Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 1 (Materiały)

Transkrypt

1 Wprowadzenie Badania operacyjne (BO) to stosunkowo młoda dyscyplina naukowa, która powstała w czasie II Wojny Światowej, w związku z utworzeniem przy niektórych sztabach sił zbrojnych specjalnych grup badawczych. Grupy te składały się z przedstawicieli różnych dyscyplin naukowych i zajmowały się analizą operacji wojennych, na przykład ochroną konwojów z zaopatrzeniem, niszczeniem okrętów podwodnych, czy obroną przeciwlotniczą. Dzięki badaniu doświadczeń nagromadzonych podczas działań wojennych oraz ich naukowej analizie, grupy badawcze dawały wskazówki dowództwu dotyczące odpowiedniego rozmieszczenia sił i środków. Doradzały również w wyborze najbardziej efektywnych metod prowadzenia operacji wojskowych i logistycznych. Po zakończeniu wojny olbrzymi dorobek teoretyczny i praktyczny badań operacyjnych znalazł zastosowanie we wspomaganiu zarządzania przedsięwzięciami, organizacjami oraz w rozwiązywaniu problemów ekonomicznych i technicznych. Definicja: Badania operacyjne to dyscyplina, której głównym zadaniem jest wspomaganie procesu podejmowania trafnych (optymalnych) decyzji w danych warunkach ekonomicznych z wykorzystaniem modeli matematycznych. Zarządzanie polega na wykonywaniu funkcji zarządzania, czyli: planowaniu, organizowani, kierowniczym przywództwie, kontroli i doskonaleniu wykorzystując dostępne zasoby (materialne i niematerialne) oraz dążąc do osiągnięcia celu lub wiązki celów. Badania operacyjne są szczególnie przydatne w fazie planowania. Menadżerowie na wszystkich szczeblach decyzyjnych (operacyjnym, taktycznym, strategicznym) stoją niejednokrotnie przed dylematem wyboru jednego, najlepszego planu. Badania operacyjne dostarczają metod wspomagających wybór optymalnego planu, zgodnie ze sformułowanym kryterium optymalności. Podczas rozwiązywania problemów decyzyjnych z wykorzystaniem badań operacyjnych można wyróżnić sześć etapów działania: 1. Sformułowanie problemu. Na początku należy określić cel naszego działania, wszystkie istotne warunki, które wpływają na podejmowaną decyzję oraz kryterium umożliwiające ocenę wyników działania. Artur Piątkowski WZ UW Strona 1

2 2. Budowa modelu. Sformułowany problem należy zapisać w postaci modelu matematycznego, który jest uproszczonym fragmentem rzeczywistości. 3. Rozwiązanie modelu. Model należy rozwiązać np. z wykorzystaniem narzędzi typu Solver i wyznaczyć decyzję optymalną. 4. Weryfikacja uzyskanego rozwiązania. Konfrontacja uzyskanego rozwiązania z rzeczywistością. Jeżeli rozwiązanie jest niemożliwe do wdrożenia w rzeczywistych warunkach, należy model poprawić/zmodyfikować i ponownie rozwiązać. 5. Wdrożenie rozwiązania. W przypadku gdy optymalne rozwiązanie jest możliwe do wdrożenia w rzeczywistych warunkach, można je wykorzystać w procesie podejmowania decyzji. 6. Kontrola. Otoczenie rynkowe jest dynamiczne i nieustannie się zmienia. Optymalne rozwiązanie modelu może po jakimś czasie okazać się zdezaktualizowane. W takim wypadku należy ponownie sformułować problem, zbudować model i rozwiązać go. Programowanie liniowe W rzeczywistości gospodarczej istnieje wiele sytuacji, które można opisać z wykorzystaniem programu liniowego. Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. Za pomocą programowania liniowego można opisać wiele sytuacji decyzyjnych, w których zależności pomiędzy zmiennymi są typu liniowego. Do najpopularniejszych problemów zaliczamy: 1. Optymalny wybór asortymentu produkcji. W tym problemie decyzyjnym należy określić wielkość produkcji poszczególnych wyrobów tak, aby nie przekraczając posiadanych środków produkcji, osiągnąć możliwie największy przychód ze sprzedaży. 2. Problem mieszanek. W tym przypadku decydent musi określić ilość surowców, które należy kupić/zmieszać, żeby otrzymać produkt o pożądanym składzie chemicznym, przy możliwie najniższych kosztach zakupu surowców. Szczególną odmianą problemu mieszanek jest problem diety. Należy w nim Artur Piątkowski WZ UW Strona 2

3 określić takie wielkości zakupu poszczególnych produktów żywieniowych, które zapewnią organizmowi określone składniki odżywcze (białko, tłuszcze, węglowodany itd.), przy możliwie najniższym koszcie zakupu. Program liniowy może mieć postać standardowego zadania MAKSYMALIZACJI: Zmienne decyzyjne Warunki ograniczające x 1, x 2,, x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2... Ograniczenia funkcyjne a r1 x 1 + a r2 x a rn x n b r Funkcja celu x 1, x 2,, x n 0 Ograniczenia trywialne (warunki brzegowe) F(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n MAX Gdzie x j (j = 1, 2,, n) zmienne decyzyjne a ij, b i, c j (i = 1, 2,, r; j = 1, 2,, n) parametry modelu Artur Piątkowski WZ UW Strona 3

4 Program liniowy może mieć również postać standardowego zadania MINIMALIZACJI: Zmienne decyzyjne Warunki ograniczające x 1, x 2,, x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2... Ograniczenia funkcyjne a r1 x 1 + a r2 x a rn x n b r Funkcja celu x 1, x 2,, x n 0 Ograniczenia trywialne (warunki brzegowe) F(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n MIN Gdzie x j (j = 1, 2,, n) zmienne decyzyjne a ij, b i, c j (i = 1, 2,, r; j = 1, 2,, n) parametry modelu W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia funkcyjne, ograniczenia trywialne oraz funkcja celu. Zmienne decyzyjne to wielkości, dla których należy ustalić wartość optymalną. Ograniczenia funkcyjne to układ nierówności lub równań opisujących warunki działania. Ograniczenia funkcyjne wynikają z treści problemu decyzyjnego. W konkretnych sytuacjach decyzyjnych nierówności w warunkach ograniczających mogą mieć przeciwny zwrot lub mogą to być równości. Ograniczenia trywialne (warunki brzegowe) informują, że zmienne decyzyjne są nieujemne i znajdują się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Funkcja celu umożliwia wybór optymalnych wielkości zmiennych decyzyjnych, przy określonych ograniczeniach. Funkcja celu może być maksymalizowana lub minimalizowana. Artur Piątkowski WZ UW Strona 4

5 Zbiór wszystkich rozwiązań, które spełniają warunki funkcyjne oraz warunki brzegowe nazywamy rozwiązaniami dopuszczalnymi. Wśród nich znajdują się takie, dla których funkcja celu przybiera wartość maksymalna lub minimalną. Jest to rozwiązanie optymalne. Rozwiązaniem programu liniowego jest wyznaczenie wartości optymalnych zmiennych decyzyjnych. Metoda geometryczna W sytuacji, gdy w zadaniu występują dwie zmienne decyzyjne, można program liniowy rozwiązać metodą geometryczną. ZADANIE 1 Zakład FIATA w Bielsku-Białej produkuje dwa modele samochodów: Fiata Pandę oraz Fiata 500. W procesie produkcji tych modeli zużywa się wiele środków produkcji, spośród których dwa (gumowe przewody układu chłodzenia i śruby do felg) są limitowane. Limity te wynoszą: gumowe przewody układu chłodzenia sztuk, natomiast śruby do felg sztuk. Nakłady limitowanych środków na jeden model Fiata Pandy i Fiata 500 podano w poniższej tabeli. Tabela 1. Nakłady limitowanych środków produkcji na jeden model Fiata Pandy i Fiata 500. Środki Jednostkowe nakłady produkcji Fiat Panda Fiat 500 Gumowe przewody układu chłodzenia Śruby do felg Wiadomo, że zdolności produkcyjne wydziału montażu nie pozwalają produkować więcej niż 3000 sztuk Fiata Pandy oraz 4000 sztuk Fiata 500. Ponadto działająca w ramach zakładu komórka analizy rynku ustaliła optymalne proporcje produkcji, które kształtują się odpowiednio jak 3:2. Cena sprzedaży (w tys. zł) Fiata Panda wynosi 30, a Fiata Ustalić dopuszczalne i optymalne rozmiary produkcji wyrobów gwarantujące maksymalizację przychodu ze sprzedaży przy istniejących ograniczeniach. W rozwiązaniu zastosować metodę geometryczną. Artur Piątkowski WZ UW Strona 5

6 ROZWIĄZANIE Na początku należy zbudować model matematyczny, który opisuje przedstawioną sytuację. Zmienne decyzyjne x 1 wielkość produkcji Fiata Pandy x 2 wielkość produkcji Fiata 500 Warunki ograniczające 16x x x x x 1 = 3x 2 x x x 1, x 2 0 Funkcja celu F(x 1, x 2 ) = 30x x 2 MAX Ponieważ w powyższym modelu występują dwie zmienne decyzyjne (wielkość produkcji Fiata Pandy i Fiata 500) to można go rozwiązać geometrycznie. W celu określenia zbioru rozwiązań dopuszczalnych należy zaznaczyć w układzie współrzędnych warunki ograniczające (funkcyjne oraz trywialne). Zacznijmy od pierwszego warunku: 16x x Załóżmy chwilowo, że jest to równanie prostej o następującej postaci: 16x x 2 = Aby ją przedstawić w układzie współrzędnych należy znaleźć dwa punkty, przez które przechodzi. Najprościej znaleźć punkty przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych: Artur Piątkowski WZ UW Strona 6

7 x { 1 = 0 x 2 = ; {x 1 = x 2 = 0 Łącząc te dwa punkty otrzymujemy równanie prostej. Warunek nierówności jest spełniony przez punkty, które znajdują się na prostej oraz w półpłaszczyźnie poniżej niej. Analogicznie postępujemy z pozostałymi warunkami ograniczającymi. Na rysunku 1 zostały przedstawione wszystkie warunki ograniczające. Rysunek 1. Warunki ograniczające. Po zaznaczeniu w układzie współrzędnych wszystkich warunków ograniczających można zauważyć, że wszystkie warunki jednocześnie są spełnione tylko przez punkty znajdujące się na odcinku OA, który jest częścią prostej 2x 1 =3x 2. Innymi słowy na odcinku Artur Piątkowski WZ UW Strona 7

8 OA znajduje się nieskończenie wiele rozwiązań dopuszczalnych. Na tym odcinku należy odszukać rozwiązanie optymalne. Aby je znaleźć należy przyjąć pewne początkowe wartości funkcji celu np Funkcja celu przyjmie wtedy następującą postać: F(x 1, x 2 ) = 30x x 2 = Następnie należy ją nanieść w układzie współrzędnych, co widać na rysunku 2. Rysunek 2. Rozwiązanie optymalne. Zielona prosta 30x 1 +40x 2 = to izolinia (izokwanta) linia jednakowego przychodu. Następnie tę linię przesuwamy równolegle wzdłuż odcinka AB jak najdalej od początku układu współrzędnych. Kierunek przesuwania izokwanty wynika z kryterium Artur Piątkowski WZ UW Strona 8

9 optymalizacji funkcji celu (w naszym przykładu dąży ona do maksymalizacji, ponieważ F(x 1,x 2 ) MAX). Z tego powodu stopniowo zwiększamy wyraz wolny, aż dochodzimy do punktu A, w którym funkcja celu osiąga wartość maksymalną. Współrzędne punktu A są optymalnym rozwiązaniem zadania. Rozwiązanie optymalne { x 1 = x 2 = Wartość przychodu ze sprzedaży przy uwzględnieniu optymalnego asortymentu F(x 1, x 2 ) = = Odp1.: Na odcinku OA znajduje się nieskończenie wiele rozwiązań dopuszczalnych. Odp2.: Optymalne rozmiary produkcji wynoszą 3000 sztuk Fiata Pandy oraz 2000 sztuk Fiata 500. Przy takiej produkcji można osiągnąć maksymalny przychód ze sprzedaży, który wynosi tys. zł. Literatura 1. Guzik B. (2009). Wstęp do badań operacyjnych. Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Poznań. 2. Kukuła K. (1999). Badania operacyjne w przykładach i zadaniach. PWN, Warszawa. 3. Lipiec-Zajchowska M. Wspomaganie procesów decyzyjnych. Tom III. Badania Operacyjne, Wyd. C.H. Beck, Warszawa Radzikowski W. (1994). Badania operacyjne w zarządzaniu. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa. 5. Sikora W. (2008). Badania operacyjne. PWE, Warszawa. Artur Piątkowski WZ UW Strona 9