H=66,96 [szt.] to LHS 3 = 10 [szt.] RHS 3 = 90 [szt.] (wolne zasoby) 28 transporcie 14

15 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu A: Interpretacja rozwiązania B: Analiza wrażliwości à Analiza ograniczeń ograniczenie (3.2) dostępność wózków 45H H 75 jeżeli S=10 szt. i H=66,96 [szt.] to LHS 4 = 66,96 [szt.] RHS 4 = 8,04 [szt.] (wolne zasoby) 29 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości à Analiza ograniczeń pozostałe ograniczenia ( ) A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu A: Interpretacja rozwiązania B: Analiza wrażliwości (4.1) S 10 (4.2) H 5 (5.1) S 0 (5.2) H 0 30 transporcie 15

16 : Dobór metody i rozwiązanie A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu Metoda graficzna 31 : Dobór metody i rozwiązanie Solver Model zbudowany w MS Excel stanowi załącznik do materiału wykładowego: _LP.xlsx Funkcja celu: Max Z(S, H) = 2.850S H Ograniczenia: (1) 19S + 33H (2) 6S + 4H 520 (3.1) S 100 (3.2) H 75 (4.1) S 10 (4.2) H 5 (5.1) S 0 (5.2) H 0 Zapis modelu matematycznego w arkuszu MS Excel Model matematyczny problemu 32 transporcie 16

17 : Dobór metody i rozwiązanie Solver =C7*C3 + D7*D3 lub =SUMA.ILOCZYNÓW(C7:D7; C3:D3) Funkcja celu: Max Z(S, H) = 2.850S H Ograniczenia: (1) 19S + 33H (2) 6S + 4H 520 (3.1) S 100 (3.2) H 75 (4.1) S 10 (4.2) H 5 (5.1) S 0 (5.2) H 0 33 : Dobór metody i rozwiązanie Solver =C12*C3 + D12*D3 lub =SUMA.ILOCZYNÓW(C12:D12; C3:D3) LHS* Funkcja celu: Max Z(S, H) = 2.850S H Ograniczenia: (1) 19S + 33H (2) 6S + 4H 520 (3.1) S 100 (3.2) H 75 (4.1) S 10 (4.2) H 5 (5.1) S 0 (5.2) H 0 RHS* * LHS ang. left-hand side; RHS- ang. right-hand side 34 transporcie 17

18 : Dobór metody i rozwiązanie Solver 35 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości Solver Max Z(S, H) = dla S=10 [szt.] i H=66,96 [szt.] Wykorzystane zasoby * LHS ang. left-hand side; RHS- ang. right-hand side 36 transporcie 18

19 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości Solver Max wartość FC Wartość zmiennych decyzyjnych dla optimum FC LHS dla wartości zmiennych decyzyjnych Raport wyników RHS dla wartości zmiennych decyzyjnych; Wiążące = brak zasobów Niewiążace = wolne zasoby 37 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości Solver Optymalna wartość zm. dec. Parametry w FC Dopuszczalny wzrost/ zmniejszenie wartości param., dla których wartości zm. dec. nie ulegną zmianie Jaki zakres zmian RHS nie spowoduje zmiany ceny dualnej Raport wrażliwości O Ile zmieni się wartość FC, jeżeli RHS wzrośnie o 1 38 transporcie 19

20 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości Solver Optymalna wartość FC Wartość zm. dec. dla których FC à max Granice zmienności obszaru rozwiązań dopuszczalnych FC nie zależy od zmian S DG (S)= GG (S) = 10 DG (H) = 5; GG (H) = 66,97 Raport granic 39 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości Solver H 140 (130) S = 10 S = S + 4H = H = 75 Z(max) = E 19S +33H = Z(min) = E 5 H = S (86,7) (126,3) 40 transporcie 20

21 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości à Rozwiązanie problemu portfelowego czy w portfelu produktowym (palecie wózków) znajdują się modele 20S i 45H? 20S: 10 szt. 45H: 66(,97) szt. rekomendacja utrzymanie 20S w portfelu dla zachowania ciągłości sprzedaży koncentracja sprzedaży na 45H pozyskanie dodatkowych środków finansowych (eliminacja ograniczenia) à Czy na pewno model zbudowano właściwie? czy zapis funkcji celu i ograniczeń jest właściwy? 41 Agenda Kluczowe elementy wykładu WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. PROBLEM PORTFELOWY Istota. Sformułowanie matematyczne. Rozwiązanie. Analiza rozwiązania ZADANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Uogólnienie zadania programowania liniowego (zpl). Cechy zpl PODSUMOWANIE Resume. Dyskusja 42 transporcie 21

22 Zadanie programowania liniowego Zapis à Ogólne sformułowanie zadania programowania liniowego funkcja celu (maksymalizacja) Max Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n ograniczenia (dostępne zasoby) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1 0, x 2 0,..., x n 0 gdzie: x 1, x 2,..., x 3 zmienne decyzyjne parametry: c j jednostkowy przyrost j-tej czynności w ocenie globalnej Z (j = 1, 2,..., n) b i ilość i -tego zasobu dostępnego do alokacji do czynności (i = 1, 2,..., m) a ij ilość i -tego zasobu konsumowanego przez j-tą czynność 43 Zadanie programowania liniowego Cechy zpl à Model matematyczny problemu à Które z poniższych sformułowań maja sformułowany w postaci zadania charakter liniowy? programowania liniowego 2 Min Z (x funkcja celu (kryterium jakości dobroci 1,x 2 ) = 2x 1 + 3x 2 rozwiązania) 3 Min Z (x funkcja liniowa 1,x 2 ) = x 1 + x 2 zmienne decyzyjne w pierwszej potędze 2x ograniczenia 1 + 3x funkcja liniowa Min Z (x 1,x 2 ) = 2x 1 + x 2 zmienne decyzyjne w pierwszej potędze zależności w postaci >, <, = 3x 1 + 4x 2 + x transporcie 22

23 Zadanie programowania liniowego Cechy zpl à Co w praktyce oznacza liniowość modelu matematycznego? zależność funkcyjna pomiędzy zmiennymi decyzyjnymi posiada graficzną reprezentację w postaci prostych dotyczy to każdego wyrażenia w modelu matematycznym 45 Agenda Kluczowe elementy wykładu WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. PROBLEM PORTFELOWY Istota. Sformułowanie matematyczne. Rozwiązanie. Analiza rozwiązania ZADANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Uogólnienie zadania programowania liniowego (zpl). Cechy zpl PODSUMOWANIE Resume. Dyskusja 46 transporcie 23

24 Podsumowanie Przypomnienie kluczowych pojęć à Resume problem portfelowy (PP) rozwiązanie przykładowego PP - identyfikacja problemu - budowa modelu matematycznego - dobór metody i rozwiązanie - interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości uogólniony model zadania programowania liniowego definicja rozwiązań - rozwiązanie dopuszczalne rozwiązanie dla którego spełnione są wszystkie ograniczenia - rozwiązania niedopuszczalne rozwiązania znajdujące się poza obszarem rozwiązań dopuszczalnych - rozwiązanie optymalne (optimum) rozwiązanie dopuszczalne osiągające wartość ekstremalną - ograniczenie aktywne ograniczenie wyznaczające obszar rozwiązań dopuszczalnych - ograniczenie nieaktywne ograniczenie nie należące do obszaru rozwiązań dopuszczalnych 47 Podsumowanie Przypomnienie kluczowych pojęć à Resume przykłady obszarów rozwiązań dopuszczalnych Funkcja celu może przyjmować nieograniczone wartości Obszar rozwiązań dopuszczalnych jest pusty 48 transporcie 24

25 Podsumowanie Zapraszam do dyskusji i zadawania pytań Grafika: 49 Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WMRiT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl Przedmiot: Optymalizacja w transporcie Specjalność: LT, TD, TŻ Wersja: transporcie 25

Agenda. Optymalizacja w transporcie. Piotr Sawicki WIT PP, ZST 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu.

Agenda. Optymalizacja w transporcie. Piotr Sawicki WIT PP, ZST 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI, dr hab. inż. Zakład Systemów Transportowych WIT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl piotr.sawicki.pracownik.put.poznan.pl

Bardziej szczegółowo

Agenda. Optymalizacja w transporcie. Piotr Sawicki WIT PP ZST 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu.

Agenda. Optymalizacja w transporcie. Piotr Sawicki WIT PP ZST 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. Tytuł: 02 Określenie kompozycji taboru. Zastosowanie programowania całkowitoliczbowego Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WIT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl piotr.sawicki.pracownik.put.poznan.pl

Bardziej szczegółowo

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu.

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. Tytuł: 03. Zastosowanie programowania binarnego i całkowitoliczbowego Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WMRiT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/piotr.sawicki.put

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

07 Model planowania sieci dostaw 2Po_1Pr_KT Zastosowanie programowania liniowego

07 Model planowania sieci dostaw 2Po_1Pr_KT Zastosowanie programowania liniowego r Tytuł: Autor: 07 Model planowania sieci dostaw 2o_1r_T Zastosowanie programowania liniowego iotr SAWC Zakład Systemów Transportowych WT piotr.sawicki@put.poznan.pl piotr.sawicki.pracownik.put.poznan.pl

Bardziej szczegółowo

Definicja problemu programowania matematycznego

Definicja problemu programowania matematycznego Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i

Bardziej szczegółowo

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu Tytuł: 06 Model: 2o1r_T Zastosowanie programowania liniowego Autor: iotr SAWC Zakład Systemów Transportowych WMRiT piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/iotr.sawicki.ut

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Iwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie. Katedra Badań Operacyjnych UŁ

Iwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie. Katedra Badań Operacyjnych UŁ 1 Iwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie Katedra Badań Operacyjnych UŁ 2 Programowanie celowe W praktycznych sytuacjach podejmowania decyzji często występuje kilka celów. Problem pojawia

Bardziej szczegółowo

Modelowanie całkowitoliczbowe

Modelowanie całkowitoliczbowe 1 Modelowanie całkowitoliczbowe Zmienne binarne P 1 Firma CMC rozważa budowę nowej fabryki w miejscowości A lub B lub w obu tych miejscowościach. Bierze również pod uwagę budowę co najwyżej jednej hurtowni

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Instytut Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Katedra Logistyki i Systemów Transportowych. Badania operacyjne. Dr inż.

Instytut Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Katedra Logistyki i Systemów Transportowych. Badania operacyjne. Dr inż. Instytut Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Katedra Logistyki i Systemów Transportowych Badania operacyjne Dr inż. Artur KIERZKOWSKI Wprowadzenie Badania operacyjne związana jest ściśle z teorią podejmowania

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH

OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH Prowadzący: dr Tomasz Pisula e-mail: tpisula@prz.edu.pl Treści kształcenia:

Bardziej szczegółowo

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Optymalizacji. Sprawozdanie nr 1

Laboratorium Metod Optymalizacji. Sprawozdanie nr 1 PAWEŁ OSTASZEWSKI PIŁA, dn. 01.04.2003 nr indeksu: 55566 Laboratorium Metod Optymalizacji Sprawozdanie nr 1 1. TREŚĆ ZADANIA: Producent soku jabłkowego posiada fabryki w trzech miastach A, B i C. Sok jest

Bardziej szczegółowo

Jacek Skorupski pok. 251 tel konsultacje: poniedziałek , sobota zjazdowa

Jacek Skorupski pok. 251 tel konsultacje: poniedziałek , sobota zjazdowa Jacek Skorupski pok. 251 tel. 234-7339 jsk@wt.pw.edu.pl http://skorupski.waw.pl/mmt prezentacje ogłoszenia konsultacje: poniedziałek 16 15-18, sobota zjazdowa 9 40-10 25 Udział w zajęciach Kontrola wyników

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11)

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11) Microsoft EXCEL - SOLVER 2. Elementy optymalizacji z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 11

Ekonometria - ćwiczenia 11 Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie Zarządzania Przedsiębiorstwem Laboratorium 02

Wspomaganie Zarządzania Przedsiębiorstwem Laboratorium 02 Optymalizacja całkowitoliczbowa Przykład. Wspomaganie Zarządzania Przedsiębiorstwem Laboratorium 02 Firma stolarska produkuje dwa rodzaje stołów Modern i Classic, cieszących się na rynku dużym zainteresowaniem,

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego

Optymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego Optymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego Wstęp Spośród różnych analitycznych metod stosowanych do rozwiązywania problemów optymalizacji procesów technologicznych

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda

Bardziej szczegółowo

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak

Bardziej szczegółowo

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej Kod przedmiotu TR.SIK306 Nazwa przedmiotu Badania operacyjne Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie programów matematycznych

Rozwiązywanie programów matematycznych Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej Kod przedmiotu TR.NIK405 Nazwa przedmiotu Badania operacyjne Wersja przedmiotu 2015/2016 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Dualność w programowaniu liniowym

Dualność w programowaniu liniowym 2016-06-12 1 Dualność w programowaniu liniowym Badania operacyjne Wykład 2 2016-06-12 2 Plan wykładu Przykład zadania dualnego Sformułowanie zagadnienia dualnego Symetryczne zagadnienie dualne Niesymetryczne

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Badania operacyjne

Opis przedmiotu: Badania operacyjne Opis : Badania operacyjne Kod Nazwa Wersja TR.SIK306 Badania operacyjne 2013/14 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 5 Planowanie

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 1 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 1 (Materiały) Wprowadzenie Badania operacyjne (BO) to stosunkowo młoda dyscyplina naukowa, która powstała w czasie II Wojny Światowej, w związku z utworzeniem przy niektórych sztabach sił zbrojnych specjalnych grup

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia programowania liniowego dotyczą modelowania i optymalizacji wielu problemów decyzyjnych, na przykład:

Zagadnienia programowania liniowego dotyczą modelowania i optymalizacji wielu problemów decyzyjnych, na przykład: Programowanie liniowe. 1. Aktywacja polecenia Solver. Do narzędzia Solver można uzyskać dostęp za pomocą polecenia Dane/Analiza/Solver, bądź Narzędzia/Solver (dla Ex 2003). Jeżeli nie można go znaleźć,

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe Zadanie zbilansowane Zadanie zbilansowane Przykład 1 Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że Stwierdzeń będzie. Przy każdym będzie należało ocenić, czy jest to stwierdzenie prawdziwe, czy fałszywe i zaznaczyć x w tabelce odpowiednio przy prawdzie, jeśli jest ono prawdziwe lub przy fałszu, jeśli

Bardziej szczegółowo

Opis modułu kształcenia Programowanie liniowe

Opis modułu kształcenia Programowanie liniowe Opis modułu kształcenia Programowanie liniowe Nazwa podyplomowych Nazwa obszaru kształcenia, w zakresie którego są prowadzone studia podyplomowe Nazwa kierunku, z którym jest związany zakres podyplomowych

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 2 Programowanie liniowe Metoda geometryczna Plan zajęć Programowanie liniowe metoda geometryczna Przykład 1 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych Zamknięty zbiór rozwiązań dopuszczalnych

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje

Bardziej szczegółowo

Tytuł: Identyfikacja procesu. Przedmiot: Zarządzanie procesami transportowo-logistycznymi Specjalność: Logistyka transportu Wersja: 2014.10.

Tytuł: Identyfikacja procesu. Przedmiot: Zarządzanie procesami transportowo-logistycznymi Specjalność: Logistyka transportu Wersja: 2014.10. Tytuł: Identyfikacja Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WMRiT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/piotr.sawicki.put Przedmiot: Zarządzanie

Bardziej szczegółowo

Excel - użycie dodatku Solver

Excel - użycie dodatku Solver PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym

Bardziej szczegółowo

Metody Optymalizacji. Wstęp. Programowanie matematyczne. Dr hab. inż. Maciej Komosiński, mgr Agnieszka Mensfelt

Metody Optymalizacji. Wstęp. Programowanie matematyczne. Dr hab. inż. Maciej Komosiński, mgr Agnieszka Mensfelt Metody Optymalizacji Dr hab. inż. Maciej Komosiński, mgr Agnieszka Mensfelt Wstęp W ogólności optymalizacja związana jest z maksymalizowaniem lub minimalizowaniem pewnej wielkości np. maksymalizacja zysku

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja konstrukcji

Optymalizacja konstrukcji Optymalizacja konstrukcji Kształtowanie konstrukcyjne: nadanie właściwych cech konstrukcyjnych przeszłej maszynie określenie z jakiego punktu widzenia (wg jakiego kryterium oceny) będą oceniane alternatywne

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik Programowanie dynamiczne Tadeusz Trzaskalik 9.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Wieloetapowe procesy decyzyjne Zmienne stanu Zmienne decyzyjne Funkcje przejścia Korzyści (straty etapowe) Funkcja kryterium

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi

Bardziej szczegółowo

Tytuł: 00 Przygotowanie profesjonalnej prezentacji

Tytuł: 00 Przygotowanie profesjonalnej prezentacji Tytuł: 00 Przygotowanie profesjonalnej prezentacji Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WMRiT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/piotr.sawicki.put

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) Zadanie zbilansowane Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości

Bardziej szczegółowo

Wykład 7. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia / 23

Wykład 7. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia / 23 Wykład 7 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 16 kwietnia 2018 Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 1 / 23 Programowanie liniowe Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 2 / 23

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa - podsumowanie

Funkcja liniowa - podsumowanie Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych

Bardziej szczegółowo

Metody Programowania

Metody Programowania POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Metody Programowania www.pk.edu.pl/~zk/mp_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 8: Wyszukiwanie

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału Problem przydziału Przykład Firma KARMA zamierza w okresie letnim przeprowadzić konserwację swoich urządzeń; mieszalników,

Bardziej szczegółowo

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych

Bardziej szczegółowo

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych & " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja. Programowanie Matematyczne

Optymalizacja. Programowanie Matematyczne . dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Andrzej Jaszkiewicz Zakres tematyczny Metodyka optymalizacja liniowa, całkowitoliczbowa, nieliniowa, heurystyki,

Bardziej szczegółowo

Analiza danych przy uz yciu Solvera

Analiza danych przy uz yciu Solvera Analiza danych przy uz yciu Solvera Spis treści Aktywacja polecenia Solver... 1 Do jakich zadań wykorzystujemy Solvera?... 1 Zadanie 1 prosty przykład Solvera... 2 Zadanie 2 - Optymalizacja programu produkcji

Bardziej szczegółowo

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną

Bardziej szczegółowo

Tytuł: 02 Modelowanie procesu Pierwsze kroki z ARIS BA

Tytuł: 02 Modelowanie procesu Pierwsze kroki z ARIS BA Tytuł: 02 Modelowanie procesu Pierwsze kroki z ARIS BA Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WMRiT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/piotr.sawicki.put

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE

PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE METODA PODZIAŁU I OGRANICZEŃ Przykład 6. Metoda podziału i ograniczeń Rozwiązać zadanie z Przykładu 1. metodą podziału i ograniczeń, przy czym wielkość produkcji wyrobu

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

Microsoft EXCEL SOLVER

Microsoft EXCEL SOLVER Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

4. PROGRAMOWANIE LINIOWE

4. PROGRAMOWANIE LINIOWE 4. PROGRAMOWANIE LINIOWE Programowanie liniowe jest jednym z działów badań operacyjnych. Celem badań operacyjnych jest pomoc w podejmowaniu optymalnych z pewnego punktu widzenia decyzji. Etapy rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

Zbiory wypukłe i stożki

Zbiory wypukłe i stożki Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R

Bardziej szczegółowo

Z-LOG-120I Badania Operacyjne Operations Research

Z-LOG-120I Badania Operacyjne Operations Research KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 01/013 Z-LOG-10I Badania Operacyjne Operations Research A. USYTUOWANIE MODUŁU W

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne Operation research. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Badania operacyjne Operation research. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Badania

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały) Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1 L01 ---2014/10/17 ---10:52---page1---#1 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1 PRZEDMIOT TEMAT Wybrane zagadnienia z optymalizacji elementów

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Politechnika Częstochowska, Wydział Zarządzania PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu Kierunek Forma studiów Poziom kwalifikacji Rok Semestr Jednostka prowadząca Osoba sporządzająca Profil Rodzaj

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Optymalizacji. Sprawozdanie nr 2

Laboratorium Metod Optymalizacji. Sprawozdanie nr 2 PAWEŁ OSTASZEWSKI PIŁA, dn. 15.04.2003 nr indeksu: 55566 Laboratorium Metod Optymalizacji Sprawozdanie nr 2 1. TREŚĆ ZADANIA: Firma produkująca sok jabłkowy przewiduje następujące zapotrzebowanie na ten

Bardziej szczegółowo

1 Programowanie całkowitoliczbowe PLC

1 Programowanie całkowitoliczbowe PLC Metody optymalizacji, wykład nr 9 Paweł Zieliński Programowanie całkowitoliczbowe PLC Literatura [] S.P. Bradley, A.C. Hax, T. L. Magnanti Applied Mathematical Programming Addison-Wesley Pub. Co. (Reading,

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Struktury i Algorytmy Wspomagania Decyzji Zadanie projektowe 2 Czas realizacji: 6 godzin Maksymalna liczba

Bardziej szczegółowo

Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2

Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Document: Exercise*02*-*manual ---2014/11/12 ---8:31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z

Bardziej szczegółowo